1、文科数学 第 1页（共 21页） 2021 年高考数学模拟考场仿真演练卷（全国卷）02 文科数学 （考试时间：120 分钟试卷满分：150 分） 注意事项： 1本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考 证号填写在答题卡上。 2回答第卷时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动， 用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3回答第卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第卷 一、选择题（本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中
2、，只有一项是符合题目 要求的） 1已知复数 1 z、 2 z在复平面内对应的点分别为) 11 ( ，、) 10( ，则 2 1 z z 的共轭复数为（） 。 A、i1 B、i1 C、i1 D、i1 2已知p：0 1 2 | x x xAx，q：0|axxBx，若p是q的必要不充分条件，则实数a的取 值范围是（） 。 A、) 1(， B、 1(， C、)2， D、)2(， 3某市为最大限度的吸引“高精尖缺”人才，向全球“招贤纳士”，推进了人才引入落户政策。随着人口增多， 对住房要求也随之而来，而选择购买商品房时，佳户对商品房的户型结构越来越重视，因此某商品房调查 机构随机抽取n名市民， 针对其居
3、住的户型结构和满意度进行了调查， 如图1调查的所有市民中四居室共200 户，所占比例为 3 1 ，二居室住户占 6 1 。如图2是用分层抽样的方法从所有调查的市民的满意中，抽取%10的 调查结果绘制成的统计图，则下列说法正确的是（） 。 A、样本容量为70 文科数学 第 2页（共 21页） B、样本中三居室住户共抽取了25户 C、根据样本可估计对四居室满意的住户有70户 D、样本中对三居室满意的有15户 4 已知定义域为R的奇函数)(xf满足：0)()3(xfxf， 且当)0 2 3 (，x时， 1 12 )( 2 x x xf， 则)2021(f （） 。 A、 2 1 B、 2 1 C、1
4、 D、2020 5运行如右图所示的程序框图，则输出的k的值为（） 。 A、11 B、12 C、13 D、14 6高三上学期期末考试结束后，甲、乙、丙、丁四位同学不清楚自己的总分，仅打听到他们的总分在年级 的位次(按总分由高到低的顺序排列且四人总分均不相同)是2、5、7、9中的某一个，他们向数学老师打 听自己总分的具体位次，由于成绩暂时不能公布，老师只能给出如下答复：“命题p：甲、丙总分的位次之 和大于乙、丁总分的位次之和，命题q：丁的总分最高，命题r：四位同学中，甲的总分不是最低的，且 )( qp ，)( rq 均为真命题。”据此，下列判断错误的是（） 。 A、甲、乙总分的位次之和一定小于丙、
5、丁总分的位次之和 B、若丁总分的位次是7，则丙总分的位次一定是5 C、乙的成绩一定比其他三个都好 D、丙总分的位次可能是2 7已知函数)(xf的部分图像如图所示，则该函数的解析式可能是（） 。 A、xxxfln)( B、 x exxf)( C、 x x xf ln )( D、 x e xf x )( 8 阿波罗尼斯(约公元前 262-190 年)证明过这样一个命题： 平面内到两定点距离之比为常数k(0k且1k) 文科数学 第 3页（共 21页） 的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿氏圆。若平面内两定点A、B间的距离为2，动点P与A、B距离 之比为2，当P、A、B不共线时，PAB面积的最大值是（）
6、 。 A、 3 2 B、 3 22 C、2 D、22 9南宋著名数学家杨辉在1261年所著的详解九章算法中首次提出“杨辉三角”，如图所示，这是数学史 上的一个伟大的成就。在“杨辉三角”中，已知每一行的数字之和构成的数列为等比数列且数列前n项和为 n S，1) 1(log5 2 nn Sb，将数列 n b中的整数项组成新的数列 n c，则 2020 c的值为（） 。 A、5043 B、5045 C、5046 D、5048 10 已知02ln 111 yxx，02ln242 22 yx， 记 2 21 2 21 )()(yyxxM， 则M的最小值为 （） 。 A、 5 2 B、 5 4 C、 5
7、8 D、 5 12 11现有一批大小不同的球体原材料，某工厂要加工出一个四棱锥零件，要求零件底面ABCD为正方形， 2AB， 侧面PAD为等边三角形， 线段BC的中点为E， 若1PE， 则所需球体原材料的最小体积为 （） 。 A、 3 28 B、 3 28 C、9 D、 3 314 12如图所示，半径为2的半圆有一内接梯形ABCD，它的下底AB为圆O的直径，上底CD的端点在圆周 上，若双曲线以A、B为焦点，且过C、D两点，则当梯形ABCD周长最大时，双曲线的实轴长为（） 。 文科数学 第 4页（共 21页） A、33 B、232 C、233 D、133 第卷 二、填空题（本题共 4 小题，每小
8、题 5 分，共 20 分） 13 已知函数)(xf和)2( xf都是奇函数， 定义域为R， 当)20( ，x时，xxxf sin)(， 则)13()21(ff 。 14如图所示，在ABC中，BCBD 3 1 ，点E在线段AD上移动(不含端点)，若ACABAE，则 ，2的最小值是。 15已知点)(yxP，是直线l：04 ykx(0k)上的动点，过点P作圆C：02 22 yyx的切线PA， A为切点。 若| PA最小为2时， 圆M：0 22 myyx与圆C外切， 且与直线l相切， 则m的值为。 16在数列 n a中，4 1 a、6 2 a，且当2n时，94 1 nn aa，则 n a；若 n T是
9、数列 n b的 前n项和， 1 )3(9 nn n n aa a b，则当) 8 7 )(3(5 1nn Ta 为整数时n。 三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17 （本小题满分 12 分） 某市“万达购物广场”五一期间举办“万达杯”游戏大赛。每人组成一队，编号为1、2、3、4、5，在其中的 投掷飞镖比赛中，要求随机抽取3名队员参加，每人投掷一次。假设飞镖每次都能投中靶面，且靶面上每点 被投中的可能性相同。某人投中靶面内阴影区域记为“成功”（靶面为圆形，ABCD为正方形） 。每队至少有 2人“成功”则可获得奖品（其中任何两位队员“成功”与否互
10、不影响） 。 （1）某队中有3男2女，求事件A：“参加投掷飞镖比赛的3人中有男有女”的概率； （2）求某队可获得奖品的概率。 文科数学 第 5页（共 21页） 18 （本小题满分 12 分） 在ABC中， 角A、B、C所对的边分别为a、b、c， 已知边2c， 且BbCBaAasinsin2sinsin。 （1）若AABC2sin)sin(sin，求ABC的面积； （2）记AB边的中点为M，求|CM的最大值，并说明理由。 文科数学 第 6页（共 21页） 19 （本小题满分 12 分） 如图所示，AB是圆O的直径， 点C是圆O上异于A、B的点，PO垂直于圆O所在的平面， 且1 OBPO。 （1）
11、若D为线段AC的中点，求证：AC平面PDO； （2）求三棱锥ABCP 体积的最大值； （3）若2BC，点E在线段PB上，求OECE 的最小值。 20 （本小题满分 12 分） 设函数xaxxfln)(，其中Ra，曲线)(xfy 在点() 1 (1f，)处的切线经过点)23( ，。 （1）求函数xaxxfln)(的极值； （2）证明： ee x xf x 2 )(。 文科数学 第 7页（共 21页） 21 （本小题满分 12 分） 如图所示， 1 F、 2 F分别是椭圆C：1 2 2 2 2 b y a x (0 ba)的左、右焦点，点P在椭圆C上。当 21PF F最 大时， 5 3 cos 2
12、1 PFF且2 212 FFPF。 （1）求椭圆C的标准方程； （2）直线 2 PF与椭圆C的另一交点为Q，过 1 F作直线PQ的垂线l，l与圆 222 byx交于A、B两点， 求四边形APBQ面积的最大值。 文科数学 第 8页（共 21页） 请考生在第 22、23 两题中任选一题作答注意：只能做所选定的题目.如果多做，则按所做的第一个题目计 分 22 （本小题满分 10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系xOy中，曲线 1 C的参数方程为 sin cos ty tx (t为参数且0t，) 2 0( ，)，曲线 2 C的参 数方程为 sin1 cos y x (为参数且) 2
13、2 ( ，)，以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 3 C 的极坐标方程为cos1() 2 0( ，)，曲线 4 C的极坐标方程为1cos。 （1）求 3 C与 4 C的交点到极点的距离； （2）设 1 C与 2 C交于P点， 1 C与 3 C交于Q点，当在) 2 0( ，上变化时，求|OQOP 的最大值。 23 （本小题满分 10 分）选修 4-5：不等式选讲 已知a、b大于0，设abx ， 2 22 ba y 。求证： （1）abxy ； （2）bayx。 文科数学 第 9页（共 21页） 2021 年高考数学模拟考场仿真演练卷（全国卷）02 文科数学全解全析 12345678
14、9101112 AADACDCDDBAB 1已知复数 1 z、 2 z在复平面内对应的点分别为) 11 ( ，、) 10( ，则 2 1 z z 的共轭复数为（） 。 A、i1 B、i1 C、i1 D、i1 【答案】A 【解析】由题意可知iz1 1 ，iz 2 ，则i i i z z 1 1 2 1 ，故选 A。 2已知p：0 1 2 | x x xAx，q：0|axxBx，若p是q的必要不充分条件，则实数a的取 值范围是（） 。 A、) 1(， B、 1(， C、)2， D、)2(， 【答案】A 【解析】由题意可知)2) 1(，A，)(aB，若p是q的必要不充分条件，则A B， 则1a，故选
15、 B。 3某市为最大限度的吸引“高精尖缺”人才，向全球“招贤纳士”，推进了人才引入落户政策。随着人口增多， 对住房要求也随之而来，而选择购买商品房时，佳户对商品房的户型结构越来越重视，因此某商品房调查 机构随机抽取n名市民， 针对其居住的户型结构和满意度进行了调查， 如图1调查的所有市民中四居室共200 户，所占比例为 3 1 ，二居室住户占 6 1 。如图2是用分层抽样的方法从所有调查的市民的满意中，抽取%10的 调查结果绘制成的统计图，则下列说法正确的是（） 。 A、样本容量为70 B、样本中三居室住户共抽取了25户 C、根据样本可估计对四居室满意的住户有70户 D、样本中对三居室满意的有
16、15户 文科数学 第 10页（共 21页） 【答案】D 【解析】A 选项，总体容量为600，样本容量为60%10600，错， B 选项，样本中三居室住户共抽取30%10300(户)，错， C 选项，对四居室满意的住户共有80%40200(户)，错， D 选项，样本中三居室住户有30%10300(户)， 对三居室满意的住户有15%5030(户)，对， 故选 D。 4 已知定义域为R的奇函数)(xf满足：0)()3(xfxf， 且当)0 2 3 (，x时， 1 12 )( 2 x x xf， 则)2021(f （） 。 A、 2 1 B、 2 1 C、1 D、2020 【答案】A 【解析】函数)(
17、xf为奇函数，)()(xfxf，)3()3(xfxf， 又0)()3(xfxf得)3()3()(xfxfxf， 即)()3(xfxf，)(xf的周期为3T， ) 1()2()26733()2021(ffff， 又当)0 2 3 (，x时， 1 12 )( 2 x x xf， 2 1 ) 1(f， 2 1 )2021(f，故选 A。 5运行如右图所示的程序框图，则输出的k的值为（） 。 A、11 B、12 C、13 D、14 【答案】C 【解析】由算法框图可知，S是首项为1，公比为2的等比数列的前n项和， 即12222 110 kk S， 12) 12(log 12 2 ，12)2(log) 1
18、2(log 12 2 13 2 ，13k，故选 C。 6高三上学期期末考试结束后，甲、乙、丙、丁四位同学不清楚自己的总分，仅打听到他们的总分在年级 的位次(按总分由高到低的顺序排列且四人总分均不相同)是2、5、7、9中的某一个，他们向数学老师打 文科数学 第 11页（共 21页） 听自己总分的具体位次，由于成绩暂时不能公布，老师只能给出如下答复：“命题p：甲、丙总分的位次之 和大于乙、丁总分的位次之和，命题q：丁的总分最高，命题r：四位同学中，甲的总分不是最低的，且 )( qp ，)( rq 均为真命题。”据此，下列判断错误的是（） 。 A、甲、乙总分的位次之和一定小于丙、丁总分的位次之和 B
19、、若丁总分的位次是7，则丙总分的位次一定是5 C、乙的成绩一定比其他三个都好 D、丙总分的位次可能是2 【答案】D 【解析】由题意可知，p是真命题，q、r是假命题， 于是甲、乙、丙、丁四位同学的总分对应的位次只能是)7529(，或)5729(， D 选项错误，故选 D。 7已知函数)(xf的部分图像如图所示，则该函数的解析式可能是（） 。 A、xxxfln)( B、 x exxf)( C、 x x xf ln )( D、 x e xf x )( 【答案】C 【解析】A 选项，1ln)(xxf，当) 1 0( e ，时)(xf递减，不符合， B 选项， x exxf) 1()(，当)1( ，时)
20、(xf递增，不符合， C 选项， 2 ln1 )( x x xf ，当)0(e，时)(xf递增，当)(，e时)(xf递减，符合， D 选项， 2 ) 1( )( x xe xf x ，当) 10( ，时)(xf递减，不符合， 故选 C。 8 阿波罗尼斯(约公元前 262-190 年)证明过这样一个命题： 平面内到两定点距离之比为常数k(0k且1k) 的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿氏圆。若平面内两定点A、B间的距离为2，动点P与A、B距离 之比为2，当P、A、B不共线时，PAB面积的最大值是（） 。 A、 3 2 B、 3 22 文科数学 第 12页（共 21页） C、2 D、22 【答案】
21、D 【解析】如图，以经过A、B的直线为x轴， 线段AB的垂直平分线为y轴，建系， 则)0 , 1(A、)0 , 1 (B，设)(yxP， 2 | | PB PA ，2 ) 1( ) 1( 22 22 yx yx ， 两边平方并整理得：016 22 xyx8)3( 22 yx， PAB面积的最大值是22222 2 1 ，故选 D。 9南宋著名数学家杨辉在1261年所著的详解九章算法中首次提出“杨辉三角”，如图所示，这是数学史 上的一个伟大的成就。在“杨辉三角”中，已知每一行的数字之和构成的数列为等比数列且数列前n项和为 n S，1) 1(log5 2 nn Sb，将数列 n b中的整数项组成新的
22、数列 n c，则 2020 c的值为（） 。 A、5043 B、5045 C、5046 D、5048 【答案】D 【解析】根据“杨辉三角的性质可得数列前n项和为：12 21 )21 (2 222 0 10 n n n n S， 151) 1(log5 2 nSb nn ， 此数列为4、9、14、19、24、29， 其中 n b的整数项为4、9、49、64、144、169、， 即2、3、7、8、12、13、， 其规律为各项之间以1、4、1、4、1、4、递增， 数列 n c是奇数项以5为公差，2为首项的等差数列， 偶数项以5为公差，3为首项的等差数列， 即35) 1(52 12 nnc n ，25
23、) 1(53 2 nnc n ，由20202 n得1010n， 5048 2020 c，故选 D。 10 已知02ln 111 yxx，02ln242 22 yx， 记 2 21 2 21 )()(yyxxM， 则M的最小值为 （） 。 文科数学 第 13页（共 21页） A、 5 2 B、 5 4 C、 5 8 D、 5 12 【答案】B 【解析】设)( 11 yxA，、)( 22 yxB，点A在函数2lnxxy上，点B在直线02ln242yx上， M的最小值为函数2lnxxy上的点到 直线02ln242yx的距离的最小值的平方， 函数2lnxxy的导数为1 1 x y， 与直线02ln24
24、2yx平行的直线的斜率为 2 1 ， 令 2 1 1 1 x y，解得2x，切点的坐标为)2ln2( ， 切点到直线02ln242yx的距离 5 2 21 |2ln242ln22| 22 d， 5 4 2 dM，故选 B。 11现有一批大小不同的球体原材料，某工厂要加工出一个四棱锥零件，要求零件底面ABCD为正方形， 2AB， 侧面PAD为等边三角形， 线段BC的中点为E， 若1PE， 则所需球体原材料的最小体积为 （） 。 A、 3 28 B、 3 28 C、9 D、 3 314 【答案】A 【解析】如图所示，设F为AD中点，G为正方形ABCD中心， 连EF、AC，GACEF， 设四棱锥的外
25、接球的球心为O，半径为r， 则球心O一定在过点G且垂直于底面ABCD的垂线上， 文科数学 第 14页（共 21页） EFOG ，1 FGEG，PAD是边长为2的等边三角形，3PF， 又1PE、2 ABEF，PEPF ， 60PEF，又1CEBEPE， E为PBC外心，则球心O一定在过点E且垂直于侧面PBC的垂线上， PEOE ， 30OEG， 3 3 3 3 EGOG， 又2 2 1 ACAG， 3 21 3 1 2 22 OGAGAOr， 此时球心O在四棱锥ABCDP 外，不是最小球，浪费材料， 可把底面ABCD的外心G看做最小球的球心，此时的球不是四棱锥ABCDP 的外接球， 但这时候原材
26、料最省，最小球的半径2 AGR， 3 28 3 4 3 RV球，故选 A。 12如图所示，半径为2的半圆有一内接梯形ABCD，它的下底AB为圆O的直径，上底CD的端点在圆周 上，若双曲线以A、B为焦点，且过C、D两点，则当梯形ABCD周长最大时，双曲线的实轴长为（） 。 A、33 B、232 C、233 D、133 【答案】B 【解析】2R，设ABCBAC，作ABCE 于点E， 则sin4sin2RBC， 22 sin4sin2)90cos(RBCBE ， 22 sin84sin422RCD， 则梯形周长 2 sin84sin4222RCDBCAB 8sin8sin8sin84sin84 22
27、 10) 2 1 (sin8 2 ， 当 2 1 sin，即 30时周长有最大值10，这时2 RBC， 323RAC，13) 13( 2 1 )( 2 1 RBCACa， 双曲线的实轴长a2为232，故选 B。 13 已知函数)(xf和)2( xf都是奇函数， 定义域为R， 当)20( ，x时，xxxf sin)(， 则)13()21(ff 。 【答案】0 文科数学 第 15页（共 21页） 【解析】由)(xf和)2( xf都是奇函数可知：)()(xfxf，)2()2()2(xfxfxf， 则)4()(xfxf，故)(xf是周朝为4的奇函数， 则) 1 () 1()21(fff，) 1 ()1
28、3(ff，则0)13()21(ff。 14如图所示，在ABC中，BCBD 3 1 ，点E在线段AD上移动(不含端点)，若ACABAE，则 ，2的最小值是。 【答案】2 16 1 【解析】ABACBC，BCBD 3 1 ，ACABBDABAD 3 1 3 2 ， 点E在线段AD上移动(不含端点)，设ADtAE ，10 t， 则ACABADtAE，AC t AB t AD ， 对应相等得 3 2 t 、 3 1 t ，t 3 2 、t 3 1 ，则2 ， 又 16 1 ) 4 1 3 2 ( 3 1 ) 3 2 ( 222 ttt，当 8 3 t时2取最小值为 16 1 。 15已知点)(yxP，
29、是直线l：04 ykx(0k)上的动点，过点P作圆C：02 22 yyx的切线PA， A为切点。 若| PA最小为2时， 圆M：0 22 myyx与圆C外切， 且与直线l相切， 则m的值为。 【答案】252 【解析】圆C的圆心为) 10(，C，半径为1， 当CP与l垂直时，| PA的值最小，此时点C到直线l的距离为 2 1 |41 | k d ， 由勾股定理得 2 2 22 ) 1 |41 | (21 k ，又0k，解得2k， 圆M的圆心为) 2 0( m M，半径为| 2 | m ， 圆M与圆C外切，| ) 1( 2 |1| 2 | mm ，0m， 圆M与直线l相切， 5 |4 2 | 2
30、m m ，解得252m。 16在数列 n a中，4 1 a、6 2 a，且当2n时，94 1 nn aa，则 n a；若 n T是数列 n b的 前n项和， 1 )3(9 nn n n aa a b，则当) 8 7 )(3(5 1nn Ta 为整数时n。 文科数学 第 16页（共 21页） 【答案】 2343 14 2 n n n ， ， 24 【解析】当2n时，由94 1 nn aa得)3(43 1 nn aa， 故数列3 n a从第二项起是首项为3，公比为4的等比数列， 则当2n时，343 2 n n a，又当1n时 1 a不符合该式，则 2343 14 2 n n a n n ， ， ，
31、 当1n时， 8 3 11 bT，ZTa 2 15 ) 8 7 )(3(5 12 ，不符合题意， 当2n时， 14 1 14 1 ) 14() 14( 43 )343()343( )3343(9 1212 2 12 2 nnnn n nn n n b， 此时 14 1 8 7 ) 14 1 14 1 () 14 1 14 1 ( 8 3 1121222 321 nnn nn bbbbT， 则 14 15 15 14 1 435 11 1 nn n ，由是整数，得14 1 n 是15的因数， 当且仅当2n时， 14 15 1 n 是整数，得12，故24n。 17 （12 分）某市“万达购物广场”
32、五一期间举办“万达杯”游戏大赛。每人组成一队，编号为1、2、3、4、 5，在其中的投掷飞镖比赛中，要求随机抽取3名队员参加，每人投掷一次。假设飞镖每次都能投中靶面， 且靶面上每点被投中的可能性相同。 某人投中靶面内阴影区域记为“成功” （靶面为圆形，ABCD为正方形） 。 每队至少有2人“成功”则可获得奖品（其中任何两位队员“成功”与否互不影响） 。 （1）某队中有3男2女，求事件A：“参加投掷飞镖比赛的3人中有男有女”的概率； （2）求某队可获得奖品的概率。 【解答】 （1）假设某队中1、2、3号为男性，4、5号为女性， 在从5人中抽取3人的所有可能情况有： )321 (，、)421 (，、
33、)521 (，、)431 (，、)531 (，、)541 (，、 )432(，、)532(，、)542(，、)543(，共10个基本事件，3 分 其中事件A包括)321 (，一种情况， 10 9 10 1 1)(1)(APAP；5 分 （2）由图可知OMOD2， 设事件 i A表示第i个人成功，则 4 1 2 1 )( 2 2 OD OM AP i ，1i、2、3，8 分 设事件B表示某队可获得奖品，即至少有2人“成功”， 则)()()()()( 321321321321 AAAPAAAPAAAPAAAPBP 文科数学 第 17页（共 21页） 32 5 4 3 4 1 4 1 4 1 4 3
34、 4 1 4 1 4 1 4 3 4 1 4 1 4 1 。12 分 18（12 分） 在ABC中， 角A、B、C所对的边分别为a、b、c， 已知边2c， 且CBaAasin2sinsin Bb sin。 （1）若AABC2sin)sin(sin，求ABC的面积； （2）记AB边的中点为M，求|CM的最大值，并说明理由。 【解析】 （1）在ABC中，CBA，2c，BbCBaAasinsin2sinsin， BbCcBaAasinsinsinsin，1 分 则由正弦定理得： 222 bcaba，即abcba 222 ，2 分 由余弦定理得： 2 1 2 cos 222 ab cba C，则 3
35、C，3 分 AABC2sin)sin(sin， AAABBAcossin2)sin()sin(， AABABABABAcossin2sincoscossinsincoscossin， AABAcossin2sincos2， 0cosA或ABsinsin，即 2 A或BA ，5 分 当 2 A时， 6 B， 3 32 3 3 2 6 tan cb， 3 32 2 3 32 2 1 2 1 bcS ABC ，6 分 当BA 时，ABC为正三角形，2cba， 3 2 3 22 2 1 sin 2 1 AbcS ABC ；7 分 （2）AB边的中点为M，)( 2 1 CBCACM， |)|2|(| 4
36、 1 | 222 CBCACBCACM )( 4 1 )cos2( 4 1 2222 abbaCabab，9 分 由余弦定理可知：Cabbaccos2 222 ，2c， 3 C，4 22 abba， 1 2 1 )42( 4 1 | 2 ababCM， 又abba2 22 ，abab24，4ab，11 分 文科数学 第 18页（共 21页） 3| 2 CM，3|CM，故|CM的最大值为3。12 分 19 （12 分）如图所示，AB是圆O的直径，点C是圆O上异于A、B的点，PO垂直于圆O所在的平面， 且1 OBPO。 （1）若D为线段AC的中点，求证：AC平面PDO； （2）求三棱锥ABCP 体
37、积的最大值； （3）若2BC，点E在线段PB上，求OECE 的最小值。 【解析】 （1）证明：在AOC中，OCOA ，D为AC的中点，ODAC ，1 分 又PO垂直于圆O所在的平面，ACPO ， OPODO，AC平面PDO；3 分 （2） 点C是圆O上， 当ABCO 时，C到AB的距离最大， 且最大值为半径1， 又2AB， ABC的面积的最大值为112 2 1 ，5 分 又三棱锥ABCP 的高1PO，故三棱锥ABCP 体积的最大值为 3 1 11 3 1 ；6 分 （3）在POB中，1 OBPO， 90POB，211 22 PB， 同理2PC，2BCPCPB，8 分 在三棱锥ABCP 中， 将
38、侧面BCP绕PB旋转至平面PC B ，使之与平面ABP共面，如图， 当O、E、C共线时，OECE 取得最小值，10 分 又OBOP ，BCPC，C O 垂直平分PB，即E为PB中点， 从而 2 62 2 6 2 2 CEOECO，即OECE 的最小值为 2 62 。 12 分 20 （12 分）设函数xaxxfln)(，其中Ra，曲线)(xfy 在点() 1 (1f，)处的切线经过点)23( ，。 （1）求函数xaxxfln)(的极值； （2）证明： ee x xf x 2 )(。 【解析】 （1）)(xf的定义域为)0(，axaxfln)( ，1 分 则0) 1 (f，af ) 1 ( ，故
39、)(xfy 在() 1 (1f，)处的切线方程) 1( xay，2 分 文科数学 第 19页（共 21页） 该切线经过点)23( ，代入得) 13(2 a，解得1a，3 分 xxxfln)(，1ln)( xxf， 当 e x 1 0时，0)( x f，函数单调递减，当 e x 1 时，0)( xf，函数单调递增，5 分 故当 e x 1 时，函数取得极小值 ee f 1 ) 1 (，无极大值；6 分 （2） ee x xf x 2 )(等价于：0 2 ln ee x xx x ， 由（1）可得 e xxxf 1 ln)(当且仅当 e x 1 时等号成立)， xx e x eee x xx 12
40、 ln，故只要证明0 1 x e x e 即可，(需验证等号不同时成立)，9 分 设 x e x e xg 1 )(，0 x，则 x e x xg 1 )( ， 当10 x时，0)( x g，函数单调递减，当1x时，0)( x g，函数单调递增， 0) 1 ()( gxg，当且仅当1x时等号成立， 等号不同时成立，当0 x时， ee x xf x 2 )(。12 分 21 （12 分）如图所示， 1 F、 2 F分别是椭圆C：1 2 2 2 2 b y a x (0 ba)的左、右焦点，点P在椭圆C上。 当 21PF F最大时， 5 3 cos 21 PFF且2 212 FFPF。 （1）求椭
41、圆C的标准方程； （2）直线 2 PF与椭圆C的另一交点为Q，过 1 F作直线PQ的垂线l，l与圆 222 byx交于A、B两点， 求四边形APBQ面积的最大值。 【解析】 （1）当 21PF F最大时，点P与椭圆C的上顶点或下顶点重合， 设)0(bP ，则 5 3 2 )2( cos 222 21 aa caa PFF，1 分 22)02()( 2 212 ccbcFFPF，2 分 由得1 2 c，5 2 a，于是4 222 cab，3 分 椭圆C的标准方程是1 45 22 yx ；4 分 文科数学 第 20页（共 21页） （2）当直线PQ的斜率不存在时，4|AB， 5 58 |PQ， 则
42、四边形APBQ的面积是 5 516 ，5 分 当直线PQ的斜率存在时，设直线PQ的方程为) 1( xky，)( 11 yxP，、)( 22 yxQ， 将) 1( xky与1 45 22 yx 联立并消去y，整理得020510)45( 2222 kxkxk， 0恒成立，则 45 10 2 2 21 k k xx， 45 205 2 2 21 k k xx，7 分 则 45 ) 1(58 4)(1| 2 2 21 2 21 2 k k xxxxkPQ， 由于直线l与直线PQ垂直，且经过点 1 F，直线l的方程为01 kyx， 点O到直线l的距离为 1 1 2 k ， 1 34 2) 1 1 (2|
43、 2 2 2 2 2 k k k bAB，9 分 则四边形APBQ的面积： 34 1 1 34 58 45 34158 | 2 1 2 2 2 2 2 22 k k k k k kk PQABS， 由于)23 1 1 4 1 34 22 2 ， kk k ，) 2 5 3 34 34 1 1 34 2 2 2 2 ， k k k k ， 于是152 5 516 (，S(当0k时取得最大值)，11 分 综上可知，四边形APBQ面积的最大值为152。12 分 22 （10 分）在平面直角坐标系xOy中，曲线 1 C的参数方程为 sin cos ty tx (t为参数且0t，) 2 0( ，)， 曲
44、线 2 C的参数方程为 sin1 cos y x (为参数且) 22 ( ，)，以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐 标系，曲线 3 C的极坐标方程为cos1() 2 0( ，)，曲线 4 C的极坐标方程为1cos。 （1）求 3 C与 4 C的交点到极点的距离； （2）设 1 C与 2 C交于P点， 1 C与 3 C交于Q点，当在) 2 0( ，上变化时，求|OQOP 的最大值。 【解析】 （1）联立曲线 3 C、 4 C的极坐标方程 1cos ) 2 , 0(cos1， 得01 2 ， 文科数学 第 21页（共 21页） 解得 2 51 ，即交点到极点的距离为 2 51 ；2 分 （2）
45、曲线 1 C的极坐标方程为，() 2 0( ，0)， 曲线 2 C的极坐标方程为sin2，) 2 0( ，联立得sin2，) 2 0( ， 即sin2|OP，) 2 0( ，5 分 曲线 1 C与曲线 3 C的极坐标方程联立得cos1() 2 0( ，)， 即cos1|OQ，) 2 0( ， 1)sin(5cos1sin2| OQOP，其中2tan，8 分 当 k2 2 () 2 0( ，Zk )， 即 5 52 arcsin时，|OQOP 取最大值为15 。10 分 23 （10 分）已知a、b大于0，设abx ， 2 22 ba y 。求证： （1）abxy ； （2）bayx。 【解析】 （1）证明：0a、0b，且abba2 22 ，ab ba 2 22 ，则0 2 22 ab ba ， ab ba abxy 2 22 ，当且仅当ba 时，等号成立；4 分 （2）证明：0a、0b，欲证bayx，即baab ba 2 22 ， 只需证明 22 2222 2 2 2 2 baba ba abab ba ，7 分 也就是证明ab baba ab 22 2 2222 ，即证0) 2 ( 2 22 ab ba ， 显然此式成立，当且仅当ab ba 2 22 ，即ba 时等号成立， 故原不等式bayx成立。10 分
