1、7-7-4.容斥原理之数论问题.题库教师版page1of6 教学目标教学目标 1. 了解容斥原理二量重叠和三量重叠的内容； 2. 掌握容斥原理的在组合计数等各个方面的应用 知识要点知识要点 一、两量重叠问题 在一些计数问题中，经常遇到有关集合元素个数的计算求两个集合并集的元素的个数，不能简单地把 两个集合的元素个数相加，而要从两个集合个数之和中减去重复计算的元素个数，即减去交集的元素个数， 用式子可表示成：ABABAB(其中符号“”读作“并”，相当于中文“和”或者“或”的意思；符号“” 读作“交”，相当于中文“且”的意思)则称这一公式为包含与排除原理，简称容斥原理图示如下:A表示小圆 部分，B
2、表示大圆部分，C表示大圆与小圆的公共部分，记为：AB，即阴影面积图示如下:A表示小圆 部分，B表示大圆部分，C表示大圆与小圆的公共部分，记为：AB，即阴影面积 包含与排除原理告诉我们，要计算两个集合AB、的并集AB的元素的个数，可分以下两步进行： 第一步：分别计算集合AB、的元素个数，然后加起来，即先求AB(意思是把AB、的一切元素都“包含”进 来，加在一起)； 第二步：从上面的和中减去交集的元素个数，即减去CAB(意思是“排除”了重复计算的元素个数) 二、三量重叠问题 A类、B类与C类元素个数的总和A类元素的个数B类元素个数C类元素个数既是A类又是B类 的元素个数既是B类又是C类的元素个数既
3、是A类又是C类的元素个数同时是A类、B类、C类的元 素个数用符号表示为：ABCABCABBCACABC图示如下： 1先包含AB 重叠部分AB计算了2次，多加了1次； 2再排除ABAB 把多加了1次的重叠部分AB减去 图中小圆表示A的元素的个数，中圆表示B的元素的个数， 大圆表示C的元素的个数 1先包含：ABC 重叠部分AB、BC、CA重叠了2次， 多加了1次 2再排除：ABCABBCAC 重叠部分ABC重叠了3次，但是在进行ABC ABBCAC计算时都被减掉了 3再包含：ABCABBCACABC 7-7-47-7-4 容斥原理之数论问题容斥原理之数论问题 7-7-4.容斥原理之数论问题.题库教
4、师版page2of6 在解答有关包含排除问题时，我们常常利用圆圈图(韦恩图)来帮助分析思考 例题精讲例题精讲 【例【例 1】 在在1100的全部自然数中，不是的全部自然数中，不是3的倍数也不是的倍数也不是5的倍数的数有多少个？的倍数的数有多少个？ ? A ? B 【考点】容斥原理之数论问题【难度】2 星【题型】解答 【解析】【解析】如图，用长方形表示1100的全部自然数，A圆表示1100中3的倍数，B圆表示1100中5的倍 数，长方形内两圆外的部分表示既不是3的倍数也不是5的倍数的数 由1003331可知，1100中3的倍数有33个；由100520可知，1100中5的倍数有20个； 由1003
5、 5610 （）可知，1100既是3的倍数又是5的倍数的数有6个 由包含排除法，3或5的倍数有：3320647(个)从而不是3的倍数也不是5的倍数的数有 1004753(个) 【答案】53 【巩固】【巩固】在自然数在自然数1 100中，能被中，能被3或或5中任一个整除的数有多少个？中任一个整除的数有多少个？ 【考点】容斥原理之数论问题【难度】2 星【题型】解答 【解析】1003331，100520，1003 5610 （）根据包含排除法，能被3或5中任一个整除的 数有3320647(个) 【答案】47 【巩固】【巩固】 在前在前100个自然数中，能被个自然数中，能被2或或3整除的数有多少个？整
6、除的数有多少个？ 【考点】容斥原理之数论问题【难度】2 星【题型】解答 【解析】如图所示，A圆内是前100个自然数中所有能被2整除的数，B圆内是前100个自然数中所有能被3整 除的数，C为前100个自然数中既能被2整除也能被3整除的数 前100个自然数中能被2整除的数有：100250(个)由1003331知，前100个自然数中能被 3整除的数有：33个由10023164（）知，前100个自然数中既能被2整除也能被3整除的数 有16个 所以A中有50个数，B中有33个数，C中有16个数因为A，B都包含C，根据包含排除法得到， 能被2或3整除的数有：5033 1667(个) 【答案】67 【例【例
7、 2】 在从在从 1 至至 1000 的自然数中，既不能被的自然数中，既不能被 5 除尽，又不能被除尽，又不能被 7 除尽的数有多少个除尽的数有多少个? 【考点】容斥原理之数论问题【难度】2 星【题型】解答 【解析】11000 之间，5 的倍数有 1000 5 =200 个，7 的倍数有 1000 7 =142 个，因为既是 5 的倍数，又是 7 的倍数的数一定是 35 的倍数，所以这样的数有 1000 35 =28 个 所以既不能被 5 除尽，又不能被 7 除尽的数有 1000-200-142+-28=686 个 【答案】686 【巩固】【巩固】 求在求在 1 至至 100 的自然数中能被的
8、自然数中能被 3 或或 7 整除的数的个数整除的数的个数 【考点】容斥原理之数论问题【难度】2 星【题型】解答 【解析】记A：1100 中 3 的倍数，1003331，有 33 个； B：1100 中 7 的倍数，1007142，有 14 个； AB：1100 中 3 和 7 的公倍数，即 21 的倍数，10021416 ，有 4 个 依据公式，1100 中 3 的倍数或 7 的倍数共有3314443个，则能被 3 或 7 整除的数的个数为 43 7-7-4.容斥原理之数论问题.题库教师版page3of6 个. 【答案】43 【例【例 3】 以以 105 为分母的最简真分数共有多少个？它们的和
9、为多少？为分母的最简真分数共有多少个？它们的和为多少？ 【考点】容斥原理之数论问题【难度】4 星【题型】解答 【解析】以 105 为分母的最简真分数的分子与 105 互质，105=357，所以也是求 1 到 105 不是 3、5、7 倍数 的数有多少个，3 的倍数有 35 个，5 的倍数有 21 个，7 的倍数有 15 个，15 的倍数有 7 个，21 的倍 数 有 5 个 ， 35 的 倍 数 有 3 个 ， 105 的 倍 数 有 1 个 ， 所 以 105 以 内 与 105 互 质 的 数 有 105-35-21-15+7+5+3-1=48 个，显然如果 n 与 105 互质，那么（1
10、05-n）与 n 互质，所以以 105 为分母 的 48 个最简真分数可两个两个凑成 1，所以它们的和为 24. 【答案】48个，和24 【巩固】【巩固】分母是分母是 385 的最简真分数有多少个？并求这些真分数的和的最简真分数有多少个？并求这些真分数的和. 【考点】容斥原理之数论问题【难度】4 星【题型】解答 【解析】385=5711，不超过 385 的正整数中被 5 整除的数有 77 个；被 7 整除的数有 55 个；被 11 整除的数 有 35 个；被 77 整除的数有 5 个；被 35 整除的数有 11 个；被 55 整除的数有 7 个；被 385 整除的数 有 1 个；最简真分数的分
11、子可以有 385-77-55-35+5+11+7-1=240.对于某个分数 a/385 如果是最简真分 数的话，那么（385-a）/385 也是最简真分数，所以最简真分数可以每两个凑成整数 1，所以这些真 分数的和为 120. 【答案】240个，120个 【例【例 4】在在 1 至至 2008 这这 2008 个自然数中，恰好是个自然数中，恰好是 3、5、7 中两个数的倍数的数共有中两个数的倍数的数共有个个 【考点】容斥原理之数论问题【难度】3 星【题型】填空 【关键词】西城实验 【解析】1 到 2008 这 2008 个自然数中，3 和 5 的倍数有 2008 133 15 个，3 和 7
12、的倍数有 2008 95 21 个，5 和 7 的倍数有 2008 57 35 个，3、5 和 7 的倍数有 2008 19 105 个所以，恰好是 3、5、7 中两个数 的倍数的共有133 1995195719228个 【答案】228个 【例【例 5】 求求 1 到到 100 内有内有_个数不能被个数不能被 2、3、7 中的任何一个整除。中的任何一个整除。 【考点】容斥原理之数论问题【难度】3 星【题型】填空 【关键词】学而思杯，4 年级，第 12 题 【解析】被2整除的有50个，被3整除的有33个，被7整除的有14个 同时被2和3整除的有16个，同时被2和7整除的有7个，同时被3和7整除的
13、有4个 同时被2和3和7整除的有2个，100503314167421007228个 【答案】28 个。 【例【例 6】 在从在从 1 到到 1998 的自然数中，能被的自然数中，能被 2 整除，但不能被整除，但不能被 3 或或 7 整除的数有多少个？整除的数有多少个？ 【考点】容斥原理之数论问题【难度】3 星【题型】解答 【解析】 a b 表示取商的整数部分例如， 7 3 2 要注意的是，符号 与、符号一样，也是 一种运算，叫取整运算 本题中，先求出能被 2 整除的数有多少个，再分别求出能被 2 和 3、能被 2 和 7 分别整除的数的个 数，那么用能被 2 整除的数的个数减去能被 2 和 3
14、 整除的数的个数，再减去能被 2 和 7 整除的 数的个数，所得的差是不是所求的得数呢？仔细想想你会发现不是的，因为它多减了能同时被 2、3、 7 整除的数 故能被 2 整除的有：19982999(个) 能被 2 和 3 同时整除的有：199823 333（）(个) 能被 2 和 7 同时整除的有：199827 142（） 能被 2、3、7 同时整除的有：199823 7 47 （）(个) 7-7-4.容斥原理之数论问题.题库教师版page4of6 所以，能被 2 整除，但不能被 3 或 7 整除的数有999333 14247571(个) 【答案】571个 【例【例 7】 50 名同学面向老师
15、站成一行老师先让大家从左至右按名同学面向老师站成一行老师先让大家从左至右按 1，2，3，49，50 依次报数；再让报依次报数；再让报 数是数是 4 的倍数的同学向后转，接着又让报数是的倍数的同学向后转，接着又让报数是 6 的倍数的同学向后转问：现在面向老师的同学的倍数的同学向后转问：现在面向老师的同学 还有多少名还有多少名? 【考点】容斥原理之数论问题【难度】3 星【题型】解答 【关键词】华杯赛，初赛，第 13 题 【解析】在转过两次后，面向老师的同学分成两类： 第一类是标号既不是 4 的倍数，又不是 6 的倍数；第二类是标号既是 4 的倍数又是 6 的倍数 150之间，4的倍数有 50 4
16、=12,6的倍数有 50 6 =8，即是4的倍数又是6的倍数的数一定 是12的倍数，所以有 50 12 =4于是，第一类同学有50-12-8+4=34人，第二类同学有4人， 所以现在共有34+4=38名同学面向老师 【答案】38名 【例【例 8】 体育课上，体育课上，60 名学生面向老师站成一行，按老师口令，从左到右报数：名学生面向老师站成一行，按老师口令，从左到右报数：1，2，3，60，然后，然后， 老师让所报的数是老师让所报的数是 4 的倍数的同学向后转的倍数的同学向后转，接着又让接着又让 所报的数是所报的数是 5 的倍数的同学向后转的倍数的同学向后转，最后让最后让 所报的数是所报的数是
17、6 的倍数的同学向后转，现在面向老师的学生有的倍数的同学向后转，现在面向老师的学生有_人。人。 【考点】容斥原理之数论问题【难度】3 星【题型】填空 【关键词】希望杯，六年级，二试，第 15 题，4 分 【解析】 可知其中 4 的倍数有 15 个，5 的倍数有 12 个，6 的倍数有 10 个，同时是 4 和 5 的倍数的有 3 个， 同时是 5 和 6 的倍数的有 2 个，同时是 4 和 6 的倍数的有 5 个，同时是 4、5、6 的倍数的数有 1 个，现在背向老师的有 15+12+10-3-2-5+1=28 个，面向老师的学生有 60-28=32 人。转过两次的有： 31+21+517。最
18、后面向老师的学生数=32+739 个。 【答案】39个 【例【例 9】 有有 2000 盏亮着的电灯，各有一个拉线开关控制着，现按其顺序编号为盏亮着的电灯，各有一个拉线开关控制着，现按其顺序编号为 1，2，3，2000，然后，然后 将编号为将编号为 2 的倍数的灯线拉一下的倍数的灯线拉一下， 再将编号为再将编号为 3 的倍数的灯线拉一下的倍数的灯线拉一下， 最后将编号为最后将编号为 5 的倍数的灯的倍数的灯 线拉一下，三次拉完后，亮着的灯有多少盏？线拉一下，三次拉完后，亮着的灯有多少盏？ 【考点】容斥原理之数论问题【难度】3 星【题型】解答 【解析】三次拉完后， 亮着的灯包括不是 2、 3、
19、5 的倍数的数以及是 6、 10、 15 的倍数但不是 30 的倍数的数 1 2000 这 2000 个正整数中，2 的倍数有 1000 个，3 的倍数有 666 个，5 的倍数有 400 个，6 的倍数有 333 个，10 的倍数有 200 个，15 的倍数有 133 个，30 的倍数有 66 个，亮着的灯一共有 2000-1000-666-400+2（333+200+133）-466=1002 盏 【答案】1002盏 【巩固】【巩固】2006 盏亮着的电灯，各有一个拉线开关控制，按顺序编号为盏亮着的电灯，各有一个拉线开关控制，按顺序编号为 1，2，3，2006。将编号为。将编号为 2 的的
20、 倍数的灯的拉线各拉一下；再将编号为倍数的灯的拉线各拉一下；再将编号为 3 的倍数的灯的拉线各拉一下，最后将编号为的倍数的灯的拉线各拉一下，最后将编号为 5 的倍数的灯的倍数的灯 的拉线各拉一下。拉完后这着的灯数为（的拉线各拉一下。拉完后这着的灯数为（）盏。）盏。 【考点】容斥原理之数论问题【难度】3 星【题型】填空 【关键词】走美杯，五年级，第 11 题，六年级，第 11 题 【解析】因为灯在开始的时候是亮着的，所以拉了两次或者没拉的灯最后还是亮的这道题实际上是求 1 到 2006 中不能被 2、3、5 整除的数和只能同时被 2、3、5 中 2 个数整除的数的总个数 7-7-4.容斥原理之数
21、论问题.题库教师版page5of6 我们可以求得被 2 整除的数有200621003(盏)， 被 3 整除的数有200636682，共 668(盏)， 被 5 整除的数有200654011，共 401(盏) 其中，同时被 2、3 整除的数有2006(23)3342，共 334(盏)； 同时被 3、5 整除的有2006(3 5)13311，共 133(盏)； 同时被 2、5 整除的数有2006(25)2006，共 200(盏)； 同时被 2、3、5 整除的数有2006(23 5)6626 ，共 66(盏)，所以，只能同时被 2、3、5 中 2 个数整除的数的个数为3341332003 66469
22、 (盏)，不能被 2、3、5 整除的数的个数为 2006100366840133413320066535 ( 盏 ) 所 以 ， 最 后 亮 着 的 灯 一 共 为 4695351004(盏) 【答案】1004盏 【巩固】【巩固】写有写有 1 到到 100 编号的灯编号的灯 100 盏，亮着排成一排，每一次把编号是盏，亮着排成一排，每一次把编号是 3 的倍数的灯拉一次开关，第二次的倍数的灯拉一次开关，第二次 把编号是把编号是 5 的倍数的灯拉一次开关，那么亮着的灯还有多少盏？的倍数的灯拉一次开关，那么亮着的灯还有多少盏？ 【考点】容斥原理之数论问题【难度】3 星【题型】解答 【解析】【解析】因
23、为灯在开始的时候是亮着的，所以拉了两次或者没拉的灯最后还是亮的没拉的灯有 100100100 100()100(33206)53 353 5 (盏)，拉两次的有 100 6 3 5 (盏)，最后亮着的 灯一共为53659(盏) 【答案】59盏 【例【例 10】200 名同学编为名同学编为 1 至至 200 号面向南站成一排第号面向南站成一排第 1 次全体同学向右转（转后所有的同学面朝西次全体同学向右转（转后所有的同学面朝西） ； 第第 2 次编号为次编号为 2 的倍数的同学向右转的倍数的同学向右转；第第 3 次编号为次编号为 3 的倍数的同学向右转的倍数的同学向右转；第第 200 次编号次编号
24、 为为 200 的倍数的同学向右转；这时，面向东的同学有的倍数的同学向右转；这时，面向东的同学有名名 【考点】容斥原理之数论问题【难度】3 星【题型】填空 【关键词】迎春杯，五年级，初赛，10 题 【解析】【解析】只有约数个数被4除余3的数，最后面向东 约数个数为3的数有 2 2、 2 3、 2 5、 2 7、 2 11、 2 13，共8个数 约数个数为7的数有 6 2，1个， 约数个数为15的数有 24 32144，1个 一共有8个满足条件的编号 【答案】8名 【例【例 11】下编号是下编号是 1、2、3、36 号的号的 36 名学生按编号顺序面向里站成一圈名学生按编号顺序面向里站成一圈.第
25、一次，编号是第一次，编号是 1 的同学向的同学向 后转，第二次，编号是后转，第二次，编号是 2、3 的同学向后转，第三次，编号是的同学向后转，第三次，编号是 4、5、6 的同学向后转，的同学向后转，第，第 36 次，全体同学向后转次，全体同学向后转.这时，面向里的同学还有这时，面向里的同学还有_名名. 【考点】容斥原理之数论问题【难度】3 星【题型】填空 【关键词】迎春杯，中年级，复试，10 题 【解析】【解析】整个过程中一共转了 1+2+3+4+36=666 人次，每转过 72 人次所有学生的朝向就会和原来一样，那 么 66672=918，于是应该有 18 名同学面朝里，18 名同学面朝外。
26、 【答案】18名 【例【例 12】在游艺会上在游艺会上， 有有 100 名同学抽到了标签分别为名同学抽到了标签分别为 1 至至 100 的奖券的奖券 按奖券标签号发放奖品的规则如下按奖券标签号发放奖品的规则如下： （1）标签号为）标签号为 2 的倍数，奖的倍数，奖 2 支铅笔；支铅笔； （2）标签号为）标签号为 3 的倍数，奖的倍数，奖 3 支铅笔；支铅笔； （3）标签号既是）标签号既是 2 的倍数，又是的倍数，又是 3 的倍数可重复领奖；的倍数可重复领奖； （4）其他标签号均奖）其他标签号均奖 1 支铅笔支铅笔 那么游艺会为该项活动准备的奖品铅笔共有多少支那么游艺会为该项活动准备的奖品铅笔共
27、有多少支? 【考点】容斥原理之数论问题【难度】4 星【题型】解答 7-7-4.容斥原理之数论问题.题库教师版page6of6 【解析】【解析】1100，2 的倍数有 100 2 =50，3 的倍数有 100 3 =33 个，因为既是 2 的倍数，又是 3 的倍数的数一 定是 6 的倍数，所以标签为这样的数有 100 6 =16 个于是，既不是 2 的倍数，又不是 3 的倍数的 数 在 1 100 中 有 100-50-33+16=33 所 以 ， 游 艺 会 为 该 项 活 动 准 备 的 奖 品 铅 笔 共 有 ： 502+333+331=232 支. 【答案】232支 【例【例 13】在一
28、根长木棍上在一根长木棍上，有三种刻度线有三种刻度线，第一种刻度线将木棍分成十等份第一种刻度线将木棍分成十等份；第二种将木棍分成十二等份第二种将木棍分成十二等份； 第三种将木棍分成十五等份；如果沿每条刻度线将木棍锯断，则木棍总共被锯成第三种将木棍分成十五等份；如果沿每条刻度线将木棍锯断，则木棍总共被锯成_段段 【考点】容斥原理之数论问题【难度】3 星【题型】填空 【解析】【解析】假设木棍长60cm，则沿第一种刻度线锯成的木棍每段长60106cm，沿第二种刻度线锯成的木棍 每段长60125cm，沿第三种刻度线锯成的木棍每段长60144cm 因为，沿三种刻度线可将木棍分别锯成 10、12、15 段；
29、沿第一、二种重合的刻度线可将木棍锯成 606,52段，沿第一、三种重合的刻度线可将木棍锯成606,45段，沿第二、三种重合的刻 度线可将木棍锯成605,43段；沿三种刻度重合的刻度线可将木棍锯成606,5,41段应该 减去重复计算的沿任意两种重合的刻度线锯成的段数，应加上多减去的沿三种刻度重合的刻度线锯 成的段数所以，沿每条刻度线将木棍锯断，则木棍总共被锯成 101215253128 段 【答案】28段 【例【例 14】一根一根 101 厘米长的木棒厘米长的木棒，从同一端开始从同一端开始，第一次每隔第一次每隔 2 厘米画一个刻度厘米画一个刻度，第二次每隔第二次每隔 3 厘米画一个厘米画一个 刻
30、度，第三次每隔刻度，第三次每隔 5 厘米画一个刻度，如果按刻度把木棒截断，那么可以截出厘米画一个刻度，如果按刻度把木棒截断，那么可以截出段段 【考点】容斥原理之数论问题【难度】4 星【题型】填空 【关键词】101 中学 【解析】要求出截出的段数，应当先求出木棒上的刻度数，而木棒上的刻度数，相当于 1、2、3、100、 101 这 101 个自然数中 2 或 3 或 5 的倍数的个数，为： 101101101101101101101 74 23523253 523 5 ，故木棒上共有 74 个刻度，可以截 出 75 段 【答案】75段 【巩固】【巩固】【巩固】【巩固】一根一根1.8米长的木棍米长
31、的木棍， 从左端开始每隔从左端开始每隔 2 厘米画一个刻度厘米画一个刻度， 涂完后再从左端开始每隔涂完后再从左端开始每隔 3 厘米画一个刻厘米画一个刻 度，再从左端每隔度，再从左端每隔 5 厘米画一个刻度，再从左端每隔厘米画一个刻度，再从左端每隔 7 厘米画一个刻度，涂过按刻度把木棍截断，厘米画一个刻度，涂过按刻度把木棍截断， 一共可以截成多少段小木棍？一共可以截成多少段小木棍？ 【考点】容斥原理之数论问题【难度】4 星【题型】解答 【解析】1.8米长的木棍，按 2 厘米一段画出刻度，那么也就是说所有的偶数点都已经划过了，即 2、4、6、 8、10共 89 个点，那么再画 3 的时候所有的偶数
32、点都已经划过，那么会多出 30 个点，即 3、9、 15，再画 5 的时候会多出来的点是 5、25、35、55、65、85、95、115、125、145、155、175， 共 12 个，最后画间隔 7 厘米的时候，会多出 7、49、77、91、119、133、161 共 7 个点，那么所有 的刻度总和应该是8930127138个，那么截断之后应该会有 139 段小木棍 【答案】139段 【例【例 15】在循环小数中类似于在循环小数中类似于 1 0.142857 7 ， 1 0.076923 13 等，循环节是从小数点右边的第一位（即十分等，循环节是从小数点右边的第一位（即十分 位位）就开始的小数就开始的小数，叫做纯循环小数叫做纯循环小数，包括包括7和和13在内在内，共有共有个正整数个正整数，其倒数是循环其倒数是循环 节恰好为六位的纯循环小数。节恰好为六位的纯循环小数。 【考点】容斥原理之数论问题【难度】5 星【题型】填空 【关键词】学而思杯，6 年级，1 试，第 4 题 【解析】根据容斥原理，999999的约数有64个，999的约数有8个，99的约数有6个，9的约数有3个， 所 求的n的个数为64(863)53（个） 。 【答案】53个
