1、2.2.3两条直线的位置关系 学 习 任 务核 心 素 养 1掌握两条直线相交的判定方法，会求两条相交直线 的交点坐标(重点) 2掌握两条直线平行与垂直的判定方法，注意利用直 线方程的系数和利用斜率判定直线平行与垂直的差 别(重点) 3 灵活选取恰当的方法判定两条直线的位置关系 (难 点) 1通过学习两直线位 置关系的方法，培养逻 辑推理的核心素养 2借助两直线位置关 系的应用，培养数学运 算的核心素养 过山车是一项富有刺激性的娱乐工具实际上，过山车的运动包含了许多数 学和物理学原理过山车的两条铁轨是永远平行的轨道，它们靠着一根根巨大的 柱子支撑，为了使设备安全，柱子之间还有一些小的钢筋连接，
2、这些钢筋有的互 相平行，有的互相垂直，你能感受到过山车中的平行和垂直吗？那么两条直线的 平行与垂直用什么来刻画呢？ 知识点 1两条直线相交、平行与重合 (1)几何方法判断 若两直线的斜率均存在，我们可以利用斜率和在 y 轴上的截距判断两直线的 位置关系，其方法如下： 设 l1：yk1xb1，l2：yk2xb2，则： l1与 l2相交k1k2； l1l2k1k2且 b1b2； l1与 l2重合k1k2且 b1b2 (2)向量方法判断 设直线 l1：A1xB1yC10，l2：A2xB2yC20， 因为 v1(A1， B1)是直线 l1的一个法向量， v2(A2， B2)是直线 l2的一个法向量 l
3、1与 l2相交(即只有一个交点)的充要条件是 v1与 v2不共线，即 A1B2A2B1 l1与 l2平行或重合的充要条件是 v1与 v2共线，即 A1B2A2B1； l1与 l2重合的充要条件是，存在实数使得 A1A2， B1B2， C1C2. 直线AxByC10与直线AxByC20平行的充要条件是什么？重 合呢？ 提示平行的充要条件是 C1C2，重合的充要条件为 C1C2 1思考辨析(正确的打“”，错误的打“”) (1)若两条直线斜率相等，则这两条直线平行() (2)若 l1l2，则 k1k2() (3)若两直线中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率存在，则两直线 相交() (4)若两直
4、线斜率都不存在，则两直线平行() 答案(1)(2)(3)(4) 提示(1)、(4)中两直线有可能重合，故(1)(4)错误；(2)可能出现两直线斜率 不存在情况，故(2)错误；(3)正确 2已知 A(2，0)，B(3，3)，直线 lAB，则直线 l 的斜率为() A3B3C1 3 D1 3 B因为 klkAB30 323，所以 l 的斜率为 3 知识点 2两条直线的垂直 对应关 系 l1与l2的斜率都存在， 分别为k1， k2，则 l1l2k1k21 l1与 l2中的一条斜率不存在， 另 一条斜率为零，则 l1与 l2的位 置关系是 l1l2 图示 设直线 l1：A1xB1yC10，l2：A2x
5、B2yC20因为 v1(A1，B1) 是直线 l1的一个法向量，v2(A2，B2)是直线 l2的一个法向量，l1与 l2垂直的充要 条件是 v1与 v2垂直，即 v1v20，因此 A1A2B1B20即 l1l2A1A2B1B20 3直线 l1与 l2的斜率是一元二次方程 2 019x22 020 x2 0190 的两 根，则 l1与 l2的位置关系为_ 垂直由题意知一元二次方程 2 019x22 020 x2 0190 的两根 x1x21， 直线 l1，l2的斜率之积 k1k21，直线 l1l2 类型 1两条直线相交、平行、重合的判定 【例 1】已知两直线 l1：xmy60；l2：(m2)x3
6、y2m0，当 m 为 何值时，直线 l1与 l2：(1)相交；(2)平行；(3)重合 解直线 l1：xmy60， 直线 l2：(m2)x3y2m0， A11，B1m，C16，A2m2，B23，C22m (1)若 l1与 l2相交，则 A1B2A2B10，即 13m(m2)0， 即 m22m30，即(m3)(m1)0，即 m3，且 m1 故当 m3，且 m1 时，直线 l1与 l2相交 (2)若 l1l2，则有 A1B2A2B10， B1C2B2C10， 即 3mm20， 2m2180， 即 m22m30， m29， 即 m3 或 m1， m3 且 m3， m1 故当 m1 时，直线 l1与 l
7、2平行 (3)若 l1与 l2重合，则有 A1B2A2B10， B1C2B2C10， 即 3mm20， 2m2180， m3 或 m1， m3 或 m3， m3 故当 m3 时，直线 l1与 l2重合 根据两直线的位置关系确定参数取值时，因为斜率是否存在不清楚，若使用 斜率判定，两直线位置关系需分类讨论，但使用直线方程一般式的系数来判定两 直线的位置关系不必讨论.因此使用直线方程一般式系数来判定两直线位置关系更 简便易行. 跟进训练 1l1：9xya20；l2：ax(a2)y10求当 a 为何值时，直线 l1与 l2：(1)相交；(2)平行；(3)重合 解由题意：A19，B11，C1a2，A2
8、a，B2a2，C21 (1)若 l1与 l2相交，则 A1B2A2B10， 即 9(a2)a(1)0，a9 5 故当 a9 5时，直线 l 1与 l2相交 (2)若 l1l2，则有 A1B2A2B10， B1C2B2C10， 即 9a2a10， 1a240， a9 5， a 3. 当 a9 5时，l 1与 l2平行 (3)若 l1与 l2重合，则有 A1B2A2B10， B1C2B2C10， 由(2)知 a9 5， a 3， 不成立，直线 l1与 l2不重合 综上所述：当 a9 5时，两直线相交，当 a 9 5时，两直线平行，不论 a 为何值 两直线不会重合 类型 2两条直线垂直的判定 【例
9、2】(1)(对接教材人教 B 版 P90例 3)l1经过点 A(3，2)，B(3，1)，l2经 过点 M(1，1)，N(2，1)，判断 l1与 l2是否垂直； (2)已知直线 l1经过点 A(3，a)，B(a2，3)，直线 l2经过点 C(2，3)，D(1， a2)，若 l1l2，求 a 的值 解(1)直线 l1的斜率不存在，直线 l2的斜率为 0，所以 l1l2 (2)由题意知，l2的斜率 k2一定存在，l1的斜率可能不存在 当 l1的斜率不存在时，3a2，即 a5，此时 k20， 则 l1l2，满足题意 当 l1的斜率 k1存在时，a5， 由斜率公式，得 k1 3a a23 3a a5，k
10、 2a23 12 a5 3 由 l1l2，知 k1k21， 即3a a5 a5 3 1，解得 a0 综上所述，a 的值为 0 或 5 利用斜率公式来判定两直线垂直的方法 提醒：若已知点的坐标含有参数，利用两直线的垂直关系求参数值时，要注 意讨论斜率不存在的情况 跟进训练 2分别判断下列两直线是否垂直 (1)直线 l1的斜率为10，直线 l2经过点 A(10，2)，B(20，3)； (2)直线 l1经过 A(3，4)，B(3，7)，直线 l2经过点 P(2，4)，Q(2，4)； (3)直线 l1的斜率为1 3，直线 l 2与直线 2x3y10 平行 解(1)直线 l1的斜率为 k110，直线 l
11、2的斜率为 k2 32 2010 1 10，k 1k2 10 1 101所以直线 l 1与 l2垂直 (2)直线 l1的斜率不存在，故 l1与 x 轴垂直，直线 l2的斜率为 0，故直线 l2与 x 轴平行，所以 l1与 l2垂直 (3)直线 l1的斜率为 k11 3，直线 l 2的斜率为 k22 3，k 1k22 91，所以 直线 l1与 l2不垂直 类型 3直线平行与垂直的综合应用 【例 3】如图所示，在平面直角坐标系中，四边形 OPQR 的顶点坐标按逆时 针顺序依次为 O(0，0)，P(1，t)，Q(12t，2t)，R(2t，2)，其中 t0试 判断四边形 OPQR 的形状 已知ABC
12、的三个顶点坐标 A(5，1)，B(1，1)，C(2，3)， 你能判断ABC 的形状吗？ 提示如图，AB 边所在直线的斜率 kAB1 2，BC 边所在直线的斜率 k BC 2由 kABkBC1，得 ABBC，即ABC90 ABC 是以点 B 为直角顶点的直角三角形 解由斜率公式得 kOP t0 10t， kQR 22t 2t12t t 1t，k OR 20 2t0 1 t ， kPQ 2tt 12t1 2 2t 1 t 所以 kOPkQR， kORkPQ， 从而 OPQR， ORPQ 所以四边形 OPQR 为平行四边形 又 kOPkOR1，所以 OPOR， 故四边形 OPQR 为矩形 将本例中的
13、四个点，改为“A(4，3)，B(2，5)，C(6，3)，D(3，0)，顺次 连接 A，B，C，D 四点，试判断四边形 ABCD 的形状” 解由题意 A，B，C，D 四点在平面直角坐标系内的位置如图， 由斜率公式可得 kAB 53 24 1 3，k CD 03 36 1 3，k AD 03 343， kBC35 62 1 2 所以 kABkCD，由图可知 AB 与 CD 不重合，所以 ABCD，由 kADkBC，所 以 AD 与 BC 不平行 又因为 kABkAD1 3(3)1， 所以 ABAD，故四边形 ABCD 为直角梯形 判定几何图形形状的注意点 (1)在顶点确定的前提下，判定几何图形的形
14、状时，要先画图，猜测其形状， 以明确证明的目标 (2)证明两直线平行时，仅仅有 k1k2是不够的，还要注意排除两直线重合的 情况 (3)判断四边形形状，要依据四边形的特点，并且不会产生其他的情况 跟进训练 3若已知直角三角形 ABC 的顶点分别为 A(5，1)，B(1，1)，C(2，m)，求 m 的值 解(1)若 A 为直角，则 ACAB， 所以 kACkAB1，即m1 25 11 151，得 m7； (2)若 B 为直角，则 ABBC，所以 kABkBC1， 即11 15 m1 21 1，得 m3； (3)若 C 为直角，则 ACBC，所以 kACkBC1， 即m1 25 m1 21 1，得
15、 m2 综上可知，m7 或 m3 或 m2 1直线 xay70 与直线(a1)x2y140 平行，则 a 的值是() A1B2C1 或2D1 或 2 B由已知，得 a(a1)20， 解得 a2 或 a1当 a1 时，两直线重合，a2 2如图，直线 l1的倾斜角130，直线 l1l2，则 l2的斜率为() A 3 3 B 3 3 C 3D 3 Ck1tan 30 3 3 ，又 l1l2，k1k21， k2 3 3已知过点 A(2，m)和 B(m，4)的直线与直线 2xy10 平行，则 m 的 值为() A8B0C2D10 A由已知，得4m m22，m8 4已知直线 l 的倾斜角为 45，直线 l
16、2的斜率为 km23，若 l1l2，则 m 的 值为_ 2由题意知 m23tan 45，解得 m2 5经过点 P(2，1)，Q(3，a)的直线与倾斜角为 45的直线垂直，则 a _ 6由题意知a1 321，所以 a6 回顾本节知识，自我完成以下问题： 1如何判断两直线平行？ 提示在判断两直线是否平行时， 先看两直线的斜率是否存在， 再进行判断， 同时注意不要漏掉两直线重合的情况 设两条斜率存在且不重合的直线 l1，l2的倾斜角分别为1，2，则对应关系如 下： 前提12901290 对应关系 l1l2斜截式：k1k2； 一般式：A1B2A2B10 l1l2两直线斜率都不存 在 前提1290129
17、0 图示 2如何判断两直线垂直？ 提示 对应关系 l1与 l2的斜率都存在，分别为 k1， k2， 且 l1l2斜截式： k1k21； 一般式：A1A2B1B20 l1与 l2中的一条直线斜率不存 在，另一条直线斜率为零，则 l1l2 图示 3如何利用两直线的位置关系求直线方程？ 提示(1)平行直线系方程 斜率为 k 的直线系方程为 ykxb(k 为常数，b 为参数)； 与定直线AxByC0(A2B20)平行的直线系方程为AxBy0(为 参数，C)； 过点 P(x0，y0)，且平行于直线 AxByC0(A2B20)的直线方程为 A(x x0)B(yy0)0(Ax0By0C0) (2)垂直直线系
18、方程 与直线 ykxb(k0)垂直的直线系方程为 y1 kxm(m 为参数)； 与定直线AxByC0(A2B20)垂直的直线系方程为BxAy0(为 参数)； 过点 P(x0，y0)，且垂直于直线 AxByC0(A2B20)的直线方程为 B(x x0)A(yy0)0 (3)过两条直线交点(定点)的直线系方程 设两条不平行的直线的方程分别为 l1：A1xB1yC10(A1，B1不同时为 0)， l2：A2xB2yC20(A2，B2不同时为 0)，我们将 m(A1xB1yC1)n(A2xB2y C2)0(其中 m，n 为参数，且 m2n20)称为经过直线 l1与 l2交点(定点)的直线系 方程当 m1，n0 时，此方程即直线 l1的方程；当 m0，n1 时，此方程即 直线 l2的方程 过两条直线交点(定点)的直线系方程又可以表示为 A1xB1yC1(A2xB2y C2)0(R)，此时该直线系不含直线 l2
