1、 1 2019 年北京市中考数学试卷年北京市中考数学试卷 一.选择题 （本题共 16 分， 每小题 2 分） 第 1-8 题均有四个选项， 符合题意的选项只有一个 14 月 24 日是中国航天日，1970 年的这一天，我国自行设计、制造的第一颗人造地球卫星 “东方红一号”成功发射， 标志着中国从此进入了太空时代， 它的运行轨道， 距地球最近点 439 000 米将 439 000 用科学记数法表示应为（ ） A.0.439 106 B.4.39 106 C.4.39 105 D.139 103 【解析】本题考察科学记数法较大数， N a 10中要求10|1 a，此题中5,39. 4Na，故 选
2、 C 2下列倡导节约的图案中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【解析】本题考察轴对称图形的概念，故选 C 3正十边形的外角和为（ ） A.180 B.360 C.720 D.1440 【解析】多边形的外角和是一个定值 360 ，故选 B 4 在数轴上， 点 A， B 在原点 O 的两侧， 分别表示数 a， 2， 将点 A 向右平移 1 个单位长度， 得到点 C若 CO=BO，则 a 的值为（ ） A.-3 B.-2 C.-1 D.1 【解析】本题考察数轴上的点的平移及绝对值的几何意义.点 A 表示数为 a，点 B 表 示数为 2， 点 C 表示数为 a+1， 由题意可知， a0
3、， CO=BO， 2| 1|a， 解得1a （舍）或3a，故选 A 5 已知锐角AOB 如图， （1） 在射线 OA 上取一点 C， 以点 O 为圆心， OC 长为半径作PQ，交射线 OB 于点 D，连接 CD； （2）分别以点 C，D 为圆心，CD 长为半径作弧，交PQ于点 M，N； （3）连接 OM，MN 根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是（ ） A.COM=COD B.若 OM=MN，则AOB=20 C.MNCD D.MN=3CD 【解析】连接 ON，由作图可知 COMDON. A. 由 COMDON.，可得COM=COD，故 A 正确. B. 若 OM=MN，则 OMN 为
4、等边三角形，由全等可知COM=COD=DON=20 ，故 B 正确 C.由题意，OC=OD，OCD= 2 COD180 .设 OC 与 OD 与 MN 分别交于 R，S，易证 MORNOS，则 OR=OS，ORS= 2 COD180 ，OCD=ORS.MNCD， 故 C 正确. D.由题意，易证 MC=CD=DN，MC+CD+DN=3CD.两点之间线段最短.MN MC+CD+DN=3CD，故选 D 6如果1mn，那么代数式 22 2 21mn mn mmnm 的值为（ ） A.-3 B.-1 C.1 D.3 【解析】 ： 22 2 21mn mn mmnm N M D OB C P Q A 3
5、 )( )()( 2 nmnm nmm nm nmm nm )( 3)( )( 3 nmnmnm nmm m 1nm 原式=3，故选 D 7用三个不等式ab，0ab， 11 ab 中的两个不等式作为题设，余下的一个不等式作 为结论组成一个命题，组成真命题的个数为（ ） A.0 B.1 C.2 D.3 【解析】本题共有 3 种命题： 命题，如果0,abba，那么 ba 11 . ba ，0ba，0ab，0 ab ba ，整理得 ab 11 ，该命题是真命题. 命题，如果, 11 , ba ba那么0ab. , 11 ba . 0, 0 11 ab ab ba ba ，0ab，0ab. 该命题为真
6、命题. 命题，如果 ba ab 11 , 0，那么ba . , 11 ba . 0, 0 11 ab ab ba 0ab，0ab，ab 该命题为真命题. 故，选 D 8某校共有 200 名学生，为了解本学期学生参加公益劳动的情况，收集了他们参加公益劳 动时间（单位：小时）等数据，以下是根据数据绘制的统计图表的一部分 学 生 类 型 人数 时间 010t 1020t 2030t 3040t 40t 性 别 男 7 31 25 30 4 女 8 29 26 32 8 学 段 初中 25 36 44 11 高中 21.8 27.0 25.5 24.5 人均参加公益劳动时间人均参加公益劳动时间/小时小
7、时 高中生高中生初中生初中生女生女生男生男生 学生类别学生类别 5 10 15 20 25 30 0 5 下面有四个推断： 这 200 名学生参加公益劳动时间的平均数一定在 24.5-25.5 之间 这 200 名学生参加公益劳动时间的中位数在 20-30 之间 这 200 名学生中的初中生参加公益劳动时间的中位数一定在 20-30 之间 这 200 名学生中的高中生参加公益劳动时间的中位数可能在 20-30 之间 所有合理推断的序号是（ ） A. B. C. D. 【解析】由条形统计图可得男生人均参加公益劳动时间为 24.5h，女生为 25.5h， 则平均数一定在 24.525.5 之间，故
8、正确 由统计表类别栏计算可得， 各时间段人数分别为 15,60,51,62,12， 则中位数在 2030 之间，故正确. 由统计表计算可得，初中学段栏 0t10 的人数在 015 之间，当人数为 0 时，中 位数在 2030 之间；当人数为 15 时，中位数在 2030 之间，故正确. 由统计表计算可得，高中学段栏各时间段人数分别为 015，35,15，18,1.当 0t10 时间段人数为 0 时， 中位数在 1020 之间； 当 0t10 时间段人数为 15 时， 中位数在 1020 之间，故错误 故，选 C 二、填空题（本题共 16 分，每小题 2 分） 9若分式 1x x 的值为 0，则
9、x的值为 _. 【解析】本题考查分式值为 0，则分子01x，且分母0x，故答案为 1 10 如图， 已知 ABC， 通过测量、 计算得 ABC 的面积约为 cm2. （结果保留一位小数） 【解析】本题考查三角形面积，直接动手操作测量即可，故答案为“测量可知” 11在如图所示的几何体中，其三视图中有矩形的是_.（写出所有正确答案的序号） 【解析】本题考查对三视图的认识.长方体的主视图，俯视图，左视图均为矩形； 圆柱的主视图，左视图均为矩形，俯视图为圆；圆锥的主视图和左视图为三角 形，俯视图为圆.故答案为 12如图所示的网格是正方形网格，则PABPBA_ （点 A，B，P 是网 格线交点）. 【解
10、析】本题考查三角形的外角，可延长 AP 交正方形网格于点 Q，连接 BQ，如图 所示，经计算105PBBQPQ， 222 PBBQPQ，即 PBQ 为等腰直角 三角形，BPQ=45 ，PAB+PBA=BPQ=45 ，故答案为 45 第第10题图题图 C BA 第11题图第11题图 圆锥圆锥圆柱圆柱长方体长方体 第第12题图题图 P BA 7 13 在平面直角坐标系xOy中， 点Aab，00ab，在双曲线 1 k y x 上 点A关 于x轴的对称点B在双曲线 2 k y x 上，则 12 kk的值为 _. 【解析】本题考查反比例函数的性质，A（a，b）在反比例 x k y 1 上，则abk 1
11、，A 关于x轴的对称点 B 的坐标为),(ba ， 又因为 B 在 x k y 2 上， 则abk 2 ， 0 21 kk 故答案为 0 14把图 1 中的菱形沿对角线分成四个全等的直角三角形，将这四个直角三角形分别拼成如 图 2，图 3 所示的正方形，则图 1 中菱形的面积为 _ 【解析】设图 1 中小直角三角形的两直角边分别为 a，b（ba） ，则由图 2，图 3 可 列方程组, 1 5 ab ba 解得 3 2 b a ，所以菱形的面积.1264 2 1 S故答案为 12. 15小天想要计算一组数据 92，90，94，86，99，85 的方差 2 0 s在计算平均数的过程中， 将这组数据
12、中的每一个数都减去 90，得到一组新数据 2，0，4，4，9，5记这组新数 图图3图图2 图图1 1 5 据的方差为 2 1 s，则 2 1 s_ 2 0 s. (填“”，“”或“”) 【解析】本题考查方差的性质。两组数据的平均值分别为 91 和 1， 6 )9185()9199()9186()9194()9190()9192( 222222 2 0 s= 3 68 6 116 3 68 6 136 6 ) 15() 19() 14() 14() 10() 12( 222222 2 1 s 2 1 2 0 ss ，故答案为= 16在矩形 ABCD 中，M，N，P，Q 分别为边 AB，BC，CD
13、，DA 上的点（不与端点重合） 对于任意矩形 ABCD，下面四个结论中， 存在无数个四边形 MNPQ 是平行四边形； 存在无数个四边形 MNPQ 是矩形； 存在无数个四边形 MNPQ 是菱形； 至少存在一个四边形 MNPQ 是正方形 所有正确结论的序号是_ 【解析】根据平行四边形的判定，矩形的判定，以及正方形的判定可知，存在无数 个平行四边形，无数个矩形，无数个正方形，故答案为 三、解答题（本题共 68 分，第 17-21 题，每小题 5 分，第 22-24 题，每小题 6 分，第 25 题 5 分，第 26 题 6 分，第 27-28 题，每小题 7 分） 解答应写出文字说明、演算步骤或证明
14、过程 17计算： 0 1 1 34260 4 sin （ ）. 9 【解析】原式=4 2 3 213 332 18解不等式组： 4(1)2, 7 . 3 xx x x 【解析】解不等式得： 63 , 244244xxxxx，2x 解不等式得：72, 73,37xxxxx， 2 7 x 不等式组的解集为2x 19关于 x 的方程 2 2210xxm 有实数根，且 m 为正整数，求 m 的值及此时方 程的根 【解析】0122 2 mxx有实数根，0，即0) 12(4)2( 2 m，1m m 为正整数，1m，故此时二次方程为, 012 2 xx即0) 1( 2 x 1 21 xx 1m，此时方程的根
15、为1 21 xx 20如图，在菱形 ABCD 中，AC 为对角线，点 E，F 分别在 AB，AD F E B A D C 上，BE=DF，连接 EF （1）求证：ACEF； （2）延长 EF 交 CD 的延长线于点 G，连接 BD 交 AC 于点 O，若 BD=4，tanG= 1 2 ，求 AO 的长 【解析】证明：四边形 ABCD 为菱形 AB=AD，AC 平分BAD BE=DF， ABBEADDF ， AE=AF AEF 是等腰三角形， AC 平分BAD， ACEF （2）解：四边形 ABCD 为菱形，CGAB，BO= 2 1 BD=2，EFBD 四边形 EBDG 为平行四边形，G=ABD
16、，tanABD=tanG= 2 1 tanABD= 2 1 2 AO BO AO ，AO=1 21国家创新指数是反映一个国家科学技术和创新竞争力的综合指数对国家创新指数得分 排名前 40 的国家的有关数据进行收集、整理、描述和分析下面给出了部分信息： a国家创新指数得分的频数分布直方图（数据分成 7 组： 30x40，40x50，50x60，60x70，70x80，80x90，90x100） ； 10090807060504030 12 9 8 6 2 1 频数频数（国家个数国家个数） 国家创新指数得分国家创新指数得分 11 b国家创新指数得分在 60x70 这一组的是： 61.7 62.4
17、63.6 65.9 66.4 68.5 69.1 69.3 69.5 c40 个国家的人均国内生产总值和国家创新指数得分情况统计图： d中国的国家创新指数得分为 69.5. （以上数据来源于国家创新指数报告（2018） ） 根据以上信息，回答下列问题： （1）中国的国家创新指数得分排名世界第 _； （2）在 40 个国家的人均国内生产总值和国家创新指数得分情况统计图中，包括中国在内的 少数几个国家所对应的点位于虚线 1 l 的上方请在图中用“”圈出代表中国的点； （3）在国家创新指数得分比中国高的国家中，人均国内生产总值的最小值约为 _万美 元； （结果保留一位小数） （4）下列推断合理的是
18、_ 相比于点 A，B 所代表的国家，中国的国家创新指数得分还有一定差距，中国提出“加快 建设创新型国家”的战略任务，进一步提高国家综合创新能力； C B A l2 l1 11109 87654 3210 100 90 80 70 60 50 40 30 人均国内生产总值人均国内生产总值/万元万元 国家创新指数得分国家创新指数得分 相比于点 B，C 所代表的国家，中国的人均国内生产总值还有一定差距，中国提出“决胜 全面建成小康社会”的奋斗目标，进一步提高人均国内生产总值 【解析】 （1）17 （2） （3）2.7 （4） 22在平面内，给定不在同一直线上的点 A，B，C，如图所示点 O 到点 A
19、，B，C 的距离 均等于 a（a 为常数） ，到点 O 的距离等于 a 的所有点组成图形 G，ABC的平分线交图形 G 于点 D，连接 AD，CD （1）求证：AD=CD； （2）过点 D 作 DEBA，垂足为 E，作 DFBC，垂足为 F，延长 DF 交图形 G 于点 M， 连接 CM若 AD=CM，求直线 DE 与图形 G 的公共点个数 C B A 13 【解析】如图所示，依题意画出图形 G 为O，如图所示 （1）证明：BD 平分ABC，ABD=CBD， ADCD，AD=CD （2）解：AD=CD，AD=CM，CD=CM.DFBC，DFC=CFM=90 在 Rt CDF 和 Rt CMF
20、中 CFCF CMCD ，CDFCMF（HL） ，DF=MF，BC 为弦 DM 的垂直平分线 BC 为O 的直径，连接 OD COD=2CBD，ABC=2CBD，ABC=COD，ODBE. 又DEBA，DEB=90 ，ODE=90 ，即 ODDE，DE 为O 的切线. 直线 DE 与图形 G 的公共点个数为 1 个. 23小云想用 7 天的时间背诵若干首诗词，背诵计划如下： 将诗词分成 4 组，第 i 组有 i x 首，i =1，2，3，4； 对于第 i 组诗词，第 i 天背诵第一遍，第（ 1i + ）天背诵第二遍，第（ 3i + ）天背诵第三 遍，三遍后完成背诵，其它天无需背诵，i 1，2，
21、3，4； 第 1 天 第 2 天 第 3 天 第 4 天 第 5 天 第 6 天 第 7 天 第 1 组 1 x 1 x 1 x 第 2 组 2 x 2 x 2 x 第 3 组 第 4 组 4 x 4 x 4 x 每天最多背诵 14 首，最少背诵 4 首 解答下列问题： （1）填入 3 x补全上表； （2）若 1 4x ， 2 3x ， 3 4x ，则 4 x的所有可能取值为_； （3）7 天后，小云背诵的诗词最多为 _首 【解析】 （1）如下图 第 1 天 第 2 天 第 3 天 第 4 天 第 5 天 第 6 天 第 7 天 第 1 组 第 2 组 第 3 组 3 x 3 x 3 x 第
22、4 组 15 （2）根据上表可列不等式组： 144 144 144 4 42 431 x xx xxx ，可得64 4 x （3）确定第 4 天，14 431 xxx，由第 2 天，第 3 天，第 5 天可得 144 144 144 42 32 21 xx xx xx ，42312 2431 xxxx， 3 28 32 2 x， 可取 2 x最大整数值为 9，23914 4321 xxxx 24如图，P 是AB与弦 AB 所围成的图形的外部的一定点，C 是AB上一动点，连接 PC 交 弦 AB 于点 D 小腾根据学习函数的经验，对线段 PC，PD，AD 的长度之间的关系进行了探究 下面是小腾的
23、探究过程，请补充完整： （1）对于点 C 在AB上的不同位置，画图、测量，得到了线段 PC，PD，AD 的长度 的几 组值，如下表： 位置 1 位置 2 位置 3 位置 4 位置 5 位置 6 位置 7 位置 8 A B C D P PC/cm 3.44 3.30 3.07 2.70 2.25 2.25 2.64 2.83 PD/cm 3.44 2.69 2.00 1.36 0.96 1.13 2.00 2.83 AD/cm 0.00 0.78 1.54 2.30 3.01 4.00 5.11 6.00 在 PC，PD，AD 的长度这三个量中，确定 _ 的长度是自变量， _ 的长度和 _的长度
24、都是这个自变量的函数； （2）在同一平面直角坐标系 xOy 中，画出（1）中所确定的函数的图象； （3）结合函数图象，解决问题：当 PC=2PD 时，AD 的长度约为 _cm 【解析】 （1）AD， PC，PD； （2） x/cm y/cm 1 2 3 4 5 6 654321 O 17 （3）2.29 或者 3.98 25. 在平面直角坐标系xOy中，直线 l：10ykxk与直线xk，直线yk分 别交于点 A，B，直线xk与直线yk交于点C （1）求直线l与y轴的交点坐标； （2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点记线段ABBCCA，围成的区域（不含边界） 为W 当2k 时，结合函数图象，求区域
25、W内的整点个数； 若区域W内没有整点，直接写出k的取值范围 【解析】 （1）令0x，则1y，直线l与y轴交点坐标为（0,1） （2）当2k时，直线12: xyl，把2x代入直线l，则5y，A（2,5） 把2y代入直线l得：122x， 2 3 x )2, 2(),2, 2 3 (CB，整点有（0，-1） ， （0,0） ， （1，-1） ， （1,0） ， （1,1） ， （1,2）共 6 个点. -1k0 或 k=-2 26在平面直角坐标系xOy中，抛物线 2 1 yaxbx a =+-与y轴交于点 A，将点 A 向右 平移 2 个单位长度，得到点 B，点 B 在抛物线上 （1）求点 B 的坐
26、标（用含a的式子表示） ； （2）求抛物线的对称轴； （3）已知点 11 ( ,) 2 P a -，(2,2)Q若抛物线与线段 PQ 恰有一个公共点，结合函数图象， 求a的取值范围 【解析】 （1）抛物线与y轴交于点 A，令0x，得 a y 1 ， 点 A 的坐标为) 1 , 0( a ，点 A 向右平移两个单位长度，得到点 B， 点 B 的坐标为) 1 , 2( a ； （2）抛物线过点) 1 , 0( a A和点) 1 , 2( a B，由对称性可得，抛物线对称轴为 直线1 2 20 x，故对称轴为直线1x （3）当0a时，则0 1 a ，分析图象可得：根据抛物线的对称性，抛物线不可 能同
27、时经过点 A 和点 P；也不可能同时经过点 B 和点 Q，所以，此时线段 PQ 与抛 物线没有交点. 当0a时，则0 1 a . 分析图象可得：根据抛物线的对称性，抛物线不可能同时经过点 A 和点 P；但当点 Q 在点 B 上方或与点 B 重合时，抛物线与线段 PQ 恰有一个公共点，此时, 2 1 a 即 2 1 a 19 综上所述，当 2 1 a时，抛物线与线段 PQ 恰有一个公共点. 27已知30AOB，H 为射线 OA 上一定点，31OH ，P 为射线 OB 上一点， M 为线段 OH 上一动点，连接 PM，满足OMP为钝角，以点 P 为中心，将线段 PM 顺时 针旋转150，得到线段
28、PN，连接 ON （1）依题意补全图 1； （2）求证：OMPOPN； （3）点 M 关于点 H 的对称点为 Q，连接 QP写出一个 OP 的值，使得对于任意的点 M 总 有 ON=QP，并证明 【解析】 （1）如图所示 （2）在 OPM 中，OMP=180 -POM-OPM=150 -OPM 备用图备用图图图1 B A O HH OA B OPN=MPN-OPM=150 -OPM OMP=OPN （3）过点 P 作 PKOA，过点 N 作 NFOB. OMP=OPN，PMK=NPF 在 NPF 和 PMK 中 PMPN PMKNFO PMKNPF 90 ，NPFPMK（AAS） PF=MK，
29、PNF=MPK，NF=PK. 又ON=PQ，在 Rt NOF 和 Rt PKQ 中 PKNF PQON ，Rt NOFRt PKQ（HL） ，KQ=OF. 设 MK=y，PK=x POA=30 ，PKOQ 21 OP=2x，OK= x3 ， yxOM3 yxPFOPOF2 ， )3(13yxOMOHMH OMOHKHx313 M 与 Q 关于 H 对称，MH=HQ KQ=KH+HQ= yxyxx32232313313 KQ=OF， yxyx232232 ，整理得 )322(232x 所以 1x ，即 PK=1 POA=30 ，OP=2 28在 ABC 中，D，E分别是ABC!两边的中点，如果上
30、的所有点都在 ABC 的 内部或边上，则称为 ABC 的中内弧例如，下图中是 ABC 的一条中内弧 （1）如图，在 Rt ABC 中，2 2ABACDE， ，分别是ABAC，的中点画出 ABC 的最长的中内弧，并直接写出此时的长； A BC D E （2） 在平面直角坐标系中， 已知点0,20,04 ,00ABCtt ， 在 ABC 中， DE，分别是ABAC，的中点 若 1 2 t ，求 ABC 的中内弧所在圆的圆心P的纵坐标的取值范围； 若在 ABC 中存在一条中内弧， 使得所在圆的圆心P在 ABC 的内部或边上， 直接写出 t 的取值范围 【解析】 （1） 1801 180180 n r
31、 l （2） A ED C B 23 当 2 1 t时，C（2,0） ，D（0,1） ，E（1,1） （i）当 P 为 DE 的中点时，DE是中内弧，) 1 , 2 1 (P （ii）当P 与 AC 相切时，xyxy BEAC , 2，当 2 1 x时， 2 1 y，) 2 1 , 2 1 (P 综上，P 的纵坐标1 p y或 2 1 P y （i） 当 PEAC 时， EFCPFE， 得, 1 21 , t tFE FC PF EF ),0( 2 1 2 tt 2 2 t 2 2 0t （ii） PFCABC，得 2 3 , 4 3 2 ,PF PF BC FC AB PF DP=PF=r， 2 3 , 2 1 DPPE，2t，20t 综上：20t
