1、5-3-3.质数与合数（三）.题库教师版page 1 of 4 5-3-3.5-3-3.质数与合数（三）质数与合数（三） 知识框架知识框架 1.掌握质数与合数的定义 2.能够用特殊的偶质数 2 与质数 5 解题 3.能够利用质数个位数的特点解题 4.质数、合数综合运用 知识点拨知识点拨 一、质数与合数 一个数除了 1 和它本身，不再有别的约数，这个数叫做质数(也叫做素数).一个数除了 1 和它本身，还有 别的约数，这个数叫做合数. 要特别记住：0 和 1 不是质数，也不是合数. 常用的 100 以内的质数：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、
2、59、61、 67、71、73、79、83、89、97，共计 25 个；除了 2 其余的质数都是奇数；除了 2 和 5，其余的质数个位数字 只能是 1，3，7 或 9. 考点： 值得注意的是很多题都会以质数 2 的特殊性为考点. 除了 2 和 5，其余质数个位数字只能是 1，3，7 或 9.这也是很多题解题思路，需要大家注意. 二、判断一个数是否为质数的方法 根据定义如果能够找到一个小于 p 的质数 q(均为整数)，使得 q 能够整除 p，那么 p 就不是质数，所以我 们只要拿所有小于 p 的质数去除 p 就可以了；但是这样的计算量很大，对于不太大的 p，我们可以先找一个大 于且接近 p 的平
3、方数 2 K，再列出所有不大于 K 的质数，用这些质数去除 p，如没有能够除尽的那么 p 就为质 数.例如：149 很接近14412 12，根据整除的性质 149 不能被 2、3、5、7、11 整除，所以 149 是质数. 例题精讲例题精讲 模块一、质数合数综合 【例【例 1】 写出写出 10 个连续自然数，它们个个都是合数个连续自然数，它们个个都是合数 【考点】质数合数综合【难度】2 星【题型】解答 【解析】【解析】在寻找质数的过程中，我们可以看出 100 以内最多可以写出 7 个连续的合数：90，91，92，93，94， 95，96我们把筛选法继续运用下去，把考查的范围扩大一些就行了用筛选
4、法可以求得在 113 与 127 之间共有 13 个都是合数的连续自然数：114，115，116，117，118，119，120，121，122，123， 124，125，126同学们可以在这里随意截取 10 个即为答案可见本题的答案不唯一 【答案】114，115，116，117，118，119，120，121，122，123 【例【例 2】 老师可以把本题拓展为找更多个连续的合数：找老师可以把本题拓展为找更多个连续的合数：找 200 个连续的自然数它们个个都是合数个连续的自然数它们个个都是合数 【考点】质数合数综合【难度】3 星【题型】解答 【解析】【解析】如果 10 个连续自然数中，第 1
5、 个是 2 的倍数，第 2 个是 3 的倍数，第 3 个是 4 的倍数 第 10 个 是 11 的倍数，那么这 10 个数就都是合数又2m ，m3，m11 是 11 个连续整数，故只要 5-3-3.质数与合数（三）.题库教师版page 2 of 4 m 是 2，3，11 的公倍数，这 10 个连续整数就一定都是合数设 m 为 2，3，4，11 这 10 个数的最小公倍数m2，m3，m4，m11 分别是 2 的倍数，3 的倍数，4 的倍数 11 的倍数，因此 10 个数都是合数所以我们可以找出 2，3，411 的最小公倍数 27720，分别加上 2， 3，411，得出十个连续自然数 27722，
6、27723，2772427731，他们分别是 2，3，411 的倍数， 均为合数说明：我们还可以写出11! 2,11! 3,11! 411! 11(其中 n！123 n)这 10 个 连续合数来同样，(m+1)!+2,(m+1)!+3,(m+1)!+m+1是 m 个连续的合数那么 200 个连续的自然 数可以是：201! 2,201! 3,201! 201 【答案】201! 2,201! 3,201! 201 【例【例 3】 四个质数四个质数 2、3、5、7 的乘积为的乘积为，经验证，经验证 200 到到 220 之间仅有一个质数，请问这个质数之间仅有一个质数，请问这个质数 是是。 【考点】质
7、数合数综合【难度】3 星【题型】填空 【关键词】学而思杯，6 年级 【解析】四个质数乘积23 57 210；200 到 220 的质数，因为 21023 57 ，所以2102，2103， 2104，2105，2106，2107，2108，2109，21010都是合数， 所以只需要判断2101 中谁是质数即可，209 和 211 中 211 是质数。 【答案】积为 210，质数是 211 【例【例 4】 有人说：有人说：“任何任何 7 个连续整数中一定有质数个连续整数中一定有质数”请你举一个例子，说明这句话是错的请你举一个例子，说明这句话是错的 【考点】质数合数综合【难度】3 星【题型】解答 【
8、解析】【解析】略 【答案】例如连续的 7 个整数：842、843、844、845、846、847、848 分别能被 2、3、4、5、6、7、8 整除， 就是说它们都不是质数有些同学可能会说这是怎么找出来的，翻质数表还是，我们注意到 (n+1)!+2，(n+1)!+3，(n+1)!+4，(n+1)!+(n+1)这 n 个数分别能被 2、3、4、(n+1)整除，它们 是连续的 n 个合数其中 n!表示从 1 一直乘到 n 的积，即 123n 【例【例 5】 如果一个数不能表示为三个不同合数的和，那么我们称这样的数为智康数，那么最大的智康数是如果一个数不能表示为三个不同合数的和，那么我们称这样的数为
9、智康数，那么最大的智康数是 几？几？ 【考点】质数合数综合【难度】3 星【题型】解答 【解析】首先我们可以分析出大多数自然数都是智康数， 所以核心的思想是找到智康数与其他自然数的“分界 线”。我们知道最小的三个不同合数是 4,6,8，它们的和是 18,则比 18 小的数一定都是智康数，而比 18 大的数中，我们可以分为与 18 的差是“奇数”或者是“偶数”。如果与 18 的差是偶数，那么这类自 然数一定不是智康数， 可以写作 4+6+(8+2n),如果与 18 的差是一个奇数， 那么可以写作 4+(6+2n)+(8+1) 也不是一个智康数，所以最大的智康数为 17。 【答案】17 【例【例 6
10、】 将八个不同的合数填入下面的括号中，如果要求相加的两个合数互质，那么将八个不同的合数填入下面的括号中，如果要求相加的两个合数互质，那么 A 最小是几？最小是几？ A=（）+（）=（）+（）=（）+（）=（）+（） 【考点】质数合数综合【难度】3 星【题型】填空 【解析】【解析】首先列出前几个合数 4，6，8，9，10，12，14，15，16，18，20，21，22，24，25，26，27，28， 因为相加的合数互质，所以不能同时为偶数，要想 A 尽量小，这两个数也不能都同时为奇数，因为 奇合数比较少， 找出8个来必然很大。 所以应该是一奇一偶， 经试验得A=4+25=8+21=9+20=14
11、+15=29， 即 A 的最小值为 29。大部分的题考的都是质数，此题考合数，重在强化合数以及互质的概念。 【答案】A 的最小值为 29 【例【例 7】 有些自然数能够写成一个质数与一个合数之和的形式，并且在不计加数顺序的情况下，这样的表有些自然数能够写成一个质数与一个合数之和的形式，并且在不计加数顺序的情况下，这样的表 示方法至少有示方法至少有 13 种。那么所有这样的自然数中最小的一个是多少种。那么所有这样的自然数中最小的一个是多少 【考点】质数合数综合【难度】3 星【题型】解答 【解析】【解析】根据题意在不计加数顺序的情况下一个自然数能有 13 种表示成一个质数与一个合数和的形式， 说明
12、 这个自然数一定比从 2 开始的第 13 个质数要大。从 2 开始数的 13 个质数分别是：2，3，5，7，11， 13，17，19，23，29，31，37，41。那么这个数一定要比 41 大，为了满足这个自然数能够分别写成 5-3-3.质数与合数（三）.题库教师版page 3 of 4 上面质数与另一个合数的和的形式，所求自然数只要是个奇数即可，这样这个奇数与从 3 开始的质 数的差只要都是一个大于 2 的偶数即可满足条件。答案为 47 【答案】47 【例【例 8】 求求 1-100 中不能表示成两个合数的乘积再加一个合数的最大数是多少？中不能表示成两个合数的乘积再加一个合数的最大数是多少？
13、 【考点】质数合数综合【难度】4 星【题型】解答 【解析】【解析】考虑最小的合数是 4，先把表示方法简化为 4合数合数而合数最简单的表现形式就是大于等于 4 的偶数因此该表示方法进一步表示为 4(2n)合数即 8n合数(其中 n1 即可) 当该数被 8 整除时，该数可表示为 4(2n)8 ，n1,所以大于等于 24 的 8 的倍数都可表示 当该数被 8 除余 1 时，该数可表示为 4(2n)9，n1,所以大于等于 25 的被 8 除余 1 都可表示 当该数被 8 除余 2 时，该数可表示为 4(2n)10，n1,所以大于等于 26 的被 8 除余 2 的都可表示 当该数被 8 除余 3 时，该
14、数可表示为 4(2n)27，n1,所以大于等于 43 的被 8 除余 3 的都可表示 当该数被 8 除余 4 时，该数可表示为 4(2n)4，所以大于等于 20 的被 8 除余 4 的都可表示 当该数被 8 除余 5 时，该数可表示为 4(2n)21，所以大于等于 37 的被 8 除余 5 的都可表示 当该数被 8 除余 6 时，该数可表示为 4(2n)6，所以大于等于 22 的被 8 除余 6 的都可表示 当该数被 8 除余 7 时，该数可表示为 4(2n)15，所以大于等于 31 的被 8 除余 7 的都可表示 综上所述，不能表示的最大的数是43835 经检验，35 的确无论如何也不能表示
15、成合数合数合数的形式，因此我们所求的最大的数就是 35。 【答案】35 模块二、互质 【例【例 9】 将六个自然数将六个自然数 14，20，33，117，143，175 分组分组，如果要求每组中的任意两个数都如果要求每组中的任意两个数都互互质质，则至少需则至少需 要将这些数分成要将这些数分成_组。组。 【考点】互质【难度】3 星【题型】填空 【关键词】华杯赛，决赛，第 5 题，10 分 【解析】先将所有数都分解质因数得： 14=27 20=225 33=311 117=3313 143=1113 175=557 注意到 33，117，143 两两都不互质，所以至少应该分成 3 组，同样 14，
16、20，175 也必须分为 3 组，互相配合就行。 【答案】3组 【例【例 10】把把 26，33，34，35，63，85，91，143 分成若干组分成若干组，要求每组中任意两个数的最大公约数是要求每组中任意两个数的最大公约数是 1，那那 么至少要分几组么至少要分几组. 【考点】分解质因数【难度】2 星【题型】解答 【解析】要保证每组中的任意 2 个数均互质，需要每组中的每个数字都有独有的质因数才能实现。可以对以 上每个数字进行分解质因数，容易得出最少分 3 组. 【答案】3 【例【例 11】把把 40，44，45，63，65，78，99，105 这八个数平分成两组，使每组四个数的乘积相等。这八
17、个数平分成两组，使每组四个数的乘积相等。 【考点】分解质因数【难度】2 星【题型】解答 【解析】 3 4025， 2 44211， 2 455 3， 2 6373，655 13，7823 13 ， 2 99311， 1053 57 ，要使每组四个数的乘积相等，需要每组含有相同的质因数，看质因数 2，第一组含有 40，第二组含有 44，78，再看11,13，第一组应有 40，99，65，再看 5 第二组应有 44，78，45，105， 5-3-3.质数与合数（三）.题库教师版page 4 of 4 最后看 7，第一组应有 40，99，65，63 【答案】40，99，65，63 【例【例 12】已知三个合数已知三个合数 A，B，C 两两互质，且两两互质，且 ABC=1101128，那么，那么 A+B+C 的最大值为的最大值为 【考点】互质【难度】4 星【题型】填空 【关键词】华杯赛，决赛，第 6 题，10 分 【解析】分解质因式： ABC=1101128=11100128= 222 271113 ， 由于 A， B， C 两两互质， 并且 A+B+C 要最大，则让数尽量的大，则最大为：4、49、1573，则 A+B+C 的最大值为 1626。 【答案】1626
