1、4-5-2.长方体与正方体（二） 题库page 1 of 38 长方体与正方体（二长方体与正方体（二） 对于小学几何而言，立体图形的表面积和体积计算，既可以很好地考查学生的空间想象能力，又可以具 体考查学生在公式应用中处理相关数据的能力，所以，很多重要考试都很重视对立体图形的考查 例题精讲例题精讲 如右图，长方体共有六个面(每个面都是长方形)，八个顶点，十二条棱 在六个面中，两个对面是全等的，即三组对面两两全等 (叠放在一起能够完全重合的两个图形称为全等图形) 长方体的表面积和体积的计算公式是： 长方体的表面积：2()Sabbcca 长方体 ； 长方体的体积：Vabc 长方体 正方体是各棱相等
2、的长方体，它是长方体的特例，它的六个面都是正方形 如果它的棱长为a，那么： 2 6Sa 正方体 ， 3 Va 正方体 长方体与正方体的体积 立体图形的体积计算常用公式：立体图形的体积计算常用公式： 立体图形示例体积公式相关要素 长方体 Vabh VSh 三要素：a、b、h 二要素：S、h 正方体 3 Va VSh 一要素：a 二要素：S、h 不规则形体的体积常用方法：不规则形体的体积常用方法： 化虚为实法 切片转化法 先补后去法 实际操作法 画图建模法 【例【例 1】 一个长方体的棱长之和是一个长方体的棱长之和是 28 厘米，而长方体的长宽高的长度各不相同，并且都是整厘米数，则长厘米，而长方体
3、的长宽高的长度各不相同，并且都是整厘米数，则长 方体的体积等于方体的体积等于立方厘米。立方厘米。 4-5-2.长方体与正方体（二） 题库page 2 of 38 【考点】长方体与正方体【难度】2 星【题型】填空 【关键词】希望杯， 6 年级，第 16 题，6 分 【解析】由题意知长、宽、高的和为2847，又根据题意长、宽、高各不相同，且是整数，所以只能是 1、 2、4，所以体积为 8 立方厘米 【答案】8 【例【例 2】 将几个大小相同的正方体木块放成一堆，从正面看到的视图是图（将几个大小相同的正方体木块放成一堆，从正面看到的视图是图（a） ，从左向右看到的视图是图，从左向右看到的视图是图 （
4、b） ，从上向下看到的视图是图（，从上向下看到的视图是图（c） ，则这堆木块最多共有，则这堆木块最多共有_块。块。 【考点】长方体与正方体【难度】2 星【题型】填空 【关键词】希望杯，4 年级，初赛，8 题 【解析】对于图 c 来说，每个小方块都摞了 2 层，最多有 6 块。 【答案】6 【例【例 3】 一根长方体木料，体积是一根长方体木料，体积是0.078立方米已知这根木料长立方米已知这根木料长1.3米宽为米宽为 3 分米，高该是多少分米分米，高该是多少分米?孙孙 健同学把高错算为健同学把高错算为 3 分米这样，这根木料的体积要比分米这样，这根木料的体积要比0.078立方米多多少立方米多多少
5、? 【考点】长方体与正方体【难度】2 星【题型】解答 【关键词】小数报，决赛 【解析】0.078(1.3 0.3)0.2(米) 0.2米2 分米 1.3 0.3 0.30.0780.039(立方米) 所以这根木料的高是 2 分米；算错后，这根木料的体积比0.078立方米多0.039立方米 【答案】0.039 【例【例 4】 如图如图，两个同样的铁环连在一起长两个同样的铁环连在一起长 28 厘米厘米，每个铁环长每个铁环长 16 厘米厘米。8 个这样的铁环依此连在一起长个这样的铁环依此连在一起长 厘米。厘米。 【考点】长方体与正方体【难度】3 星【题型】填空 【关键词】希望杯，四年级，复赛，第 1
6、0 题，4 分 【解析】两个铁环连在一起， 重叠的部分长 162-284 厘米， 8 个这样的铁环依此连在一起长 168-47100 厘米。 【答案】100 【例【例 5】 某工人用薄木板钉成一个长方体的邮件包装箱某工人用薄木板钉成一个长方体的邮件包装箱， 并用尼龙编织条并用尼龙编织条(如图所示如图所示)在三个方向上的加固在三个方向上的加固 所所 用尼龙编织条分别为用尼龙编织条分别为 365 厘米，厘米，405 厘米，厘米，485 厘米若每个尼龙加固时接头重叠都是厘米若每个尼龙加固时接头重叠都是 5 厘米问厘米问 这个长方体包装箱的体积是多少立方米这个长方体包装箱的体积是多少立方米? 【考点】
7、长方体与正方体【难度】3 星【题型】解答 【关键词】华杯赛，决赛，口试 【解析】长方体中 4-5-2.长方体与正方体（二） 题库page 3 of 38 高宽 1(365 5)180 2 ， 高长 1(405 5)200 2 ， 长宽 1(485 5)240 2 ， ：长宽20， ：长130，从而宽110， 代入得高70 所以长方体体积为 70 110 1301001000(立方厘米)1.001(立方米) 【答案】1.001 【例【例 6】 某工人用木板钉成一个长方体邮件包装箱，并用三根长度分别为某工人用木板钉成一个长方体邮件包装箱，并用三根长度分别为 235 厘米、厘米、445 厘米、厘米、
8、515 厘米的厘米的 尼龙带进行加固（如下图尼龙带进行加固（如下图） ，若每根尼龙带加固时截头重叠都是，若每根尼龙带加固时截头重叠都是 5 厘米，那么这个长方体包装箱的厘米，那么这个长方体包装箱的 体积是立方体积是立方米。米。 【考点】长方体与正方体【难度】3 星【题型】填空 【关键词】迎春杯，高年级，初赛，9 题 【解析】长方形的长为：44551523554180 （厘米） ； 长方形的宽为:51551802275（厘米） ； 长方形的高为：2355752240（厘米） ； 长方形的体积为: 6 1807540100.54（立方米） 。 【答案】0.54 【例【例 7】 一个长方体的表面积是
9、一个长方体的表面积是33.66平方分米，其中一个面的长是平方分米，其中一个面的长是2.3分米，宽是分米，宽是2.1分米，它的体积是分米，它的体积是 _立方分米立方分米. 【考点】长方体与正方体【难度】3 星【题型】填空 【关键词】迎春杯 【解析】长方体的高是 30 (33.662.1 2.3 2)2(2.12.3) 11 (分米). 长方体的体积是 3019 2.1 2.313 11110 (立方分米) 【答案】 19 13110 【例【例 8】 把一根长把一根长2.4米的长方体木料锯成米的长方体木料锯成 5 段段(如图如图)，表面积比原来增加了表面积比原来增加了 96 平方厘米平方厘米这根木
10、料原来的这根木料原来的 体积是体积是_立方厘米立方厘米 【考点】长方体与正方体【难度】3 星【题型】填空 【关键词】迎春杯，决赛 【解析】96812(平方厘米)， 122402880(立方厘米) 所以这根木料原来的体积为 2880 立方厘米 【答案】2880 4-5-2.长方体与正方体（二） 题库page 4 of 38 【例【例 9】 一个长方体的宽和高相等，并且都等于长的一半一个长方体的宽和高相等，并且都等于长的一半(如图如图)将这个长方体切成将这个长方体切成 12 个小长方体，这些个小长方体，这些 小长方体的表面之和为小长方体的表面之和为 600 平方分米求这个大长方体的体积平方分米求这
11、个大长方体的体积 【考点】长方体与正方体【难度】3 星【题型】解答 【关键词】小数报，决赛 【解析】设大长方体的宽(高)为a分米，则长为2a，右(左)面积为 2 a，其余面的面积为 2 2a，根据题意， 222 22862600aaa 所以 2 25a ，5a 大长方体的体积2 5 5 5250 (立方分米) 【答案】250 【例【例 10】有三个大小一样的正方体，将接触的面用胶粘接在一起成图示的形状，表面积比原来减少了有三个大小一样的正方体，将接触的面用胶粘接在一起成图示的形状，表面积比原来减少了 16 平平 方厘米方厘米.求所成形体的体积求所成形体的体积. 【考点】长方体与正方体【难度】3
12、 星【题型】解答 【解析】三个小正方体拼接成图中的样子，减少了小正方体的 4 个侧面正方形的面积，表面积减少了 16 平方 厘米，每个正方形侧面为1644平方厘米，每个正方体棱长为2厘米，三个小正方体体积(即所成 形体的体积)是 3 3 224立方厘米. 【答案】24 【例【例 11】小明在桌面上摆了一些大小一样的正方体木块，摆完后从正面看如左下图，从侧面看如右下图，小明在桌面上摆了一些大小一样的正方体木块，摆完后从正面看如左下图，从侧面看如右下图， 那么他最多用了那么他最多用了_块木块，最少用了块木块，最少用了_块木块。块木块。 【考点】长方体与正方体【难度】3 星【题型】填空 【关键词】走
13、美杯，五年级，决赛，第 8 题，10 分 【解析】从上往下看，分别如左下图和右下图所示(图中数字为每一格的木块数)。 【答案】最多 25，最少 9 【例【例 12】边长为边长为5的正方形的正方形，被分割成被分割成5 5的小方格的小方格。每个小方格上堆放边长为每个小方格上堆放边长为1cm的正方体积木的正方体积木，个数如个数如 图所示。在每个积木外露的面上贴一张红纸，其它面（与其它积木块或方格纸相接的面）不贴。图所示。在每个积木外露的面上贴一张红纸，其它面（与其它积木块或方格纸相接的面）不贴。 共贴共贴张红纸。恰贴张红纸。恰贴3张红纸的有张红纸的有块积木。块积木。 4-5-2.长方体与正方体（二）
14、 题库page 5 of 38 【考点】长方体与正方体【难度】4 星【题型】填空 【关键词】走美杯，4 年级，决赛，第 11 题，12 分 【解析】从正面看，需要贴5 525（张） ； 从左边看，需要贴5455524（张） ； 从右边看，需要贴5455524（张） ； 从前面看，需要5545524（张） ； 从后面看，需要5545524（张） ； 再看中间凹进去的部分，需要贴644224426（张） ， 所以一共需要贴252424242426147（张） ； 先看四条边上，有14块积木贴3张红纸； 非边上的积木，有1块积木恰好贴3张， 所以一共有14115 （块）积木。 【答案】共贴 26 张
15、，共有 15 块 【例【例 13】有一个长方体有一个长方体，长是宽的长是宽的 2 倍倍，宽是高的宽是高的 3 倍倍；长的长的 1 2 与高的与高的1 3 之和比宽多之和比宽多 1 厘米厘米这个长方体的这个长方体的 体积是体积是立方厘米立方厘米 【考点】长方体与正方体【难度】3 星【题型】填空 【关键词】迎春杯 【解析】长的1 2 即宽，所以高的1 3 就是 1 厘米，高是 3 厘米，宽是3 39 厘米，长是9218厘米，体积是 3 9 18486 (立方厘米) 【答案】486 【巩固【巩固】一个长方体的各条棱长的和是一个长方体的各条棱长的和是 48 厘米厘米，并且它的长是宽的并且它的长是宽的
16、2 倍倍，高与宽相等高与宽相等，那么这个长方体的体那么这个长方体的体 积是积是_ 立方厘米立方厘米 【考点】长方体与正方体【难度】3 星【题型】填空 【关键词】迎春杯，决赛 【解析】依题意，这个长方体的长、宽、高之和是48412(厘米)， 于是它的宽与高都等于12(21 1)3 (厘米)， 它的长是3 26厘米 所以这个长方体的体积是6 3 354 (立方厘米) 【答案】54 【例【例 14】把把 11 块相同的长方体的砖拼成如图所示的大长方体块相同的长方体的砖拼成如图所示的大长方体，已知每块砖的体积是已知每块砖的体积是 3 288cm，则大长方体的则大长方体的 表面积为多少？表面积为多少？
17、【考点】长方体与正方体【难度】4 星【题型】解答 【解析】如果知道每块砖的长、宽、高即可求出所有的量，但我们只知道它们的乘积，但可以从图中发现隐 含的数量关系 4-5-2.长方体与正方体（二） 题库page 6 of 38 由图可知每块砖的长、宽、高的比值，两个长等于三个宽，所以长、宽之比为3:2，四个高等于一 个长，所以长、高之比为4:1，长、宽、高之比为12:8:3，设砖的长为 12 单位，那么体积应该为 12 8 3288 个立方单位，所以一个单位长度就是 1 厘米，所以大长方体的长、宽、高分别为：24 厘米，12 厘米，11 厘米，所以大长方体的表面积为：24 1212 11 11 2
18、421368（）平方厘米 【答案】1368 【例【例 15】有大有大、中中、小三个正方形水池小三个正方形水池，它们的内边长分别是它们的内边长分别是 6 米米、3 米米、2 米米把两堆碎石分别沉没在中把两堆碎石分别沉没在中、 小水池的水里小水池的水里， 两个水池的水面分别升高了两个水池的水面分别升高了 6 厘米和厘米和 4 厘米厘米 如果将这两堆碎石都沉没在大水池的如果将这两堆碎石都沉没在大水池的 水里，大水池的水面升高了多少厘米？水里，大水池的水面升高了多少厘米？ 【考点】长方体与正方体【难度】4 星【题型】解答 【解析】把碎石沉没在水中，水面升高所增加的体积，就等于所沉入的碎石的体积 因此，
19、沉入水池中的碎石的体积是 3 3 0.060.54 (米 3)， 而沉入小水池中的碎石的体积是22 0.040.16 (米 3) 这两堆碎石的体积一共是0.540.160.7(米 3) 把它们都沉入大水池里，大水池的水面升高所增加的体积也就是 0.7 米 3而大水池的底面积是 6 636(米 3)所以水面升高了 0.7 0.736 36 (米) 70 36 (厘米) 17 118(厘米) 故大水池的水面升高了 17 118厘米 【答案】 17 118 【例【例 16】一个正方体容器，容器内部边长为一个正方体容器，容器内部边长为 24 厘米，存有若干水，水深厘米，存有若干水，水深17.2厘米，现
20、将一些碎铁块放入容厘米，现将一些碎铁块放入容 器中器中，铁块沉入水底铁块沉入水底，水面上升水面上升2.5厘米厘米，如果将这些铁块铸成一个和容器等高的实心圆柱如果将这些铁块铸成一个和容器等高的实心圆柱，重新重新 放入池中，则水面升高几厘米？放入池中，则水面升高几厘米？ 【考点】长方体与正方体【难度】4 星【题型】解答 【解析】设铁块铸成和容器等高的实心圆柱放入池中水面升高x厘米，则有水面升高后水的总体积原来水 的体积铁块浸入水中的体积， 22 242417.2xSx 铁块的底面积 ， 其中 2 24242.5S 铁块的底面积 ，得到242.5S 铁块的底面积 ，解得19.2x ， 所以水面升高了
21、19.217.22(厘米) 【答案】2 【例【例 17】如图，有一个棱长为如图，有一个棱长为 10 厘米的正方体铁块，现已在每两个对面的中央钻一个边长为厘米的正方体铁块，现已在每两个对面的中央钻一个边长为 4 厘米的正方厘米的正方 形孔（边平行于正方体的棱形孔（边平行于正方体的棱） ，且穿透另有一长方体容器，从内部量，长、宽、高分别为，且穿透另有一长方体容器，从内部量，长、宽、高分别为 15 厘厘 米米、12 厘米厘米、9 厘米厘米，内部有水内部有水，水深水深 3 厘米厘米若将正方体铁块平放入长方体容器中若将正方体铁块平放入长方体容器中，则铁块在水则铁块在水 下部分的体积为下部分的体积为立方厘
22、米立方厘米 【考点】长方体与正方体【难度】4 星【题型】填空 【关键词】迎春杯，初赛，6 年级 【解析】可以把正方体铁块看作三层：最下面一层为中央穿孔的长方体，高为3厘米；中间一层为4个长方体 立柱，高为4厘米；最上面一层也是高为3厘米的中央穿孔的长方体. 由于长方体容器内原有水深3厘米，所以正方体铁块放入水中后，铁块最下面一层肯定全部在水中， 而水也不可能上升到最上面一层，即恰在中间一层.设水面上升了h厘米，则中间一层在水中的部分 恰好为h厘米. 由于水面上升是由于铁块放入水中导致，水面上升的体积即等于铁块在水下部分的体积，即： 4-5-2.长方体与正方体（二） 题库page 7 of 38
23、 222 15 12(104 )334hh ，解得 7 4 h ， 故铁块在水下部分的体积为 7 15 12315 4 (立方厘米). 【答案】315 【例【例 18】把把 1 个棱长是个棱长是 3 厘米的正方体分割成若干个小的正方体厘米的正方体分割成若干个小的正方体， 这些小正方体的棱长必须是整厘米数这些小正方体的棱长必须是整厘米数 如如 果这些小正方体的体积不要求都相等，那么最少可分割成果这些小正方体的体积不要求都相等，那么最少可分割成个小正方体个小正方体 【考点】长方体与正方体【难度】4 星【题型】填空 【关键词】迎春杯，决赛 【解析】因为小正方体的棱长只可能是 2 厘米或 1 厘米必须
24、分割出棱长是 2 厘米的小正方体才能使数量减 少显然，棱长是 3 厘米的正方体只能切割出一个棱长为 2 厘米的小正方体，剩余部分再切割出 3 3 322227819 个棱长是 1 厘米的小正方体， 这样总共可以分割成1 1920(个)小正方 体 【答案】20 【巩固】有一个长方体的盒子，从里面量长【巩固】有一个长方体的盒子，从里面量长 40 厘米，宽厘米，宽 12 厘米，高厘米，高 7 厘米，在这个盒子里放长厘米，在这个盒子里放长 5 厘米，厘米，宽宽 4 厘米，高厘米，高 3 厘米的长方体木块最多可放厘米的长方体木块最多可放块块 ? 4 ? 4 ? 4 ? 4 ? 3 ? 3 ? 3 ? 3
25、 ? 3 【考点】长方体与正方体【难度】3 星【题型】填空 【关键词】祖冲之杯 【解析】上图表明3 4的长方形可以填满7 12的长方形 于是5 3 4 的长方体可以填满40 7 12 的长方体，即盒子中最多可放这种长方体 40 7 12(5 3 4)56 (个) 【答案】56 【例【例 19】有甲有甲、乙乙、丙丙 3 种大小的正方体木块种大小的正方体木块，棱长比是棱长比是1:2:3如果用这三种正方体拼成尽量小的一个正如果用这三种正方体拼成尽量小的一个正 方体，且每种都至少用一个，则最少需要这三种正方体共多少？方体，且每种都至少用一个，则最少需要这三种正方体共多少？ 【考点】长方体与正方体【难度
26、】4 星【题型】解答 【解析】设甲的棱长是 1，则乙的棱长是 2，丙的棱长是 3一个甲种木块的体积是 1，一个乙种木块的体积 是2228 ，一个丙种木块的体积是3 3 327 由于每种正方体都要用到，那么所拼成的正方体的棱长最小应为325 当这三种木块拼成的正方体的棱长是 5 时，体积是5 5 5125 要想使三种正方体的总数最小，则体积较大的木块应尽可能多由于棱长为 5，所以其中丙种木块只 能有 1 个 有了 1 个丙种木块后，乙种木块最多可以有4217 块 丙种木块的体积是 27，乙种木块的体积是8756，余下的体积为125275642所以还需要 甲种木块42142 块 所以共需要至少17
27、4250块 【答案】50 【例【例 20】用用1 1 2 、1 1 3 、1 22 三种小木块拼成三种小木块拼成3 3 3 的正方体现有足够多的的正方体现有足够多的1 22 的小木块的小木块， 还有还有 14 块块1 1 3 的小木块，如果要拼成的小木块，如果要拼成 10 个个3 3 3 的正方体，则最少需要的正方体，则最少需要1 1 2 的小木块的小木块 _块块 【考点】长方体与正方体【难度】4 星【题型】填空 【解析】1 1 2 、1 1 3 、1 22 三种木块的体积分别为 2，3，4，其中只有 3 为奇数，2，4 都是偶数 因为3 3 327 ，体积为奇数，所以每个3 3 3 的正方体
28、中，1 1 3 的木块要有奇数块 当只用 1 块1 1 3 时，剩下的体积为 24，但无法完全用1 22 完成，还需要1 1 2 的小木块，由 4-5-2.长方体与正方体（二） 题库page 8 of 38 于 24 和 4 都是 4 的倍数，所以1 1 2 的小木块的体积和也是 4 的倍数，至少要用 2 块1 1 2 的小 木块 检验可知用1块1 1 3 的小木块、 2块1 1 2 的小木块和5块1 22 的小木块可以拼成3 3 3 的正方体 当用 3 块1 1 3 的小木块时，体积剩下 18，可以再用 4 块1 22 的小木块和 1 块1 1 2 的小木块 拼成 当用 5 块1 1 3 的
29、小木块时，体积剩下 12，此时可以再用 3 块1 22 的小木块拼成，即此时不需要 用1 1 2 的小木块拼成 为了尽量少用1 1 2 的木块，所以要尽量多用其他木块而一共只有 14 块1 1 3 的木块，所以可 以在 8 个3 3 3 的正方体中各用 1 块1 1 3 的木块，另 2 个3 3 3 的正方体各用 3 块1 1 3 的木 块； 也可以在 9 个3 3 3 的正方体中各用 1 块1 1 3 的木块， 另 1 个3 3 3 的正方体用 5 块1 1 3 的木块前者需要2 81 218 个，后者需要2918个，数量相同，所以最少需要1 1 2 的木 块 18 块 【答案】18 【例【
30、例 21】把一个长方体形状的木料分割成把一个长方体形状的木料分割成 3 小块，使这小块，使这 3 小块的体积相等已知这长方体的长为小块的体积相等已知这长方体的长为 15 厘米，厘米， 宽为宽为 12 厘米，高为厘米，高为 9 厘米分割时要求只能锯两次，如图厘米分割时要求只能锯两次，如图 1 就是一种分割线的图除这种分割的就是一种分割线的图除这种分割的 方法外，还可有其他不同的分割方法，请把分割线分别画在图方法外，还可有其他不同的分割方法，请把分割线分别画在图 2 的各图中的各图中 图图 1 图图 2 【考点】长方体与正方体【难度】4 星【题型】解答 【解析】分割方法很多，如图 3，给出以下 9
31、 种分割方法： 图 4 【答案】答案不唯一，给出以下 9 种分割方法： 4-5-2.长方体与正方体（二） 题库page 9 of 38 图 4 【例【例 22】如图，把正方体用两个与它的底面平行的平面切开，分成三个长方体如图，把正方体用两个与它的底面平行的平面切开，分成三个长方体.这三个长方体的表面积比是这三个长方体的表面积比是 3:4:5时，用最简单的整数比表示这三个长方体的体积比：时，用最简单的整数比表示这三个长方体的体积比： 【考点】长方体与正方体【难度】4 星【题型】填空 【关键词】走美杯，六年级，初赛 【解析】由于分出的三个长方体的底面积相同， 所以体积之比等于三个长方体的高之比，
32、设正方体的棱长为1， 三个长方体的高分别为 1 h， 2 h， 3 h，所以 123 1hhh，根据“分成三个长方体.这三个长方体的表 面积比是3:4:5”得 123 (24 ):(24):(24)3:4:5hhh， 而 123123 (24 )(24)(24)64()10hhhhhh，所以有 1 3 2410 345 h ，解得 1 1 8 h ， 同理得 2 1 3 h ， 3 13 24 h ，所以 123 1 1 13 :3:8:13 8 3 24 h hh ，即体积比为3:8:13。 【答案】3:8:13 【例【例 23】如图从长为如图从长为 13 厘米，宽为厘米，宽为 9 厘米的长
33、方形硬纸板的四角去掉边长厘米的长方形硬纸板的四角去掉边长 2 厘米的正方形，然后，沿虚线厘米的正方形，然后，沿虚线 折叠成长方体容器这个容器的体积是多少立方厘米？折叠成长方体容器这个容器的体积是多少立方厘米？ 【考点】长方体与正方体【难度】3 星【题型】解答 【关键词】华杯赛，复赛 【解析】容器的底面积是 (134)(94)45(平方厘米)， 高为 2 厘米，所以容器的体积是， 45 290(立方厘米) 4-5-2.长方体与正方体（二） 题库page 10 of 38 【答案】90 【巩固【巩固】现有一张长现有一张长 40 厘米厘米、宽宽 20 厘米的长方形铁皮厘米的长方形铁皮，请你用它做一只
34、深是请你用它做一只深是 5 厘米的长方体无盖铁皮盒厘米的长方体无盖铁皮盒(焊焊 接处及铁皮厚度不计，容积越大越好接处及铁皮厚度不计，容积越大越好)，你做出的铁皮盒容积是多少立方厘米，你做出的铁皮盒容积是多少立方厘米? 【考点】长方体与正方体【难度】4 星【题型】解答 【关键词】祖冲之杯 【解析】如图，在4020的长方形铁皮的四角截去边长 5 厘米的正方形铁皮，然后焊接成长方形无盖铁皮 盒这个铁皮盒的长405530(厘米) 宽205510(厘米)，高5(厘米) 体积30 10 51500(立方厘米) 如图，在4020长方形铁皮的左侧两角上割下边长 5 厘米的正方形(二块)，紧密焊接 到右侧的中间
35、部分，这样做成的无盖铁皮盒的长40535(厘米)， 宽205510(厘米)， 高5(厘米)， 体积35 10 51750(立方厘米) 如图，在4020的长方形铁皮的左右两侧各割下一条宽为 5 厘米的长方形铁皮(共二块)，分别焊到 上、下的中间部分，这样做成的无盖铁皮盒的 长40555520(厘米)， 宽20(厘米)， 高5(厘米)， 体积2020 52000(立方厘米) 因此，最后一种容积最大 【答案】2000 【例【例 24】一个长、宽、高分别为一个长、宽、高分别为21厘米、厘米、15厘米、厘米、12厘米的长方形厘米的长方形.现从它的上面尽可能大的切下一个正现从它的上面尽可能大的切下一个正
36、方体，然后从剩余的部分再尽可能大的切下一个正方体，最后再从第二次剩余的部分尽可能大的方体，然后从剩余的部分再尽可能大的切下一个正方体，最后再从第二次剩余的部分尽可能大的 切下一个正方体，剩下的体积是多少立方厘米？切下一个正方体，剩下的体积是多少立方厘米？ 【考点】长方体与正方体【难度】5 星【题型】解答 【解析】本题的关键是确定三次切下的正方体的棱长.由于21:15:127:5:4，为了方便起见.我们先考虑长、 宽、高分别为7厘米、5厘米、4厘米的长方体. 因为754，容易知道第一次切下的正方体棱长应该是4厘米，第二次切时，切下棱长为3厘米的 正方体符合要求.第三次切时，切下棱长为2厘米的正方
37、体符合要求 那么对于原长方体来说，三次切下的正方体的棱长分别是 12 厘米、9 厘米和 6 厘米，所以剩下的体 积应是： 333 21 15 1212961107（立方厘米）. 4-5-2.长方体与正方体（二） 题库page 11 of 38 ? 12 ? 12 ? 9 ? 9 ? 9 ? 6 ? 6 ? 6 ? 3 ? 12 ? 12 ? 6 ? 3 ? 9 ? 12 【答案】1107 【例【例 25】小明用若干个大小相同的正方体木块堆成一个几何体，这个几何体从正面看如下图左小明用若干个大小相同的正方体木块堆成一个几何体，这个几何体从正面看如下图左,从上面看如从上面看如 下图右那么这个几何体
38、至少用了下图右那么这个几何体至少用了块木块块木块 【考点】长方体与正方体【难度】4 星【题型】填空 【解析】这道题很多同学认为答案是 26 块这是受思维定势的影响，认为右图中每一格都要至少放一块其 实，有些格不放，看起来也是这样的 如右图，带阴影的 3 块不放时，小正方体块数最少，为 23 块 【答案】23 【巩固【巩固】 右图是由右图是由 22 个小正方体组成的立体图形个小正方体组成的立体图形，其中共有多少个大大小小的正方体？由两个小正方体组成其中共有多少个大大小小的正方体？由两个小正方体组成 的长方体有多少个？的长方体有多少个？ 【考点】长方体与正方体【难度】3 星【题型】解答 【解析】正
39、方体只可能有两种： 由 1 个小正方体构成的正方体，有 22 个； 由 8 个小正方体构成的222 的正方体，有 4 个 所以共有正方体22426(个) 由两个小正方体组成的长方体，根据摆放的方向可分为下图所示的上下位、左右位、前后位三种， 其中上下位有 13 个，左右位有 13 个，前后位有 14 个，共有13 13 1440(个) 4-5-2.长方体与正方体（二） 题库page 12 of 38 【答案】40 【例【例 26】有黑白两种颜色的正方体积木，把它摆成右图所示的形状，已知相邻有黑白两种颜色的正方体积木，把它摆成右图所示的形状，已知相邻(有公共面有公共面)的积木颜色不同的积木颜色不
40、同， 标标A的为黑色，图中共有黑色积木多少块？的为黑色，图中共有黑色积木多少块？ ? A 【考点】长方体与正方体【难度】3 星【题型】解答 【解析】分层来看，如下图(切面平行于纸面)共有黑色积木 17 块. 【答案】17 【巩固】这个图形，是否能够由【巩固】这个图形，是否能够由1 1 2 的长方体搭构而成？的长方体搭构而成？ 【考点】长方体与正方体【难度】3 星【题型】解答 【解析】每一个1 1 2 的长方体无论怎么放，都包含了一个黑色正方体和一个白色正方体，而黑色积木有 17 块，白色积木有 15 块，所以该图形不能够由1 1 2 的长方体搭构而成. 【答案】17 【巩固】有【巩固】有许多许
41、多相同的立方体，每个立方体的六个面上都写着同一个数字相同的立方体，每个立方体的六个面上都写着同一个数字(不同的立方体可以写相同的数字不同的立方体可以写相同的数字) 先将写着先将写着 2 的立方体与写着的立方体与写着 1 的立方体的三个面相邻的立方体的三个面相邻，再将写着再将写着 3 的立方体写着的立方体写着 2 的立方体相邻的立方体相邻(见见 左下图左下图)依这样构成右下图所示的立方体，它的六个面上的所有数字之和是多少依这样构成右下图所示的立方体，它的六个面上的所有数字之和是多少? ? 3 ? 3 ? 2 ? 2 ? 3 ? 3 ? 2 ? 3 ? 3 ? 2 ? 2 ? 3 ? 2 ? 3
42、? 1 ? 1 ? 1 ? 1 ? 1 ? 1 【考点】长方体与正方体【难度】4 星【题型】解答 【解析】第一层如下图，第二层、第三层依次比上面一层每格都多 1(见下图) 4-5-2.长方体与正方体（二） 题库page 13 of 38 ? 7 ? 6 ? 5 ? 4 ? 3 ? 4 ? 5 ? 6 ? 5 ? 第三层 ? 6 ? 5 ? 4 ? 3 ? 2 ? 3 ? 4 ? 5 ? 4 ? 第二层 ? 第一层 ? 3 ? 4 ? 3 ? 2 ? 1 ? 2 ? 3 ? 4 ? 5 上面的 9 个数之和是 27，由对称性知，上面、前面、右面的所有数之和都是 27同理，下面的 9 个 数之和是
43、 45， 下面、 左面、 后面的所有数之和都是 45 所以六个面上所有数之和是(2745) 3216 【答案】216 【例【例 27】如下图，用若干块单位正方体积木堆成一个立体，小明正确地画出了这个立体的正视图、俯视图如下图，用若干块单位正方体积木堆成一个立体，小明正确地画出了这个立体的正视图、俯视图 和侧视图，问：所堆的立体的体积至少是多少？和侧视图，问：所堆的立体的体积至少是多少？ ? 正视图 ? 俯视图 ? 侧视图 【考点】长方体与正方体【难度】4 星【题型】解答 【解析】本题还原的技巧在于反用“切片法”，根据俯视图，最底层必有这么 11 个，这是不能再少的； 第二步，不妨先根据正视图，
44、再在一侧加上 7 块； 第三步，通过第二层以上的积木的调整使得图形符合侧视图的要求： 所堆的立体的体积至少是11718 当然，这里的形状不唯一，如下面两图都符合条件 【答案】18 【例【例 28】用一些棱长是用一些棱长是 1 的小正方体码放成一个立体图形的小正方体码放成一个立体图形，从上向下看这个立体图形从上向下看这个立体图形，如下图如下图a，从正面看从正面看 这个立体图形，如下图这个立体图形，如下图b，则这个立体图形的表面积最多是，则这个立体图形的表面积最多是_ ? a ? b 【考点】长方体与正方体【难度】4 星【题型】填空 【关键词】华杯赛 【解析】根据题意，这个立体应当有 2 层，由于
45、这个立体图形是码成的而不是粘成的，这就意味着，这个立 体图形的每一个小正方体的下端必然有其他正方体支撑，所以这个立体图形的俯视图实际上可以看 作该图形的“地基”我们在此基础上构造立体图形，结合图b，构筑“地基”以上的第二层的建筑，由 视角分析，A、B、C3 个位置上都至少有一个正方体(如左下图)，在“地基”的基础上构筑第二层时， 随着第二层小正方体数目的增多，由于每个小正方体与其他小正方体贴合的面最多有 3 个，那么裸 露在外面的面至少也有 3 个，所以每增加一个小正方体，其表面积不会减少那么当第二层的小正 方体最多时，其表面积也最大而小正方体最多的情况如右下图所示， 4-5-2.长方体与正方
46、体（二） 题库page 14 of 38 ? C ? B ? A 根据“三视图法”，该图形上、下面积为8 216(平方厘米)，前、后面积为8 216(平方厘米)，左、 右面积为8 216(平方厘米)(注意，左、右方向的面中，有 4 个从该图形以外的左、右方向无法观 察到)，所以此立体的表面积为16161648平方厘米 【答案】48 【例【例 29】 用棱长为用棱长为 1 的小立方体粘合而成的立体，从正面、侧面、上面看到的视图均如下图所示，那么粘的小立方体粘合而成的立体，从正面、侧面、上面看到的视图均如下图所示，那么粘 成这个立体最多需要成这个立体最多需要块小立方体块小立方体 【考点】长方体与正
47、方体【难度】4 星【题型】填空 【关键词】希望杯，六年级 【解析】根据视图可以画出原立体图形，如右图所示，其中灰色部分和黑色部分都可以有小立方体，白色部 分则不可以有小立方体 这些小立方体可以分为角上的和棱上的两种，其中角上的有 3 2864个，棱上的有 12 个（每条棱 上 1 个） ，所以总共最多有641276个 【答案】76 【例【例 30】 第第 9 届华罗庚金杯少年数学邀请赛总决赛于届华罗庚金杯少年数学邀请赛总决赛于 2004 年年 5 月月 10 日在潮州举行日在潮州举行，北京的选手们用北京的选手们用N个个 大小相同的小正方体木块粘贴成了一个从正面看是大小相同的小正方体木块粘贴成了
48、一个从正面看是 2004，从左面看是，从左面看是 9 的模型的模型(如图如图)问：问：N最最 大为多少？大为多少？N最小为多少最小为多少? 【考点】长方体与正方体【难度】4 星【题型】解答 【关键词】华杯赛 【解析】可以将 2004 这个模型分为 5 行，第一行有 11 个方块，第二行有 7 个方块，第三行有 10 个方块，第 四行有 6 个方块，第五行有 10 个方块 因为从左边看是 9 的模型，所以第一行的宽度为 3 个方块，第二行的宽度为 2 个方块，第三行的宽 度为 3 个方块，第四行的宽度为 1 个方块，第五行的宽度为 3 个方块， 11 3721036 1 103113 ，所以N最
49、大为 113 1171061044， 所以N至少是 44 块 但是， 仅用 44 块显然不能满足从左边看是 9 的模型 所 以必须再加上一些木块以满足从左边看是 9 的模型 模型“9”有 3 列，右面一列 5 个方块已经满足，中间一列有 3 个方块，所以得加上 3 个；由于模型是 粘贴出来而不是摆出来的，所以加上中间一列的 3 块并不能减少右边一列的方块而左边一列有 4 个方块，这 4 个也得加上，加上左边一列的 4 块后，由于其中的上面 3 块是连续的，所以可以在右 面一列去掉 2 块，仍然不会改变从正面看是 2004 的效果4434249，所以N最小为 49 【答案】49 4-5-2.长方
50、体与正方体（二） 题库page 15 of 38 【例【例 31】 有很多白色或黑色的棱长是有很多白色或黑色的棱长是1cm的小正方体取其中的的小正方体取其中的 27 个，拼成一个棱长是个，拼成一个棱长是3cm的大正方体的大正方体， 每一面都各用每一面都各用 2 个黑色的小正方体拼成了相同的图案。见例图例图中正方体的每一面的图案都个黑色的小正方体拼成了相同的图案。见例图例图中正方体的每一面的图案都 相同相同，因此因此，用用 8 个或个或 9 个黑色小正方体就可拼成这样的大正方体个黑色小正方体就可拼成这样的大正方体除例图的图案之外除例图的图案之外，还可以拼还可以拼 成每面的图案都相同的大正方体成每
