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1、第 1 页（共 19 页） 2021 年新疆高考数学第一次诊断性自测试卷（文科）（问卷）年新疆高考数学第一次诊断性自测试卷（文科）（问卷）一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分在毎个小题给出的四个选项中，只有一项是分在毎个小题给出的四个选项中，只有一项是符题目要求的符题目要求的 1 （5 分）已知集合 1A ，0，1， 2 |1Bx x，则(AB ) A 1，1 B 1，0，1 C | 11xx 剟 D |1x x 2 （5 分）如图为某旋转体的三视图，则该几何体的侧面积为( ) A10 B8 C9 D10 3 （5 分）已知椭圆 22 22

2、1(0) xy ab ab 的一个焦点是圆 22 680 xyx 的圆心，且短轴长为 8，则椭圆的左顶点为( ) A( 3,0) B( 4,0) C( 10,0) D( 5,0) 4 （5 分）若0a ，0b ，则“1ab”是“2ab ”的( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 5 （5 分）我国的5G通信技术领先世界，5G技术的数学原理之一是著名的香农()Shannon公式，香农提出并严格证明了“在被高斯白噪声干扰的信道中，计算最大信息传送速率C的公式 2 log (1) S CW N ” ，其中W是信道带宽（赫兹），S是信道内所传信号

3、的平均功率（瓦 )，N是信道内部的高斯嗓声功率（瓦)，其中 S N 叫做信噪比根据此公式，在不改变W的前提下，将信噪比从 99 提升至，使得C大约增加了60%，则的值大约为( )（参考数据： 0.2 101.58) A1559 B1579 C3160 D2512 6 （5 分）已知 2 cos() 423 ，则sin( ) 第 2 页（共 19 页） A 7 9 B 1 9 C 1 9 D 7 9 7 （5 分）在ABC中，已知90BAC，6AB ，若D点在斜边BC上，2CDDB，则 AB AD的值为( ) A48 B24 C12 D6 8 （5 分）设( )f x为定义在R上的奇函数，

4、当0 x时， 1 ( )3( x f xaa 为常数），则( 1)f 的值为( ) A6 B3 C2 D6 9 （5 分）如图，边长为 2 的正方形ABCD中，点E、F分别是AB、BC的中点，将ADE， EBF，FCD分别沿DE，EF，FD折起，使得A、B、C三点重合于点A，若四面体AEFD 的四个顶点在同一个球面上，则该球的表面积为( ) A8 B6 C11 D5 10 （5 分）在ABC中，a，b，c为A，B，C的对边，3a ，2 6b ，2BA ，则c的值为( ) A3 或 5 B3 或 6 C3 D5 11 （5 分）已知点F为双曲线 22 22 1(0,0) xy

5、ab ab 的左焦点直线: l yx 与双曲线的左支交于点P，且| |(OPPFO为坐标原点），则此双曲线的离心率为( ) A 210 2 B 27 2 C 25 2 D2 12 （5 分）已知函数 32 1 ( )(0) 3 f xaxxa若存在实数 0 ( 1,0)x ，且 0 1 2 x ，使得 0 1 ()() 2 f xf，则实数a的取值范围为( ) A 2 ( 5 ，5) B 2 ( 3 ，3)(3，5) C 18 ( 7 ，6) D 18 ( 7 ，4)(4，6) 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分分第 3 页（共 19 页） 1

6、3 （5 分）复数 1i z i 的共轭复数z为 14 （5 分）在所有首位不为 0 的七位数电话号码中，任取一个电话号码，则头两位数码不相同的概率为 15 （5 分）已知函数( )cos()f xAx的图象如图所示， 2 () 23 f ，则(0)f 16 （5 分）在棱长为 2 的正方体 1111 ABCDABC D中，点P是棱BC的中点，点Q是底面 1111 A BC D上的动点，且 1 APDQ，则下列说法正确的是 DP与 1 D Q所成角的大小为 4 ；四面体ABPQ的体积为定值； 1 AAQ的面积有最小值 2 5 5 ；平面 1 D PQ截正方体所得截面面积为定值三、解答题

7、：第三、解答题：第 17-21 题毎题题毎题 12 分，解答应在答卷的相应各题中写出文字说明，说明过程分，解答应在答卷的相应各题中写出文字说明，说明过程或演算步骤或演算步骤 17 （12 分）已知数列 n a满足21 nn Sa，nN， n S为其前n项和（1）求 n a的通项公式；（2）求 14732n SSSS 18 （12 分）如图，四棱锥SABCD的侧面SAD是正三角形，/ /ABCD，且ABAD， 24ABCD，E是BS的中点（1）求证：/ /CE平面SAD；（2）若平面SAD 平面ABCD，且4 2BS ，求三棱锥BEAC的体积 19 （12 分）某快递公司招聘快递骑手，

8、该公司提供了两种日工资方案：方案（1）规定每第 4 页（共 19 页）日底薪 50 元，快递骑手每完成一单业务提成 3 元；方案（2）规定每日底薪 150 元，快递业务的前 44 单没有提成，从第 45 单开始，每完成一单提成 5 元该快递公司记录了每天骑手的人均业务量现随机抽取 100 天的数据，将样本数据分为25，35)，35，45)，45，55)， 55，65)，65，75)，75，85)，85，95七组，整理得到如图所示的频率分布直方图（1）求直方图中a的值；（2）以样本数据的平均业务量为标准，该快递骑手应选择哪个方案？（同组中的每个数据用该组区间的中点值代替） 20

9、（12 分）已知抛物线 2 :2(03)C ypxp，其焦点为F，点(Q m，2 3)在抛物线C上，且| 4QF （1）求抛物线C的方程；（2）O为坐标原点，A，B为抛物线上不同的两点，且OAOB，求AFO与ABO面积之和的最小值 21 （12 分）已知函数 2 1 ( ) 2 f xlnxaxx （1）当 5 2 a 时，求( )f x的单调区间；（2）已知 4 3 3 a， 1 x， 212 ()xxx为函数( )f x的两个极值点，求 121 122 2()xxx yln xxx 的最大值请考生在第请考生在第 22、23 题中任选一题作答，并将所选的题号下的“”涂黑如

10、果多做，则按题中任选一题作答，并将所选的题号下的“”涂黑如果多做，则按所做的第一题记分，满分所做的第一题记分，满分 10 分分选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 22 （10 分）数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，如图就是在平面直角坐标系的“心形曲线” ，又名RC心形线如果以坐标原点O为极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，其RC心形线的极坐标方程为1 |cos|sin1 （1）求RC心形线的直角坐标方程；第 5 页（共 19 页）（2）已知直线l过点(0,2)P，且倾斜角为120，若直线l与RC心形线交于M，N两点求 | |PMPN的值选修选修 4-5：不

11、等式选讲：不等式选讲 23设函数( ) |21|2f xxmx，mR （）若1m ，解不等式( )6f x ；（）若( )f x有最小值，且关于x的方程 2 ( )1f xxx有两个不等实根，求实数m的取值范围第 6 页（共 19 页） 2021 年新疆高考数学第一次诊断性自测试卷（文科）（问卷）年新疆高考数学第一次诊断性自测试卷（文科）（问卷）参考答案与试题解析参考答案与试题解析一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分在毎个小题给出的四个选项中，只有一项是分在毎个小题给出的四个选项中，只有一项是符题目要求的符题目要求的 1 （5 分）已

13、 ab ab 的一个焦点是圆 22 680 xyx 的圆心，且短轴长为 8，则椭圆的左顶点为( ) A( 3,0) B( 4,0) C( 10,0) D( 5,0) 【解答】解：圆 22 680 xyx 的圆心为(3,0)，椭圆 22 22 1(0) xy ab ab 的一个焦点为(3,0)F，得3c 又短轴长为28b ，得4b 22 5abc ，可得椭圆的左顶点为( 5,0) 故选：D 4 （5 分）若0a ，0b ，则“1ab”是“2ab ”的( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件【解答】解：0a ，0b ，2abab ，若1ab，则2a

14、b 反之不成立，例如取5a ， 1 10 b “1ab”是“2ab ”的充分不必要条件故选：A 5 （5 分）我国的5G通信技术领先世界，5G技术的数学原理之一是著名的香农()Shannon公式，香农提出并严格证明了“在被高斯白噪声干扰的信道中，计算最大信息传送速率C的公式 2 log (1) S CW N ” ，其中W是信道带宽（赫兹），S是信道内所传信号的平均功率（瓦 )，N是信道内部的高斯嗓声功率（瓦)，其中 S N 叫做信噪比根据此公式，在不改变W的前提下，将信噪比从 99 提升至，使得C大约增加了60%，则的值大约为( )（参考数据： 0.2 101.58) A15

15、59 B1579 C3160 D2512 【解答】解：由题意可知，信噪比 S N 从 99 提升至，使得C大约增加了60%，第 8 页（共 19 页）所以 2 2 (1) 1.6 (199) W log W log ，则 22 log (1)1.6log 100，由换底公式可得 (1)1.6 100 22 lglg lglg ，即(1)1.6 1001.623.2lglg，所以 3.230.2 11010101000 1.581580，所以的值大约为 1579 故选：B 6 （5 分）已知 2 cos() 423 ，则sin( ) A 7 9 B 1 9 C 1 9 D 7 9 【

16、解答】解： 2 cos() 423 ， 2 1 cos()2cos ()1sin 2429 ，即 1 sin 9 ，故选：C 7 （5 分）在ABC中，已知90BAC，6AB ，若D点在斜边BC上，2CDDB，则 AB AD的值为( ) A48 B24 C12 D6 【解答】解：2CDDB， 1 3 BDBC，即 1 3 BDBC， 1121 () 3333 ADABBDABBCABACABABAC， 22121 () 3333 AB ADABABACABAB AC， 90BAC， ABAC，即0AB AC ， 2 2 624 3 AB AD 故选：B 8 （5 分）设( )f x为定义在

17、R上的奇函数，当0 x时， 1 ( )3( x f xaa 为常数），则( 1)f 的值为( ) A6 B3 C2 D6 第 9 页（共 19 页）【解答】解：( )f x为定义在R上的奇函数，则有()( )fxf x ，(0)0f，当0 x时， 1 ( )3( x f xaa 为常数），则(0)30fa，解得，3a ，即有 1 ( )33 x f x ，即f（1）936，则( 1)ff （1）6 故选：A 9 （5 分）如图，边长为 2 的正方形ABCD中，点E、F分别是AB、BC的中点，将ADE， EBF，FCD分别沿DE，EF，FD折起，使得A、B、C三点重合

18、于点A，若四面体AEFD 的四个顶点在同一个球面上，则该球的表面积为( ) A8 B6 C11 D5 【解答】解：由题意可知A EF是等腰直角三角形，且AD平面A EF 三棱锥的底面A EF扩展为边长为 1 的正方形，然后扩展为正四棱柱，三棱锥的外接球与正四棱柱的外接球是同一个球，正四棱柱的对角线的长度就是外接球的直径，直径为：1 146 球的半径为 6 2 ，球的表面积为 2 6 4()6 2 故选：B 10 （5 分）在ABC中，a，b，c为A，B，C的对边，3a ，2 6b ，2BA ，则c的值为( ) A3 或 5 B3 或 6 C3 D5 【解答】解：由正弦定理知， si

19、nsinsin2 abb ABA ，第 10 页（共 19 页） 32 6 sin2sincosAAA ， 6 cos 3 A，由余弦定理知， 222 2cosabcbcA，即 2 6 92422 6 3 cc ，化简得 2 8150cc，解得3c 或 5，当3c 时，有AC， ABC，且2BA， 4 AC ，即ABC为等腰直角三角形，此时2bc，不符合题意，舍去， 5c 故选：D 11 （5 分）已知点F为双曲线 22 22 1(0,0) xy ab ab 的左焦点直线: l yx 与双曲线的左支交于点P，且| |(OPPFO为坐标原点），则此双曲线的离心率为( ) A 210

20、 2 B 27 2 C 25 2 D2 【解答】解：点F为双曲线 22 22 1(0,0) xy ab ab 的左焦点直线: l yx 与双曲线的左支交于点P，且| |(OPPFO为坐标原点），可得( 2 c P ，) 2 c ，代入双曲线方程可得： 22 22 1 44 cc ab ，可得 2 2 2 4 1 e e e ，即 42 640ee，1e ，解得 2 35e ，所以 210 2 e 故选：A 12 （5 分）已知函数 32 1 ( )(0) 3 f xaxxa若存在实数 0 ( 1,0)x ，且 0 1 2 x ，使得 0 1 ()() 2 f xf，则实数a的取值范围为

21、( ) A 2 ( 5 ，5) B 2 ( 3 ，3)(3，5) C 18 ( 7 ，6) D 18 ( 7 ，4)(4，6) 【解答】解： 2 ( )2f xaxx，令( )0fx，得0 x 或 2 x a ，当 2 (,)x a 时，( )0fx，函数递增，当 2 (,0)x a 时，( )0fx，函数递减，当(0,)x 第 11 页（共 19 页）时，( )0fx，函数递增，若存在数 0 ( 1,0)x ，且 0 1 2 x ，使得 0 1 ()() 2 f xf，则 21 2 2 1 1 ( 1)() 2 a a ff 或 312 2aa ，于是可得 18 (,4)(

22、4,6) 7 a 故选：D 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分分 13 （5 分）复数 1i z i 的共轭复数z为 1i 【解答】解： 2 1(1)() 1 iii zi ii ， 1zi 故答案为：1i 14 （5 分）在所有首位不为 0 的七位数电话号码中，任取一个电话号码，则头两位数码不相同的概率为 9 10 【解答】解：在所有首位不为 0 的七位数电话号码中，任取一个电话号码，基本事件总数 6 9 10n ，其中头两位数码不相同包含的基本事件个数 5 9 9 10m ，则头两位数码不相同的概率为 5 6 9 9 109 9 1010

23、 m P n 故答案为： 9 10 15 （5 分）已知函数( )cos()f xAx的图象如图所示， 2 () 23 f ，则(0)f 2 3 第 12 页（共 19 页）【解答】解：由图象可得最小正周期为 2 3 所以 2 (0)() 3 ff ，注意到 2 3 与 2 关于 7 12 对称，故 22 ()() 323 ff 故答案为： 2 3 16 （5 分）在棱长为 2 的正方体 1111 ABCDABC D中，点P是棱BC的中点，点Q是底面 1111 A BC D上的动点，且 1 APDQ，则下列说法正确的是 DP与 1 D Q所成角的大小为 4 ；四面体ABPQ的体积为定值

24、； 1 AAQ的面积有最小值 2 5 5 ；平面 1 D PQ截正方体所得截面面积为定值【解答】解：棱长为 2 的正方体 1111 ABCDABC D中，点P是棱BC的中点，点Q是底面 1111 A B C D上的动点，且 1 APDQ，如图所示：则 1(0 A，0，0)，(0D，2，2)， 1(0 D，2，0)，(0A，0，2)，(2B，0，2)，(2C，2，2)，点P为BC的中点，所以(2P，1，2)，第 13 页（共 19 页）设 0 (Q x， 0 y，0)，则(2,1,0)AP ， 100 (,2,0)DQxy，由 1 APDQ，即 00 220 xy，对于：(2

25、, 1,0)DP ，可得： 00 1 22 00 224 cos, 5 5(2) xy DP DQ xy ，故错误；对于：四面体ABPQ的体积 112 2 1 2 323 A BPQQ ABP VV 为定值，故正确；对于：由于 11 AAAQ，且 22 100 QAxy，所以 1 2222 1100000 1144 |25845() 2255 AAQ SAAAQxyxxx ，由于0 x，2，所以 1 2 5 5 AAQ S，故正确；对于：由于点Q满足 00 220 xy，即点在直线 00 220 xy上运动，取 11 A B的中点E，即点Q在 1 D E上，则平面 1 D

26、PQ截正方体的所得的截面为 2 1 D PE，由于点P到 1 D E的距离为 2，则截面的面积为 2 11 1 222 5 2 D PED E为定值，故正确故选：三、解答题：第三、解答题：第 17-21 题毎题题毎题 12 分，解答应在答卷的相应各题中写出文字说明，说明过程分，解答应在答卷的相应各题中写出文字说明，说明过程或演算步骤或演算步骤 17 （12 分）已知数列 n a满足21 nn Sa，nN， n S为其前n项和（1）求 n a的通项公式；（2）求 14732n SSSS 【解答】解：（1）21 nn Sa，当2n时，有 11 21 nn Sa ，两式相减得：

27、1 22 nnn aaa ，即 1 2 nn aa ，当1n 时，有 11 21Sa，解得： 1 1a ，数列 n a是首项为 1，公比为 2 的等比数列， 1 2n n a ；第 14 页（共 19 页）（2）由（1）可得：2121 n nn Sa ， 32 32 21 n n S ， 331 4732 14732 3 2(12 )22 (2222) 127 nn n n SSSSnnn 18 （12 分）如图，四棱锥SABCD的侧面SAD是正三角形，/ /ABCD，且ABAD， 24ABCD，E是BS的中点（1）求证：/ /CE平面SAD；（2）若平面SAD 平面ABCD，且4

28、 2BS ，求三棱锥BEAC的体积【解答】证明：（1）取SA的中点F，连接EF， E是SB中点，/ /EFAB，且2ABEF，又/ /ABCD，2ABCD， / /EFDC，EFDC，则四边形EFDC是平行四边形， / /ECFD，又EC 平面SAD，FD平面SAD， / /CE平面SAD；解：（2）取AD中点G，连接SG， SAD是正三角形，SGAD，平面SAD 平面ABCD，且交线为AD， SG平面ABCD， ABAD，AB平面SAD，则ABSA，故 22 4SASBAB，2 3SG ， E是SB中点，点E到平面ABCD的距离等于 1 2 SG，三棱锥BEAC的体积为：

29、118 3 443 323 B EACE BAC VV 第 15 页（共 19 页） 19 （12 分）某快递公司招聘快递骑手，该公司提供了两种日工资方案：方案（1）规定每日底薪 50 元，快递骑手每完成一单业务提成 3 元；方案（2）规定每日底薪 150 元，快递业务的前 44 单没有提成，从第 45 单开始，每完成一单提成 5 元该快递公司记录了每天骑手的人均业务量现随机抽取 100 天的数据，将样本数据分为25，35)，35，45)，45，55)， 55，65)，65，75)，75，85)，85，95七组，整理得到如图所示的频率分布直方图（1）求直方图中a的值；（2）以样本

30、数据的平均业务量为标准，该快递骑手应选择哪个方案？（同组中的每个数据用该组区间的中点值代替）【解答】解：（1）由频率分布直方图知，(0.005 320.030.015) 101a ， 0.02a （2）平均业务量为 (30 0.00540 0.00550 0.0260 0.0370 0.0280 0.01590 0.005) 1062，方案（1）的日工资：50623236元，方案（2）的日工资：150(6244) 5240 元， 236240，故该快递骑手应选择方案（2） 20 （12 分）已知抛物线 2 :2(03)C ypxp，其焦点为F，点(Q m，2 3)在抛物线C上

31、，且| 4QF （1）求抛物线C的方程；第 16 页（共 19 页）（2）O为坐标原点，A，B为抛物线上不同的两点，且OAOB，求AFO与ABO面积之和的最小值【解答】解：（1）抛物线 2 :2(03)C ypxp，其焦点为( 2 p F，0)，准线方程为 2 p x ，可得|4 2 p QFm，且212pm，解得2(6p 舍去），3m ，则抛物线的方程为 2 4yx；（2）设AB的方程为xsyt， 1 (A x， 1) y， 2 (B x， 2) y，联立 2 4 xsyt yx ，可得 2 440ysyt，则 2 16160st，又 12 4y yt ， 2 21

32、2 12 () 16 y y x xt，由OAOB，可得 2 1 212 40 x xy ytt，解得4(0t 舍去），所以直线AB恒过定点(4,0)N，可设 1 0y ， 2 0y ，则AFO与ABO面积之和 112 11 | | | 22 SyOFyyON 1212112 15 2()2252 208 5 22 yyyyyy yt ，当且仅当 1 8 5 5 y ， 2 2 5y 时，上式取得等号则AFO与ABO面积之和的最小值为8 5 21 （12 分）已知函数 2 1 ( ) 2 f xlnxaxx （1）当 5 2 a 时，求( )f x的单调区间；（2）已知 4

33、3 3 a， 1 x， 212 ()xxx为函数( )f x的两个极值点，求 121 122 2()xxx yln xxx 的最大值【解答】解：（1）当 5 2 a 时， 2 51 ( ) 22 f xlnxxx，0 x ，第 17 页（共 19 页） 1 ()(2) 15 2 ( ) 2 xx fxx xx ，令( )0fx，可得 1 0 2 x或2x ，令( )0fx，可得 1 2 2 x，所以( )f x在 1 (0, ) 2 ，(2,)上单调递增，在 1 ( 2 ，1)上单调递减（2） 2 11 ( ) xax fxax xx ，因为 1 x， 212 ()xxx为函数

34、( )f x的两个极值点，所以 1 x， 2 x是方程 2 10 xax 的两个根，所以 2 1 4 2 aa x ， 2 2 4 2 aa x ，可得 222 1 2 2 424 2 4 xaaaa a x aa ，因为 4 3 3 a，所以 2 ya为增函数，ya为增函数且大于 0， 2 4ya为增函数且大于 0，所以 22 24 2 aa a y 为增函数，所以 22 1 2 168 2 24 33 3 22 xaa a x ，令 1 2 (3) x tt x ，则 121 122 2()2(1) 1 xxxt ylnlnt xxxt ，令 2(1)4 ( )2 11 t g

35、 tlntlnt tt ， 2 22 41(1) ( )0 (1)(1) t g t ttt t ，所以( )g t在3，)上单调递减，所以( )g t的最大值为g（3）13ln 请考生在第请考生在第 22、23 题中任选一题作答，并将所选的题号下的“”涂黑如果多做，则按题中任选一题作答，并将所选的题号下的“”涂黑如果多做，则按所做的第一题记分，满分所做的第一题记分，满分 10 分分选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 22 （10 分）数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，如图就是在平面直角坐标系的“心形曲线” ，又名RC心形线如果以坐标原点O为极点，以x轴正半轴为极轴

37、故把直线l的参数方程为 1 2 ( 3 2 2 xt t yt 为参数），代入 22 1xyxy，整理得 2 34 (2 31)30 4 tt ，所以 1 2 12(43) | | | 13 PMPNt t 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲 23设函数( ) |21|2f xxmx，mR （）若1m ，解不等式( )6f x ；（）若( )f x有最小值，且关于x的方程 2 ( )1f xxx有两个不等实根，求实数m的取值范围【解答】解：（）若1m ，( ) |21|2f xxx ，当 1 2 x时，( )3f xx，由( )6f x 解得：3x ，综合得 1 3 2

38、 x ，当 1 2 x 时，( )31f xx，由( )6f x 解得： 5 3 x ，综合得 15 23 x，第 19 页（共 19 页）故( )6f x 的解集是 5 ( 3, ) 3 ；（）当 1 2 x 时，( )(2)1f xm x，当 1 2 x时，( )(2)3f xmx，要使函数( )f x有最小值，则 2 0 2 0 m m ，解得：22m 剟，故( )f x在 1 2 x 时取最小值 1 2 2 m ， 2 1yxx在 1 2 x 时取最大值 5 4 ，方程 2 ( )1f xxx有两个不等实根， 15 2 24 m，解得： 3 2 m ，综上，m的范围是 2， 3) 2

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