1、7-6-2.计数之整体法.题库教师版page1of2 7-6-27-6-2 计数之整体法计数之整体法 教学目标教学目标 前面在讲加法原理、乘法原理、排列组合时已经穿插讲解了计数中的一些常用的方法，比如枚举法、树 形图法、标数法、捆绑法、排除法、插板法等等，这里再集中学习一下计数中其他常见的方法，主要有归纳 法、整体法、对应法、递推法对这些计数方法与技巧要做到灵活运用 例题精讲例题精讲 解决计数问题时，有时要“化整为零”，使问题变得简单；有时反而要从整体上来考虑，从全局、从整体 来研究问题，反而有利于发现其中的数量关系 【例【例 1】 一个正方形的内部有一个正方形的内部有 1996 个点个点，
2、以正方形的以正方形的 4 个顶点和内部的个顶点和内部的 1996 个点为顶点个点为顶点， 将它剪成一些三将它剪成一些三 角形角形 问问： 一共可以剪成多少个三角形一共可以剪成多少个三角形?如果沿上述这些点中某两点之间所连的线段剪开算作一刀如果沿上述这些点中某两点之间所连的线段剪开算作一刀， 那么共需剪多少刀那么共需剪多少刀? 【考点】计数之整体法【难度】4 星【题型】解答 【解析】【解析】方法一：归纳法，如下图，采用归纳法，列出 1 个点、2 个点、3 个点时可剪出的三角形个数，需 剪的刀数 不难看出，当正方形内部有 n 个点时，可以剪成 2n2 个三角形，需剪 3n+l 刀，现在内部有 19
3、96 个点，所以可以剪成 21996+2=3994 个三角形，需剪 31996+1=5989 刀 方法二：整体法我们知道内部一个点贡献 360 度角，原正方形的四个顶点共贡献了 360 度角，所 以当内部有 n 个点时，共有 360n+360 度角，而每个三角形的内角和为 180 度角，所以可剪成 (360n+360)180=2n+2 个三角形 2n+2 个三角形共有 3(2n+2)=6n+6 条边，但是其中有 4 条是原有的正方形的边，所以正方形内部的 三角形边有 6n+64=6n+2 条边，又知道每条边被 2 个三角形共用，即每 2 条边是重合的，所以只用 剪(6n+2)23n+1 刀 本
4、题中 n=1996，所以可剪成 3994 个三角形，需剪 5989 刀 【答案】可剪成 3994 个三角形，需剪 5989 刀 【巩固【巩固】在三角形在三角形ABC内有内有 100 个点个点，以三角形的顶点和这以三角形的顶点和这 100 点为顶点点为顶点，可把三角形剖分成多少个小三角可把三角形剖分成多少个小三角 形？形？ 【考点】计数之整体法【难度】4 星【题型】解答 【解析】【解析】【解析】【解析】整 体法 100 个 点每 个点 周 围有 360 度 ，三 角形 本 身内 角和 为 180 度 ，所 以可 以 分成 360 100180180201个小三角形 【答案】201个小三角形 【例
5、【例 2】 在一个六边形纸片内有在一个六边形纸片内有60个点，以这个点，以这60个点和六变形的个点和六变形的6个顶点为顶点的三角形，最多能剪出个顶点为顶点的三角形，最多能剪出 7-6-2.计数之整体法.题库教师版page2of2 _个个 【考点】计数之整体法【难度】4 星【题型】填空 【解析】【解析】【解析】【解析】设正六边形内有n个点，当1n 时有6个三角形，每增加一个点，就增加2个三角形， n个点最多能剪出62122nn个三角形 60n 时，可剪出124个三角形 注：设最多能剪出x个小三角形，则这些小三角形的内角和为180 x换一个角度看，汇聚到正六边 形六个顶点处各角之和为4 180，故这些小三角形的内角总和为603604 180于是 180603604 180 x ，解得124x 【答案】124个
