1、8-7.游戏与策略.题库教师版page 1 of 24 游戏与策略游戏与策略 教学目标教学目标 1.通过实际操作寻找题目中蕴含的数学规律 2.在操作过程中，体会数学规律的并且设计最优的策略和方案 3.熟练掌握通过简单操作、染色、数论等综合知识解决策略问题 知识点拨知识点拨 实际操作与策略问题这类题目能够很好的提高学生思考问题的能力，激发学生探索数学规律的兴趣， 并通过寻找最佳策略过程，培养学生的创造性思维能力，这也是各类考试命题者青睐的这类题目的原因。 例题精讲例题精讲 模块一、探索与操作 【例【例 1】 将将 113 这这 13 个自然数分别写在个自然数分别写在 13 张卡片上张卡片上， 再
2、将这再将这 13 张卡片按一定的顺序从左至右排好张卡片按一定的顺序从左至右排好 然然 后进行如下操作：将从左数第一张和第二张依次放到最后，将第三张取出而这张卡片上的数后进行如下操作：将从左数第一张和第二张依次放到最后，将第三张取出而这张卡片上的数是是 1；再将下面的两张依次放到最后并取出下一张再将下面的两张依次放到最后并取出下一张，取出的卡片上面的数是取出的卡片上面的数是 2；继续将下面的两张继续将下面的两张 依次放到最后并取出下一张，取出的卡片上面的数是依次放到最后并取出下一张，取出的卡片上面的数是 3如此进行下去，直到取出最后一张如此进行下去，直到取出最后一张 是是 13 为止则为止则 1
3、3 张卡片最初从左到右的顺序为张卡片最初从左到右的顺序为 【考点】游戏与策略【难度】3 星【题型】填空 【关键词】北京奥校杯 【解析】这 13 张卡片依次是原来的第 3，第 6，第 9，第 12，第 2，第 7，第 11，第 4，第 10，第 5，第 1， 第 8，第 13 张，所以原来的顺序为 11，5，1，8，10，2，6，12，3，9，7，4，13 【答案】11，5，1，8，10，2，6，12，3，9，7，4，13 【例【例 2】 在纸上写着一列自然数在纸上写着一列自然数 1，2，98，99一次操作是指将这列数中最前面的三个数划去一次操作是指将这列数中最前面的三个数划去，然然 后把这三个
4、数的和写在数列的最后面例如第一次操作后得到后把这三个数的和写在数列的最后面例如第一次操作后得到 4，5，98，99，6；而第二；而第二 次操作后得到次操作后得到 7，8，98，99，6，15这样不断进行下去，最后将只剩下一个数，则最后这样不断进行下去，最后将只剩下一个数，则最后 剩下的数是剩下的数是 【考点】游戏与策略【难度】3 星【题型】填空 【关键词】迎春杯 【解析】第一轮：分 33 次划 19，后面写上 6，15，24，294 共 33 个数第二轮：分 11 次划去这 33 个数，后面写上 45，126，207，855，共 11 个数之后的操作一次减少 2 个数，故还需 操作 5 次 设
5、这 11 个数为： 1 a， 2 a， 11 a则接下去的数是： 123 ()aaa， 456 ()aaa， 789 ()aaa， 1011123 ()aaaaa， 4567891011123 ()aaaaaaaaaaa 因此最后一数为： 12311 12994950aaaa 【答案】4950 【巩固】【巩固】 在在 1，9，8，9 后面写一串这样的数字后面写一串这样的数字：先计算原来这先计算原来这 4 个数的后两个之和个数的后两个之和 8917，取个位数取个位数 8-7.游戏与策略.题库教师版page 2 of 24 字字 7 写在写在 1，9，8，9 的后面成为的后面成为 1，9，8，9，
6、7；再计算这；再计算这 5 个数的后两个之和个数的后两个之和 9716；取；取 个位数字个位数字 6 写在写在 1，9，8，9，7 的后面成为的后面成为 1，9，8，9，7，6；再计算这；再计算这 6 个数的后两个之个数的后两个之和和 7613，取个位数字取个位数字 3 写在写在 1，9，8，9，7，6 的后面成为的后面成为 1，9，8，9，7，6，3. 继续这样求继续这样求 和，这样添写，成为数串和，这样添写，成为数串 1，9，8，9，7，6，3，9，2，1，3，4那么这个数串的前那么这个数串的前 398 个数个数 字的和是字的和是_. 【考点】游戏与策略【难度】3 星【题型】填空 【关键词
7、】迎春杯，决赛 【解析】前 16 个数字是 1，9，8，9，7，6，3，9，2，1，3，4，7，1，8，9 可见除去前 2 个数字 1、9 后，每 12 个数字一组重复出现.因此前 398 个数字的和是 19（897639213471） 3982 12 1060331990 【答案】1990 【例【例 3】 圆周上放有圆周上放有N枚棋子，如图所示，枚棋子，如图所示，B点的那枚棋子紧邻点的那枚棋子紧邻A点的棋子小洪首先拿走点的棋子小洪首先拿走B点处的点处的 1 枚棋子枚棋子，然后沿顺时针方向每隔然后沿顺时针方向每隔 1 枚拿走枚拿走 2 枚棋子枚棋子，这样连续转了这样连续转了 10 周周，9 次
8、越过次越过A当将要当将要 第第 10 次越过次越过A处棋子取走其他棋子时处棋子取走其他棋子时，小洪发现圆周上余下小洪发现圆周上余下 20 多枚棋子多枚棋子若若N是是 14 的倍数的倍数， 请精确算出圆周上现在还有多少枚棋子？请精确算出圆周上现在还有多少枚棋子？ ? A ? B 【考点】游戏与策略【难度】3 星【题型】解答 【解析】设圆周上余a枚棋子，从第 9 次越过A处拿走 2 枚棋子到第 10 次将要越过A处棋子时，小洪拿 了2a枚棋子，所以在第 9 次将要越过A处棋子时，圆周上有3a枚棋子依次类推，在第 8 次将 要越过A处棋子时，圆周上有 2 3 a枚棋子，在第 1 次将要越过A处棋子时
9、，圆周上有 9 3 a枚 棋 子 ， 在 第 1 次 将 要 越 过A处 棋 子 之 间 ， 小 洪 拿 走 了 9 2 311a 枚 棋 子 ， 所 以 9910 2(31)1331Naaa 10 31590491Naa 是 14 的倍数，N是 2 和 7 的公倍数， 所以a必须是奇数；又78435417843541Naaa ，所以41a 必须是 7 的倍数当 21a ，25，27，29 时，41a 不是 7 的倍数，当23a 时，4191a 是 7 的倍数所以，圆周 上还有 23 枚棋子 【答案】23 【例【例 4】 有足够多的盒子依次编号有足够多的盒子依次编号 0，1，2，只有只有 0
10、号是黑盒号是黑盒，其余的都是白盒其余的都是白盒开始时把开始时把 10 个球个球 放入白盒中，允许进行这样的操作：如果放入白盒中，允许进行这样的操作：如果k号白盒中恰有号白盒中恰有k个球，可将这个球，可将这k个球取出，并给个球取出，并给 0 号、号、1 号、号、，(1)k 号盒中各放号盒中各放 1 个如果经过有限次这样的操作后，最终把个如果经过有限次这样的操作后，最终把 10 个球全放入个球全放入 黑盒中，那么黑盒中，那么 4 号盒中原有号盒中原有个球个球 【考点】游戏与策略【难度】3 星【题型】填空 【关键词】两岸四地，华杯赛 【解析】使用倒推法最终各盒中依次有球(10，0，0，0，)，前一次
11、必然分的是 1 号盒中的球，否则 1 号盒中最终至少有 1 个球所以，倒数第一次分前盒中依次有球(9，1，0，0，)依次倒推， 为：(10，0，0，0，)(9，1，0，0，)(8，0，2，0，0，)(7，1，2，0，0，)(6， 0，1，3，0，)(5，1，1，3，0，)(4，0，0，2，4，)(3，1，0，2，4，)(2，0， 2，2，4，)(1，1，2，2，4，)(0，0，1，1，3，5)，0 号盒中此时为 0 个球，不能再 倒推所以，4 号盒中原有 3 个球 【答案】3 【例【例 5】 一个数列有如下规则一个数列有如下规则：当数当数n是奇数时是奇数时，下一个数是下一个数是1n ；当数当数
12、n是偶数时是偶数时，下一个数是下一个数是 2 n 如如 果这列数的第一个数是奇数，第四个数是果这列数的第一个数是奇数，第四个数是11，则这列数的第一个数是，则这列数的第一个数是 【考点】游戏与策略【难度】3 星【题型】填空 【解析】本题可以进行倒推11的前一个数只能是偶数22，22的前一个数可以是偶数44或奇数21，44的 8-7.游戏与策略.题库教师版page 3 of 24 前一个是可以是偶数88或奇数43，而21的前一个只能是偶数42 由于这列数的第一个是奇数，所以只有 43 满足故这列数的第一个数是 43 也可以顺着进行分析假设第一个数是a，由于a是奇数，所以第二个数是1a ，是个偶数
13、，那 么第三个数是 1 2 a ，第四个数是 11，11 只能由偶数 22 得来，所以 1 22 2 a ，得到43a ，即这 列数的第一个数是 43 【答案】43 【巩固】【巩固】 在信息时代信息安全十分重要，往往需要对信息进行加密，若按照在信息时代信息安全十分重要，往往需要对信息进行加密，若按照“乘乘 3 加加 1 取个位取个位”的方式逐的方式逐 位加密，明码位加密，明码“16”加密之后的密码为加密之后的密码为“49”，若某个四位明码按照上述加密方式，经过两次加密，若某个四位明码按照上述加密方式，经过两次加密 得到的密码是得到的密码是“2445”，则明码是，则明码是 【考点】游戏与策略【难
14、度】3 星【题型】填空 【关键词】走美杯，初赛，六年级 【解析】09 这 10 个数字乘以 3 所得的数的个位数字互不相同是本题可以进行判断的基础 采用倒推法，可以得到经过一次加密之后的密码是“7118”，再进行倒推，可以得到原来的 明码是 2009. 【答案】2009 【例【例 6】 设有设有 25 个标号筹码，其中每个筹码都标有从个标号筹码，其中每个筹码都标有从 1 到到 49 中的一个不同的奇数，两个人轮流选取筹中的一个不同的奇数，两个人轮流选取筹 码码 当一个人选取了标号为当一个人选取了标号为x的筹码时的筹码时， 另一个人必须选取标号为另一个人必须选取标号为99x的最大奇因数的筹码的最
15、大奇因数的筹码 如如 果第一个被选取的筹码的编号为果第一个被选取的筹码的编号为 5，那么当游戏结束时还剩，那么当游戏结束时还剩个筹码个筹码 【考点】游戏与策略【难度】3 星【题型】解答 【关键词】武汉,明星奥数挑战赛 【解析】解若x99x 547 4713 1343 437 723 2319 195 当一个人拿到 19 时，下一个人就要拿 5 了，故游戏结束，拿了 7 个剩25718(个) 【答案】18 【例【例 7】 一个盒子里有一个盒子里有 400 枚棋子，其中黑色和白色的棋子各枚棋子，其中黑色和白色的棋子各 200 枚，我们对这些棋子做如下操作：每枚，我们对这些棋子做如下操作：每 次拿出
16、次拿出 2 枚棋子，如果颜色相同，就补枚棋子，如果颜色相同，就补 1 枚黑色棋子回去；如果颜色不同，就补枚黑色棋子回去；如果颜色不同，就补 1 枚白色的棋枚白色的棋 子回去这样的操作，实际上就是每次都少了子回去这样的操作，实际上就是每次都少了 1 枚棋子，那么，经过枚棋子，那么，经过 399 次操作后，最后剩下次操作后，最后剩下 的棋子是的棋子是颜色颜色(填黑或者白填黑或者白) 【考点】游戏与策略【难度】3 星【题型】填空 【关键词】北大附中，资优博雅杯 【解析】由于起初白子 200 枚是偶数，若同色，补黑子 1 枚，白子仍为偶数；若异色，补白子 1 枚，白子 仍为偶数因此最后 1 枚不可能是
17、白子，故应是黑子 【答案】黑 【巩固】【巩固】 30 粒珠子依粒珠子依 8 粒红色、粒红色、2 粒黑色、粒黑色、8 粒红色、粒红色、2 粒黑色、粒黑色、的次序串成一圈一只蚱蜢从第的次序串成一圈一只蚱蜢从第 2 粒黑珠子起跳，每次跳过粒黑珠子起跳，每次跳过 6 粒珠子落在下一粒珠子上这只蚱蜢至少要跳几次才能再次落在黑粒珠子落在下一粒珠子上这只蚱蜢至少要跳几次才能再次落在黑 珠子上珠子上 【考点】游戏与策略【难度】3 星【题型】解答 【关键词】走美杯，试题 【解析】这些珠子按 8 粒红色、2 粒黑色、8 粒红色、2 粒黑色、的次序串成一圈，那么每 10 粒珠子 一个周期，我们可以推断出这 30 粒
18、珠子数到第 9 和 10、19 和 20、29 和 30、39 和 40、49 和 50 粒的时候，会是黑珠子刚才是从第 10 粒珠子开始跳，中间隔 6 粒，跳到第 17 粒，接下来 是第 24 粒、31 粒、38 粒、45 粒、52 粒、59 粒，一直跳到 59 粒的时候会是黑珠子，所以至少要 跳 7 次 【答案】7 次 8-7.游戏与策略.题库教师版page 4 of 24 【巩固】【巩固】 在黑板上写上在黑板上写上1、2、3、4、2008，按下列规定进行按下列规定进行“操怍操怍”：每次擦去其中的任意两个每次擦去其中的任意两个 数数a和和b，然后写上它们的差，然后写上它们的差(大数减小数大
19、数减小数)，直到黑板上剩下一个数为止问黑板上剩下的数是，直到黑板上剩下一个数为止问黑板上剩下的数是 奇数还是偶数？为什么？奇数还是偶数？为什么？ 【考点】游戏与策略【难度】3 星【题型】解答 【解析】根据等差数列求和公式，可知开始时黑板上所有数的和为12320082009 1004是一个 偶数， 而每一次“操作”， 将a、b两个数变成了()ab， 它们的和减少了2b， 即减少了一个偶数 那 么从整体上看，总和减少了一个偶数，其奇偶性不变，还是一个偶数所以每次操作后黑板上剩 下的数的和都是偶数，那么最后黑板上剩下一个数时，这个数是个偶数 【答案】偶数 【例【例 8】 桌上有一堆石子共桌上有一堆石
20、子共 1001 粒粒。第一步从中扔去一粒石子第一步从中扔去一粒石子，并把余下的石子分成两堆并把余下的石子分成两堆。以后的每一以后的每一 步步，都从某个石子数目多于都从某个石子数目多于 1 的堆中扔去一粒的堆中扔去一粒，再把某一堆分作两堆再把某一堆分作两堆。问问：能否在若干步之后能否在若干步之后， 桌上的每一堆中都刚好有桌上的每一堆中都刚好有 3 粒石子？粒石子？ 【考点】游戏与策略【难度】3 星【题型】解答 【解析】不可能事实上，如果可能的话，那么假定最后在桌上剩下了n堆石子，每堆 3 粒，则在此之前 一共进行了(1)n 次操作（开始时只有一堆石子，每操作一次，多分出一堆，操作1n 次后分成
21、n堆） 而每操作一次，都扔去一粒石子，所以一共扔去(1)n 粒石子因此，3(1)1001nn， 得到41002n ，但 1002 不是 4 的倍数，说明n不是整数，导致矛盾所以不可能 【答案】不可能 【巩固】【巩固】 有有 3 堆小石子，每次允许进行如下操作：从每堆中取走同样数目的小石子，或是将其中的某一堆小石子，每次允许进行如下操作：从每堆中取走同样数目的小石子，或是将其中的某一 石子数是偶数的堆中的一半石子移入另外的一堆石子数是偶数的堆中的一半石子移入另外的一堆 开始时开始时， 第一堆有第一堆有 1989 块石子块石子， 第二堆有第二堆有 989 块石子，第三堆有块石子，第三堆有 89 块
22、石子块石子问，能否做到：问，能否做到：某某 2 堆石子全部取光？堆石子全部取光？3 堆中的所有石子都堆中的所有石子都 被取走？被取走？ 【考点】游戏与策略【难度】3 星【题型】解答 【解析】要使得某两堆石子全部取光，只需使得其中有两堆的石子数目一样多，那么如果我们把最少的一 堆先取光，只要剩下的两堆中有一堆数目是偶数，再平分一下就可以实现了而题中数字正好能 满足要求所以，全部取光两堆是可以的 对于第二个问题，要取走全部 3 堆，则必须 3 堆石子的总数是 3 的倍数才有可能，但 1989、989、 89 之和并非 3 的倍数，所以是不可能的 可以取光其中的两堆石子如进行如下的操作： 第 1 堆
23、第二堆第三堆 198998989 19009000(第一步：三堆各取走 89 块) 1900450450 (第二步：第二堆 900 是偶数，将其一半移入第三堆) 145000(第三步：三堆各取走 450 块) 不能将三堆全部取光 因为每一次取走石子是从三堆中同时取走相同数目的石子，那么每次 取走的石子数都是 3 的倍数，则不论怎么取，取走的石子总数是 3 的倍数， 而1989989893067，3067 被 3 除余 1，不是 3 的整数倍，所以不能将三堆石子全部取光 【答案】可以；不能 【例【例 9】 今有今有 101 枚硬币，其中有枚硬币，其中有 100 枚同样的真币和枚同样的真币和 1
24、枚伪币，伪币和真币的重量不同现需弄清楚枚伪币，伪币和真币的重量不同现需弄清楚 伪币究竟比真币轻还是重、但只有一架没有砝码的天平，那么怎样利用这架天平称两次，来达伪币究竟比真币轻还是重、但只有一架没有砝码的天平，那么怎样利用这架天平称两次，来达 到目的？到目的？ 【考点】游戏与策略【难度】3 星【题型】解答 【解析】略 【答案】101 枚硬币，如果进行称重的话应该保证天平两边的硬币数相等因此应该首先拿掉一个，把剩 下的 100 枚硬币在天平两边各放 50 个如果这时天平两边重量相等的话，就说明剩下的那个是 伪币只要任意拿出一个真币和这个伪币再称一次就可以知道真币和伪币那种比较重了 如果天平两边重
25、量不相等的话， 就是说伪币还在这 100 个硬币中 可以拿出其中比较轻的 50 个 这 时同样还是把他们分成两个 25 枚，分到天平两边称重 如果两边重量相等，说明这 50 个硬币都是真的伪币在比较重的那 50 个中，因此伪币就应该比 真币重如果两边重量不相等，说明伪币就在这 50 个比较轻的硬币中，显然伪币就应该比真币 8-7.游戏与策略.题库教师版page 5 of 24 轻同样道理，也可以把比较重的那 50 个硬币分成两个 25 进行称重，同样也可以得出结论 【巩固】【巩固】 9 个金币中，有一个比真金币轻的假金币，你能用天平称两次就找出来吗（天平无砝码）个金币中，有一个比真金币轻的假金
26、币，你能用天平称两次就找出来吗（天平无砝码）? 【考点】游戏与策略【难度】3 星【题型】解答 【解析】第一次在左右两托盘各放置 3 个： (一)如果不平衡，那么较轻的一侧的 3 个中有一个是假的从中任取两个分别放在两托盘内： 如果不平衡，较低的一侧的那个是假的；如果平衡，剩下的一个是假的； (二)如果平衡，剩下的三个中必有一个为假的从中任取两个分别放在两托盘内：如果不平衡， 较低的一侧的那个是假的；如果平衡，剩下的那个是假的 这类称量找假币的问题， 一定要会分类， 并尽量是每一类对应天平称量时的不同状态(轻， 重， 平)， 所以分成 3 堆是很常见的分法 【答案】能 【巩固】【巩固】 你有四个
27、装药丸的罐子你有四个装药丸的罐子，每个药丸都有一定的重量每个药丸都有一定的重量，被污染的药丸是没被污染的重量被污染的药丸是没被污染的重量1.只称量只称量 一次，如何判断哪个罐子的药被污染了？一次，如何判断哪个罐子的药被污染了？ 【考点】游戏与策略【难度】3 星【题型】解答 【解析】略. 【答案】第一瓶拿一个药丸，第二瓶拿两个药丸，第三瓶拿三个，第四瓶拿四个，称一下比标准的 10 个 药丸重多少，重多少就是第几个瓶子里的药丸被污染 【例【例 10】有大有大，中中，小小 3 个瓶子个瓶子，最多分别可以装入水最多分别可以装入水 1000 克克，700 克和克和 300 克克.现在大瓶中装满水现在大瓶
28、中装满水，希希 望通过水在望通过水在 3 个瓶子间的流动使得中瓶和小瓶上标出个瓶子间的流动使得中瓶和小瓶上标出 100 克水的刻度线，问最少要倒几次水？克水的刻度线，问最少要倒几次水？ 【考点】游戏与策略【难度】3 星【题型】解答 【解析】通过对三个数字的分析，我们发现 700-300-300=100，是计算步数最少的得到 100 的方法而由 于我们每计算一步就相当于倒一次水，所以倒水最少的方案应该是： 1大瓶往中瓶中倒满水 2中瓶往小瓶中倒满水，这时中瓶中还剩下 400 克水 3小瓶中水倒回大瓶 4中瓶再往小瓶中倒满水，这时中瓶中只剩下 100 克水，标记 5小瓶中水倒回大瓶 6中瓶中 10
29、0 克水倒入小瓶，标记所以最少要倒 6 次水 本题关键是，小瓶中的水每次都要倒掉，不然无法再往小瓶中倒水的 【答案】6次 【例【例 11】对一个自然数作如下操作对一个自然数作如下操作：如果是偶数则除以如果是偶数则除以 2；如果是奇数则加如果是奇数则加 1. 如此进行直到为如此进行直到为 1 操作停操作停 止止. 求经过求经过 9 次操作变为次操作变为 1 的数有多少个？的数有多少个？ 【考点】游戏与策略【难度】3 星【题型】解答 【关键词】华杯赛，决赛 【解析】 可以先尝试一下，得出下面的图：其中经 1 次操作变为 1 的 1 个，即 2，经 2 次操作变为 1 的 1 个，即 4，经 3 次
30、操作变为 1 的 2 个，即 3，8，经 6 次操作变为 1 的有 8 个，即 11，24，10， 28，13，30，64，31. 于是，经 1、2、次操作变为 1 的数的个数依次为 1，1，2，3，5，8， 这一串数中有个特点：自第三个开始，每一个等于前两个的和，即 211，321，532，853， 如果这个规律正确，那么 8 后面的数依次是 8513，13821，211334， 即经过 9 次操作变为 1 的数有 34 个. 为什么上面的规律是正确的呢？ 道理也很简单. 设经过n次操作变为 1 的数的个数为 n a,则 1 a 1， 2 a 1， 3 a 2， 8-7.游戏与策略.题库教师
31、版page 6 of 24 ? 10 ? 24 ? 11 ? 12 ? 5 ? 13 ? 28 ? 30 ? 31 ? 64 ? 32 ? 15 ? 14 ? 16 ? 7 ? 6 ? 3 ? 8 ? 4 ? 2 ? 1 从上面的图看出， 1n a 比 n a大. 一方面，每个经过n次操作变为 1 的数，乘以 2， 就得出一个偶数， 经过1n 次操作变为 1；反过来， 每个经过1n 次操作变为 1 的偶数，除以 2，就得出一个经过n 次操作变为 1 的数. 所以经过n次操作变为 1 的数与经过1n 次操作变为 1 的偶数恰好一样多. 前者的个数是 n a,因此后者也是 n a个. 另一方面，每
32、个经过n次操作变为 1 的偶数，减去 1，就得出一个奇数，它经过1n 次操作变为 1，反过来.每个经过1n 次操作变为 1 的奇数，加上 1，就得出一个偶数，它经过n次操作变为 1. 所以经过n次操作变为 1 的偶数经过1n 次操作变为 1 的奇数恰好一样多.而由上面所说， 前者的 个数就是 1n a ,因此后者也是 1n a . 经过n 1 次操作变为 1 的数，分为偶数、奇数两类，所以 11nnn aaa 即上面所说的规律的确成立. 满足规律， 并且 12 aa1 的一串数 称为裴波那契数列， 斐波那契 （Fibonacci,约 11751250） 是意大利数学家，以他的名字命名的这种数列
33、有很广泛的应用. 【答案】34 模块二、染色与操作（证明） 【例【例 12】六年级一班全班有六年级一班全班有35名同学，共分成名同学，共分成5排，每排排，每排7人，坐在教室里，每个座位的前后左右四个人，坐在教室里，每个座位的前后左右四个 位置都叫作它的邻座如果要让这位置都叫作它的邻座如果要让这35名同学各人都恰好坐到他的邻座上去，能办到吗？为什名同学各人都恰好坐到他的邻座上去，能办到吗？为什 么？么？ 【考点】游戏与策略【难度】3 星【题型】解答 【解析】建议建议教师在本讲可以以游戏的形式激发学生自主解决问题划一个57的方格表，其中每一 个方格表示一个座位将方格黑白相间地染上颜色，这样黑色座位
34、与白色座位都成了邻座因此 每位同学都坐到他的邻座相当于所有白格的坐到黑格，所有黑格坐到白格但实际上图中有17个 黑格，18个白格，黑格与白格的个数不相等，故不能办到 【答案】不能 【例【例 13】图是学校素质教育成果展览会的展室图是学校素质教育成果展览会的展室， 每两个相邻的展室之间都有门相通每两个相邻的展室之间都有门相通 有一个人打算从有一个人打算从A室室 8-7.游戏与策略.题库教师版page 7 of 24 开始依次而入，不重复地看过各室展览之后，仍回到开始依次而入，不重复地看过各室展览之后，仍回到A室，问他的目的能否达到，为什么？室，问他的目的能否达到，为什么？ ? A 【考点】游戏与
35、策略【难度】3 星【题型】解答 【解析】采用染色法如右图，共有9个展览室，对这9个展览室，黑白相间地进行染色，从白室A出发 走过第1扇门必至黑室，再由黑室走过第2扇门至白室，由于不重复地走遍每一间展览室，因此 将走过黑白相间的8个展览室，再回到白室A，共走过9扇门由于走过奇数次门至黑室，走过 偶数次门至白室 现在，走过9扇门，必至黑室，所以无法回到原来的白室A 【答案】无法回到 【例【例 14】右图是某套房子的平面图右图是某套房子的平面图，共共12个房间个房间，每相邻两房间都有门相通每相邻两房间都有门相通请问请问：你能从某个房间出你能从某个房间出 发，不重复地走完每个房间吗发，不重复地走完每个
36、房间吗? 【考点】游戏与策略【难度】3 星【题型】解答 【解析】如图所示，将房间黑白相间染色，发现有5个白格，7个黑格因为每次只能由黑格到白格或由 白格到黑格，路线必然黑白相间，这样白格数目与黑格数目之差最多为1才能不重复，但图中 黑格比白格多2个，所以无法实现不重复走遍 【答案】无法实现 【巩固】【巩固】 有一次车展共有一次车展共6636个展室，如右图，每个展室与相邻的展室都有门相通，入口和出口如图个展室，如右图，每个展室与相邻的展室都有门相通，入口和出口如图 所示参观者能否从入口进去，不重复地参观完每个展室再从出口出来所示参观者能否从入口进去，不重复地参观完每个展室再从出口出来? 【考点】
37、游戏与策略【难度】3 星【题型】解答 【解析】如右图，对每个展室黑白相间染色，那么每次只能从黑格到白格或从白格到黑格由于入口处和 出口处都是白格，而路线黑白相间，首尾都是白格，于是应该白格比黑格多1个，而实际上白格、 黑格都是18个，故不可能做到不重复走遍每个展室 【答案】不可能 【例【例 15】如右图，在如右图，在5 5方格的方格的A格中有一只爬虫，它每次总是只朝上下左右四个方向爬到相邻方格格中有一只爬虫，它每次总是只朝上下左右四个方向爬到相邻方格 中那么它能否不重复地爬遍每个方格再回到中那么它能否不重复地爬遍每个方格再回到A格中格中? ? A 【考点】游戏与策略【难度】3 星【题型】解答
38、【解析】由小虫的爬法，仍可黑白相间对方格自然染色，于是小虫只能由黑格爬到白格或由白格爬到黑 8-7.游戏与策略.题库教师版page 8 of 24 格所以，它由A出发回到A，即黑格爬到黑格，必须经过偶数步而小方格为5 525个，每 格爬过一次，就应该为25步，不是偶数于是这只爬虫不可能不重复地爬遍每格再回到A格 【答案】不可能 【例【例 16】右图是半张中国象棋盘，棋盘上放有一只马众所周知，马是走右图是半张中国象棋盘，棋盘上放有一只马众所周知，马是走“日日”字的请问：这只马能否字的请问：这只马能否 不重复地走遍这半张棋盘上的每一个点，然后回到出发点？不重复地走遍这半张棋盘上的每一个点，然后回到
39、出发点？ 马 【考点】游戏与策略【难度】3 星【题型】解答 【解析】马走“日”字，在中国象棋盘上走有什么规律呢？为方便研究规律，如下图所示： 先在棋盘各交点处相间标上和，图中共有 22 个和 23 个因为马走“日”字，每步只能从跳 到，或由跳到，所以马从某点跳到同色的点（指或） ，要跳偶数步；跳到不同色的点，要 跳奇数步现在马在点，要跳回这一点，应跳偶数步，可是棋盘上共有232245个点，所以 不可能做到不重复地走遍所有的点后回到出发点 讨论讨论：如果马的出发点不是在点上而是在点上，那么这只马能不能不重复地走遍这半张棋盘上 的每个点，最后回到出发点上呢？按照上面的分析，显然也是不可能的但是如果
40、放弃“回到出 发点”的要求，那么情况就不一样了从某点出发，跳遍半张棋盘上除起点以外的其它44个点， 要跳44步，44是偶数，所以起点和终点应是同色的点（指或） 因为44步跳过的点与点各 22个，所以起点必是，终点也是也就是说，当不要求回到出发点时，只要从出发，就可以 不重复地走遍半张棋盘上的所有点 【答案】不可能 【巩固】【巩固】 一只电动老鼠从右图的一只电动老鼠从右图的A点出发，沿格线奔跑，并且每到一个格点不是向左转就是向右转当点出发，沿格线奔跑，并且每到一个格点不是向左转就是向右转当 这只电动老鼠又回到这只电动老鼠又回到A点时点时，甲说它共转了甲说它共转了81次弯次弯，乙说它共转了乙说它共
41、转了82次弯次弯如果甲如果甲、乙二人有乙二人有 一人说对了，那么谁正确？一人说对了，那么谁正确？ A 【考点】游戏与策略【难度】3 星【题型】解答 【解析】如右图所示:格点黑白相间染色， 因为老鼠遇到格点必须转弯， 所以经过多少个格点就转了多少次 弯如右上图所示，老鼠从黑点出发，到达任何一个黑点都转了奇数次弯，所以甲正确 【答案】甲正确 模块三、染色与操作（剪拼） 【例【例 17】有有 7 个苹果要平均分给个苹果要平均分给 12 个小朋友，园长要求每个苹果最多分成个小朋友，园长要求每个苹果最多分成 5 份应该怎样分？份应该怎样分？ 【考点】游戏与策略【难度】3 星【题型】解答 【解析】显然每人
42、应该分 7 12 4 12 + 3 12 1 3 + 1 4 于是，拿 4 个苹果，每个苹果 3 等分；拿 3 个苹果，每个苹果 4 等分. 【答案】拿 4 个苹果，每个苹果 3 等分；拿 3 个苹果，每个苹果 4 等分 8-7.游戏与策略.题库教师版page 9 of 24 【例【例 18】右图是由右图是由14个大小相同的方格组成的图形试问能不能剪裁成个大小相同的方格组成的图形试问能不能剪裁成7个由相邻两方格组成的长方个由相邻两方格组成的长方 形？形？ 【考点】游戏与策略【难度】3 星【题型】解答 【解析】将这14个小方格黑白相间染色（见右下图） ，有8个黑格，6个白格相邻两个方格必然是一黑
43、 一白，如果能剪裁成7个小长方形，那么14个格应当是黑、白各7个，与实际情况不符，所以不 能剪裁成7个由相邻两个方格组成的长方形 【答案】不能 【巩固】【巩固】 你能把下面的图形分成你能把下面的图形分成7个大小相同的长方形吗？动手画一画个大小相同的长方形吗？动手画一画 【考点】游戏与策略【难度】3 星【题型】解答 【解析】可以通过染色发现黑白方格个数相同，可以按一黑一白分成7块含有2个小方格的长方形，答案 如下（答案不唯一） ： 【答案】 【巩固】【巩固】 有有 6 张电影票张电影票(如右图如右图) ，想撕成相连的，想撕成相连的 3 张，共有张，共有_种不同的撕法种不同的撕法. 【考点】游戏与
44、策略【难度】3 星【题型】填空 【解析】形如的有 2 种， 形如的有 8 种. 所以共有2810（种） 【答案】10种 【巩固】【巩固】 右图是由右图是由40个小正方形组成的图形，能否将它剪裁成个小正方形组成的图形，能否将它剪裁成20个相同的长方形？个相同的长方形？ 【考点】游戏与策略【难度】3 星【题型】解答 【解析】将40个小正方形剪裁成20个相同的长方形，就是将图形分割成20个1 2的小长方形，将图形黑 白相间染色后，发现有21黑，19白，黑、白格数目不等，而1 2的小长方形覆盖的总是黑白格 各一个，所以不可能做到 【答案】不可能 8-7.游戏与策略.题库教师版page 10 of 24
45、 【巩固】【巩固】 右面的三个图形都是从右面的三个图形都是从 44 的正方形纸片上剪去两个的正方形纸片上剪去两个 11 的小方格后得到的的小方格后得到的. 问问： 能否把它们分能否把它们分 别剪成别剪成 12 的七个小矩形的七个小矩形. 【考点】游戏与策略【难度】3 星【题型】解答 【解析】如右图 （1）能，黑白格数相等； （2） （3）不能，黑白格数不等，而 12 的小矩形一次覆盖黑白格各一个. 【答案】 （1）能； （2） （3）不能 【例【例 19】用用9个个1 4的长方形能不能拼成一个的长方形能不能拼成一个66的正方形？请说明理由的正方形？请说明理由 ? 4 ? 4 ? 4 ? 4 ?
46、 4 ? 4 ? 4 ? 3 ? 3 ? 3 ? 3 ? 3 ? 3 ? 3 ? 3 ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 ? 1 ? 1 ? 1 ? 1 ? 1 ? 1 ? 1 ? 1 ? 4 ? 3 ? 2 ? 1 【考点】游戏与策略【难度】3 星【题型】解答 【解析】本题若用传统的自然染色法，不能解决问题因为要用1 4来覆盖，我们对66正方形用四种颜 色染色为了方便起见，这里用1、2、3、4分别代表四种颜色为了使每个1 4长方形在任何 位置盖住的都一样，我们采用沿对角线染色，如右图这样，可以发现无论将1 4长方形放于何 处，盖住的必然是1、2、3、4各一
47、个要不重叠地拼出66，需9个1 4长方形，则必然盖住 1、2、3、4各9个 但实际上图中一共是9个1、10个2、9个3、8个4， 因而不可能用9个1 4 长方形拼出66正方形 【答案】不可能 【例【例 20】能否用能否用9个个所示的卡片拼成一个所示的卡片拼成一个66的棋盘？的棋盘？ 【考点】游戏与策略【难度】3 星【题型】解答 【解析】不能将66的棋盘黑白相间染色（见右图） ，有18个黑格而每张卡片盖住的黑格数只能是1或 者3， 所以每张卡片盖住的黑格数是个奇数，9张卡片盖住的黑格数之和也是奇数， 不可能盖住18 个黑格 【答案】不可能 【巩固】【巩固】 如右图，缺两格的如右图，缺两格的8 8
48、方格有方格有62个格，能否用个格，能否用31个个图不重复地盖住它且不留空隙图不重复地盖住它且不留空隙? 8-7.游戏与策略.题库教师版page 11 of 24 【考点】游戏与策略【难度】3 星【题型】解答 【解析】这种覆盖问题是典型的用染色方法解决的问题之一用来覆盖，则用黑白相间染色，可以 发现它无论横放、竖放，必然盖住一白一黑要不重复不留空白，那总共盖住的黑格数与白格数 应该相等但从染色后整个图来看，黑格30个，白格32个，故不可能将整个图不重不漏地盖住 【答案】不可能 【巩固】【巩固】 用用11个个和和5个个能否盖住能否盖住8 8的大正方形？的大正方形？ 【考点】游戏与策略【难度】3 星
49、【题型】解答 【解析】如右图，对8 8的正方形黑白相间染色后，发现必然盖住2白2黑，5个则盖住10白10 黑则盖住了3白1黑或3黑1白，从奇偶性考虑，都是奇数而这种形状共11个，奇数个 奇数相加仍为奇数，故这种形状盖住的黑格和白格都是奇数，加上另一种形状的10白10黑，两 种形状共盖住奇数个白格奇数个黑格但实际染色后共32个白格32个黑格，故不可能按题目要 求盖住 注意：本题中每个盖3白1黑或3黑1白，11个这种形状盖住的不一定是33白11黑或33黑 11白，因为可能一部分盖3白1黑，另一部分盖3黑1白这是一个容易犯错的地方 【答案】不可能 【例【例 21】在在8 8的网格正方形的网格正方形(
50、如图如图 1)中用图中用图 2 形状的图形来覆盖形状的图形来覆盖， 要求图要求图 2 的分割线落在正方形的网格的分割线落在正方形的网格 线上为使所余部分不能再放下图线上为使所余部分不能再放下图 2 形状的图形，最少需用图形状的图形，最少需用图 2 形状的图形形状的图形个个 ? 8 ? 8 ? 2 ? 2 ? 1 ? 1 图图 1图图 2 【考点】游戏与策略【难度】3 星【题型】填空 【解析】最少需要图 2 形状的图形 11 个每个22的正方形至少被覆盖住 2 个小方格，才不能再放下图 2 形状的图形在8 8的正方形中有 16 个22的正方形，因此至少需要覆盖住2 1632个小方 格而要覆盖住
