1、北师大版北师大版 八年级八年级 数学数学 下下册册 1.还还记得什么是记得什么是方程的解方程的解吗吗？ 使方程左右两边相等的未知数的值，叫做方程的使方程左右两边相等的未知数的值，叫做方程的解解. 2.还还记得记得求解一元一次方程求解一元一次方程的基本的基本步骤步骤吗？吗？ 二元一次方程组二元一次方程组 转化转化 一元一次方程一元一次方程 3.二二元一次方程组元一次方程组呢？呢？ 去分母去分母、去、去括号括号、移项、合并、移项、合并同类项、系数化为同类项、系数化为1 加减消元法加减消元法、代入消元法、代入消元法 导入新知导入新知 4. 解一元一次方程解一元一次方程 1 1. 23 xx 解：解：
2、3x-2（x+1）=6 3x-2x=6+2 x=8. 导入新知导入新知 1. 掌握掌握可化为一元一次方程的分式方程的可化为一元一次方程的分式方程的解解 法法. . 2. 理解理解分式方程产生分式方程产生增根增根的原因，掌握分式的原因，掌握分式 方程方程验根验根的方法的方法. . 素养目标素养目标 分式方程分式方程 转化转化 整式方程整式方程 思考：思考：你你能设法求出上一节课列出的分式方程能设法求出上一节课列出的分式方程 的的解吗？解吗？ 9 8 . 2 1400 - 1400 = xx 探究新知探究新知 知识点 分式方程的解法分式方程的解法 xx xx 8 . 298 . 2) 8 . 2
3、1400 - 1400 (= xx x x x 8 . 298 . 2 8 . 2 1400 -2.8 1400 = x8 . 291400-8 . 21400= 25202 .25=x 100=x 9 8 . 2 1400 - 8 . 2 8 . 21400 = xx 9 8 . 2 1400-8 . 21400 = x x8 . 291400-8 . 21400= xx x 8 . 298 . 2 8 . 2 1400-8 . 21400 = 9 8 . 2 1400 - 1400 = xx （1）分析：）分析： 探究新知探究新知 方程可化为方程可化为 两边都两边都乘乘 ，得，得 化简，化
4、简，得得 解得解得 解解： 9 500 - 1400 = xx 9 900 = x 100=x 9009 =x xx x x x 9 500 - 1400 = x9500-1400= x 9 500-1400 = x 先约分，再去分母先约分，再去分母,可以使计可以使计 算简便算简便 9 8 . 2 1400 - 1400 = xx xx x =9 900 9009 =x 100=x （2）计算：）计算： 探究新知探究新知 2 .你你能试着解这个分式方程吗？能试着解这个分式方程吗？ （2）怎样）怎样去分母去分母？ （3）在方程两边乘什么样的式子才能把每一个分母）在方程两边乘什么样的式子才能把每一
5、个分母都约去都约去？ （4）这样做的）这样做的依据依据是什么？是什么？ 解分式方程最关键的问题是什么？解分式方程最关键的问题是什么？ （1）如何把它）如何把它转化转化为整式方程呢？为整式方程呢？ “去分母去分母” 9060 30+30 xx 探究新知探究新知 方程各分母最简公分母是：方程各分母最简公分母是：（30+x）( (30-x) ). 解：解：方程方程两边同乘两边同乘（30+x)()(30-x) )，得，得 检验：检验：将将x=6代入原分式方程中，左边代入原分式方程中，左边= =右边，右边， 因此因此x=6是原分式方程的解是原分式方程的解. 90（30-x) )=60( (30+x) )
6、， 9 06 0 3 0 +3 0 xx 解得解得 x=6. x=6是原分式方程的解吗？是原分式方程的解吗？ 5 2 探究新知探究新知 将将分式方程分式方程化为化为整式方程整式方程，具体做法是，具体做法是“去分母去分母” 即即 方程两边同乘方程两边同乘最简公分母最简公分母.这也是解分式方程的一般方法这也是解分式方程的一般方法. 解分式方程的基本解分式方程的基本思路思路 结论结论 探究新知探究新知 3.下面下面我们再讨论一个分式方程：我们再讨论一个分式方程： 2 110 525xx 解：解：方程两边同乘方程两边同乘(x+5)(x-5)，得，得 x+5=10， 解得解得 x=5. x=5是是原分式
7、原分式 方程方程的解吗？的解吗？ 探究新知探究新知 检验：检验：将将x=5代入原方程中，分母代入原方程中，分母x-5和和x2-25的值都为的值都为0， 相应的分式无意义相应的分式无意义.因此因此x=5虽是整式方程虽是整式方程x+5=10的解，的解， 但不是原但不是原分式方程分式方程 的解，实际上，这的解，实际上，这 个分式方程个分式方程无解无解. 2 110 525xx 探究新知探究新知 想一想：想一想： 上面两个分式方程中，为什么上面两个分式方程中，为什么 去分母后所得整式方程的解就去分母后所得整式方程的解就是是原分式方程的解，原分式方程的解， 而而 去去分母后所得整式方程的解分母后所得整式
8、方程的解却却 不是不是原分式方程的解呢？原分式方程的解呢？ 9060 30+30 xx 2 110 525xx 探究新知探究新知 结论：结论：分式分式两边同乘了不为两边同乘了不为0的式子的式子,所得整式方程的解与分式所得整式方程的解与分式 方程的解相同方程的解相同. 我们再来观察去分母的过程我们再来观察去分母的过程: 90( (30-x) )=60( (30+x) ) 两边同乘两边同乘( (30+x)()(30-x) ) 当当x=6时时,( (30+x)()(30-x) )0 9060 30+30 xx 探究新知探究新知 结论：结论：分式分式两边同乘了等于两边同乘了等于0的式子的式子,所得整式
9、方程的解使所得整式方程的解使 分母为分母为0,这个整式方程的解就不是原分式方程的解这个整式方程的解就不是原分式方程的解. x+5=10 两边同乘两边同乘( (x+5)()(x-5) ) 当当x=5时时, ( (x+5)()(x-5) )=0 2 110 525xx 我们称它为原方程的我们称它为原方程的增增根根. 探究新知探究新知 解解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原原 方程的分母为方程的分母为0，所以分式方程的解必须检验，所以分式方程的解必须检验 分式方程解的检验分式方程解的检验-必不可少的步骤必不可少的步骤 检验方法：检验方法： 将整
10、式方程的解代入将整式方程的解代入最简公分母最简公分母，如果最简公分母的值不，如果最简公分母的值不 为为0，则整式方程的解是原分式方程的解；否则，这个解不是，则整式方程的解是原分式方程的解；否则，这个解不是 原分式方程的解原分式方程的解. 结论结论 探究新知探究新知 方法方法总结总结 分式方程无解分式方程无解与与分式方程有增根分式方程有增根所表达的意义是不一所表达的意义是不一 样的分式方程有增根仅仅针对样的分式方程有增根仅仅针对使最简公分母为使最简公分母为0的数，的数， 分式方程无解不但包括分式方程无解不但包括使最简公分母为使最简公分母为0的数，而且还包的数，而且还包 括分式方程化为整式方程后，
11、使括分式方程化为整式方程后，使整式方程无解整式方程无解的数的数 探究新知探究新知 1.在方程的两边都乘以最简公分母，约去分母，在方程的两边都乘以最简公分母，约去分母，化成整式方程化成整式方程. 2.解解这个整式方程这个整式方程. 3.把整式方程的解代入把整式方程的解代入最简公分母最简公分母，如果，如果最简公分母的值不为最简公分母的值不为 0，则整式方程的解是原分式方程的解，否则须，则整式方程的解是原分式方程的解，否则须舍去舍去. 4.写出原方程的根写出原方程的根. 简记为：简记为：“一化二解三检验一化二解三检验”. “去分母法去分母法”解分式方程的步骤解分式方程的步骤结论结论 探究新知探究新知
12、 用框图的方式总结为：用框图的方式总结为： 分式方程分式方程 整式方程整式方程 去分母去分母 解整式方程解整式方程 x =a 检验检验 x =a是分式是分式 方程的解方程的解 x =a不是分式不是分式 方程的解方程的解 x =a 最简公分母是最简公分母是 否为零？否为零？ 否否是是 探究新知探究新知 5.解解分式方程容易犯的错误主要有：分式方程容易犯的错误主要有： （1）去）去分母时，原方程的整式部分分母时，原方程的整式部分漏乘漏乘 （2）约）约去分母后，分子是多项式时，去分母后，分子是多项式时， 要注意要注意添括号添括号 （3）增增根根不舍掉不舍掉. （4）符号符号问题问题. 探究新知探究新
13、知 解方程解方程 ( (1) ) ( (2) ) 2- -2 1 2- -1 xx x = xx 3 2- 1 = 检验检验：将将x=3代入原方程，得代入原方程，得 左边左边=1，右边，右边=1，左边，左边=右边右边. 所以所以，x=3是原方程的根是原方程的根. （2）方程两边都乘）方程两边都乘 , 得得 解这个方程，得解这个方程，得 x=2. =)2-(2-1-1xx 检验检验：当当 x=2时，时，x-2=0, x=2是原方程的增根，是原方程的增根， 所以所以，原方程无，原方程无解解. 解：解：（1）方程两边都）方程两边都乘乘 , 得得 x=3 解解这个方程这个方程 ，得，得 x=3. )2
14、-(x )2-(x)2-(xx 分式方程分式方程的解法的解法素养考点素养考点 1 探究新知探究新知 解：解： 例例1 u( (1) )把把未知数的值代入原方程未知数的值代入原方程(一般方法一般方法); u( (2) )把把未知数的值代入最简公分母未知数的值代入最简公分母(简便方法简便方法). 检验检验 方法方法 分式方程分式方程整式方程整式方程 x=a a 是是分式分式 方程的根方程的根 a 不不是是分式方程的根分式方程的根 （a是分式方程的增根）是分式方程的增根） 目目 标标 去分母去分母 解整式方程解整式方程 最简公分最简公分 母为母为0 最简公分最简公分 母不为母不为0 这里的检验要这里
15、的检验要 以解整式方程以解整式方程 正确为前提正确为前提 注意：注意： 探究新知探究新知 解方程：解方程： 480600 45. 2xx -= 方程两边方程两边都乘都乘2x，得，得 960-600=90 x. 解这个方程解这个方程,得得 x=4. 经经检验检验，x4是原方程的根是原方程的根. 解：解： xx xx 2452) 2 600 - 480 (= xx x x x 2452 2 600 -2 480 = 例2 探究新知探究新知 解解分式方程分式方程 ，去分母得去分母得( ( ) ) A B C D xx-1 3 2- 1- 1 = 3-1-2-1=）（x 31-2-1=）（x 3-2-
16、2-1=x 322-1=+x A 巩固练习巩固练习 变式训练变式训练 下列下列关于分式方程增根的说法正确的是关于分式方程增根的说法正确的是( ( ) ) A使所有的分母的值都为零的解是增根使所有的分母的值都为零的解是增根 B分式方程的解为分式方程的解为0就是增根就是增根 C使最简公分母的值为使最简公分母的值为0的解是增根的解是增根 D使分子的值为使分子的值为0的解就是增根的解就是增根 C 巩固练习巩固练习 变式训练变式训练 当当m=_时时,解解分式方程分式方程 会出现增根会出现增根. 5 33 xm xx 2 已知分式方程根的情况求待定字母已知分式方程根的情况求待定字母素养考点素养考点 2 探
17、究新知探究新知 例例3 解析解析：方程方程两边两边都都乘乘( (x-3) )，得，得 x-5=-m， 解这个解这个方程，得方程，得 x=5-m， 若若x是方程的增根，则有是方程的增根，则有x=3，即，即5-m=3，解得，解得m=2. 方法方法总结总结 分式方程分式方程的的增根增根 1.确定确定分式方程增根的分式方程增根的方法方法:使得分式方程的使得分式方程的分母为零分母为零的未知数的未知数 的值的值. 2.产生增根的产生增根的原因原因:在方程的两边同乘了一个使分母为零的整式在方程的两边同乘了一个使分母为零的整式. 3.分式方程分式方程无解无解的两种情况的两种情况: (1)由分式方程转化得到的整
18、式方程的解由分式方程转化得到的整式方程的解,使得使得最简公分母为零最简公分母为零, 此时分式方程有增根此时分式方程有增根. (2)由分式方程转化的由分式方程转化的整式方程无解整式方程无解,此时分式方程也无解此时分式方程也无解. 探究新知探究新知 若关于若关于x的的分式方程分式方程 无解，求无解，求m的值的值 分析分析：先把分式方程先把分式方程化为整式方程化为整式方程，再分两种情况讨，再分两种情况讨 论求解：一元一次方程论求解：一元一次方程无解无解与分式方程有与分式方程有增根增根 巩固练习巩固练习 变式训练变式训练 2 23 242 mx xxx 解：解：方程两边都乘以方程两边都乘以( (x2)
19、()(x2) )得得2( (x2) )mx3( (x2) )， 即即( (m1) )x10. 当当m10时时，此方程，此方程无解无解，此时，此时m1； 方程有增根方程有增根，则，则x2或或x2， 当当x2时，代入时，代入( (m1) )x10得得( (m1) )210，m4； 当当x2时，代入时，代入( (m1) )x10得得( (m1) )( (2) )10， 解得解得m6， m的值是的值是1，4或或6. 巩固练习巩固练习 连接中考连接中考 （2020海南）分式方程海南）分式方程 的解是的解是 ( ( ) ) A. x=-1B. x=1 C. x=5D. x=2 C 3 1 2x 1.关于关
20、于x的方程的方程 的的解为解为x=1,则则a=( ( ) ) A. 1B. 3C. -1D. -3 233 4 ax ax D 2.关于关于x的分式方程的分式方程 +5= 有增根有增根,则则m的值的值为为 ( ( ) ) A.5B.4C.3D.1 7 1 x x 21 1 m x B 课堂检测课堂检测 基 础 巩 固 题基 础 巩 固 题 3.若若关于关于x的分式方程的分式方程 =2的解为非负数的解为非负数,则则m的取值的取值范围是范围是 _. 1 1 m x m-1且且m1 4. 解解分式方程分式方程 时，去分母后得到的整式时，去分母后得到的整式 方程是方程是（ ） A. 2（x-8) )+
21、5x=16( (x-7) ) B. 2( (x-8) )+5x=8 C. 2( (x-8) )-5x=16( (x-7) ) D. 2( (x-8) )-5x=8 85 8 71 42 xx xx A 课堂检测课堂检测 基 础 巩 固 题基 础 巩 固 题 5.解方程解方程： 5 4.( 32 2 23 ) x xx ( 4 ) 3 1 1xx ； 方程两边都乘方程两边都乘x( (x1) )， 得得 3x4( (x1) ) 解这个方程，得解这个方程，得x4. 检验：将检验：将x4代入原方程，代入原方程， 得左边得左边1右边右边 所以，所以，x4是原方程的根是原方程的根 解：解：方程两边都乘方程
22、两边都乘2x3， 得得x54( (2x3) ) 解这个方程，得解这个方程，得x1. 检验：将检验：将x1代入原方程，代入原方程， 得左边得左边4右边右边 所以，所以，x1是原方程的根是原方程的根 课堂检测课堂检测 解：解： 基 础 巩 固 题基 础 巩 固 题 ( (3) ) 方程两边都乘方程两边都乘 ( (x+1)()(x-1) )， 得得 2( (x-1) )+3( (x+1) )6 解这个方程，得解这个方程，得x1. 检验：当检验：当x1时，时， ( (x+1)()(x-1) )=0， 所以，所以，x1是原方程的増根是原方程的増根， 所以，所以，原方程无原方程无解解. 解：解： 1- 6
23、 1- 3 1 2 2 xxx =+ + 课堂检测课堂检测 1.关于关于x的方程的方程 的的解是正数，则解是正数，则a的取值范围是的取值范围是 _ 解析：去分母解析：去分母得得,2xax1，解得，解得xa1.关于关于 x的的方程方程 的解是正数，的解是正数，x0且且x1.a1 0且且a11，解得，解得a1且且a2.a的取值范围是的取值范围是a 1且且a2. a1且且a2 2 1 1 xa x 2 1 1 xa x 课堂检测课堂检测 能 力 提 升 题能 力 提 升 题 2.若关于若关于x的方程的方程 有有增根，求增根，求m的值的值. 2 2 22 xm xx 解：解：方程两边方程两边同乘以同乘
24、以x-2，得，得 2-x+m=2x-4, 合并同类项合并同类项,得得3x=6+m, m=3x-6. 该分式方程有增根，该分式方程有增根， x=2，m=0. 课堂检测课堂检测 能 力 提 升 题能 力 提 升 题 若若关于关于x的分式方程的分式方程 =m-3无解无解,求求m的的值值. 15 21 m x x （） 解解:分式方程分式方程去分母去分母得得:m( (x+1) )-5=( (m-3)()(2x+1) ), 整理整理得得:mx+m-5=( (2m-6) )x+m-3,即即( (m-6) )x=-2, 当当m-6=0,即即m=6时时,方程无解方程无解; 由由分式方程有增根分式方程有增根,得
25、到得到2x+1=0,即即x=- , 把把x=- 代入整式方程得代入整式方程得:m=10, 综上综上,m的值为的值为6或或10. 1 2 1 2 课堂检测课堂检测 拓 广 探 索 题拓 广 探 索 题 分式分式 方程的方程的 解法解法 容易容易 犯的犯的 错误错误 ( (1) )去分母时，原方程的整式部分去分母时，原方程的整式部分漏乘漏乘 步骤步骤 （ 去 分（ 去 分 母 法 ）母 法 ） 一化一化（分式方程转化为整式方程）；（分式方程转化为整式方程）； 二解二解（整式方程）；（整式方程）； 三检验三检验（代入最简公分母看是否为零）（代入最简公分母看是否为零） ( (2) )约去分母后，分子是多项式时约去分母后，分子是多项式时,没有没有 添括号添括号(因分数线有括号的作用）因分数线有括号的作用） ( (3) )忘记忘记检验检验 课堂小结课堂小结 课后作业课后作业 作业 内容 教材作业 从课后习题中选取从课后习题中选取 自主安排 配套练习册练习配套练习册练习
