1、1-3-1.定义新运算.题库教师版page 1 of 13 定义新运算定义新运算 教学目标教学目标 定义新运算这类题目是在考验我们的适应能力，我们大家都习惯四则运算，定义新运算就打破了运算 规则，要求我们要严格按照题目的规定做题新定义的运算符号，常见的如、等等，这些特殊的 运算符号，表示特定的意义，是人为设定的解答这类题目的关键是理解新定义，严格按照新定义的式子 代入数值，把定义的新运算转化成我们所熟悉的四则运算。 知识点拨知识点拨 一定义新运算 基本概念：定义一种新的运算符号，这个新的运算符号包含有多种基本（混合）运算。 基本思路：严格按照新定义的运算规则，把已知的数代入，转化为加减乘除的运
2、算，然后按照基本运 算过程、规律进行运算。 关键问题：正确理解定义的运算符号的意义。 注意事项：新的运算不一定符合运算规律，特别注意运算顺序。 每个新定义的运算符号只能在本题中使用。 我们学过的常用运算有：、等. 如：235236 都是 2 和 3，为什么运算结果不同呢？主要是运算方式不同，实际是对应法则不同.可见一种运算实际 就是两个数与一个数的一种对应方法，对应法则不同就是不同的运算.当然，这个对应法则应该是对任意两 个数，通过这个法则都有一个唯一确定的数与它们对应.只要符合这个要求，不同的法则就是不同的运算. 在这一讲中，我们定义了一些新的运算形式，它们与我们常用的“”，“”，“”，“”
3、运算不相同. 二定义新运算分类 1.直接运算型 2.反解未知数型 3.观察规律型 4.其他类型综合 例题精讲例题精讲 模块一、直接运算型 【例【例 1】 若若*A B表示表示 3ABAB，求，求5*7的值。的值。 【考点】定义新运算之直接运算【难度】2 星【题型】计算 【解析】A*B 是这样结果这样计算出来：先计算 A3B 的结果，再计算 AB 的结果，最后两个结果求乘 积。 由A*B（A3B）（AB） 可知： 5*7（537）（57） （521）12 2612 312 1-3-1.定义新运算.题库教师版page 2 of 13 【答案】312 【巩固】【巩固】【巩固】【巩固】定义新运算为定义
4、新运算为 ab（a1）b，求的值。，求的值。6（34） 【考点】定义新运算之直接运算【难度】2 星【题型】计算 【解析】所求算式是两重运算，先计算括号，所得结果再计算。由 ab（a1）b 得，34（31） 4441；6（34）61（61）17 【答案】7 【巩固】【巩固】【巩固】【巩固】设设a2baab ，那么，那么，56 _，(52) 3_. 【考点】定义新运算之直接运算【难度】2 星【题型】计算 【解析】565 52 613 525 52221 ,1321 216435 【答案】435 【巩固】【巩固】【巩固】【巩固】P、Q表示数，表示数，*P Q表示表示 2 PQ ，求，求 3*(6*8
5、) 【考点】定义新运算之直接运算【难度】2 星【题型】计算 【解析】 6837 3*(6*8)3*()3*75 22 【答案】5 【巩固】【巩固】【巩固】【巩固】已知已知 a,b 是任意自然数是任意自然数,我们规定我们规定: ab= a+b-1,2abab,那么那么 4(68)(35). 【考点】定义新运算之直接运算【难度】3 星【题型】计算 【解析】原式4(681)(3 52)4131341313 1425425298 【答案】98 【巩固】【巩固】【巩固】【巩固】MN表示表示()2,(20082010)2009MN_ 【考点】定义新运算之直接运算【难度】2 星【题型】计算 【关键词】走美杯
6、，3 年级，初赛 【解析】原式200820102 *20092009*20092009200922009 【答案】2009 【巩固】【巩固】【巩固】【巩固】规定运算规定运算“”为为：若若 ab，则则 ab=ab；若若 a=b，则则 ab=ab1；若若 ab，则则 ab=ab。那那 么么， （23）（）（44）（）（75）=。 【考点】定义新运算之直接运算【难度】2 星【题型】计算 【关键词】希望杯，四年级，二试 【解析】19 【答案】19 【例【例 2】 “”是一种新运算是一种新运算，规定规定：abacbd(其中其中 c，d 为常数为常数)，如如 575c7d。如果如果 12 5，238，那么
7、，那么 61OOO 的计算结果是的计算结果是_。 【考点】定义新运算之直接运算【难度】2 星【题型】计算 【关键词】希望杯，六年级，二试 【解析】121c2d=5，232c3d=8， 可得 c=1,d=2 610006c1000d=2006 【答案】2006 【巩固】【巩固】【巩固】【巩固】对于非零自然数对于非零自然数 a 和和 b，规定符号，规定符号的含义是：的含义是：ab 2 mab ab （m 是一个确定的整数是一个确定的整数） 。如。如 果果 1423，那么，那么 34 等于等于_。 1-3-1.定义新运算.题库教师版page 3 of 13 【考点】定义新运算之直接运算【难度】2 星
8、【题型】计算 【关键词】希望杯，六年级，二试 【解析】根据 14=23，得到 1423 2 1 42 2 3 mm ，解出 m=6。所以， 6 3411 34 2 3 412 。 【答案】 11 12 【例【例 3】 对于任意的整数对于任意的整数 x 与与 y 定义新运算定义新运算“”： 6 = 2 xy x y xy ,求求 29。 【考点】定义新运算之直接运算【难度】2 星【题型】计算 【关键词】北京市 ，迎春杯 【解析】根据定义 6 = 2 xy x y xy 于是有 6292 2 95 2295 【答案】 2 5 5 【巩固】【巩固】【巩固】【巩固】“*”表示一种运算符号，它的含义是：
9、表示一种运算符号，它的含义是： 11 1 xy xyxyA ，已知，已知 112 2 1 2 121 13A ，求，求1998 1999。 【考点】定义新运算之直接运算【难度】2 星【题型】计算 【解析】根据题意得 12111 , 21 16,1 21 13221 16 AA AA ，所以 111120001998 1998 1999 1998 199919981 199911998 1999199920001998 19 992000 39981 1998 199920001998000 【答案】 1 1998000 【例【例 4】 A表示自然数表示自然数 A 的约数的个数的约数的个数.例如
10、例如 4 有有 1,2,4 三个约数三个约数,可以表示成可以表示成4=3.计算计算: (1822)7=. 【考点】定义新运算之直接运算【难度】3 星【题型】计算 【解析】因为 2 1823有(1 1)(21)6个约数,所以18=6,同样可知22=4,7=2. 原式(64)25. 【答案】5 【巩固】【巩固】【巩固】【巩固】x 为正数为正数,表示不超过表示不超过 x 的质数的个数的质数的个数,如如=3,即不超过即不超过 5.1 的质数有的质数有 2,3,5 共共 3 个个.那么那么 +的值是的值是. 【考点】定义新运算之直接运算【难度】3 星【题型】计算 【解析】为不超过 19 的质数,有 2,
11、3,5,7,11,13,17,19 共 8 个.为不超过的质数,共 24 个,易知=0, 所以，原式=+=11. 【答案】11 【巩固】【巩固】【巩固】【巩固】定义运算定义运算“”如下如下:对于两个自然数对于两个自然数 a 和和 b,它们的最大公约数与最小公倍数的和记为它们的最大公约数与最小公倍数的和记为 ab.例例 如如:46=(4,6)+4,6=2+12=14.根据上面定义的运算根据上面定义的运算,1812=. 【考点】定义新运算之直接运算【难度】3 星【题型】计算 【解析】1812=(18,12)+18,12=6+36=42. 【答案】42 【例【例 5】 我们规定：符号我们规定：符号表
12、示选择两数中较大数的运算，例如：表示选择两数中较大数的运算，例如：53=35=5，符号，符号表示选择两数表示选择两数 1-3-1.定义新运算.题库教师版page 4 of 13 中较小数的运算，例如：中较小数的运算，例如：53=35=3，计算：，计算： 1523 (0.6)(0.625) 2335 3411 (0.3)(2.25) 996 的结果是多少？的结果是多少？ 【考点】定义新运算之直接运算【难度】3 星【题型】计算 【解析】 15232531 (0.6)(0.625) 1 23353824 34111931 2 (0.3)(2.25) 9963412 【答案】 1 2 【巩固】【巩固】
13、【巩固】【巩固】规定规定： 符号符号“ 4.50.5, 4.54 记记 2 ( ) 21 x f x x ，请计算，请计算 11 ,;1 ,1 33 ffff 的值。的值。 【考点】定义新运算之综合题【难度】3 星【题型】计算 【关键词】希望杯，四年级，二试 【解析】代入计算结果分别为：0.4，1，0，1 【答案】0.4，1，0，1 【例【例 21】在计算机中，对于图中的数据在计算机中，对于图中的数据(或运算或运算)的读法规则是：先读第一分支圆圈中的，再读与它相连的读法规则是：先读第一分支圆圈中的，再读与它相连 的第二分支左边的圆圈中的，最后读与它相连的第二分支右边的圆圈中的，也就是说，对于每
14、的第二分支左边的圆圈中的，最后读与它相连的第二分支右边的圆圈中的，也就是说，对于每 一个圆圈中的数据一个圆圈中的数据(或运算或运算)都是按都是按中中左左右右的顺序。如：图的顺序。如：图 A 表示：表示：2+3， B 表示表示 2+32 1。图。图C中表示的式子的运算结果是中表示的式子的运算结果是_。 【考点】定义新运算之综合题【难度】3 星【题型】计算 【关键词】希望杯，四年级，二试 【解析】 “教研龙”认为第 2 个图最上面的圆圈应该有个 2，原题却没有。第 3 个图从上到下第 3 行第 3 个 圈为 2，第四个圈为 42+(3+5)2-4=2 【答案】2 【例【例 22】64222 222
15、 表示成表示成646f;2433 3 3 3 3 表示成表示成2435g. 试求下列的值试求下列的值: (1)128f (2)(16)()fg (3)()(27)6fg; (4)如果如果 x, y 分别表示若干个分别表示若干个 2 的数的乘积的数的乘积,试证明试证明:()( )( )f x yf xf y. 【考点】定义新运算之综合题【难度】3 星【题型】计算 【解析】(1) 7 (128)27ff; (2) 44 (16)243(81)ffgg; (3)因为 33 6(27)636332(8)ggff,所以(8)(27)6fg; (4)略 【答案】(1)7(2)81(3)8 (4) 令2 ,
16、2 , mn xy则( ),( )f xm f yn. ()222( )( ) mnm n f x yffmnf xf y . 【例【例 23】对于任意有理数对于任意有理数 x, y,定义一种运算定义一种运算“”，规定规定:xy=axbycxy,其中的其中的, ,a b c表示已知数表示已知数,等式等式 右边是通常的加、减、乘运算右边是通常的加、减、乘运算.又知道又知道 12=3,23=4,xm=x(m0),则则 m 的数值是的数值是 _。 1-3-1.定义新运算.题库教师版page 10 of 13 【考点】定义新运算之综合题【难度】4 星【题型】计算 【解析】由题设的等式 xy=axbyc
17、xy及 xm=x(m0),得000abmcm ,所以 bm=0,又 m0, 故 b=0.因此 xy=ax-cxy.由 12=3,23=4,得 23 264 ac ac 解得 a=5,c=1.所以 xy=5x-xy,令 x=1,y=m 得 5-m=1,故 m=4. 【答案】4 【巩固】【巩固】【巩固】【巩固】x、y 表示两个数表示两个数，规定新运算规定新运算“*”及及“”如下如下：x*y=mx+ny，xy=kxy，其中其中 m、n、k 均为自然均为自然 数，已知数，已知 1*2=5， （2*3）4=64，求（，求（12）*3 的值的值. 【考点】定义新运算之综合题【难度】4 星【题型】计算 【解
18、析】 x、y 表示两个数，规定新运算“*”及“”如下：x*y=mx+ny，xy=kxy，其中 m、n、k 均为自然 数，已知 1*2=5， （2*3）4=64，求（12）*3 的值. 分析 我们采用分析法，从要求的问题入手，题目要求（12）*3 的值，首先我们要计算 12， 根据“”的定义：12=k12=2k，由于 k 的值不知道，所以首先要计算出 k 的值.k 值求出后， l2 的值也就计算出来了，我们设 12=a. (12）*3=a*3，按“*”的定义： a*3=ma+3n，在只有求出 m、n 时，我们才能计算 a*3 的值.因此 要计算（12）* 3 的值，我们就要先求出 k、m、n 的
19、值.通过 1*2 =5 可以求出 m、n 的值， 通过（2*3）4=64 求出 k 的值. 因为 1*2=m1+n2=m+2n，所以有 m+2n=5.又因为 m、n 均为自然数，所以解出： 1 2 m n ， 2 2 3 m n （舍去） 3 1 m n 当 m=1，n=2 时： （2*3）4=（12+23）4=84=k84=32k 有 32k=64，解出 k=2. 当 m=3，n=1 时： （2*3）4=（32+13）4=94=k94=36k 有 36k=64，解出 7 19k ，这与 k 是自然数矛盾，因此 m=3，n=1， 7 19k 这组值应舍去。 所以 m=l，n=2，k=2. （1
20、2）*3=（212）*3=4*3=14+23=10. 【答案】10 【例【例 24】对于任意的两个自然数对于任意的两个自然数a和和b，规定新运算，规定新运算：a b(1)(2)(1)aaaab，其，其 中中a、b表示自然数表示自然数.求求 1100 的值的值； 已知已知x 1075， 求求x为多少？为多少？如果如果 （x3）2121， 那么那么x等于几？等于几？ 【考点】定义新运算之综合题【难度】3 星【题型】计算 【解析】1100 1234(1 1001)5050 x10(1)(2)(3)(101)1045xxxxxx75,解得 x3 方法一：由题中所给定义可知，b 为多少，则就有多少个加数
21、1216061，即：602121， 则 x360；60192021，即 19360,所以 x19 方法二： 可以先将 （x3） 看作一个整体 y， 那么就是 y2121， y2(1)121yy,1216061 所以 y60，那么也就有 x360，60192021，即 19360，所以 x19 【答案】19 【巩固】【巩固】【巩固】【巩固】两个不等的自然数两个不等的自然数 a和和b,较大的数除以较小的数较大的数除以较小的数,余数记余数记为为ab,比比如如52=1,725=4,68=2.（8 级）级） (1)求求 19912000,(519)19,(195)5; (2)已知已知 11x=2,而而
22、x 小于小于 20,求求 x; (3)已知已知(19x)19=5,而而 x 小于小于 50,求求 x. 【考点】定义新运算之综合题【难度】3 星【题型】计算 1-3-1.定义新运算.题库教师版page 11 of 13 【解析】(1)19912000=9; 由 519=4,得(519)19=419=3; 由 195=4,得(195)5=45=1. (2)我们不知道 11 和 x 哪个大(注意,x11),即哪个作除数,哪个作被除数,这样就要分两种情况讨论. 1) x11,这时11除x余2,这说明x是11的倍数加2,但x20,所以x=11+2=13. 因此(2)的解为x=3,9,13. (3)这个
23、方程比(2)又要复杂一些,但我们可以用同样的方法来解. 用 y 表示 19x,不管 19 作除数还是被除数,19x 都比 19 小,所以 y 应小于 19. 方程 y19=5,说明 y 除 19 余 5,所以 y 整除 19-5=14,由于 y6,所以 y=7,14. 当 y=7 时,分两种情况解 19x=7. 1) x19,此时 19 除 x 余 7, x 是 19 的倍数加 7,由于 x50,所以 x=19+7=261927x =45. 当 y=14 时,分两种情况解 19x=14. 1) x19,此时 19 除 x 余 14,这就表明 x 是 19 的倍数加 14,因为 x50,所以 x
24、=19+14=33. 总之,方程(19x)19=5 有四个解, x=12,26,33,45. 【答案】(1)9；3；1(2) x=3,9,13.(3) x=12,26,33,45. 【例【例 25】设设 a,b 是两个非零的数是两个非零的数,定义定义 ab ab ba . (1)计算计算(23)4 与与 2(34). (2)如果已知如果已知 a 是一个自然数是一个自然数,且且 a3=2,试求出试求出 a 的值的值. 【考点】定义新运算之综合题【难度】3 星【题型】计算 【解析】(1)按照定义有 23 2313 326 ,34 3425 4312 .于是 (23)4 13 6 4= 13 413
25、24745 6 13 42413312 6 .2(34)=2 25 25224251201 12 25 1222524600 12 . (2)由已知得 3 2 3 a a 若 a6,则 3 a 2,从而 3 2 3 a a 与矛盾.因此 a5,对 a=1,2,3,4,5 这 5 个可能的值,一一代入式中检 查知,只有 a=3 符合要求. 【答案】(1) (23)4 745 312 ；2(34) 1201 600 . (2) a=3 【巩固】【巩固】【巩固】【巩固】定义运算定义运算“”如下如下: 对于两个自然数对于两个自然数 a 和和 b,它们的最大公约数与最小公倍数的差记为它们的最大公约数与最
26、小公倍数的差记为 ab. 比如比如:10 和和 14,最小公倍数为最小公倍数为 70,最大公约数为最大公约数为 2,则则 1014=70-2=68. (1)求求 1221,515; (2)说明说明,如果如果 c 整除整除 a 和和 b,则则 c 也整除也整除 ab;如果如果 c 整除整除 a 和和 ab,则则 c 也整除也整除 b; (3)已知已知 6x=27,求求 x 的值的值. 【考点】定义新运算之综合题【难度】3 星【题型】计算 【解析】(1)为求 1221,先求出 12 与 21 的最小公倍数和最大公约数分别为 84,3, 因此 1221=84-3=81,同样道理 515=15-5=1
27、0. (2)略 (3)由于运算“”没有直接的表达式,解这个方程有一些困难,我们设法逐步缩小探索范围.因为 6 与 x 的最小公倍数不小于 27+1=28,不大于 27+6=33,而 28 到 33 之间,只有 30 是 6 的 倍数,可见 6 和 x 的最小公倍数是 30,因此它们的最大公约数是 30-27=3. 由“两个数的最小公倍数与最大公约数的积=这两个数的积”,得到3036x. 所以15x . 1-3-1.定义新运算.题库教师版page 12 of 13 【答案】(1)81；10 (2) 如果 c 整除 a 和 b,那么 c 是 a 和 b 的公约数,则 c 整除 a,b 的最大公约数
28、,显然 c 也整除 a,b 最 小 公倍数,所以 c 整除最小公倍数与最大公约的差,即 c 整除 ab. 如果 c 整除 a 和 ab,由 c 整除 a 推知 c 整除 a,b 的最小公倍数,再由 c 整除 ab 推知, 整除 a,b 的最大公约数,而这个最大公约数整除 b,所以 c 整除 b. (3)15x 【巩固】【巩固】【巩固】【巩固】“”表示一种新的运算符号表示一种新的运算符号，已知已知：23 234；72 78：35 34567， 按此规则，如果按此规则，如果 n868，那么，那么，n_. 【考点】定义新运算之综合题【难度】3 星【题型】计算 【解析】因为从已知条件可归纳出的运算规则
29、： 表示几个连续自然数之和， 前面的数表示第一个加数， 后 面 的 数 表 示 加 数 的 个 数 ， 于 是(1)(2)(7)68nnnn， 即 (3)(4)684nn.5n 【答案】5n 【例【例 26】喜羊羊喜欢研究数学，它用计算器求喜羊羊喜欢研究数学，它用计算器求3个正整数个正整数abc的值。当它依次按了的值。当它依次按了, , , , , ,abc得得 到数字到数字5。而当它依次按。而当它依次按, , , , ,bac时，惊讶地发现得到的数值却是时，惊讶地发现得到的数值却是7。这时喜羊羊才明白计。这时喜羊羊才明白计 算器先做除法再做加法算器先做除法再做加法。于是于是，她依次按她依次按
30、, , , , , , ,abc，得到了正确的结果为得到了正确的结果为。 （填出所有可能情况）（填出所有可能情况） 【考点】定义新运算之综合题【难度】3 星【题型】计算 【关键词】走美杯，3 年级，初赛，第 14 题 【解析】5 b a c ，7 a b c ，则5acbc，7bcac，则112abcc，12bacc 则 12 1 ab cc ，1 |2c ，2c 或3， 12 4 3 ab c 或 12 3 4 【答案】4或3 【例【例 27】国际统一书号国际统一书号 ISBN 由由 10 个数字组成个数字组成，前面前面 9 个数字分成个数字分成 3 组组，分别用来表示区域分别用来表示区域、
31、出版社和出版社和 书名，最后一个数字则作为核检之用。核检码可以根据前书名，最后一个数字则作为核检之用。核检码可以根据前 9 个数字按照一定的顺序算得。如：个数字按照一定的顺序算得。如： 某书的书号是某书的书号是 ISBN 7-107-17543-2，它的核检码的计算顺序是：，它的核检码的计算顺序是： 7101908771675544332207； 20711189； 1192。这里的。这里的 2 就是该书号的核检码。就是该书号的核检码。 依照上面的顺序，求书号依照上面的顺序，求书号 ISBN-7-303-07618-的核检码。的核检码。 【考点】定义新运算之综合题【难度】3 星【题型】计算 【
32、关键词】希望杯，六年级，二试 【解析】710390 8370675641382196； 196 11 179； 11 92。 所以该书号的核检码是 2. 【答案】2 【例【例 28】如图如图 2 一只甲虫从画有方格的木板上的一只甲虫从画有方格的木板上的 A 点出发，沿着一段一段的横线、竖线爬行到点出发，沿着一段一段的横线、竖线爬行到 B，图，图 1 中的路线对应下面的算式：中的路线对应下面的算式：121221216 .请在图请在图 2 中用粗线画出对应于算式：中用粗线画出对应于算式： 212221 1 1 的路线的路线 1-3-1.定义新运算.题库教师版page 13 of 13 【考点】定义新运算之综合题【难度】3 星【题型】计算 【关键词】2003 年，希望杯 【解析】如图 3 所示，通过图 1 分析知道向上前进一格要加上 1，向下前进一格要减 1，向左前进一格要 减去 2，向右前进一格要加上 2. 【答案】
