1、4-3-2 三角形等高模型与鸟头模型 题库page 1 of 10 例题精讲例题精讲 板块一三角形等高模型 我们已经知道三角形面积的计算公式：三角形面积底高2 从这个公式我们可以发现：三角形面积的大小，取决于三角形底和高的乘积 如果三角形的底不变，高越大(小)，三角形面积也就越大(小)； 如果三角形的高不变，底越大(小)，三角形面积也就越大(小)； 这说明当三角形的面积变化时，它的底和高之中至少有一个要发生变化但是，当三角形的底和高同时发生 变化时，三角形的面积不一定变化比如当高变为原来的 3 倍，底变为原来的 1 3 ，则三角形面积与原来的一 样这就是说：一个三角形的面积变化与否取决于它的高
2、和底的乘积，而不仅仅取决于高或底的变化同时 也告诉我们：一个三角形在面积不改变的情况下，可以有无数多个不同的形状 在实际问题的研究中，我们还会常常用到以下结论： 等底等高的两个三角形面积相等； 两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比； 两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比； 如左图 12 :SSa b 夹在一组平行线之间的等积变形，如右上图 ACDBCD SS ； 反之，如果 ACDBCD SS ，则可知直线AB平行于CD 等底等高的两个平行四边形面积相等(长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形)； 三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半； 两个平行四边形高相等，面积比等于它们
3、的底之比；两个平行四边形底相等，面积比等于它们的高之比 板块二鸟头模型 两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形 共角三角形的面积比等于对应角共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角相等角或互补角)两夹边的乘积之比两夹边的乘积之比 如图在如图在ABC中，中，,D E分别是分别是,AB AC上的点如图上的点如图 (或或D在在BA的延长线上，的延长线上，E在在AC上上)， 则则:():() ABCADE SSABACADAE 图图 【例【例 1】 如图在如图在ABC中，中，,D E分别是分别是,AB AC上的点，且上的
4、点，且:2:5AD AB ，:4:7AE AC ，16 ADE S 平平 4-3-2.4-3-2.三角形等高模型与鸟头模型三角形等高模型与鸟头模型 4-3-2 三角形等高模型与鸟头模型 题库page 2 of 10 方厘米，求方厘米，求ABC的面积的面积 ? E ? D ? C ? B ? A ? E ? D ? C ? B ? A 【考点】三角形的鸟头模型【难度】2 星【题型】解答 【解析】连接BE，:2:5(24):(54) ADEABE SSAD AB ， :4:7(45):(75) ABEABC SSAE AC ，所以:(24):(75) ADEABC SS ，设8 ADE S 份，
5、则35 ABC S 份，16 ADE S 平方厘米，所以1份是2平方厘米，35份就是70平方厘米，ABC的 面积是70平方厘米由此我们得到一个重要的定理，共角定理：共角三角形的面积比等于对应角(相 等角或互补角)两夹边的乘积之比 【答案】70 【巩固】如图，三角形【巩固】如图，三角形ABC中，中，AB是是AD的的 5 倍，倍，AC是是AE的的 3 倍，如果三角形倍，如果三角形ADE的面积等于的面积等于 1，那，那 么三角形么三角形ABC的面积是多少？的面积是多少？ ? E ? D ? C ? B ? A ? A ? B ? C ? D ? E 【考点】三角形的鸟头模型【难度】2 星【题型】解答
6、 【解析】连接BE 3ECAE 3 ABCABE SS 又5ABAD 515 ADEABEABC SSS ，1515 ABCADE SS 【答案】15 【巩固【巩固】如图如图，三角形三角形 ABC 被分成了甲被分成了甲(阴影部分阴影部分)、乙两部分乙两部分，4BDDC，3BE ，6AE ，乙部分面乙部分面 积是甲部分面积的几倍？积是甲部分面积的几倍？ ? 乙 ? 甲 ? E ? D ? C ? B ? A ? A ? B ? C ? D ? E ? 甲 ? 乙 【考点】三角形的鸟头模型【难度】2 星【题型】解答 【解析】连接AD 3BE ，6AE 3ABBE，3 ABDBDE SS 又4BDD
7、C， 2 ABCABD SS ，6 ABCBDE SS ，5SS 乙甲 【答案】5 【例【例 2】 如图在如图在ABC中，中，D在在BA的延长线上，的延长线上，E在在AC上，且上，且:5:2AB AD ， :3:2AE EC ，12 ADE S 平方厘米，求平方厘米，求ABC的面积的面积 4-3-2 三角形等高模型与鸟头模型 题库page 3 of 10 ? E ? D ? C ? B ? A ? E ? D ? C ? B ? A 【考点】三角形的鸟头模型【难度】3 星【题型】解答 【解析】连接BE，:2:5(23):(5 3) ADEABE SSAD AB :3:(32)(3 5): (3
8、2)5 ABEABC SSAE AC ， 所以:(32): 5(32)6:25 ADEABC SS ，设6 ADE S 份，则25 ABC S 份，12 ADE S 平方厘 米，所以1份是2平方厘米，25份就是50平方厘米，ABC的面积是50平方厘米由此我们得到 一个重要的定理，共角定理：共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比 【答案】50 【例【例 3】 如图所示，在平行四边形如图所示，在平行四边形 ABCD 中，中，E 为为 AB 的中点，的中点，2AFCF，三角形，三角形 AFE(图中阴影部分图中阴影部分)的的 面积为面积为 8 平方厘米平行四边形的面积是多少平方
9、厘米？平方厘米平行四边形的面积是多少平方厘米？ 【考点】三角形的鸟头模型【难度】2 星【题型】解答 【解析】连接 FB三角形 AFB 面积是三角形 CFB 面积的 2 倍，而三角形 AFB 面积是三角形 AEF 面积的 2 倍，所以三角形 ABC 面积是三角形 AEF 面积的 3 倍；又因为平行四边形的面积是三角形 ABC 面积 的 2 倍，所以平行四边形的面积是三角形 AFE 面积的326（）倍因此，平行四边形的面积为 8648(平方厘米) 【答案】48 【例【例 4】 已知已知DEF的面积为的面积为7平方厘米，平方厘米，,2,3BECE ADBD CFAF，求，求ABC的面积的面积 ? F
10、 ? E ? D ? C ? B ? A 【考点】三角形的鸟头模型【难度】3 星【题型】解答 【解析】:():()(1 1):(23)1:6 BDEABC SSBDBEBABC ， :():()(1 3):(24)3:8 CEFABC SSCECFCBCA :():()(2 1):(34)1:6 ADFABC SSADAFABAC 设24 ABC S 份，则4 BDE S 份，4 ADF S 份，9 CEF S 份，244497 DEF S 份，恰好是7 平方厘米，所以24 ABC S 平方厘米 【答案】24 【例【例 5】 如图如图 16-4，已知，已知AE= 1 5 AC，CD= 1 4
11、BC，BF= 1 6 AB，那么，那么 DEF ABC? 三角形的面积 三角形的面积 等于多少等于多少? 4-3-2 三角形等高模型与鸟头模型 题库page 4 of 10 【考点】三角形的鸟头模型【难度】3 星【题型】解答 【关键词】迎春杯，决赛，第一题，9 题 【解析】如下图，连接 AD，BE，CF. 有ABE， ABC 的高相等， 面积比为底的比， 则有 ABE ABC S S = AE AC ， 所以 ABE S= AE AC ABC S= 1 5 ABC S 同理有 AEF S= AF AB ABE S,即= AEF S= 1 5 5 6 ABC S= 1 6 ABC S. 类似的还
12、可以得到 CDE S= 1 4 4 5 ABC S= 1 5 ABC S， BDF S= 1 6 1 3 ABC S= 1 8 ABC S 所以有 DEF S= ABC S-( AEF S+ CDE S+ BDF S)=(1- 1 6 - 1 5 - 1 8 ) ABC S= 61 120 ABC S 即 DEF ABC? 三角形的面积 三角形的面积 为 61 120 【答案】 61 120 【例【例 6】 如图，三角形如图，三角形ABC的面积为的面积为 3 平方厘米，其中平方厘米，其中:2:5AB BE ，:3:2BC CD ，三角形，三角形BDE的面的面 积是多少？积是多少？ ? A ?
13、B ? E ? C ? D ? D ? C ? E ? B ? A 【考点】三角形的鸟头模型【难度】2 星【题型】解答 【解析】由于180ABCDBE ，所以可以用共角定理，设2AB 份，3BC 份，则5BE 份， 325BD 份，由共角定理:():()(23):(5 5)6:25 ABCBDE SSABBCBEBD ，设 6 ABC S 份，恰好是3平方厘米，所以1份是0.5平方厘米，25份就是250.512.5平方厘米，三角 形BDE的面积是12.5平方厘米 【答案】12.5 【例【例 7】 如图所示如图所示，正方形正方形ABCD边长为边长为 6 厘米厘米， 1 3 AEAC， 1 3 C
14、FBC三角形三角形DEF的面积为的面积为_ 平方厘米平方厘米 【考点】三角形的鸟头模型【难度】3 星【题型】解答 4-3-2 三角形等高模型与鸟头模型 题库page 5 of 10 【关键词】走美杯，五年级，初赛 【解析】由题意知 1 3 AEAC、 1 3 CFBC，可得 2 3 CEAC根据”共角定理”可得， :():()1 2 :(3 3)2:9 CEFABC SSCFCECBAC ；而66218 ABC S ；所以4 CEF S ； 同理得，:2:3 CDEACD SS ;，183212 CDE S ，6 CDF S 故412610 DEFCEFDECDFC SSSS (平方厘米) 【
15、答案】10 【例【例 8】 如图，已知三角形如图，已知三角形ABC面积为面积为1，延长，延长AB至至D，使，使BDAB；延长；延长BC至至E，使，使2CEBC；延；延 长长CA至至F，使，使3AFAC，求三角形，求三角形DEF的面积的面积 ? F ? E ? D ? C ? B ? A ? A ? B ? C ? D ? E ? F 【考点】三角形的鸟头模型【难度】3 星【题型】解答 【解析】 (法1)本题是性质的反复使用 连接AE、CD 1 1 ABC DBC S S ，1 ABC S ， S1 DBC 同理可得其它，最后三角形DEF的面积18 (法2)用共角定理在ABC和CFE中，ACB与
16、FCE互补， 1 11 428 ABC FCE SAC BC SFC CE 又1 ABC S ，所以8 FCE S 同理可得6 ADF S ，3 BDE S 所以186318 DEFABCFCEADFBDE SSSSS 【答案】18 【例【例 9】 如图如图， 把四边形把四边形 ABCD 的各边都延长的各边都延长 2 倍倍， 得到一个新四边形得到一个新四边形 EFGH 如果如果 ABCD 的面积是的面积是 5 平方平方 厘米，则厘米，则 EFGH 的面积是多少平方厘米的面积是多少平方厘米? 【考点】三角形的鸟头模型【难度】4 星【题型】解答 【解析】方法一：如下图，连接 BD，ED，BG， 有
17、EAD、ADB 同高，所以面积比为底的比，有2 EADABDABD EA SSS AB 同理36 EAHEADEADABD AH SSSS AD 4-3-2 三角形等高模型与鸟头模型 题库page 6 of 10 类似的，还可得6 FCGBCD SS ，有66 EAHFCGABDBCDABCD SSSSS =30 平方厘米 连接 AC，AF，HC，还可得6 EFBABC SS ，6 DHGACD SS ， 有66 EFBDHGABCACDABCD SSSSS =30 平方厘米. 有四边形 EFGH 的面积为EAH,FCG,EFB,DHG,ABCD 的面积和，即为 30+30+5=65(平方厘米
18、.) 方法二方法二：连接 BD，有EAH 、ABD 中EAD+BAD=180 又夹成两角的边 EA、AH，AB、AD 的乘积比， EAAH AB AD =23=6，所以 EAH S=6 ABD S 类似的，还可得 FCG S=6 BCD S，有 EAH S+ FCG S=6（ ABD S+ BCD S)=6 ABCD S=30 平方厘米 连接 AC，还可得 EFB S=6 ABC S， DHG S=6 ACD S， 有 EFB S+ DHG S=6（ ABC S+ ACD S）=6 ABCD S=30 平方厘米 有四边形 EFGH 的面积为EAH，FCG，EFB，DHG，ABCD 的面积和，
19、即为 30+30+5=65 平方厘米 【答案】65 【例【例 10】如图如图，平行四边形平行四边形ABCD，BEAB，2CFCB，3GDDC，4HAAD，平行四边形平行四边形ABCD的的 面积是面积是2， 求平行四边形求平行四边形ABCD与四边形与四边形EFGH的面积比的面积比 ? H ? G ? A ? B ? C ? D ? E ? F ? H ? G ? A ? B ? C ? D ? E ? F 【考点】三角形的鸟头模型【难度】4 星【题型】解答 【解析】连接AC、BD根据共角定理 在ABC和BFE中，ABC与FBE互补， 1 11 1 33 ABC FBE SAB BC SBE BF
20、 又1 ABC S ，所以3 FBE S 同理可得8 GCF S ，15 DHG S ，8 AEH S 所以8815+3+236 EFGHAEHCFGDHGBEFABCD SSSSSS 所以 21 3618 ABCD EFGH S S 4-3-2 三角形等高模型与鸟头模型 题库page 7 of 10 【答案】 1 18 【例【例 11】如图如图，四边形四边形EFGH的面积是的面积是66平方米平方米，EAAB，CBBF，DCCG，HDDA，求四边形求四边形 ABCD的面积的面积 ? H ? G ? F ? E ? D ? C ? B ? A ? A ? B ? C ? D ? E ? F ?
21、G ? H 【考点】三角形的鸟头模型【难度】4 星【题型】解答 【解析】连接BD由共角定理得:():()1:2 BCDCGF SSCDCBCGCF ，即2 CGFCDB SS 同理:1:2 ABDAHE SS ，即2 AHEABD SS 所以2()2 AHECGFCBDADBABCD SSSSS 四边形 连接AC，同理可以得到2 DHGBEFABCD SSS 四边形 5 AHECGFHDGBEFEFGHABCDABCD SSSSSSS 四边形四边形四边形 所以66513.2 ABCD S 四边形 平方米 【答案】13.2 【例【例 12】如图，将四边形如图，将四边形ABCD的四条边的四条边AB
22、、CB、CD、AD分别延长两倍至点分别延长两倍至点E、F、G、H，若四，若四 边形边形ABCD的面积为的面积为 5，则四边形，则四边形EFGH的面积是的面积是 ? A ? B ? C ? D ? E ? F ? G ? H ? A ? B ? C ? D ? E ? F ? G ? H 【考点】三角形的鸟头模型【难度】4 星【题型】解答 【解析】连接AC、BD 由于2BEAB，2BFBC，于是4 BEFABC SS ，同理4 HDGADC SS 于是444 BEFHDGABCADCABCD SSSSS 再由于3AEAB，3AHAD，于是9 AEHABD SS ，同理9 CFGCBD SS 于是
23、999 AEHCFGABDCBDABCD SSSSS 那么491260 EFGHBEFHDGAEHCFGABCDABCDABCDABCDABCD SSSSSSSSSS 【答案】60 【例【例 13】如图如图，在在ABC中中，延长延长AB至至D，使使BDAB，延长延长BC至至E，使使 1 2 CEBC，F是是AC的中点的中点， 若若ABC的面积是的面积是2，则，则DEF的面积是多少？的面积是多少？ ? A ? B ? C ? D ? E ? F 【考点】三角形的鸟头模型【难度】3 星【题型】解答 4-3-2 三角形等高模型与鸟头模型 题库page 8 of 10 【解析】在ABC和CFE中，AC
24、B与FCE互补， 224 1 11 ABC FCE SAC BC SFC CE 又2 ABC S ，所以0.5 FCE S 同理可得2 ADF S ，3 BDE S 所以20.5323.5 DEFABCCEFDEBADF SSSSS 【答案】3.5 【例【例 14】如图，如图，1 ABC S ，5BCBD，4ACEC，DGGSSE，AFFG求求 FGS S ? S ? G ? F ? E ? D ? C ? B ? A 【考点】三角形的鸟头模型【难度】3 星【题型】解答 【解析】本题题目本身很简单，但它把本讲的两个重要知识点融合到一起，既可以看作是”当两个三角形有一 个角相等或互补时，这两个三
25、角形的面积比等于夹这个角的两边长度的乘积比”的反复运用，也可以 看作是找点，最妙的是其中包含了找点的3种情况 最后求得 FGS S的面积为 432111 5432210 FGS S 【答案】 1 10 【例【例 15】如图所示，正方形如图所示，正方形ABCD边长为边长为8厘米，厘米，E是是AD的中点，的中点，F是是CE的中点，的中点，G是是BF的中点，三的中点，三 角形角形ABG的面积是多少平方厘米？的面积是多少平方厘米？ ? A ? B ? C ? D ? E ? F ? G ? A ? B ? C ? D ? E ? F ? G 【考点】三角形的鸟头模型【难度】4 星【题型】解答 【解析】
26、连接AF、EG 因为 2 1 816 4 BCFCDE SS ，根据”当两个三角形有一个角相等或互补时，这两个三角形的面积 比等于夹这个角的两边长度的乘积比”8 AEF S ，8 EFG S ，再根据”当两个三角形有一个角相等或 互补时，这两个三角形的面积比等于夹这个角的两边长度的乘积比”，得到16 BFC S ，32 ABFE S， 24 ABF S ，所以12 ABG S 平方厘米 【答案】12 【例【例 16】四个面积为四个面积为1的正六边形如图摆放，求阴影三角形的面积的正六边形如图摆放，求阴影三角形的面积 4-3-2 三角形等高模型与鸟头模型 题库page 9 of 10 【考点】三角
27、形的鸟头模型【难度】4 星【题型】解答 【解析】如图，将原图扩展成一个大正三角形DEF，则AGF与CEH都是正三角形 假设正六边形的边长为为a，则AGF与CEH的边长都是4a，所以大正三角形DEF的边长为 4217 ，那么它的面积为单位小正三角形面积的 49 倍而一个正六边形是由 6 个单位小正三角 形组成的，所以一个单位小正三角形的面积为 1 6 ，三角形DEF的面积为 49 6 由于4FAa，3FBa，所以AFB与三角形DEF的面积之比为 4312 7749 同理可知BDC、AEC与三角形DEF的面积之比都为 12 49 ，所以ABC的面积占三角形DEF面积 的 1213 13 4949
28、，所以ABC的面积的面积为 491313 6496 【答案】 13 6 【巩固】【巩固】已知图中每个正六边形的面积都是已知图中每个正六边形的面积都是 1，则图中虚线围成的五边形，则图中虚线围成的五边形ABCDE的面积是的面积是 ? B ? D ? C ? E ? A 【考点】三角形的鸟头模型【难度】4 星【题型】解答 【解析】从图中可以看出，虚线AB和虚线CD外的图形都等于两个正六边形的一半，也就是都等于一个正六 边形的面积；虚线BC和虚线DE外的图形都等于一个正六边形的一半，那么它们合起来等于一个正 六边形的面积；虚线AE外的图形是两个三角形，从右图中可以看出，每个三角形都是一个正六边 形面
29、积的 1 6 ，所以虚线外图形的面积等于 11 1 323 63 ，所以五边形的面积是 12 1036 33 【答案】 2 6 3 【例【例 17】仅用下图这把刻度尺，最少测量仅用下图这把刻度尺，最少测量次，就能得出三角形次，就能得出三角形 ABC 和三角形和三角形 BCD 的面积比。的面积比。 【考点】三角形的鸟头模型【难度】5 星【题型】解答 【关键词】学而思杯，6 年级，第 10 题 4-3-2 三角形等高模型与鸟头模型 题库page 10 of 10 【解析】连接 DA 并延长交 BC 边的延长线于 E 点，然后测出 EA 和 ED 的长度，由于 EA 与 ED 在一条直线上， 所以测一次就能 EA 和 ED 长度，根据共边定理可知，三角形 ABC 与三角形 BCD 的面积比就等于 EA 比 ED，故最少测量 1 次就可解决问题。 【答案】1 次
