1、5-1-3-3.数阵图.题库教师版page 1 of 8 5-1-3-3.5-1-3-3.数阵图数阵图 教学目标教学目标 1.了解数阵图的种类 2.学会一些解决数阵图的解题方法 3.能够解决和数论相关的数阵图问题 知识点拨知识点拨 . 一、数阵图定义及分类： 1.定义：把一些数字按照一定的要求，排成各种各样的图形，这类问题叫数阵图. 2.数阵是一种由幻方演变而来的数字图.数阵图的种类繁多，这里只向大家介绍三种数阵图：即封闭型数阵 图、辐射型数阵图和复合型数阵图. 3. 二、解题方法： 解决数阵类问题可以采取从局部到整体再到局部的方法入手： 第一步：区分数阵图中的普通点(或方格)和关键点(或方格
2、)； 第二步：在数阵图的少数关键点(一般是交叉点)上设置未知数，计算这些关键点与相关点的数量关系，得到关 键点上所填数的范围； 第三步：运用已经得到的信息进行尝试这个步骤并不是对所有数阵题都适用，很多数阵题更需要对数学方 法的综合运用 例题精讲例题精讲 数阵图与数论 【例【例 1】 把把 09 这十个数字填到右图的圆圈内，使得五条线上的数字和构成一个等差数列，而且这个等差这十个数字填到右图的圆圈内，使得五条线上的数字和构成一个等差数列，而且这个等差 数列的各项之和为数列的各项之和为 55，那么这个等差数列的公差有，那么这个等差数列的公差有种可能的取值种可能的取值 【考点】数阵图与数论【难度】3
3、 星【题型】填空 【关键词】迎春杯，三年级，初赛，第 8 题 【解析】【解析】设顶点分别为 A、B、C、D、E，有 45+A+B+C+D+E=55，所以 A+B+C+D+E=10，所以 A、B、C、D、 E 分别只能是 0-4 中的一个数字.则除之外的另外 5 个数（即边上的）为 45-10=35.设所形成的等差数 列的首项为 a1， 公差为 d.利用求和公式 5 （a1a1+4d） 2=55， 得 a1+2d=11， 故大于等于 0+1+5=6， 且为奇数，只能取 7、9 或 11，而对应的公差 d 分别为 2、1 和 0.经试验都能填出来所以共有 3 中情 况，公差分别为 2、1、0. 【
4、答案】2种可能 【例【例 2】 将将1 9填入下图的填入下图的中，使得任意两个相邻的数之和都不是中，使得任意两个相邻的数之和都不是3，5，7的倍数的倍数 5-1-3-3.数阵图.题库教师版page 2 of 8 【考点】数阵图与数论【难度】4 星【题型】填空 【解析】【解析】根据题意可知1的两边只能是3与7；2的两边只能是6与9；3 的两边只能是 1、5 或 8；4 的两边只 能是 7 与 9可以先将 317-写出来，接下来 7 的后面只能是 4，4 的后面只能是 9，9 的后面只 能是 2，2 的后面只能是 6，可得：3174926-，还剩下 5 和 8 两个数由于6814是 7 的倍数，所
5、以接下来应该是 5，这样可得：3174926583检验可知这样的填法 符合题意 【答案】3174926583 【例【例 3】 在下面在下面 8 个圆圈中分别填数字个圆圈中分别填数字 l，2，3，4，5，6，7，8(1 已填出已填出)从从 1 开始顺时针走开始顺时针走 1 步进入下步进入下 一个圆圈，这个圆圈中若填一个圆圈，这个圆圈中若填 n(n8)。则从这个圆。则从这个圆圈开始顺时针走圈开始顺时针走n步进入另一个圆圈依此下步进入另一个圆圈依此下 去，走去，走7次恰好不重复地进入每个圆圈，最后进入的一个圆圈中写次恰好不重复地进入每个圆圈，最后进入的一个圆圈中写8请给出两种填法请给出两种填法 【考
6、点】数阵图与数论【难度】4 星【题型】填空 【关键词】走美杯，5 年级，决赛，第 12 题，15 分 【解析】按顺时针方向：1,2，5,3，8，7,4，6 或 1,5,2，4，8，6，7,3 或 1,6,2,3，8，5，7，4 或 1,6，4，2，8， 7，5，3 (答对任一种给 6 分，总得分不超过 12)由于无论如何填 8 都是最后一个填写，而填之前，已 经走过了 28 步，因为 288=3 余 4，即 8 永远只能在最底下的圆圈里。顺推：试算，从 1 到 8 顺序 填写发现可以，此时从 1 顺时针为 1、2、5、3、8、7、4、6；逆推：8 前面的一个填有 2、3、5、6、 7 共 5
7、种可能。假设为 2，如上图，再往前一个数有 3、4、5、7 共 4 种可能，设为 3，再前推一个 数可能是 4 或 6，设为 4，依次类并排除错误的选择，可得 1、5、2、 4、 8、6、7、3。 【答案】1、5、2、 4、 8、6、7、3。 【例【例 4】 在圆的在圆的 5 条直径的两端分别写着条直径的两端分别写着 110（如图如图）。现在请你调整一部分数的位置现在请你调整一部分数的位置，但保留但保留 1、10、5、 6 不动，使任何两个相邻的数之和都等于直径另一端不动，使任何两个相邻的数之和都等于直径另一端的相邻两数之和（画在另一个圆上的相邻两数之和（画在另一个圆上） 。 【考点】数阵图与
8、数论【难度】5 星【题型】填空 【关键词】走美杯，五年级，初赛，第 4 题 【解析】【解析】 共 6 种 【答案】 5-1-3-3.数阵图.题库教师版page 3 of 8 【例【例 5】 图中是一个边长为图中是一个边长为 1 的正六边形的正六边形，它被分成六个小三角形它被分成六个小三角形将将 4、6、8、10、12、14、16 各一个填各一个填 入入 7 个圆圈之中相邻的两个小正三角形可以组成个圆圈之中相邻的两个小正三角形可以组成 6 个菱形，把每个菱形的四个顶点上的数相加个菱形，把每个菱形的四个顶点上的数相加， 填在菱形的中心填在菱形的中心 A、B、C、D、E、F 位置上（例如：位置上（例
9、如：abgfA） 已知已知 A、B、C、D、E、 F 依次分别能被依次分别能被 2、3、4、5、6、7 整除，那么整除，那么agd_ 【考点】数阵图与数论【难度】5 星【题型】填空 【关键词】迎春杯，六年级，初赛，第 12 题 【解析】【解析】 先考虑菱形顶点的和为 3、6 的倍数，7 个数被 3 除的余数分别为 1、0、2、1、0、2、1，可以得到 中间数 g8 或 14，同样分析 5 的倍数，7 的倍数，得到具体的填法（如图），agd4810320 评注：采用余数分析法，找到关键数的填法。 【答案】320 【例【例 6】 在如图所示的圆圈中各填入一个自然数，使每条线段两端的两个数的差都不能
10、被在如图所示的圆圈中各填入一个自然数，使每条线段两端的两个数的差都不能被 3 整除。请问这整除。请问这 样的填法存在吗样的填法存在吗?如存在，请给出一种填法；如不存在，请说明理由。如存在，请给出一种填法；如不存在，请说明理由。 【考点】数阵图与数论【难度】4 星【题型】填空 【关键词】希望杯，六年级，二试，第 18 题，10 分 【解析】图中共有 4 个不同的数，每个数除以 3 的余数只可能有 0、1、2 三种，根据抽屉原理可知，这 4 个 数中必然至少存在一对同余的数，那么这两个数的差必然为 3 的倍数，故不存在这样的填法。 【答案】不存在这样的填法 【例【例 7】 如图如图ABC被分成四个
11、小三角形，请在每个小三角形里各填入一个数，满足下面两个要求：被分成四个小三角形，请在每个小三角形里各填入一个数，满足下面两个要求：(1)任任 何两个有公共边的三角形里的数都互为倒数何两个有公共边的三角形里的数都互为倒数(如如：2 3 和和 3 2 是互为倒数是互为倒数)；(2)四个小三角形里的数字的四个小三角形里的数字的 乘积等于乘积等于 225。 则中问小三角形里的数是则中问小三角形里的数是 5-1-3-3.数阵图.题库教师版page 4 of 8 【考点】数阵图与数论【难度】3 星【题型】填空 【关键词】希望杯，六年级，初赛，第 3 题，6 分 【解析】四个小三角形共三对相邻三角形，这三对
12、的积都是 1，所以将这三对数乘起来，得到的积还是 1,但 其中中间的数被乘了 3 次,如果只乘 1 次那么积为 225，所以中间的数是 1 15 . 【答案】 1 15 【例【例 8】 （2010 年第年第 8 届走美杯届走美杯 3 年级初赛第年级初赛第 8 题）题）2010年是虎年，请把年是虎年，请把111这这11个数不重复的填入虎个数不重复的填入虎 额上的额上的“王王”字中，使三行，一字中，使三行，一列列的和都等于的和都等于18 【考点】复合型数阵图【难度】5 星【题型】填空 【关键词】走美杯，3 年级，初赛 【解析】三个答案均可 三个交叉点数的和是：12114 186，只能是6123 。
13、剩下通过整数分拆即可得到如图 的三种实质不同的答案 【答案】 【例【例 9】 将将 19 这这 9 个数字填入下图的个数字填入下图的 9 个圆圈内，使得每条线段两端上的两个数字之和各不相同个圆圈内，使得每条线段两端上的两个数字之和各不相同（即可即可 得到得到 12 个不同的和个不同的和） 。 【考点】数阵图与数论【难度】5 星【题型】填空 【关键词】走美杯，3 年级，决赛，第 4 题，8 分 5-1-3-3.数阵图.题库教师版page 5 of 8 【解析】答案不唯一。例如： 【答案】 【例【例 10】在棋盘中，如果两个方格有公共点，就称为相邻的。右图中在棋盘中，如果两个方格有公共点，就称为相
14、邻的。右图中 A 有有 3 个相邻的方格，而个相邻的方格，而 B 有有 8 个相个相 邻的方格邻的方格。图中每一个奇数表示与它相邻的方格中图中每一个奇数表示与它相邻的方格中，偶数的个数偶数的个数（如如 3 表示相邻的方格中有表示相邻的方格中有 3 个偶个偶 数数） ，每个偶数表示与它相邻的方格中每个偶数表示与它相邻的方格中，奇数的个数奇数的个数（如如 4 表示相邻的方格中有表示相邻的方格中有 4 个奇数个奇数） 。请在下请在下 面的面的 44 的棋盘中填数（至少有一个奇数的棋盘中填数（至少有一个奇数） ，满足上面的要求。，满足上面的要求。 【考点】数阵图与数论【难度】5 星【题型】填空 【关键
15、词】走美杯，4 年级，决赛，第 12 题，12 分 【解析】如右图 【答案】答案不唯一 【例【例 11】在右图所示的在右图所示的 55 方格表的空白处填入适当的自然数，使得每行、每列、每条对角线上的数的和方格表的空白处填入适当的自然数，使得每行、每列、每条对角线上的数的和 都是都是 30。要求：填入的数只有两种不同的大小，且一种是另一种的。要求：填入的数只有两种不同的大小，且一种是另一种的 2 倍。 【考点】复合型数阵图【难度】5 星【题型】填空 【关键词】走美杯，3 年级，决赛，第 12 题，12 分 【解析】提示：设填入的较小的数为a，则较大的数为 2a。第一行要填的两数之和为 16，最后
16、一列要填的两 数之和为 8， 由此知第一行填入了两个较大的数， 第一列填入了两个较小的数。 较大的数为 162=8， 较小的数为 824。得到下图。 其余数容易填入。 5-1-3-3.数阵图.题库教师版page 6 of 8 【答案】 【例【例 12】请在右图所示请在右图所示 44 的正方形的每个格子中填入的正方形的每个格子中填入 l 或或 2 或或 3，使得每个使得每个 22 的正方形中所填的正方形中所填 4 个数的个数的 和各不相同。和各不相同。 【考点】数阵图与数论【难度】4 星【题型】填空 【关键词】走美杯，4 年级，决赛，第 10 题，12 分 【解析】 【答案】答案不唯一 【例【例
17、 13】请在请在 88 表格的每个格子中填人表格的每个格子中填人 1 或或 2 或或 3，使得每行、每列所填数的和各不相同。，使得每行、每列所填数的和各不相同。 【考点】数阵图与数论【难度】4 星【题型】填空 【关键词】走美杯，决赛，5 年级，决赛，第 12 题，10 分 【解析】【解析】答案不唯一 【答案】 5-1-3-3.数阵图.题库教师版page 7 of 8 【例【例 14】在在 88 表格的每格中各填入一个数，使得任何一个表格的每格中各填入一个数，使得任何一个 55 正方形中正方形中 25 个数的平均数都大于个数的平均数都大于 3，而整，而整 个个 88 表格中表格中 64 个数的平
18、均数都小于个数的平均数都小于 2 【考点】【难度】星【题型】填空 【关键词】走美杯，5 年级，决赛，第 12 题，15 分 【解析】如图所示，根据题意，在任何一个任何一个 55 正方形中的总和应该大于 75，而整个的数之和要小 于 128，其中粗线格部分的在所有的 55 的正方形里都存在，我们要让它尽可能的大，同时让外边 的尽可能的小，则外面的 60 个方格最小和为 60，中间四个方格，应该小于 68。在每一个 55 的正 方形内除去这 4 个，所有之和为 21，则中间四个数之和应该大于 54，即只要中间四个数的和在 54 到 68 之间即可。如 14+14+14+14.其他方格里均填写 1.
19、 【答案】答案不唯一可以在粗线格里添14，其余方格添1 【例【例 15】将最小的将最小的10个合数填到图中所示表格的个合数填到图中所示表格的10个空格中，要求满足以下条件：个空格中，要求满足以下条件： （1）填入的数能被它所在列的第一个数整除）填入的数能被它所在列的第一个数整除 （2）最后一行中每个数都比它上面那一格中的数大。那么，最后一行中）最后一行中每个数都比它上面那一格中的数大。那么，最后一行中5个数的和最小是个数的和最小是 【考点】数阵图与数论【难度】4 星【题型】填空 【解析】【解析】最小的10个合数分别是4，6，8，9，10，12，14，15，16，18这10个合数当中10和15一
20、 定是在5的下面，其中 15 在最后一行；4、8、14、16一定是在2和4下面，其中 14 一定在 2 的下 面；剩下的6、9、12、18在3或6下面，其中9一定在3的下面，对2和4所在的列和3和6所在 的列分别讨论4、8、14、16，这四个数中最大的数16一定在最后一行，最小的数4一定在第二 行，所以2和4所在的列中最后一行的数的和最小是16824，当14、16在2下面，4和8在4下 面时成立；6、9、12、18，这四个数中最大的数18一定在最后一行，最小的数6一定在第二行， 所以3和6所在的列中最后一行的数的和最小是18927，当12和18在6下面，6和9在3下面时 成立所以最后一行的5个
21、数的和最小是24152766。 5-1-3-3.数阵图.题库教师版page 8 of 8 【答案】24152766 【例【例 16】老师给前来参加老师给前来参加“迎春晚会迎春晚会”的的 31 位同学位同学发放编号：发放编号：1，2，31如果有两位同学的编号的乘如果有两位同学的编号的乘 积积是是他他们们编编号号和和的的倍倍数数，则则称称这这两两位位同同学学是是“好好朋朋友友”从从这这31位位同同学学中中至至少少需需要要选选出出 人，才能保证在选出的人中一定可以找到两位同学是人，才能保证在选出的人中一定可以找到两位同学是“好朋友好朋友” 【考点】数阵图与数论【难度】6 星【题型】填空 【关键词】迎
22、春杯，高年级，决赛，15 题 【解析】如果a b，ab两个编号的同学是“好朋友”，那么abkakb，则 2 k ak bk 2k 时满足条件的a b，有3 6，； 3k 时满足条件的a b，有4 12，； 4k 时满足条件的a b，有5 20，、6 12，； 5k 时满足条件的a b，有6 30，； 6k 时满足条件的a b，有8 24，、5 20，、5 20，； 8k 时满足条件的a b，有12 24，； 10k 时满足条件的a b，有15 30，； 12k 时满足条件的a b，有20 30，、21 28，； 则全部同学相互之间的关系网如图(其余31 1516名学生未列)： ? 10 ? 15 ? 5 ? 20 ? 30 ? 6 ? 3 ? 4 ? 12 ? 24 ? 8 ? 28 ? 21 ? 18 ? 9 关系网图可分为不关联的3部分，其中包含11个人的部分最多可以选出6名互不是“好朋友”的同学， 包含2个人的两个部分各可选出1人，以保证互不是“好朋友”，加上未列出的 16 人，所以31人中最 多可以选出1661 124 人互不是“好朋友”，此时只要再选出一人，即可保证选出的人当中有两 位同学是“好朋友”，所以至少应该选出25人 小结：本题容易忽略掉 21 和 28 这一对“好朋友” 【答案】25人
