1、5-1-2-5.最值的数字谜（二）.题库教师版page 1 of 6 5-1-2-5.5-1-2-5.最值中的数字谜（二）最值中的数字谜（二） 教学目标教学目标 1.掌握最值中的数字谜的技巧 2.能够综合运用数论相关知识解决数字谜问题 知识点拨知识点拨 数字谜中的最值问题常用分析方法 1.数字谜一般分为横式数字谜和竖式数字谜 横式数字谜经常和数论里面的知识结合考察， 有些时候也可以 转化为竖式数字谜； 2.竖式数字谜通常有如下突破口：末位和首位、进位和借位、个位数字、位数的差别等 3.数字谜的常用分析方法有：个位数字分析法、高位数字分析法、数字大小估算分析法、进位错位分析法、 分解质因数法、奇
2、偶分析法等 4.除了数字谜问题常用的分析方法外，还会经常采用比较法，通过比较算式计算过程的各步骤，得到所求的 最值的可能值，再验证能否取到这个最值 5.数字谜问题往往综合了数字的整除特征、质数与合数、分解质因数、个位数字、余数、分数与小数互化、 方程、估算、找规律等题型。 例题精讲例题精讲 模块一、横式数字谜 【例【例【例【例 1 1】 在下面的算式在下面的算式中填入四个运算符号中填入四个运算符号、 （每个符号只填一次（每个符号只填一次） ，则计算结果最大是，则计算结果最大是 _. 12345 【考点】混合计算中的数字谜【难度】2 星【题型】填空 【关键词】希望杯，六年级，初赛，第 3 题，6
3、 分 【解析】为了得到最大结果必须用“”连接 4 和 5，那么 4 和 5 前边一定是“+”，通过尝试得到： 1 1234520 3 . 【答案】 1 20 3 【例【例【例【例 2 2】 将将+，-，四个运算符号分别填入下面的四个框中使该式的值最大。四个运算符号分别填入下面的四个框中使该式的值最大。 11111 23456 【考点】混合计算中的数字谜【难度】3 星【题型】填空 【关键词】华杯赛，初赛，第 9 题 【解析】题目给出 5 个数，乘、除之后成 3 个数，其中减数应尽量小，由两个数合成（相乘或相除）的加数 与另一个分数相加应尽量大，；， 5-1-2-5.最值的数字谜（二）.题库教师版
4、page 2 of 6 ，；而，； 其中最小的是，而， 所以最大 【答案】最大 【例【例【例【例 3 3】 将将 1、3、5、7、9 填入等号左边的填入等号左边的 5 个方框中，个方框中，2、4、6、8 填入等号右边的填入等号右边的 4 个方框中，使等式个方框中，使等式 成立，且等号两边的计算结果都是自然数这个结果最大为成立，且等号两边的计算结果都是自然数这个结果最大为 【考点】混合计算中的数字谜【难度】3 星【题型】填空 【解析】【解析】等号左边相当于三个奇数相加，其结果为奇数，而等号右边的计算结果为奇数时，最大为 628487，又3 157987 满足条件(情况不唯一)，所以结果的最大值为
5、 87 【答案】87 【例【例【例【例 4 4】 一个电子表用一个电子表用 5 个两位数个两位数(包括首位为包括首位为 0 的两位数的两位数)表示时间，如表示时间，如 15:23:45/06/18 表示表示 6 月月 18 日日 15 点点 23 分分 45 秒有一些时刻这个电子表上十个数字都不同，在这些时刻中，表示时间的秒有一些时刻这个电子表上十个数字都不同，在这些时刻中，表示时间的 5 个两位数个两位数 之和最大是之和最大是 【考点】【难度】星【题型】填空 【关键词】迎春杯，高年级，决赛，8 题 【解析】假设五个两位数的十位数上的数字之和为x， 那么个位数上的数字之和为45x， 则五个两位
6、数上的 数字之和为1045459xxx，所以十位数上的数字之和越大，则五个两位数之和越大 显然，五个两位数的十位数字都不超过5，只能是0 1 2 3 4 5，这五个数字中的五个 如果五个数字是5 4 3 2 1，那么5 4，只能在“分”、“秒”两个两位数的十位，而3只能在“日期”的十 位上，2只能在“时”的十位上，1只能在“月份”的十位上，此时“日期”的个位、“月份”的个位、“时” 的个位不能同时满足实际情况 如果五个数字是5 4 3 2 0，那么5 4，只能在“分”、“秒”两个两位数的十位，而3只能在“日期”的十 位上，2只能在“时”的十位上，此时“日期”的个位、“时”的个位不能同时满足实际
7、情况如果五个数 字是5 4 3 1 0， ，那么5 4，只能在“分”、“秒”两个两位数的十位，而3只能在“日期”的十位上，则“日 期”的个位无法满足情况如果五个数字是5 4 2 1 0， ，那么5 4，只能在“分”、“秒”两个两位数的十 位，2 1 0，依次在“日期”的十位上、“时”的十位上、“月份”的十位上容易满足条件所以最大值为 45954210153 【答案】153 【例【例【例【例 5 5】 0. 2.008 0. ABC C AB ，三位数，三位数ABC的最大值是多少？的最大值是多少？ 【考点】乘除法中的最值问题【难度】3 星【题型】填空 【关键词】走美杯，六年级，初赛，第 4 题
8、【解析】2.008 化为分数是 251 125 ，可以约分为 251 125 的分数有 502 250 、 753 375 ，所以ABC的最大值为 753. 【答案】753 模块二、乘除法中的最值问题 【例【例【例【例 6 6】 已知一个五位回文数等于已知一个五位回文数等于 45 与一个四位回文数的乘积与一个四位回文数的乘积（即即45abcbadeed） ，那么这个五位回文那么这个五位回文 数最大的可能值是数最大的可能值是_ 【考点】乘除法中的最值问题【难度】3 星【题型】填空 【关键词】迎春杯，五年级,初赛，第 7 题 5-1-2-5.最值的数字谜（二）.题库教师版page 3 of 6 【
9、解析】【解析】根据题意，45abcbadeed，则abcba为的倍数，所以a应为或，又a还在首位，所以a ，现在要让abcba尽可能的大，首先需要位数高的尽可能的大，所以令9b ,8c ，则 abcba是的倍数，用符合条 件，所以这个五位回文数最大的可能值是59895. 【答案】59895 【例【例【例【例 7 7】 在下面乘法竖式的每个方格中填入一个非零数字，使算式成立。那么，乘积的最大值等于在下面乘法竖式的每个方格中填入一个非零数字，使算式成立。那么，乘积的最大值等于 _。 ? 6 ? 0 ? 0 ? ? 2 （A A）62926292（B B）63846384（C C）64966496（
10、D D）66886688 【考点】乘除法中的最值问题【难度】4 星【题型】选择 【关键词】迎春杯，高年级，复试，第 1 题 【解析】【解析】D，提示：304226688 【答案】D.6688 【例【例【例【例 8 8】 满足图中算式的三位数满足图中算式的三位数abc最小值是最小值是_ 【考点】乘除法中的最值问题【难度】4 星【题型】填空 【关键词】迎春杯，六年级，初赛，第 3 题 【解析】为了使得abc最小，那么 a1，由于三个积的十位数字为 0、1、0，那么 b0，个位上可以进位、不 进位都必须出现， 那么 c2， 所以abc102； 评注： 这是有极值要求的残缺数字谜问题， 如果没有abc
11、 最小的限制，那么方法很多，即使在abc最小时，也有很多填法。本题可以改编成计数与数字谜的 综合试题，其它条件不变，“在abc最小时，共有_种不同填法；”，答案：20； 【答案】20 【例【例【例【例 9 9】 若 用 相 同 汉 字 表 示 相 同 的 数 字 ， 不 同 汉 字 表 示 不 同 的 数 字 ， 则 下 列 算 式 中 ，若 用 相 同 汉 字 表 示 相 同 的 数 字 ， 不 同 汉 字 表 示 不 同 的 数 字 ， 则 下 列 算 式 中 ， 5=8学习好勤动脑勤动脑学习好“学习好勤动脑学习好勤动脑”所表示的六位数最小是多少？所表示的六位数最小是多少？ 【考点】乘除法
12、中的最值问题【难度】4 星【题型】填空 【解析】【解析】设“学习好”为x，“勤动脑”为y，则有1000510008xyyx，化简得49927995xy，即 128205xy，有 205 128 x y ， 410 256 x y ， 615 384 x y ， 820 512 x y 所以，“学习好勤动脑”所表示的六位 数可能为 205128，410256，615384，820512，由于不能有重复数字，只有 410256，615384 满足， 其中最小的是 410256 【答案】410256 【例【例【例【例 1010】在在内填入适当的数字，使下列竖式成立，并使乘积尽可能小，那么乘积最小是内
13、填入适当的数字，使下列竖式成立，并使乘积尽可能小，那么乘积最小是 5-1-2-5.最值的数字谜（二）.题库教师版page 4 of 6 6 4 0 【考点】乘除法中的最值问题【难度】4 星【题型】填空 【解析】【解析】由于被乘数乘以 6 得到的数的个位数字为 4，所以被乘数的个位数字为 4 或 9，如果为 9，那么被乘 数乘以乘数的十位数字得到的数的个位数字不可能为 0，与题意不符，所以被乘数的个位数字为 4， 且乘数的十位数字为 5，所以乘数为 56 由于被乘数乘以 6 得到的五位数至少为 10004，而10004616672，所以被乘数大于 1667，而被 乘数的个位数字为 4，所以被乘数
14、至少为 1674，乘积最小为16745693744 【答案】16745693744 【例【例【例【例 1111】在在内填入适当的数字，使下列竖式成立，并使乘积尽可能小，那么乘积最小是内填入适当的数字，使下列竖式成立，并使乘积尽可能小，那么乘积最小是 6 8 【考点】乘除法中的最值问题【难度】4 星【题型】填空 【解析】【解析】由于被乘数乘以 6 得到一个五位数，而乘以乘数的十位数字得到一个四位数，所以乘数的十位数字 小于 6，乘数可能是 16，26，36，46 和 56它们能得到的最小乘积分别是8000 16128000， 400026104000，2778 36100008，21744610
15、0004，178656100016其中最小的为 100004，所以乘积最小为 100004 【答案】100004 【例【例【例【例 1212】在在内填入适当的数字，使下列竖式成立，并使商尽可能小那么商的最小值是内填入适当的数字，使下列竖式成立，并使商尽可能小那么商的最小值是 ? 1 ? 0 ? 6 【考点】乘除法中的最值问题【难度】5 星【题型】填空 【解析】【解析】商的十位大于商的百位，所以商的十位最小为 7，个位最小为 1，所以商的最小可能值是 671当商 是 671 时，由“除数699 ”和“除数7110 ”得 5 15 7 除数 1 16 2 ，那么除数是 16所以 107361667
16、1满足题意且商最小，所以商的最小值为 671 【答案】671 【例【例【例【例 1313】在在内填入适当的数字，使下列竖式成立，并使商尽可能小那么商的最小值是内填入适当的数字，使下列竖式成立，并使商尽可能小那么商的最小值是 5-1-2-5.最值的数字谜（二）.题库教师版page 5 of 6 ? 5 ? 3 ? 6 ? 0 ? 3 ? d ? c ? b ? a ? 5 ? 3 ? 6 ? 0 【考点】乘除法中的最值问题【难度】6 星【题型】填空 【解析】【解析】如右式，用字母表示某些方格内的数因为除数是两位数，它与商的各个数位的乘积都是三位数， 所以商的每一位都不小于 2，那么商的最小可能值
17、为 262由右式知8d ，所以3c 或 8当2a 时，由5bca，推知3c ，所以8c ，进而得7b ，此时题中算式为2043678262，满 足题意，所以商的最小值为 262 【答案】262 【例【例【例【例 1414】在右图除法竖式的每个方格中填入适当的数字使竖式成立，并使商尽量大那么，商的最大值是在右图除法竖式的每个方格中填入适当的数字使竖式成立，并使商尽量大那么，商的最大值是 _ ? 0 ? 0 ? 0 ? 7 ? 2 ? 7 ? r ? q ? n ? m ? k ? j ? i ? h ? g ? f ? e ? d ? c ? b ? a ? 0 ? 0 ? 0 ? 7 ? 2
18、【考点】乘除法中的最值问题【难度】6 星【题型】填空 【关键词】迎春杯，中年级，初赛，第 6 题 【解析】【解析】如右式，用字母来表示方格内的数字易知0f 为了使商最大，首先令9d ，则e最大为 8(若e 也为 9， 则02km nh ij， 则07km n 的百位数字不能为 0) 再由80abckm n知08125abckm n， 由7abcgqr知78001256.4gqrabc，所以6g 若6g ，由9d 知d是g的1.5倍， 则271.5800 1.51200h ijqr，矛盾，所以6g 不合题意； 若5g ，由70051408005160abc，而140 8112080160 812
19、80abckm n， 此时0km n只可能为1200或1208，150abc 或151， 但15091350，151 91359， 均不可能为2h ij， 所以5g 不成立； 若4g ，由70041758004200abc，而175 915759220091800abch ij， 也不成立； 若3g ，可得以下两式符合题意：24507502509803，24605532519803， 所以商的最大值为 9803 【答案】9803 5-1-2-5.最值的数字谜（二）.题库教师版page 6 of 6 【例【例【例【例 1515】如下面除法竖式的每个方框中填入适当的数字，使竖式成立，并使商尽量的小
20、那么，商的最小如下面除法竖式的每个方框中填入适当的数字，使竖式成立，并使商尽量的小那么，商的最小 值是值是_ ? 0 ? 0 ? 0 ? 7 ? 2 【考点】乘除法中的最值问题【难度】6 星【题型】填空 【关键词】迎春杯，高年级，初赛，第 3 题） 【解析】【解析】显然商十位是 0，如果商的千位是 2，则除数22 ，只能是12，从而除数6 ，乘以 商的个位之后不可能等于7 如果商的千位是 3，因为除数乘以商的百位后等于00，商的个位只能是 1 或 2 如果商的个位是 1，则除数等于7，商的百位最少是 4，此时 750 等数符合条件 如果商的个位是 2，则除数等于7，此时商的百位必须大于 4 所以，商的最小值是 3401 【答案】3401
