1、6-1-9.鸡兔同笼问题.题库教师版page 1 of 5 6-1-9.6-1-9.鸡兔同笼问题（三鸡兔同笼问题（三） 教学目标教学目标 1. 熟悉鸡兔同笼的“砍足法”和“假设法”. 2. 利用鸡兔同笼的方法解决一些实际问题，需要把多个对象进行恰当组合以转化成两个对象 知识精讲知识精讲 一、鸡兔同笼 这个问题，是我国古代著名趣题之一大约在1500年前，孙子算经中就记载了这个有趣的问题书 中是这样叙述的：“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何？这四句话的意思是：有若 干只鸡兔同在一个笼子里，从上面数，有35个头；从下面数，有94只脚求笼中各有几只鸡和兔？ 你会解答这个问题吗？你
2、想知道孙子算经中是如何解答这个问题的吗？ 二、解鸡兔同笼的基本步骤 解答思路是这样的： 假如砍去每只鸡、 每只兔一半的脚， 则每只鸡就变成了“独脚鸡”， 每只兔就变成了“双 脚兔”这样，鸡和兔的脚的总数就由94只变成了47只；如果笼子里有一只兔子，则脚的总数就比头的总数 多1因此，脚的总只数47与总头数35的差，就是兔子的只数，即473512（只）显然，鸡的只数就是 351223（只）了。这一思路新颖而奇特，其“砍足法”也令古今中外数学家赞叹不已除此之外，“鸡兔同 笼”问题的经典思路“假设法” 假设法顺口溜：鸡兔同笼很奥妙，用假设法能做到，假设里面全是鸡，算出共有几只脚，和脚总数做比 较，做差
3、除二兔找到 解鸡兔同笼问题的基本关系式是： 如果假设全是兔，那么则有：鸡数=（每只兔子脚数鸡兔总数-实际脚数）（每只兔子脚数-每只鸡的脚数） 兔数=鸡兔总数-鸡数 如果假设全是鸡，那么就有：兔数=（实际脚数-每只鸡脚数鸡兔总数）（每只兔子脚数-每只鸡的脚数） 鸡数=鸡兔总数-兔数 当头数一样时，脚的关系：兔子是鸡的当头数一样时，脚的关系：兔子是鸡的 2 倍倍 当脚数一样时，头的关系：鸡是兔子的当脚数一样时，头的关系：鸡是兔子的 2 倍倍 在学习的过程中，注重假设法的运用，渗透假设法的重要性，在以后的专题中，如工程，行程，方程等 专题中也都会接触到假设法 例题精讲例题精讲 模块一、多个量的“鸡兔
4、同笼”鸡兔同笼问题 【例【例 1】有蜘蛛有蜘蛛、蜻蜓蜻蜓、蝉三种动物共蝉三种动物共 18 只只，共有腿共有腿 118 条条，翅膀翅膀 20 对对(蜘蛛蜘蛛 8 条腿条腿；蜻蜓蜻蜓 6 条腿条腿，两对翅两对翅 膀；蝉膀；蝉 6 条腿，一对翅膀条腿，一对翅膀)，求蜻蜓有多少只？，求蜻蜓有多少只？ 【考点】鸡兔同笼问题【难度】4 星【题型】解答 【关键词】假设思想方法 【解析】这是在鸡兔同笼基础上发展变化的问题.观察数字特点， 蜻蜓、 蝉都是 6 条腿， 只有蜘蛛 8 条腿.因此， 可先从腿数入手，求出蜘蛛的只数.我们假设三种动物都是 6 条腿，则总腿数为6 18108(条)，所 差11810810
5、(条)，必然是由于少算了蜘蛛的腿数而造成的.所以，应有(118108)(86)5(只) 蜘蛛.这样剩下的18513(只)便是蜻蜓和蝉的只数.再从翅膀数入手，假设 13 只都是蝉，则总翅膀 数1 1313(对)，比实际数少20137(对)，这是由于蜻蜓有两对翅膀，而我们只按一对翅膀计 算所差，这样蜻蜓只数可求7(21)7(只). 【答案】7只 【巩固】【巩固】 希望小学的生物标本室里有蜻蜓希望小学的生物标本室里有蜻蜓，蝉蝉，蜘蛛共蜘蛛共 11 只只，它们共有它们共有 74 条腿条腿，10 对翅膀对翅膀，由图由图 7 知该标知该标 本室里有本室里有只蜘蛛。只蜘蛛。 6-1-9.鸡兔同笼问题.题库教
6、师版page 2 of 5 图图 7 【考点】鸡兔同笼问题【难度】4 星【题型】填空 【关键词】希望杯，4 年级，1 试，假设思想方法 【解析】这个题目就是有三种动物的鸡兔同笼问题，需先转化成两种动物。蜻蜓与蝉有共同的特征，所以我 们可以先把它们看成一种动物， 取名叫蜻蝉。 用假设法知： 如果这11只全是蜻蝉， 则应长腿：11 666 （只） ，比实际少了：74668（只） ，用一只蜘蛛去换一只蜻蝉，则就多 2 只，要多 8 只则需要 蜘蛛824（只） 。 【答案】4只 【巩固】【巩固】 犀牛犀牛、羚羊羚羊、孔雀三种动物共有头孔雀三种动物共有头 26 个个，脚脚 80 只只，犄角犄角 20 只
7、只已知犀牛有已知犀牛有 4 只脚只脚、1 只犄角只犄角，羚羚 羊有羊有 4 只脚，只脚，2 只犄角，孔雀有只犄角，孔雀有 2 只脚，没有犄角那么，犀牛、羚羊、孔雀各有几只呢？只脚，没有犄角那么，犀牛、羚羊、孔雀各有几只呢？ 【考点】鸡兔同笼问题【难度】4 星【题型】解答 【关键词】假设思想方法 【解析】这道题有三种不同的动物混合在一起，这样假设起来会比较麻烦，像前面的题一样，我们可以观察 一下：虽然有三种不同的动物，但是犀牛和羚羊都是 4 只脚，这样，只看脚数，就可以把孔雀与这 两种动物分开，转化成我们熟悉的“鸡兔同笼”问题，然后再通过犄角的不同，把犀牛和羚羊分开， 也就是说我们需要做两次“鸡
8、兔同笼” 假设 26 只都是孔雀，那么就有脚：26252（只） ，比实际的少：805228（只） ，这说明孔雀 多了， 需要增加犀牛和羚羊 每增加一只犀牛或羚羊， 减少一只孔雀， 就会增加脚数：422（只） 所 以，孔雀有2628212（只） ，犀牛和羚羊总共有261214（只） 假设 14 只都是犀牛，那么就有犄角：14 114 （只） ，比实际的少：20146（只） ，这说明犀牛 多了羚羊少了， 需要减少犀牛增加羚羊 每增加一只羚羊， 减少一只犀牛， 犄角数就会增加：211 （只） ，所以，羚羊的只数：616 （只） ，犀牛的只数：1468（只） 小结小结这道题出现了三种动物，关键是寻找不
9、同动物的相同点，把三种动物化为两类，先使用“鸡兔同笼” 问题的解法把另外特殊的一种区分出来，再使用另外条件区分具有相同点的动物 【答案】犀牛8只，羚羊6只，孔雀12只 模块二、多个量的“鸡兔同笼”变例 【例【例 2】食品店上午卖出每千克为食品店上午卖出每千克为 20 元元、25 元元、30 元的元的 3 种糖果共种糖果共 100 千克千克，共收入共收入 2570 元元已知其中售已知其中售 出每千克出每千克 25 元和每千克元和每千克 30 元的糖果共收入了元的糖果共收入了 1970 元元， 那么那么， 每千克每千克 25 元的糖果售出了多少千克？元的糖果售出了多少千克？ 【考点】鸡兔同笼问题【
10、难度】3 星【题型】解答 【关键词】假设思想方法 【解析】每千克 25 元和每千克 30 元的糖果共收入了 1970 元，则每千克 20 元的收入：25701970600元， 所以卖出：6002030千克，所以卖出每千克 25 元和每千克 30 克的糖果共1003070千克，相 当于将题目转换成：卖出每千克 25 元和每千克 30 克的糖果共 70 千克，收入 1970 元，问：每千克 25 元的糖果售出了多少千克？转换成了最基本的鸡兔同笼问题假设全是每千克25元的， 197025703025 =44（千克） ，所以 30 元的是44千克，所以25元的有：7044=26（千克） 关键：将三种以
11、及更多的动物/东西，转化为两种最基本模型。即：抓住转化后的“头”与“脚”。 【答案】26千克 【巩固】【巩固】08年春，我国南方遭受到重大雪灾，实验小学三年级一班的年春，我国南方遭受到重大雪灾，实验小学三年级一班的42名同学给南方的灾区捐款名同学给南方的灾区捐款450元。元。 其中有其中有12名同学每人捐名同学每人捐5元，其他同学捐元，其他同学捐10元或元或20元，则捐元，则捐10元的有元的有名，捐名，捐20元的有元的有 名。名。 【考点】鸡兔同笼问题【难度】3 星【题型】填空 【关键词】学而思杯，3 年级，第 8 题，假设思想方法 【解析】【解析】由题意，4212=30（名）同学捐10元或2
12、0元，一共捐了450125390（元） ，那么捐20元的同 学有：(3901030)(2010)9（人） ，捐10元的有：30921（名） 。 【答案】21名 6-1-9.鸡兔同笼问题.题库教师版page 3 of 5 【例【例 3】某场足球赛赛前售出甲、乙、丙三类门票共某场足球赛赛前售出甲、乙、丙三类门票共 400400 张，甲类票张，甲类票 5050 元张，乙类票元张，乙类票 4040 元元/ /张，丙类张，丙类票票 3030 元元/ /张，共收入张，共收入 1550015500 元，其中乙类、丙类门票张数相同则甲类、乙类、丙类门票分别售出多元，其中乙类、丙类门票张数相同则甲类、乙类、丙类
13、门票分别售出多 少张少张? ? 【考点】鸡兔同笼问题【难度】3 星【题型】填空 【关键词】希望杯，四年级，二试，第 14 题 【解析】鸡兔同笼问题，乙类、丙类门票张数相同，则可以看成价格为 35 元张的同一类门票容易得到甲 类门票售出 () () 40050400 155005035100-=张，乙类、丙类各售出(400 -100)2=150 张 【答案】甲门票售出100张，乙和丙售出150张 【例【例 4】有红、黄、绿有红、黄、绿3种颜色的卡片共有种颜色的卡片共有100张，其中红色卡片的两面上分别写有张，其中红色卡片的两面上分别写有1和和2，黄色卡片的两面，黄色卡片的两面 上分别写着上分别写
14、着1和和3，绿色卡片的两面上分别写着，绿色卡片的两面上分别写着2和和3现在把这些卡片放在桌子上，让每张卡片写现在把这些卡片放在桌子上，让每张卡片写 有较大数字的那面朝上，经计算，各卡片上所显示的数字之和为有较大数字的那面朝上，经计算，各卡片上所显示的数字之和为234若把所有卡片正反面翻转一若把所有卡片正反面翻转一 下，各卡片所显示的数字之和则变成下，各卡片所显示的数字之和则变成123问黄色卡片有多少张？问黄色卡片有多少张？ 【考点】鸡兔同笼问题【难度】3 星【题型】解答 【关键词】假设思想方法 【解析】开始的时候， 黄色和绿色的卡片上都是3， 红色卡片上是2 如果全部是红色卡片， 那么数字之和
15、为： 2 100200，比实际的少：23420034每增加一张黄色或绿色卡片，那么数字就会增加： 321那么，黄色和绿色卡片之和：34134 （张） ，红色卡片有：1003466（张） 翻转过来后，红色和黄色卡片上都是1，绿色卡片上是2红色卡片有66张，剩下的绿色和黄色卡片 上的数字之和为：123 1 6657 如果34张卡片都是黄色的，那么这34张卡片上的数字之和为： 1 3434，比实际的少：573423每增加一张绿色卡片，数字之和就会增加：211 ，所以， 绿色卡片有：23 123 （张） ，黄色卡片有：342311（张） 【答案】11张 【例【例 5】商店出售大商店出售大,中中,小气球
16、小气球,大球每大球每个个 3 元元,中球每中球每个个 1.5 元元,小球每小球每个个 1 元元.张老师张老师用用 120 元共买元共买了了 55 个球个球, 其中买中球的钱与买小球的钱恰好一样多其中买中球的钱与买小球的钱恰好一样多.问每种球各买几个？问每种球各买几个？ 【考点】鸡兔同笼问题【难度】3 星【题型】解答 【关键词】假设思想方法 【解析】因为总钱数是整数,大,小球的价钱也都是整数,所以买中球的钱数是整数,而且还是 3 的整数倍. 我们设想买中球,小球钱中各出 3 元.就可买 2 个中球,3 个小球.因此,可以把这两种球看作一种, 每个价钱是(1.52+13)(2+3)=1.2(元).
17、 从公式可算出,大球个数是(120-1.255)(3-1.2)=30(个). 买中,小球钱数各是(120-303)2=15(元). 可买 10 个中球,15 个小球. 【答案】大球30个，中球10个。小球15个 【例【例 6】从甲地至乙地全长从甲地至乙地全长 45 千米千米,有上坡路有上坡路,平路平路,下坡路下坡路.李强上坡速度是每小时李强上坡速度是每小时 3 千米千米,平路上速度平路上速度 是每小时是每小时 5 千米千米,下坡速度是每小时下坡速度是每小时 6 千米千米.从甲地到乙地从甲地到乙地,李强行走了李强行走了 10 小时小时;从乙地到甲地从乙地到甲地, 李强行走了李强行走了 11 小时
18、小时.问从甲地到乙地问从甲地到乙地,各种路段分别是多少千米各种路段分别是多少千米 【考点】鸡兔同笼问题【难度】3 星【题型】解答 【关键词】假设思想方法 【解析】把来回路程 452=90(千米)算作全程.去时上坡,回来是下坡;去时下坡回来时上坡.把上坡和下 坡合并成一种路程,根据例 15,平均速度是每小时 4 千米.现在形成一个非常简单的鸡兔同笼 问 题 . 头 数 10+11=21, 总 脚 数 90, 鸡 , 兔 脚 数 分 别 是 4 和 5. 因 此 平 路 所 用 时 间 是 (90-421)(5-4)=6(小时). 单程平路行走时间是 62=3(小时). 从甲地至乙地,上坡和下坡用
19、了 10-3=7(小时)行走路程是45-53=30(千米). 又是一个鸡兔同笼问题.从甲地至乙地,上坡行 走的时间是(67-30)(6-3)=4(小时). 行走路程是 34=12(千米). 下坡行走的时间是 7-4=3(小 时).行走路程是 63=18(千米). 【答案】上坡12千米，平路15千米，下坡18千米. 【例【例 7】在一次考试中有选择题在一次考试中有选择题、填空题和解答题三类题共填空题和解答题三类题共22道道选择题和填空题每题选择题和填空题每题4分分，解答题每题解答题每题10 分这次考试总分是分这次考试总分是100分，其中选择题和解答题的分值比填空题多分，其中选择题和解答题的分值比
20、填空题多4分，这次考试有多少道选择分，这次考试有多少道选择 题？多少道填空题？多少道解答题？题？多少道填空题？多少道解答题？ 【考点】鸡兔同笼问题【难度】3 星【题型】解答 【关键词】假设思想方法，希望杯 6-1-9.鸡兔同笼问题.题库教师版page 4 of 5 【解析】选择题和填空题的分值一样，可以归为一类。如果这次考试的22道题全是解答题，则总分应是： 22 10220(分)，但实际总分是100分，所以选择题和填空题共有：22010010420（）（）(道)， 解答题有：22202(道)选择题比填空题少：2 10416(分)，选择题有： 1002 1016248（）(道)，填空题有：20
21、812(道) 【答案】选择题8题，填空题12题，解答题2题 【例【例 8】某商场为招揽顾客举办购物抽奖某商场为招揽顾客举办购物抽奖.奖金有三种奖金有三种:一等一等奖奖 1000 元元,二等二等奖奖 250 元元,三等三等奖奖 50 元元.共共有有 100 人人 中奖中奖,奖金总额为奖金总额为 9500 元元.问二等奖有多少名？问二等奖有多少名？ 【考点】鸡兔同笼问题【难度】4 星【题型】解答 【关键词】假设思想方法 【解析】假设全是三等奖，共有：9500/50=190（人）中奖，比实际多：190-100=90（人） 1000/50=20，也 就是说：把 20 个三等奖换成一个一等奖，奖金总额不
22、变，而人数减少了：20-1=19（人） 250/50=5， 也就是说：把 5 个三等奖换成一个二等奖，奖金总额不变，而人数减少了：5-1=4（人） 。 因为多出 的是 90 人，而：90=19*2+4*13. 即：要使总人数为 100，只需要把 20*2=40 个三等奖换成 2 个一等 奖，把 5*13=65 个三等奖换成 13 个二等奖就可以了。 所以，二等奖有 13 个人。 【答案】13人 【巩固】【巩固】 有有 50 位同学前往参观位同学前往参观,乘电车前往每乘电车前往每人人 1.2 元元,乘小巴前往每乘小巴前往每人人 4 元元,乘地下铁路前往每乘地下铁路前往每人人 6 元元.这些同这些
23、同 学共用了车费学共用了车费 110 元元,问其中乘小巴的同学有多少位？问其中乘小巴的同学有多少位？ 【考点】鸡兔同笼问题【难度】4 星【题型】解答 【关键词】假设思想方法 【解析】由于总钱数 110 元是整数,小巴和地铁票也都是整数,因此乘电车前往的人数一定是 5 的整数倍. 如果 有 30 人乘电车, 110-1.230=74(元). 还余下 50-30=20(人)都乘小巴钱也不够.说明假设的乘电车人数少了. 如果有 40 人乘电车 110-1.240=62(元). 还余下 50-40=10(人)都乘地下铁路前往,钱还有多(62610).说明假设的乘电车人数又多了.30 至 40 之间,只
24、有 35 是 5 的整数倍. 现在又可以转化成鸡兔同笼了: 总头数 50-35=15, 总脚数 110-1.235=68. 因此,乘小巴前往的人数是 (615-68)(6-4)=11. 【答案】11 【例【例 9】学校组织新年游艺晚会学校组织新年游艺晚会,用于奖品的铅笔用于奖品的铅笔,圆珠笔和钢笔圆珠笔和钢笔共共 232 支支,共花共花了了 300 元元.其中铅笔数量其中铅笔数量 是圆珠笔的是圆珠笔的 4 倍倍.已知铅笔每支已知铅笔每支 0.60 元元,圆珠笔每支圆珠笔每支 2.7 元元,钢笔每支钢笔每支 6.3 元元.问三种笔各有多少问三种笔各有多少 支支 ？ 【考点】鸡兔同笼问题【难度】4
25、 星【题型】解答 【关键词】假设思想方法 【解析】从条件铅笔数量是圆珠笔的 4 倍,这两种笔可并成一种笔,四支铅笔和一支圆珠笔成一组, 这一组的笔,每支价格算作 (0.604+2.7)5=1.02(元). 现在转化成价格为 1.02 和 6.3 两种笔. 用鸡兔同笼公式可算出,钢笔支数是 (300-1.02232)(6.3-1.02)=12(支). 铅笔和圆珠笔共 232-12=220(支). 其中圆珠笔 220(4+1)=44(支). 铅笔 220-44=176(支). 【答案】钢笔12支，圆珠笔44支，铅笔176支 【例【例 10】某次考试有某次考试有 52 人参加，共考人参加，共考 5
26、道题，每题做错人数的统计表如下图道题，每题做错人数的统计表如下图 还知道每人都至少做对还知道每人都至少做对 1 道题，做对道题，做对 1 道题的有道题的有 7 人，人，5 道题全对的有道题全对的有 6 人，做对人，做对 2 道题和道题和 3 道题道题 的人数一样多那么做对的人数一样多那么做对 4 道题的人数是多少？道题的人数是多少？ 【考点】鸡兔同笼问题【难度】4 星【题型】解答 6-1-9.鸡兔同笼问题.题库教师版page 5 of 5 【关键词】假设思想方法 【解析】总共答对了：52546102030190（）道题，做对 2、3、4 道题的人总共有：527639 人，这 39 人总共答对了
27、：1907 156153 道题可假设做对 2 道题的有 1 人，假设出错量： 2 13 1392415342230（）（） ，所以假设正确，对二、三道题的各 1 人，对 4 道题 的 37 人难点：给的是做错题的表，而条件给的是做对的条件。 【答案】37人 【巩固】【巩固】 某次数学考试考五道题某次数学考试考五道题,全班全班 52 人参加人参加,共做对共做对 181 道题道题,已知每人至少做对已知每人至少做对 1 道题道题,做对做对 1 道的有道的有 7 人人,5 道全对的有道全对的有 6 人人,做对做对 2 道和道和 3 道的人数一样多道的人数一样多,那么做对那么做对 4 道的人数有多少人？
28、道的人数有多少人？ 【考点】鸡兔同笼问题【难度】4 星【题型】解答 【关键词】假设思想方法 【解析】对 2 道,3 道,4 道题的人共有52-7-6=39(人). 他们共做对 181-17-56=144(道). 由于对 2 道和 3 道题的人数一样多,我们就可以把他们看作是对 2.5 道题的人(2+3)2=2.5).这样兔 脚数=4,鸡脚数=2.5, 总脚数=144,总头数=39. 对 4 道题的有 (144-2.539)(4-1.5)=31(人). 【答案】31人 【例【例 1 1】 （2009“数学解题能力展示数学解题能力展示读者评选活动读者评选活动三三年级初赛年级初赛 11 题）题）一些
29、奇异的动物在草坪上聚会一些奇异的动物在草坪上聚会. . 有独有独 脚兽脚兽（1 1 个头个头、1 1 只脚只脚） 、双头龙双头龙（2 2 个头个头、4 4 只脚只脚） 、三脚猫三脚猫（1 1 个头个头、3 3 只脚只脚）和四脚蛇和四脚蛇（1 1 个头个头、 4 4 只脚只脚）. . 如果草坪上的动物共有如果草坪上的动物共有 5858 个头个头、160160 只脚只脚，且四脚蛇的数量恰好是双头龙数量的且四脚蛇的数量恰好是双头龙数量的 2 2 倍倍. . 那么，有那么，有_只独脚兽参加聚会只独脚兽参加聚会. . 【考点】鸡兔同笼问题【难度】5 星【题型】解答 【关键词】假设思想方法，迎春杯，整体法
30、 【解析】【解析】方法一：列表分析奇异动物的头和脚如下： 因为四脚蛇恰好是双头龙数量的 2 倍，所以可以将两只双头龙和一个四脚蛇打捆，这样每捆三个动 物，4 个头 12 只脚，恰好是四个三脚猫，这样本题就可以看成是两类动物： 一类是 1 个头 1 只脚， 一类是 1 个头 3 只脚， 两类动物共计 58 个头,160 脚，假设法独角兽只数为： 58 3 1603 1 =7 （只） 方法二：设独脚兽有x只，双头龙为y只，三脚猫有z只，则四脚蛇为2y只.根据题意，有 2258 438160 xyzy xyzy ，即 458 123160 xyz xyz ，故 458 123160 yzx yzx ，则(58)3160 xx，得 7x ，即独脚兽有7只.
