安徽省“五校联盟”2021届高三下学期第二次联考数学（文）试题 Word版含答案.zip

颍上一中 涡阳一中 蒙城一中 淮南一中 怀远一中 2021 届高三“五校联盟”第二次联考 文科数学试题文科数学试题 考试时间：2021 年 4 月 16 日 考生注意： 1.本试卷满分 150 分，考试时间 120 分钟。 2.答题前，考生务必用直径 0.5 毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚。 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答 案标号涂黑；非选择题请用直径 0.5 毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区超出答题区 域书写的答案无效域书写的答案无效，在试题卷在试题卷、草稿纸上作答无效草稿纸上作答无效。 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的求的. 1.设集合，则26AxxN 2 log (1)2BxxAB A. B. C. D. 2,3,4,5 25xx3,43,4,5 2.已知，若为纯虚数（i 为虚数单位） ，则 a 的值为 aR(2i)(2i)aa A.0 B. C.1 D.2 2 3.某高中为了解高三学生对“社会主义核心价值观”的学习情况，把高三年级的 1000 名学生编号：1 到 1000，再用系统抽样的方法随机抽取 50 位同学了解他们的学习状况，若编号为 253 的同学被抽到，则下 列几个编号中，可能被抽到的是 A.83 B.343 C.103 D.213 4.算数书竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍， 其中记载有求“囷（qn）盖”的术：置如其周，令相乘也，又以高乘之，三十六成一，该术相当于给出 了由圆锥的底面周长 L 与高 h，计算其体积 V 的近似公式，它实际上是将圆锥体积公式中的圆 2 1 36 VL h 周率 近似取为 3，那么近似公式，相当于将圆锥体积公式中的 近似取为 2 1 38 VL h A. B. C. D. 25 8 37 12 19 6 76 25 5.已知平面单位向量，满足，设向量，向量，则 1e 2e 1225ee 12aee 123bee |ab A. B.2 C. D. 252 5 6.已知，则下列关系正确的是 1 3 7a 77 log 22log 3b 1 2 1 7 c A. B. C. D. abcbaccbabca 7.在数列中，且，则它的前 30 项和 n a 1 1 2 a 1 (2) nn nana 30 S A. B. C. D. 30 31 29 30 28 29 19 29 8.已知角 的顶点在坐标原点，始边与 x 轴非负半轴重合，终边与直线重合，则 1 3 yx 的值为 1 cos2 sin2 2 A. B. C. D. 3 2 1 5 3 2 1 5 9.电影流浪地球中反复出现这样的人工语音：“道路千万条，安全第一条，行车不规范，亲人两行泪” 成为网络热句.讲的是“开车不喝酒，喝酒不开车”.2019 年，公安部交通管理局下发关于治理酒驾醉驾 违法犯罪行为的指导意见 ，对综合治理酒驾醉驾违法犯罪行为提出了新规定，根据国家质量监督检验检 疫总局下发的标准，车辆驾驶人员饮酒后或者醉酒后驾车血液中的酒精含量阈值见表.经过反复试验，一般 情况下，某人喝一瓶啤酒后酒精在人体血液中的变化规律的“散点图”见图，且图表所示的函数模型 假设该人喝一瓶啤酒后至少经过小时才可以驾车，则 n 的值 0.5 40sin() 13,02, 3 90 e14,2, x xx y x * n nN 为（参考数据：，）ln152.71ln303.40 车辆驾驶人员血液酒精含量阈值 驾驶行为类别阈值（mg/100mL） 饮酒驾车 20,80) 醉酒驾车 80,) A.5 B.6 C.7 D.8 10.圆上有且仅有三点到双曲线一条渐近线的距离为 2， 22 :100C xyy 22 22 :1(0,0) xy Eab ab 双曲线的焦距为 10，则下列说法错误的是 A.双曲线 E 的离心率为 5 3 B.直线与双曲线 E 的两支各有一个交点 4 :1 3 l yx C.双曲线 E 与双曲线：有相同的渐近线 22 1 169 yx D.过点至少能作两条直线与双曲线 E 仅有一个交点(1,2)P 11.中，D 是边 BC 上的一个三等分点（靠近 B 点） ，O 为ABCsin()sinsinABCB1BD 外接圆的圆心，则 OD 的长为ABC A. B. 1 C. D. 2 3 2 3 2 12.将一条均匀柔软的链条两端固定，在重力的作用下它所呈现的形状叫悬链线，例如悬索桥.建立适当的 坐标系，可以写出悬链线的函数解析式为，其中 a 为悬链线系数，为双曲余弦函( )cosh x f xa a cosh x 数，其函数表达式为，相应地双曲正弦函数表达式为.若直线与 ee cosh 2 xx x ee sinh 2 xx x xm 双曲余弦函数和双曲正弦函数分别相交于点 A，B，曲线在点 A 处的切线与曲线在点 B 处的切 1 C 2 C 1 C 2 C 线相交于点 P，则下列说法正确的个数 是奇函数.sinhcoshyxx cosh()coshcoshsinhsinhxyxyxy 的面积随 m 的增大而减小.PAB 随 m 的减小而增大BP A.4 B.3 C.2 D.1 二、填空题：本题共二、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分. 13.若变量 x，y 满足线性约束条件，则目标函数的最小值 . 1 0, 21 0, 4 0, xy xy xy 2zxy 14.已知函数，曲线在点处的切线方程为 . 3 (1)21f xxx( )yf x(0,(0)f 15.已知点和抛物线，过 C 的焦点且斜率为 k 的直线 l 与 C 交于 A，B 两点，N 为 AB(1, 1)M 2 :4C xy 中点，且，则 k 的值为 .2| |MNAB 16.已知为等腰直角三角形，D 为 BC 中点，现将沿 AD 翻折，使得ABC 2 A ABC ，已知三棱锥的体积为，则三棱锥的外接球的表面积为 . 2 3 BDCABCD 4 6 3 ABCD 三、解答题：共三、解答题：共 70 分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第第 1721 题为必考题，每个试题考生题为必考题，每个试题考生 都必须作答都必须作答.第第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共（一）必考题：共 60 分分. 17.（12 分） 数列中，是的前 n 项和，是等差数列， n a n S n a21 nn Sa n b 264 bba 546 2abb （1）求和的通项公式； n a n b （2）设求的前 n 项和. nnn cbS n c n T 18.（12 分） 网购是当前人们购物的新方式，某公司为了改进营销方式，随机调查了 100 名市民，统计了不同年龄的人 群网购的人数如下表： 年龄段（岁）（0，20）20，40）40，60）60，100） 网购人数2632348 男性人数1510105 （1）若把年龄在20，60）的人称为“网购迷” ，否则称为“非网购迷” ，请完成下面的 22 列联表，并 判断能否有 99把握认为网购与性别有关？ 网购迷非网购迷总计 男性 女性 总计 （2）若从年龄小于 40 岁的网购男性中用分层抽样的方法抽取 5 人，再从中抽取两人，求两人年龄都小于 20 岁的概率. 附： 2 2 () ()()()() n adbc K ab cd ac bd 2 0 P Kk 0.100.050.010.001 0 k 2.7063.8416.63510.828 19.（12 分） 如图，在三棱锥中，O 为 AC 中点.PABC3ABBC3 2PAPBPCAC （1）证明：平面PO ABC （2）若点 M 在棱 BC 上，且，求点 C 到平面 POM 的距离. 2 3 MCCB 20.（12 分） 已知函数( )ln1 a f xx x （1）若函数在上单调递增，求实数 a 的取值范围.( )f x1,e （2）讨论函数零点的个数. ( )f x 21.（12 分） A，B 为椭圆的左右顶点，E 为椭圆 C 上任意一点（异于左右顶点） ， 22 22 :1(0) xy Cab ab | 4AB 设 AE，BE 的斜率分别为 k1和 k2， 12 3 4 k k （1）求椭圆 C 的方程； （2）设动直线与椭圆 C 有且只有一个公共点 P，且与直线相交于点 Q，试探究：在: l ykxm4x 坐标平面内是否存在定点 M，使得以 PQ 为直径的圆恒过点 M？若存在，求出点 M 的坐标；若不存在，说 明理由. （二）选考题：共（二）选考题：共 10 分分.请考生在第请考生在第 22、23 题中任选一题作答题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分如果多做，则按所做的第一题计分. 22.选修 44：坐标系与参数方程 （10 分） 已知曲线 C 的极坐标方程是，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为 x 轴的正半轴，建立平4cos 面直角坐标系，直线 l 的参数方程是（t 为参数）. 2 , 2 2 2 xmt yt （1）若直线 l 与曲线 C 相交于 A、B 两点，且，试求实数 m 的值；|14AB （2）设为曲线 C 上任意一点，求的取值范围.( , )M x yxy 23.选修 45：不等式选讲 （10 分） 已知函数.( ) |21|1|f xxx （1）求不等式的解集；( )2f x （2）若关于 x 的不等式有解，求 a 的取值范围. 2 ( ) 2 a f xa 颍上一中颍上一中 涡阳一中涡阳一中 蒙城一中蒙城一中 淮南一中淮南一中 怀远一中怀远一中 2021 届高三届高三“五校联盟五校联盟”第二次联考第二次联考 文科数学文科数学 参考答案、提示及评分细则参考答案、提示及评分细则 一、选择题一、选择题 题号123456789101112 答案CADCDDAABBBB 二、填空题二、填空题 13. 5 14. 15. 16. 20 xy 1 2 16.40 三、解答题三、解答题 17.解：（1）时，1n 1 1a 时，2n 111 212122 nnnnnnn assaaaa ，是以 1 为首项，2 为公比的等比数列 1 2 nn aa n a 所以 1 2n n a 是等差数列，设公差为 d， n b 由， 264 bba 546 2abb 得 46 46bb ，264d1d n bn （2）由（1）知21 n n s 21 n nnn cb sn 23 1 2 12 223 232n n Tnn 23 1 22 23 22(123) n nn 令 23 1 22 23 22nAn 得 2341 21 22 23 22nAn 得 231 22222 nn An 1 21 2 2 1 2 n n n 1 (1)22 n n 所以 1 (1)22 n An 又因为 (1) 123 2 n n n 所以 1 (1) (1)22 2 n n n n Tn 18.解：（1）由题中信息可完善 22 列联表如下表所示： 网购迷非网购迷总计 男性202040 女性461460 总计6634100 计算得， 2 2 100 (20 1446 20) 7.6056.635 66 34 40 60 K 故有 99把握认为网购与性别有关； （2）年龄在（0，20） 、 20，40）网购男性分别有 15 人、10 人. 按分层抽样的方法随机抽取 5 人，年龄段（0，20）应抽取 3 人，分别记为 1、2、3；年龄段20，40）应 抽取 2 人，分别记为 a、b，从中随机抽取 2 人的一切可能结果所组成的基本事件共 10 个：（1，2） 、 （1，3） 、 （1，a） 、 （1，b） 、 （2，3） 、 （2，a） 、 （2，b） 、 （3，a） 、 （3，b） 、 （a，b）. 用 A 表示“两人年龄都小于 20 岁”这一事件，则事件 A 由 3 个基本事件组成：（1，2） 、 （1，3） 、 （2，3）. 故事件 A 的概率为. 3 ( ) 10 P A 19.解：（1）因为O 为 AC 中点，所以且3 2APCPACOPAC 3 6 2 OP 连接 OB，因为， 2 3 2 ABBCAC 所以为等腰直角三角形且ABCOBAC 所以， 13 2 22 OBAC 由知 222 OPOBPBOPOB 又因为，所以平面 ABCCHOMOP （2）作，垂足为 H，又由（1）得，所以平面 POMCHOMOPCHCH 故 CH 的长即为点 C 到平面 POM 由题设可知， 13 2 22 OCAC 2 2 3 MCCB45ACB 所以， 10 2 OM sin3 10 5 OC MCACB CH OM 20.解：（1）的定义域为.( )f x(0,) 即在上恒成立 2 ( )0 xa fx x 0 xa 1, xe .1a （2）的定义域为，.( )f x(0,) 2 ( ) xa fx x 1.当时，恒成立，在上单调递增.0a( )0fx ( )f x(0,) 且时，时，有一个零点.0 x ( )f x x ( )f x ( )f x 2.当时，且当时，；当时，0a ( )0fa (0, )xa( )0fx ( ,)xa( )0fx 在上单调递减，在上单调递增( )f x(0, )a( ,)a min ( )( )ln2f xf aa 1.若 min ( )0f x 即.ln20a 2 0ea 在上单调递增，.( )f x( ,)a ( )0f a (1)10fa 在内有一个零点( )f x( ,)a 又在上单调递减，且，( )f x(0, )a( )0f a ，令， 2 1 2ln1f aa a 1 ( )2ln1g xx x 2 0,ex 在上单调递减， 2 21 ( )0 x g x x ( )g x 2 0,e 22 ( )ee30g xg 即，. 2 1 2ln10f aa a 2 0aa 2 0f a( )0f a 在上只有一个零点，( )f x(0, )a 当时有两个零点. 2 0ea ( )f x 2.若，即，无零点. min ( )0f xln20a 2 e( )af x 3.若，即，有一个零点. min ( )0f xln20a 2 e( )af x 综上所述：当或时，有一个零点.0a 2 ea ( )f x 当时，有两个零点. 2 0ea ( )f x 当时，无零点. 2 ea ( )f x 21.解：（1）易知，2a ( 2,0)A (2,0)B 设，又，, EE E xy 2 12 2 224 EE EEE yyy k k xxx 22 2 1 4 EE xy b 2 22 4 4 E E x yb 代入得， 2 12 3 44 b kk 2 3b 椭圆 C 的方程为. 22 1 43 xy （2）由得 22 , 1, 43 ykxm xy 222 4384120kxkmxm 因为动直线 l 与椭圆 C 有且只有一个公共点，所以且， 00 ,P xy0m 0 化简得 22 43mk 将代入整理得，所以 0 4k x m 00 3 ykxm m 43 , k P m m 由得 4, , x ykxm ( 4, 4)Qkm 假设平面内存在点 M 满足条件，由图形对称性知，点 M 必在 x 轴上， 设，则对满足的 m，k 恒成立 1,0 M x0MP MQ 因为， 1 43 , k MPx m m 1 4, 4MQxkm 由，化简整理得0MP MQ 2 111 4 1430 k xxx m 由于式对满足式的 m，k 恒成立，所以解得 1 2 11 10, 430, x xx 1 1x 故存在定点，使得以 PQ 为直径的圆恒过点 M( 1,0)M 22.解：（1）曲线 C 的极坐标方程是化为直角坐标方程为， 4cos 22 40 xyx 即， 22 (2)4xy 直线 l 的直角坐标方程为，yxm 圆心到直线 l 的距离（弦心距）， 2 142 2 22 d 即圆心（2，0）到直线的距离为，或.yxm |20|2 |2| 1 22 m m 1m3m （2）曲线 C 的方程可化为，其参数方程为（ 为参数）. 22 (2)4xy 22cos , 2sin x y 为曲线 C 上任意一点，( , )M x y ，22 2 sin 4 xy 的取值范围是.xy 22 2,22 2 23.解：（1）当时， 1 2 x( )21 (1)2f xxxx ，；( )2f x 1 4 2 x 当时， 1 1 2 x ( )1 2(1)3f xxxx ，；( )2f x 21 32 x 当时，1x( )1 2(1)2f xxxx ，此时无实数解.( )2f x 0 x 综上所述，不等式的解集为.( )2f x 2 (,4) 3 （2）有解 2 ( ) 2 a f xa 2 min ( ) 2 a f xa 由（1）可知 当时，；1x( ) 3f x 当时，； 1 1 2 x 3 ( )3 2 f x 当时，. 1 2 x 3 ( ) 2 f x 3 ( ) 2 f x ，故， 3 ( ) 2 min f x 2 2 3 23 013 22 a aaaa 即实数 a 的取值范围为. 1,3 颍上一中颍上一中 涡阳一中涡阳一中 蒙城一中蒙城一中 淮南一中淮南一中 怀远一中怀远一中 2021 届高三届高三“五校联盟五校联盟”第二次联考第二次联考 文科数学文科数学 参考答案、提示及评分细则参考答案、提示及评分细则 一、选择题一、选择题 题号123456789101112 答案CADCDDAABBBB 二、填空题二、填空题 13. 5 14. 15. 16. 20 xy 1 2 16.40 三、解答题三、解答题 17.解：（1）时，1n 1 1a 时，2n 111 212122 nnnnnnn assaaaa ，是以 1 为首项，2 为公比的等比数列 1 2 nn aa n a 所以 1 2n n a 是等差数列，设公差为 d， n b 由， 264 bba 546 2abb 得 46 46bb ，264d1d n bn （2）由（1）知21 n n s 21 n nnn cb sn 23 1 2 12 223 232n n Tnn 23 1 22 23 22(123) n nn 令 23 1 22 23 22nAn 得 2341 21 22 23 22nAn 得 231 22222 nn An 1 21 2 2 1 2 n n n 1 (1)22 n n 所以 1 (1)22 n An 又因为 (1) 123 2 n n n 所以 1 (1) (1)22 2 n n n n Tn 18.解：（1）由题中信息可完善 22 列联表如下表所示： 网购迷非网购迷总计 男性202040 女性461460 总计6634100 计算得， 2 2 100 (20 1446 20) 7.6056.635 66 34 40 60 K 故有 99把握认为网购与性别有关； （2）年龄在（0，20） 、 20，40）网购男性分别有 15 人、10 人. 按分层抽样的方法随机抽取 5 人，年龄段（0，20）应抽取 3 人，分别记为 1、2、3；年龄段20，40）应 抽取 2 人，分别记为 a、b，从中随机抽取 2 人的一切可能结果所组成的基本事件共 10 个：（1，2） 、 （1，3） 、 （1，a） 、 （1，b） 、 （2，3） 、 （2，a） 、 （2，b） 、 （3，a） 、 （3，b） 、 （a，b）. 用 A 表示“两人年龄都小于 20 岁”这一事件，则事件 A 由 3 个基本事件组成：（1，2） 、 （1，3） 、 （2，3）. 故事件 A 的概率为. 3 ( ) 10 P A 19.解：（1）因为O 为 AC 中点，所以且3 2APCPACOPAC 3 6 2 OP 连接 OB，因为， 2 3 2 ABBCAC 所以为等腰直角三角形且ABCOBAC 所以， 13 2 22 OBAC 由知 222 OPOBPBOPOB 又因为，所以平面 ABCCHOMOP （2）作，垂足为 H，又由（1）得，所以平面 POMCHOMOPCHCH 故 CH 的长即为点 C 到平面 POM 由题设可知， 13 2 22 OCAC 2 2 3 MCCB45ACB 所以， 10 2 OM sin3 10 5 OC MCACB CH OM 20.解：（1）的定义域为.( )f x(0,) 即在上恒成立 2 ( )0 xa fx x 0 xa 1, xe .1a （2）的定义域为，.( )f x(0,) 2 ( ) xa fx x 1.当时，恒成立，在上单调递增.0a( )0fx ( )f x(0,) 且时，时，有一个零点.0 x ( )f x x ( )f x ( )f x 2.当时，且当时，；当时，0a ( )0fa (0, )xa( )0fx ( ,)xa( )0fx 在上单调递减，在上单调递增( )f x(0, )a( ,)a min ( )( )ln2f xf aa 1.若 min ( )0f x 即.ln20a 2 0ea 在上单调递增，.( )f x( ,)a ( )0f a (1)10fa 在内有一个零点( )f x( ,)a 又在上单调递减，且，( )f x(0, )a( )0f a ，令， 2 1 2ln1f aa a 1 ( )2ln1g xx x 2 0,ex 在上单调递减， 2 21 ( )0 x g x x ( )g x 2 0,e 22 ( )ee30g xg 即，. 2 1 2ln10f aa a 2 0aa 2 0f a( )0f a 在上只有一个零点，( )f x(0, )a 当时有两个零点. 2 0ea ( )f x 2.若，即，无零点. min ( )0f xln20a 2 e( )af x 3.若，即，有一个零点. min ( )0f xln20a 2 e( )af x 综上所述：当或时，有一个零点.0a 2 ea ( )f x 当时，有两个零点. 2 0ea ( )f x 当时，无零点. 2 ea ( )f x 21.解：（1）易知，2a ( 2,0)A (2,0)B 设，又，, EE E xy 2 12 2 224 EE EEE yyy k k xxx 22 2 1 4 EE xy b 2 22 4 4 E E x yb 代入得， 2 12 3 44 b k k 2 3b 椭圆 C 的方程为. 22 1 43 xy （2）由得 22 , 1, 43 ykxm xy 222 4384120kxkmxm 因为动直线 l 与椭圆 C 有且只有一个公共点，所以且， 00 ,P xy0m 0 化简得 22 43mk 将代入整理得，所以 0 4k x m 00 3 ykxm m 43 , k P m m 由得 4, , x ykxm ( 4, 4)Qkm 假设平面内存在点 M 满足条件，由图形对称性知，点 M 必在 x 轴上， 设，则对满足的 m，k 恒成立 1,0 M x0MP MQ 因为， 1 43 , k MPx m m 1 4, 4MQxkm 由，化简整理得0MP MQ 2 111 4 1430 k xxx m 由于式对满足式的 m，k 恒成立，所以解得 1 2 11 10, 430, x xx 1 1x 故存在定点，使得以 PQ 为直径的圆恒过点 M( 1,0)M 22.解：（1）曲线 C 的极坐标方程是化为直角坐标方程为， 4cos 22 40 xyx 即， 22 (2)4xy 直线 l 的直角坐标方程为，yxm 圆心到直线 l 的距离（弦心距）， 2 142 2 22 d 即圆心（2，0）到直线的距离为，或.yxm |20|2 |2| 1 22 m m 1m3m （2）曲线 C 的方程可化为，其参数方程为（ 为参数）. 22 (2)4xy 22cos , 2sin x y 为曲线 C 上任意一点，( , )M x y ，22 2 sin 4 xy 的取值范围是.xy 22 2,22 2 23.解：（1）当时， 1 2 x( )21 (1)2f xxxx ，；( )2f x 1 4 2 x 当时， 1 1 2 x ( )12(1)3f xxxx ，；( )2f x 21 32 x 当时，1x( )12(1)2f xxxx ，此时无实数解.( )2f x 0 x 综上所述，不等式的解集为.( )2f x 2 (,4) 3 （2）有解 2 ( ) 2 a f xa 2 min ( ) 2 a f xa 由（1）可知 当时，；1x( ) 3f x 当时，； 1 1 2 x 3 ( )3 2 f x 当时，. 1 2 x 3 ( ) 2 f x 3 ( ) 2 f x ，故， 3 ( ) 2 min f x 2 2 3 23 013 22 a aaaa 即实数 a 的取值范围为. 1,3