1、2-3-5.工程问题.题库教师版page 1 of 15 工程问题（三）工程问题（三） 教学目标教学目标 1.熟练掌握工程问题的基本数量关系与一般解法； 2.工程问题中常出现单独做，几人合作或轮流做，分析时一定要学会分段处理； 3.根据题目中的实际情况能够正确进行单位“1”的统一和转换； 4.工程问题中的常见解题方法以及工程问题算术方法在其他类型题目中的应用 知识精讲知识精讲 工程问题是小学数学应用题教学中的重点，是分数应用题的引申与补充，是培养学生抽象逻辑思 维能力的重要工具。工程问题是把工作总量看成单位“1”的应用题，它具有抽象性，学生认知起来比 较困难。在教学中，让学生建立正确概念是解决
2、工程应用题的关键。 一 工程问题的基本概念 定义 ： 工程问题是指用分数来解答有关工作总量、工作时间和工作效率之间相互关系的问题。 工作总量：一般抽象成单位“1” 工作效率：单位时间内完成的工作量 三个基本公式：工作总量=工作效率工作时间， 工作效率=工作总量工作时间， 工作时间=工作总量工作效率； 二、为了学好分数、百分数应用题，必须做到以下几方面： 具备整数应用题的解题能力，解决整数应用题的基本知识，如概念、性质、法则、公式等广泛应用于 分数、百分数应用题； 在理解、掌握分数的意义和性质的前提下灵活运用； 学会画线段示意图线段示意图能直观地揭示“量”与“百分率”之间的对应关系，发现量与百分
3、率之间 的隐蔽条件，可以帮助我们在复杂的条件与问题中理清思路，正确地进行分析、综合、判断和推理； 学会多角度、多侧面思考问题的方法分数、百分数应用题的条件与问题之间的关系变化多端，单靠 统一的思路模式有时很难找到正确解题方法因此，在解题过程中，要善于掌握对应、假设、转化等多种解 题方法，不断地开拓解题思路 三、利用常见的数学思想方法： 如代换法、比例法、列表法、方程法等 抛开“工作总量”和“时间”，抓住题目给出的工作效率之间的数量关系，转化出与所求相关的工作效率， 最后再利用先前的假设“把整个工程看成一个单位”，求得问题答案一般情况下，工程问题求的是时间 例题精讲例题精讲 2-3-5.工程问题
4、.题库教师版page 2 of 15 工程问题方法与技巧 （一）等量代换法 【例【例 1】 甲、乙两队合作挖一条水渠要甲、乙两队合作挖一条水渠要30天完成，若甲队先挖天完成，若甲队先挖4天后，再由乙队单独挖天后，再由乙队单独挖16天，共挖了这条天，共挖了这条 水渠的水渠的 2 5 如果这条水渠由甲、乙两队单独挖，各需要多少天？如果这条水渠由甲、乙两队单独挖，各需要多少天？ 【考点】工程问题【难度】3 星【题型】解答 【解析】法一：甲、乙合作完成工程的 2 5 需要： 2 3012 5 (天)甲队先做4天，比合作少了1248(天)； 乙队后做16天，比合作多了16124(天)，所以甲队做8天相当
5、于乙队做4天，甲、乙两队工作效 率 的 比 是4:81:2 甲 队 单 独 工 作 需 要 ：3030290( 天 ) ； 乙 队 单 独 工 作 需 要 ： 3030245(天)。 法二：我们知道，甲乙合作，每天可以完成工程的 1 30 ，而题目中给定的“甲队先挖4天，再由乙队 单独挖16天”，相当于甲乙两队先合作4天，然后再由乙队单独挖12天，于是两队合作4天，可以完 成工程的 12 4 3015 ，也就是说乙队12天挖了 224 51515 ，于是乙队的工作效率为 41 12 1545 ，那 么甲队的工作效率就是 111 304590 ，即甲队单独做需要90天，乙队单独做需要45天。工程
6、问题里 面也经常用到比例，是因为工程问题的基本数量关系是乘法关系其实这一点是与工程习惯无关的 【答案】甲队单独做需要90天，乙队单独做需要45天 【例【例 2】 一项工程一项工程，甲甲、乙乙、丙三人合作需要丙三人合作需要 13 天完成天完成.如果丙休息如果丙休息 2 天天，乙就要多做乙就要多做 4 天天，或者由甲或者由甲、乙乙 两人合作两人合作 1 天天.问这项工程由甲独做需要多少天？问这项工程由甲独做需要多少天？ 【考点】工程问题【难度】3 星【题型】解答 【解析】丙 2 天的工作量，相当乙 4 天的工作量.丙的工作效率是乙的工作效率的 42=2（倍） ，甲、乙合作 1 天，与乙做 4 天一
7、样.也就是甲做 1 天，相当于乙做 3 天，甲的工作效率是乙的工作效率的 3 倍.乙做 13 天，甲只要 13 3 天，丙做 13 天，乙要 26 天，而甲只要 26 3 天他们共同做 13 天的工作量，由甲单独 完成，甲需要 1326 1326 33 天 【答案】26天 【例【例 3】 抄一份书稿，甲每天的工作效率等于乙、丙二人每天的工作效率的和；丙的工作效率相当甲、乙抄一份书稿，甲每天的工作效率等于乙、丙二人每天的工作效率的和；丙的工作效率相当甲、乙 每天工作效率和的每天工作效率和的 1 5 如果如果 3 人合抄只需人合抄只需 8 天就完成了天就完成了， 那么乙一人单独抄需要多少天才能完成
8、？那么乙一人单独抄需要多少天才能完成？ 【考点】工程问题【难度】3 星【题型】解答 【解析】已知甲、乙、丙合抄一天完成书稿的 1 8 ，又已知甲每天抄写量等于乙、丙两人每天抄写量之和，因 此甲两天抄写书稿的 1 8 ，即甲每天抄写书稿的 1 16 ；由于丙抄写 5 天相当于甲乙合抄一天，从而丙 6 天抄写书稿的 1 8 ，即丙每天抄写书稿的 1 48 ；于是可知乙每天抄写书稿的 1 8 - 1 16 - 1 48 1 24 .所以乙一 人单独抄写需要 1 1 24 =24 天才能完成 【答案】24 天 2-3-5.工程问题.题库教师版page 3 of 15 【例【例 4】 一项工程，甲独做一
9、项工程，甲独做6天完成，甲天完成，甲3天的工作量，乙要天的工作量，乙要4天完成两队合做天完成两队合做2天后由乙队独做，还要天后由乙队独做，还要 几天才能完成？几天才能完成？ 【考点】工程问题【难度】3 星【题型】解答 【解析】法一：我们把工程看作两个人分别完成的，那么显然，甲在其中只工作了 2 天，剩下的都是乙完成 的。甲完成整个工作需要 6 天，除去自己完成的 2 天以外，剩下工作量甲需要 4 天完成，乙的工作 效率是甲的 3 4 ，因此甲 4 天完成的量，乙需要 416 4 33 天完成，除去与甲合作的 2 天以外，乙还要 做 1610 2 33 天。 法二：甲的工作效率为 1 6 ，所以
10、乙的工作效率为 11 34 68 两队合作 2 天后乙队独做还要 11110 122 6883 天才能完成 【答案】 10 3 天 【例【例 5】 打印一份书稿打印一份书稿，甲按规定时间可提前甲按规定时间可提前 2 天完成天完成，乙则要超过规定时间乙则要超过规定时间 3 天才能完成天才能完成如果甲如果甲、乙合乙合 做做 2 天，剩下的由乙独做，那么刚好在规定时间内完成甲、乙两人合做需要几天完成？天，剩下的由乙独做，那么刚好在规定时间内完成甲、乙两人合做需要几天完成？ 【考点】工程问题【难度】4 星【题型】解答 【解析】根据“甲按规定时间可提前 2 天完成，乙则要超过规定时间 3 天才能完成如果
11、甲、乙合做 2 天，剩 下的由乙独做，那么刚好在规定时间内完成”，可知甲做 2 天的工作量等于乙做 3 天的工作量，所以 完成这项工作甲、乙所用的时间比是2:3另外，由于甲、乙单独做，乙用的时间比甲多325天， 所以乙独做需要的天数是： 3 (32)15 32 (天)，甲独做需要15510(天)，甲、乙合做需要 11 16 1015 (天) 【答案】6(天) 【例【例 6】 一项工程，如果甲先做一项工程，如果甲先做 5 天，那么乙接着做天，那么乙接着做 20 天可以完成；如果甲先做天可以完成；如果甲先做 20 天，那么乙接着做天，那么乙接着做 8 天可以完成如果甲、乙合作，那么多少天可以完成？
12、天可以完成如果甲、乙合作，那么多少天可以完成？ 【考点】工程问题【难度】3 星【题型】解答 【解析】本题没有直接给出工作效率，为了求出甲、乙的工作效率，我们先画出示意图： 从图中可以直观地看出：甲 15 天的工作量和乙 12 天的工作量相等，即甲 5 天的工作量等于乙 4 天 的工作量于是可用“乙工作 4 天”等量替换题中“甲工作 5 天”这一条件， 通过此替换可知乙单独做这 一工程需要20424(天)完成，即乙的工作效率是 1 24 2-3-5.工程问题.题库教师版page 4 of 15 又因为乙工作4天的工作量和甲工作5天的工作量相等， 所以甲的工作效率是乙的 4 5 ， 为 141 2
13、4530 ， 那么甲、乙合作完成这一工程需要的时间为 111 1()13 24303 (天) 【答案】 1 13 3 天 【巩固】【巩固】 一件工作甲先做一件工作甲先做6小时小时， 乙接着做乙接着做12小时可以完成小时可以完成； 甲先做甲先做8小时小时， 乙接着做乙接着做6小时也可以完成小时也可以完成 如如 果甲做果甲做3小时后由乙接着做，还需要多少小时完成？小时后由乙接着做，还需要多少小时完成？ 【考点】工程问题【难度】3 星【题型】解答 【解析】根据题意可知，甲做862小时的工作量等于乙做1266小时的工作量， 可见甲做 1 小时的工作量等于乙做 3 小时的工作量 那么可以用乙做 3 小时
14、来代换甲做 1 小时，可知乙完成全部工作需要631230 小时， 甲先做的 3 小时相当于乙做了 9 小时，所以乙还需要30921小时 【答案】21小时 【巩固】【巩固】 一份文件一份文件， 如果甲抄如果甲抄 10 小时小时， 乙抄乙抄 10 小时可以抄完小时可以抄完； 如果甲抄如果甲抄 8 小时小时， 乙抄乙抄 13 小时也可以抄完小时也可以抄完 现现 在甲先抄在甲先抄 2 小时，剩下的甲、乙合作，还需要几小时才能完成？小时，剩下的甲、乙合作，还需要几小时才能完成？ 【考点】工程问题【难度】3 星【题型】解答 【解析】由题意可知，甲、乙合作的效率为 1 10 ；将甲抄 8 小时，乙抄 13
15、小时，转化为甲乙和抄 8 小时，乙 单独抄 5 小时，则乙单独工作的效率为 11 18(138) 1025 ， 所以甲单独工作的效率 113 102550 甲、乙两人的工作效率之比为 31 :3:2 50 25 甲先抄 2 小时，这 2 小时的工作量如果两人合作，需要 1 32(32)1 5 小时， 所以剩下的工作量由甲、乙合作，还需要 14 1018 55 小时 【答案】 4 8 5 小时 【例【例 7】 一项工程，甲先做若干天后由乙继续做，丙在工程完成一项工程，甲先做若干天后由乙继续做，丙在工程完成 1 2 时前来帮忙，待工程完成时前来帮忙，待工程完成 5 6 时离去，结时离去，结 果恰按
16、计划完成任务，其中乙做了工程总量的一半如果没有丙的参与，仅由乙接替甲后一直做果恰按计划完成任务，其中乙做了工程总量的一半如果没有丙的参与，仅由乙接替甲后一直做 下去，将比计划推迟下去，将比计划推迟 1 3 3 天完成；如果全由甲单独做，则可比计划提前天完成；如果全由甲单独做，则可比计划提前6天完成还知道乙的工作天完成还知道乙的工作 效率是丙的效率是丙的3倍，问：计划规定的工期是多少天？倍，问：计划规定的工期是多少天？ 【考点】工程问题【难度】5 星【题型】解答 【关键词】北大附中，资优博雅杯 【解析】丙在工程完成一半时前来帮忙，待工程完成 5 6 时离去，所以乙、丙合做了全部工程的 1 3 ；
17、如果丙不 来帮忙，这 1 3 的工程由乙独做，那么乙完成这 1 3 的工程时间将比乙、丙合做多用 10 3 天由于乙的工 效是丙的工效的 3 倍，乙、丙合做的工效之和为乙独做的 4 3 倍，那么乙独做所用的时间为乙、丙合 2-3-5.工程问题.题库教师版page 5 of 15 做所用时间的 4 3 倍，所以乙、丙合做这 1 3 的工程所用的时间为 104 (1)10 33 天那么乙的工效为 111 10(1) 3340 由于在丙来帮忙的情况下乙共做了工程总量的一半，所以乙工作的天数为 11 20 240 天，其中有 10 天是乙、丙在合做，另外 10 天(被分成了前后两段)乙一个人独做那么
18、乙、丙共完成了全部工程的 1117 10 240312 ，根据题意，这 7 12 的工程如果由甲独做，只需要 20614天，那么甲的工效为 71 14 1224 甲完成全部工程需要 24 天由于全部由甲独做可比计 划提前 6 天完成，所以原计划工期是24630天 【答案】30天 （二）比例法 【例【例 8】 一批零件平均分给甲一批零件平均分给甲、乙两人同时加工乙两人同时加工，两人工作两人工作5小时小时，共完成这批零件的共完成这批零件的 2 3 。已知甲与乙的工已知甲与乙的工 作效率之比是作效率之比是5:3，那么乙还要几小时才能完成分配的任务？，那么乙还要几小时才能完成分配的任务？ 【考点】工程
19、问题【难度】3 星【题型】解答 【解析】乙5小时完成总工作量的 231 3534 ；乙每小时完成总工作量的 11 5 420 ；乙需要完成的总工作 量为 1 2 ；乙要完成这个任务还需要的时间： 11 55 220 （小时） 【答案】5小时 【例【例 9】 一项工程一项工程，甲甲 15 天做了天做了 1 4 后后，乙加入进来乙加入进来，甲甲、乙一起又做了乙一起又做了 1 4 ，这时丙也加入进甲这时丙也加入进甲、乙乙、丙一丙一 起做完已知乙、丙的工作效率的比为起做完已知乙、丙的工作效率的比为 3：5，整个过程中，乙、丙工作的天数之比为，整个过程中，乙、丙工作的天数之比为 2：1，问题，问题 中情
20、形下做完整个工程需多少天中情形下做完整个工程需多少天? 【考点】工程问题【难度】3 星【题型】解答 【解析】方法一：先把整个工程分为三个阶段：；且易知甲的工作效率为 1 . 60 又乙、丙工作的天 数之比为(+)：=2：1，所以有阶段和阶段所需的时间相等即甲、乙合作完成的 1 4 的工 程与甲、乙、丙合作完成 111 1 442 的工程所需的时间相等所以对于工作效率有：(甲+乙)2=(甲 +乙+丙)， 甲+乙=丙， 那么有丙-乙= 1 . 60 又有乙、 丙的工作效率的比为 3： 5 易知乙的工作效率为 3 , 120 丙的工作效率为： 5 . 120 那么这种情形下完成整个工程所需的时间为：
21、 113118 15()()156627 460120260120 天. 方法二：显然甲的工作效率为 1 60， 设乙的工作效率为3x，那么丙的工作效率为5x所以有乙工作的 天数为 1111 (3 )(8 ), 460260 xx丙工作的天数为 11 (8 ). 260 x且有 2-3-5.工程问题.题库教师版page 6 of 15 111111 (3 )(8 )2(8 ). 460260260 xxx即 1111 (3 )(8 ), 460260 xx解得 1 . 120 x 所以乙的 工作效率为 3 , 120 丙的工作效率为高 5 . 120 那么这种情形下完成整个工程所需的时间为：
22、113118 15()()156627 460120260120 天. 【答案】27天 【例【例 10】甲甲、乙乙、丙三村准备合作修筑一条公路丙三村准备合作修筑一条公路，他们原计划按他们原计划按9:8:3派工派工，后因丙村不出工后因丙村不出工，将他承担的将他承担的 任务由甲任务由甲、乙两村分担乙两村分担，由丙村出工资由丙村出工资 360 元元，结果甲村共派出结果甲村共派出 45 人人，乙村共派出乙村共派出 35 人人，完成了完成了 修路任务，问甲、乙两村各应分得丙村所付工资的多少元？修路任务，问甲、乙两村各应分得丙村所付工资的多少元？ 【考点】工程问题【难度】4 星【题型】解答 【解析】丙村出
23、的360元钱是不是应该按照甲乙两村派出的人数比即45:359:7来进行分配呢？我们仔细 思考一下，发现丙村所出的钱应该是其他两个村帮他完成的工作量，换句话说，我们应该考虑的是 甲乙两村各帮丙村出了多少人，然后再计算如何分配。 甲、乙两村共派出了453580人，而这 80 人，按照原计划应是甲村派出 9 8036 983 人，乙 村派出 32 人，丙村派出 12 人，所以，实际上甲村帮丙村派出了45369人，乙村帮丙村派出了 35323人，所以丙村拿出的 360 元钱，也应该按9:33:1来分配给甲、乙两村，所以，甲村应 分得：360(31)3270元，乙村应分得：36027090元 【答案】9
24、0元 【例【例 11】某工地用某工地用3种型号的卡车运送土方已知甲、乙、丙三种卡车载重量之比为种型号的卡车运送土方已知甲、乙、丙三种卡车载重量之比为10:7:6，速度比为，速度比为 6:8:9，运送土方的路程之比为运送土方的路程之比为15:14:14，三种车的辆数之比为三种车的辆数之比为10:5:7工程开始时工程开始时，乙乙、丙两丙两 种车全部投入运输种车全部投入运输， 但甲种车只有一半投入但甲种车只有一半投入， 直到直到10天后天后， 另一半甲种车才投入工作另一半甲种车才投入工作， 一共干了一共干了25 天完成任务那么，甲种车完成的工作量与总工作量之比是多少？天完成任务那么，甲种车完成的工作
25、量与总工作量之比是多少？ 【考点】工程问题【难度】3 星【题型】解答 【关键词】二中 【解析】由于甲、乙、丙三种卡车运送土方的路程之比为15:14:14，速度之比为6:8:9，所以它们运送1次 所需的时间之比为 15 14 145 7 14 : 6892 49 ，相同时间内它们运送的次数比为： 2 49 : 5 7 14 在前10天， 甲车只有一半投入使用，因此甲、乙、丙的数量之比为5:5:7由于三种卡车载重量之比为10:7:6， 所以三种卡车的总载重量之比为50:35:42那么三种卡车在前10天内的工作量之比为： 249 50: 35: 4220:20:27 5714 在后15天，由于甲车全
26、部投入使用，所以在后15天里的 工 作 量 之 比 为40:20:27 所 以 在 这25天 内 ， 甲 的 工 作 量 与 总 工 作 量 之 比 为 ： 20 1040 1532 202027104020271579 ()() 【答案】 32 79 【例【例 12】甲、乙、丙三人承包一项工程，发给他们工资共甲、乙、丙三人承包一项工程，发给他们工资共 1800 元，三人完成这项工程的具体情况是：甲、元，三人完成这项工程的具体情况是：甲、 乙两人合作乙两人合作 6 天完成了工程的天完成了工程的 1 3 ，因为甲有事因为甲有事，由乙由乙、丙合作丙合作 2 天完成余下工程的天完成余下工程的 1 4
27、 ，以后三人合以后三人合 作作 5 天完成了这项工程，按完成量的多少来付劳动报酬，甲、乙、丙各得多少元？天完成了这项工程，按完成量的多少来付劳动报酬，甲、乙、丙各得多少元？ 【考点】工程问题【难度】4 星【题型】解答 2-3-5.工程问题.题库教师版page 7 of 15 【关键词】清华附中 【解析】根据题意可知，甲、乙两人的工作效率之和为 11 6 318 ； 乙、丙两人的工作效率之和为 111 (1)2 3412 ； 甲、乙、丙三人的工作效率之和为 111 (1)(1)5 3410 分别可求得甲的工作效率为 111 101260 ，乙的工作效率为 117 1860180 ，丙的工作效率为
28、 112 101845 ，则甲完成的工程量为： 111 65 6060 ，乙完成的工程量为： 791 625 180180 ， 丙完成的工程量为： 214 25 4545 ，三人所完成的工作量之比为 119114 :33:91:56 60 180 45 所以，甲应得 33 1800330 339156 元，乙应得 91 330910 33 元，丙应得 56 330560 33 元 【答案】甲应得330元，乙应得910元，丙应得560元 【例【例 13】放满一个水池，如果同时打开放满一个水池，如果同时打开 1，2 号阀门，则号阀门，则 12 分钟可以完成；如果同时打开分钟可以完成；如果同时打开
29、1，3 号阀门，号阀门，则则 15 分钟可以完成分钟可以完成；如果单独打开如果单独打开 1 号阀门号阀门，则则 20 分钟可以完成分钟可以完成；那么那么，如果同时打开如果同时打开 1，2，3 号号 阀门，阀门，分钟可以完成。分钟可以完成。 【考点】工程问题【难度】3 星【题型】解答 【关键词】学而思杯，6 年级 【解析】单独打开 1 号门，20 分钟可以完成，说明 1 号门每分钟完成 1 20 ，而同时打开 1、2 号闸门 12 分钟 可以完成，说明 2 号闸门每分钟完成 111 122030 ，而现在同时打开 1、3 号闸门，15 分钟可以完成， 说明 3 号闸门每分钟完成 111 1520
30、60 ，则同时打开 1、2、3 号闸门，需要 111 110 203060 分 钟。 【答案】10分钟 【例【例 14】一个水箱一个水箱，用甲用甲、乙乙、丙三个水管往里注水丙三个水管往里注水若只开甲若只开甲、丙两管丙两管，甲管注入甲管注入 18 吨水时吨水时，水箱已满水箱已满； 若只开乙、丙两管，乙管注入若只开乙、丙两管，乙管注入 27 吨水时，水箱才满又知，乙管每分钟注水量是甲管每分钟注水吨水时，水箱才满又知，乙管每分钟注水量是甲管每分钟注水 量的量的 2 倍则该水箱最多可容纳多少吨水？倍则该水箱最多可容纳多少吨水？ 【考点】工程问题【难度】4 星【题型】解答 【解析】由于乙管每分钟注水量是
31、甲管每分钟注水量的 2 倍那么甲管注入 18 吨水的时间是乙管注入 18236吨水的时间，则甲管注入 18 吨水的时间与乙管注入 27 吨水的时间比是36:274:3那 么在这两种情况下丙管注水的时间比为4:3，而且前一种情况比后一种情况多注入27189吨水， 则甲管注入 18 吨水时，丙管注入水9(43)436吨 所以该水箱最多可容纳水183654吨 【答案】54吨 【例【例 15】一个水箱有甲、乙、丙三根进水管，如果只打开甲、丙两管，甲管注入一个水箱有甲、乙、丙三根进水管，如果只打开甲、丙两管，甲管注入30吨水时，水箱已满；如吨水时，水箱已满；如 果只打开乙果只打开乙、丙两管丙两管，乙管注
32、入乙管注入40吨水时吨水时，水箱才满水箱才满已知乙管每分钟注水量是甲管的已知乙管每分钟注水量是甲管的1.5倍倍，则则 该水箱注满时可容纳该水箱注满时可容纳吨水吨水 【考点】工程问题【难度】4 星【题型】解答 2-3-5.工程问题.题库教师版page 8 of 15 【解析】方法一：乙注入 40 吨水的时间相当于甲注入 40 1.5 吨水的时间，甲注入 30 吨水，丙可注水量为x，那 么， 乙注 40 吨水丙可注水量为 401 1.530 x， 所以 401 3040 1.530 xx， 解得90 x ，9030120（吨） 为水箱容量。 方法二：如果只打开甲、丙两管，注满水时甲管注入了 30
33、吨水；如果只打开乙、丙两管，注满水时 乙管注入了 40 吨水由于乙管每分钟注水量是甲管的1.5倍，所以在甲管注入 30 吨水的时间内，乙 管可以注入30 1.545吨水，而在只打开乙、丙两管的情况下乙管共注入了 40 吨水，可见打开甲、 丙两管注满水所用的时间是打开乙、丙两管所用时间的 459 408 倍可以假设打开乙、丙两管的情况 下丙管注了a吨水，则打开甲、丙两管的情况下丙管注了 9 8 a吨水，所以有 9 3040 8 aa，得到 80a ，所以水箱注满时可容纳8040120吨水在得到第一种情况所用时间是第二种情况所用时 间的 9 8 倍之后，可以假设第二种情况此时乙、丙两管继续注水，总
34、时间为注满水所需时间的 9 8 倍， 也就是与第一种情况所用时间相同 此时， 注入的水量也是水箱容积的 9 8 倍， 即比第一种情况多了 1 8 倍然而此时注水时间相同，所以丙管注入的水量相同，乙管则注入30 1.545吨水，比甲管多注 了453015吨，所以这 15 吨就是水箱容积的 1 8 ，那么水箱容积为 1 15120 8 吨 【答案】120吨 【例【例 16】有甲有甲、乙两个相同的空立方体水箱乙两个相同的空立方体水箱，高均为高均为 60 厘米厘米，在侧面上分别有排水孔在侧面上分别有排水孔A和和BA孔和孔和B孔孔 距底面距底面 50 厘米和厘米和 30 厘米厘米，且两孔排水速度相同且两
35、孔排水速度相同现在以相同速度一起给两水箱注水现在以相同速度一起给两水箱注水，并通过管道并通过管道 使使A孔排出的水直接流入乙箱孔排出的水直接流入乙箱70 分钟后两水箱同时注满如果关闭两孔，直接将空水箱注满需分钟后两水箱同时注满如果关闭两孔，直接将空水箱注满需 要要_分钟分钟 ? 既注水又排水 ? 只注水 ? 只注水 ? 10厘米 ? 20厘米 ? 30厘米 ? A ? 孔 ? 甲 ? 20厘米 ? 10厘米 ? 既注水又排水 ? 相当于只注水 ? 只注水 ? 30厘米 ? B ? 孔 ? 乙 【考点】工程问题【难度】5 星【题型】解答 【解析】由于两个立方体水箱上的孔的高度不同，所以在不同的阶
36、段，两个水箱内注水、排水的情况不同， 对此可以分阶段进行分析 如图所示，当注水没有超过 30 厘米高度时，水没有达到A、B两孔的高度，此时两个孔都不排 水，所以这个阶段两个水箱都是只注水，所用时间也相同； 当水达到 30 厘米高度而又没有达到 50 厘米高度时，甲箱还是只注水，乙箱则既注水又排水； 当甲箱内的水达到 50 厘米高度时，甲箱开始既注水又排水，而此时乙箱在注水的同时也在排水，同 时A孔排出的水也流入乙箱，由于A、B两孔排水速度相同，所以A孔排出、流入乙箱的水与B孔 排出的水相同，所以这一阶段乙箱相当于只注水 由于两水箱同时注满，注满水所用的时间相同，那么甲、乙两水箱的既注水又排水阶
37、段所用的 2-3-5.工程问题.题库教师版page 9 of 15 时间相同，注入的水量也相同，都是 10 厘米高度的水，那么甲箱的第二个只注水阶段(即注满 20 厘 米高度水的阶段)所用的时间就与乙箱既注水又排水阶段(注满 10 厘米高度水的阶段)所用的时间相 同，那么这时候甲、乙两水箱每分钟注入的水量之比为20:102:1，可见注水速度是排水孔排水速 度的 2 倍 假设只注水注满 10 厘米高度水所用的时间为 1 份， 那么对于甲箱来说， 它只注水的时间为 5 份， 既注水又排水的时间为1 2(21)2份，所以注满甲箱的总时间为527份，为 70 分钟，那么 1 份为 10 分钟则关闭排水
38、孔只注水的情况下，将空水箱注满需要10660分钟 【答案】60分钟 【例【例 17】如图，如图，有一个正方体水箱，在某一个侧面相同高度的地方有三个大小相同的出水孔用一个进水有一个正方体水箱，在某一个侧面相同高度的地方有三个大小相同的出水孔用一个进水 管给空水箱灌水管给空水箱灌水，若三个出水孔全关闭若三个出水孔全关闭，则需要用则需要用1个小时将水箱灌满个小时将水箱灌满；若打开一个出水孔若打开一个出水孔，则需则需 要用要用1小时小时5分钟将水箱灌满分钟将水箱灌满；若打开两个出水孔若打开两个出水孔，则需要用则需要用72分钟将水箱灌满分钟将水箱灌满那么那么，若三个出若三个出 水孔全打开，则需要用多少分
39、钟才能将水箱灌满？水孔全打开，则需要用多少分钟才能将水箱灌满？ 【考点】工程问题【难度】5 星【题型】解答 【解析】设进水管每小时进水单位1，那么水箱灌满后水的总量为1，进水管每分钟进水量为 1 60 由于打开 一个出水孔，则需要用65分钟将水箱灌满，说明一个出水孔在这65分钟内的出水量等于进水管5分 钟的进水量，那么打开一个出水孔时一个孔出水量为： 51 6012 ，同理可知打开两个出水孔时两个孔 出水量为： 121 605 ，由于打开两个出水孔时比打开一个出水孔时多出了72657分钟水，所以一 个孔每分钟出水量为： 111 (2)72 512420 ，那么开一个孔的实际出水时间为： 11
40、35 12420 (分 钟)这说明在前面的653530分钟内进水管进水量恰好达到三个出水孔的高度，在此之前由于水 箱内的水未达到出水孔的高度，即使出水孔开着也不出水，而水箱内水量达到出水孔的高度后，在 进水管进水的同时出水孔开始出水 11 30 602 ，即在进水管进了 1 2 的水后出水孔才开始出水，此 时还需进 1 2 的水所以，开三个出水孔所需的时间为： 111 30(3)82.5 260420 (分钟) 【答案】82.5分钟 【巩固】【巩固】 一个长方体水槽一个长方体水槽， 侧面相同高度的地方开有若干大小相同的出水孔侧面相同高度的地方开有若干大小相同的出水孔 现用一个进水管给空水槽灌水
41、现用一个进水管给空水槽灌水， 若出水孔全关闭，灌满水槽需要用若出水孔全关闭，灌满水槽需要用 1 个小时；若打开一个出水孔，灌满水槽则需要用个小时；若打开一个出水孔，灌满水槽则需要用 64 分钟；若分钟；若 打开两个出水孔，灌满水槽需要用打开两个出水孔，灌满水槽需要用 70 分钟要想能够把水槽灌满，最多可以打开分钟要想能够把水槽灌满，最多可以打开个出水个出水 管，经过管，经过分钟才能将水箱灌满分钟才能将水箱灌满 【考点】工程问题【难度】5 星【题型】解答 【解析】进水管每分钟灌进水槽容积的 1 60 而在开一个出水孔和开两个出水孔的情况下，出水孔出的水分别 是水槽容积的 141 641() 60
42、6015 和 1101 701 60606 两次出的水之比是 11 :2:5 15 6 ，说明水 2-3-5.工程问题.题库教师版page 10 of 15 得放到孔所在的高度才能开始出水 设进水x分钟后开始出水，则有(64):2(70)2:5xx，解得40 x 那么一个出水孔的出水速度为 111 (140)(6440) 6060360 要想能够把水槽灌满，由于 11 6 60360 ，所以最多可以打开 5 个出水孔 打开 5 个出水孔时，灌满水槽所需的时间为 111 405160 360360 (分钟) 【答案】160分钟 【例【例 18】有一个敞口的立方体水箱，在其侧面一条高线的三等分处开
43、两个排水孔有一个敞口的立方体水箱，在其侧面一条高线的三等分处开两个排水孔A和和B，已知两孔的排水，已知两孔的排水 速度相同且保持不变速度相同且保持不变，现在从水箱上面匀速注水现在从水箱上面匀速注水，如果打开如果打开A孔孔，关闭关闭B孔孔，那么经过那么经过 20 分钟可分钟可 将水箱注满将水箱注满，如果关闭如果关闭A孔孔，打开打开B孔孔，则需要则需要 22 分钟才能将水箱注满分钟才能将水箱注满，那么两孔都打开那么两孔都打开，经过经过 分钟才能将水箱注满分钟才能将水箱注满 【考点】工程问题【难度】5 星【题型】解答 【关键词】人大附中 【解析】本题需要注意侧高线的不同位置上的两个排水孔起作用的阶段
44、不同，只有当水上升到其高度后排水 孔才开始排水，在此之前则是不排水的 (法 1)方程法设进水速度为x，出水速度为y，立方体水箱的容积为 1则 21 ()20 33 12 ()22 33 xxy xxy 解此类方程，可采用换元法设 1 a x ， 1 b xy ，原式可以变形为： 21 20 33 12 22 33 ab ab ，解得： 18 24 a b 所以 1 18 x ， 111 182472 y 所以，打开两个排水孔注满水箱的时间为： 11111 1824(2)26 3331872 (分钟) (法 2)设单开进水管注满水箱的 1 3 所需进水时间为x分钟，同时开一个进水管与一个出水孔注
45、满水箱 的 1 3 所需的进水时间为y分钟则 220 222 xy xy ，解得：6x ，8y 以水箱的 1 3 看作“1”，则进水速度为 1 6 ，出水速度为 111 6824 ， 所以灌满水箱最上层的 1 3 需要 11 1212 624 分钟 那么总共需要681226(分钟) (法 3)图示法 2-3-5.工程问题.题库教师版page 11 of 15 如图所示，阴影部分表示单开进水管，空白部分表示同开进水管与一个出水管，比较两图，可以看 出两图中上、下两格的时间完全相同 则说明单开进水管注满一格的时间比同开两管注满一格的时间少了22202分钟 所以，假设左图三格全黑即单开进水管注满水箱
46、，时间为20218分钟，即进水管的进水速度 为 1 18 ； 再假设右图三格全白即同开进水管与一个出水管注满水箱，时间为22224分钟，则其进水 速度为 1 24 ，则一个出水管的出水速度为 111 182472 所以，同时打开两排水管的进水时间为： 11111 1824(2)26 3331872 (分钟) 【答案】26分钟 【巩固】【巩固】 一个没有盖的水箱一个没有盖的水箱，在其侧面在其侧面 1 3 高和高和 2 3 高的位置各有一个排水孔高的位置各有一个排水孔，它们排水时的速度相同且保持不它们排水时的速度相同且保持不 变现在以一定的速度从上面给水箱注水如果打开变现在以一定的速度从上面给水箱
47、注水如果打开A关闭关闭B，那么，那么35分钟可将水箱注满；如果分钟可将水箱注满；如果 关闭关闭A打开打开B，那么，那么40分钟可将水箱注满如果两个孔都打开，那么需要多少分钟才能将水箱注分钟可将水箱注满如果两个孔都打开，那么需要多少分钟才能将水箱注 满？满？ 【考点】工程问题【难度】4 星【题型】解答 【解析】根据题意可知，要注 1 3 水箱的水，开一个出水孔比不开出水孔要多用40355分钟，那么不开出 水孔时注满水箱需35530分钟，如果一直开一个出水孔需要40545分钟说明每分钟注水量 为 1 30 ，一个孔每分钟排水量为 111 304590 如果两个孔都打开，需要 11111 30452
48、55 3333090 分钟 【答案】55分钟 【例【例 19】有一个长方体水箱水平放置有一个长方体水箱水平放置，侧面有一条与地面平行侧面有一条与地面平行的裂缝的裂缝，当水箱中的水漫过裂缝时当水箱中的水漫过裂缝时，裂缝会裂缝会 以每分以每分钟钟O.4立方分米的速度往外渗水立方分米的速度往外渗水。 现在用一个每分钟注现在用一个每分钟注水水1立方分米的水龙头往内注水立方分米的水龙头往内注水， 注到一半时哈好用了注到一半时哈好用了 40 分钟分钟， 再过再过 50 分钟注满分钟注满。 如果用两个每分钟注水如果用两个每分钟注水 1 立方分米的水龙头立方分米的水龙头 往内注水，注满这个水箱需要往内注水，注
49、满这个水箱需要分钟。分钟。 【考点】工程问题【难度】4 星【题型】解答 【关键词】走美杯，6 年级，决赛 【解析】如裂缝在一半或一半以下，则后 50 分钟实际注水 (1-0.4)50=30(立方分米)， 所以水箱总容积为 302=60(立方分米)。 前 40 分钟内，裂缝向外渗水 140-30=10(立方分米)，渗掉这 10 立方分米水，需时 100.4=25(分)， 2-3-5.工程问题.题库教师版page 12 of 15 那么没渗水的时间为 40-25=15(分)。所以裂缝在水箱从下往上的 1560= 1 4 处。 用两个水龙头注水需要时间 115 60260120.435 448 （分
50、） (2)如裂缝在一半以上，则前 40 分钟实际注水 140=40(立方分米)， 所以水箱总容积为 402=80(立方分米)。 后 50 分钟内，裂缝向外渗水 150-40=10(立方分米)，渗掉这 10 立方分米水，需时 lO0.4=25(分)， 那么没渗水的时间为 40+50-25=65(分)。所以裂缝在水箱从下往上的 13 6580 16 处。 两个水龙头注水需要时间 13137 80280120.441 16168 （分钟） 两个水龙头往内注水，注满这个水箱需要 35 5 8 分钟或 4l 7 8 分钟。 （三）列表法 【例【例 20】放满一个水池，如果同时打开放满一个水池，如果同时打
