1、3-1-4.多次相遇与追及问题.题库教师版page 1 of 17 3-1-3-1-4 4 多次相遇和追及问题多次相遇和追及问题 教学目标教学目标 1. 学会画图解行程题 2. 能够利用柳卡图解决多次相遇和追及问题 3. 能够利用比例解多人相遇和追及问题 知识精讲知识精讲 板块一、由简单行程问题拓展出的多次相遇问题 所有行程问题都是围绕“路程速度 时间”这一条基本关系式展开的，多人相遇与追及问题虽然较复 杂，但只要抓住这个公式，逐步表征题目中所涉及的数量，问题即可迎刃而解 【例【例 1】 甲、乙两名同学在甲、乙两名同学在周长为周长为300米圆形跑道上从同一地点同时背向练习跑步，甲每秒钟跑米圆形
2、跑道上从同一地点同时背向练习跑步，甲每秒钟跑3.5米，乙米，乙 每秒钟跑每秒钟跑4米，问：他们第十次相遇时，甲还需跑多少米才能回到出发点？米，问：他们第十次相遇时，甲还需跑多少米才能回到出发点？ 【考点】行程问题【难度】1 星【题型】解答 【解析】从开始到两人第十次相遇的这段时间内， 甲、 乙两人共跑的路程是操场周长的 10 倍， 为300 103000 米，因为甲的速度为每秒钟跑3.5米，乙的速度为每秒钟跑 4 米，所以这段时间内甲共行了 3.5 30001400 3.54 米，也就是甲最后一次离开出发点继续行了 200 米，可知甲还需行 300200100米才能回到出发点 【答案】100米
3、 【巩固】【巩固】 甲乙两人在相距甲乙两人在相距 90 米的直路上来回跑步米的直路上来回跑步，甲的速度是每秒甲的速度是每秒 3 米米，乙的速度是每秒乙的速度是每秒 2 米米如果他如果他 们同时分别从直路两端出发，们同时分别从直路两端出发，10 分钟内共相遇几次？分钟内共相遇几次？ 【考点】行程问题【难度】1 星【题型】解答 【解析】17 【答案】17 【巩固】【巩固】 甲、乙两人从甲、乙两人从 400 米的环形跑道上一点米的环形跑道上一点 A 背向同时出发，背向同时出发，8 分钟后两人第五次相遇，已知每秒分钟后两人第五次相遇，已知每秒 钟甲比乙多走钟甲比乙多走 0.1 米，那么两人第五次相遇的
4、地点与点米，那么两人第五次相遇的地点与点 A 沿跑道上的最短路程是多少米沿跑道上的最短路程是多少米? 【考点】行程问题【难度】2 星【题型】解答 【解析】176 【答案】176 【例【例 2】 甲甲、乙二人从相距乙二人从相距 60 千米的两地同时相向而行千米的两地同时相向而行，6 时后相遇时后相遇。如果二人的速度各增加如果二人的速度各增加 1 千米千米 时，那么相遇地点距前一次相遇地点时，那么相遇地点距前一次相遇地点 1 千米。问：甲、乙二人的速度各是多少？千米。问：甲、乙二人的速度各是多少？ 【考点】行程问题【难度】3 星【题型】解答 【解析】甲、乙两人的速度和第一次为 606=10（千米时
5、） ，第二次为 12（千米/时） ，故第二次出发后 5 时相遇。设甲第一次的速度为 x 千米时，由两次相遇的地点相距 1 千米，有 6x5（x1） 1，解得 x6 或 x4，即甲、乙二人的速度分别为 6 千米时和 4 千米时。 【答案】甲、乙二人的速度分别为 6 千米时和 4 千米时 板块二、运用倍比关系解多次相遇问题 【例【例 3】 上午上午 8 点点 8 分，小明骑自行车从家里出发，分，小明骑自行车从家里出发，8 分钟后，爸爸骑摩托车去追他，在离家分钟后，爸爸骑摩托车去追他，在离家 4 千米的千米的 地方追上了他地方追上了他.然后爸爸立即回家然后爸爸立即回家，到家后又立刻回头去追小明到家后
6、又立刻回头去追小明，再追上小明的时候再追上小明的时候，离家恰好离家恰好 3-1-4.多次相遇与追及问题.题库教师版page 2 of 17 是是 8 千米，这时是几点几分？千米，这时是几点几分？ 【考点】行程问题【难度】2 星【题型】解答 【解析】画一张简单的示意图： 图上可以看出，从爸爸第一次追上到第二次追上，小明走了 8-44（千米）.而爸爸骑的距离是 4 8 12（千米）. 这就知道，爸爸骑摩托车的速度是小明骑自行车速度的 1243（倍）.按照这个倍数计算，小 明骑 8 千米，爸爸可以骑行 8324（千米）.但事实上，爸爸少用了 8 分钟，骑行了 41216 （千米）. 少骑行 24-1
7、68（千米）.摩托车的速度是 88=1（千米/分） ，爸爸骑行 16 千米需要 16 分钟. 881632.所以这时是 8 点 32 分。 【答案】8 点 32 分 【例【例 4】 甲、乙两车同时从甲、乙两车同时从 A 地出发，不停的往返行驶于地出发，不停的往返行驶于 A，B 两地之间。已知甲车的速度比乙车快，两地之间。已知甲车的速度比乙车快， 并且两车出发后第一次和第二次相遇都在途中并且两车出发后第一次和第二次相遇都在途中 C 地。问：甲车的速度是乙车的多少倍？地。问：甲车的速度是乙车的多少倍？ 【考点】行程问题【难度】3 星【题型】解答 【解析】2 倍。解：如下图所示，因为每次相遇都共行一
8、个来回，所用时间相等，所以乙车两次相遇走的 路程相等，即2ACCB,推知 2 3 ACAB.第一次相遇时，甲走了 4 3 ABBCAB,乙走了 2 3 ACAB,所以甲车速度是乙车的2倍。 【答案】2倍 【例【例 5】 如图，甲和乙两人分别从一圆形场地的直径两端点同时开始以匀速按相反的方向绕此圆形路线如图，甲和乙两人分别从一圆形场地的直径两端点同时开始以匀速按相反的方向绕此圆形路线 运动，当乙走了运动，当乙走了 100 米以后，他们第一次相遇，在甲走完一周前米以后，他们第一次相遇，在甲走完一周前 60 米处又第二次相遇米处又第二次相遇.求此圆求此圆 形场地的周长形场地的周长 【考点】行程问题【
9、难度】3 星【题型】解答 【解析】注意观察图形，当甲、乙第一次相遇时，甲乙共走完 1 2 圈的路程，当甲、乙第二次相遇时，甲乙 共走完 1+ 1 2 3 2 圈的路程所以从开始到第一、二次相遇所需的时间比为 1：3，因而第二次相 遇时乙行走的总路程为第一次相遇时行走的总路程的 3 倍，即 1003=300 米有甲、乙第二次相 遇时，共行走(1 圈60)+300，为 3 2 圈，所以此圆形场地的周长为 480 米 【答案】480 米 3-1-4.多次相遇与追及问题.题库教师版page 3 of 17 【巩固】【巩固】 A、B 是圆的直径的两端，甲在是圆的直径的两端，甲在 A 点，乙在点，乙在 B
10、 点同时出发反向而行，两人在点同时出发反向而行，两人在 C 点第一次相遇，点第一次相遇， 在在 D 点第二次相遇已知点第二次相遇已知 C 离离 A 有有 75 米，米，D 离离 B 有有 55 米，求这个圆的周长是多少米？米，求这个圆的周长是多少米？ 【考点】行程问题【难度】3 星【题型】解答 【解析】340 【答案】340 【巩固】【巩固】 如右图，如右图，A，B 是圆的直径的两端，甲在是圆的直径的两端，甲在 A 点，乙在点，乙在 B 点同时出发反向而行，两人在点同时出发反向而行，两人在 C 点第一点第一 次相遇，在次相遇，在 D 点第二次相遇。已知点第二次相遇。已知 C 离离 A 有有 8
11、0 米，米，D 离离 B 有有 60 米，求这个圆的周长。米，求这个圆的周长。 【考点】行程问题【难度】3 星【题型】解答 【解析】第一次相遇，两人共走了 0.5 圈；第二次相遇，两人共走了 1.5 圈。因为 1.50.53，所以第二次 相遇时甲走的路程是第一次相遇时甲走的路程的3倍，即 3240ACDAC(米)，推知 240180ABBD(米)，圆周长为1802360（米） 。 【答案】360 米 【巩固】【巩固】 在一圆形跑道上在一圆形跑道上，甲从甲从 A 点点、乙从乙从 B 点同时出发反向而行点同时出发反向而行，6 分后两人相遇分后两人相遇，再过再过 4 分甲到达分甲到达 B 点，又过点
12、，又过 8 分两人再次相遇。甲、乙环行一周各需要多少分？分两人再次相遇。甲、乙环行一周各需要多少分？ 【考点】行程问题【难度】3 星【题型】解答 【解析】由题意知，甲行 4 分相当于乙行 6 分。从第一次相遇到再次相遇，两人共走一周，各行 12 分， 而乙行 12 分相当于甲行 8 分，所以甲环行一周需 12820（分） ，乙需 204630（分） 。 【答案】20 分，30 分 板块三、多次相遇与全程的关系 1. 两地相向出发：第 1 次相遇，共走 1 个全程； 第 2 次相遇，共走 3 个全程； 第 3 次相遇，共走 5 个全程； ，； 第 N 次相遇，共走 2N-1 个全程； 注意：除了
13、第注意：除了第 1 次，剩下的次与次之间都是次，剩下的次与次之间都是 2 个全程。即甲第个全程。即甲第 1 次如果走了次如果走了 N 米，以后每次都走米，以后每次都走 2N 米米。 2. 同地同向出发：第 1 次相遇，共走 2 个全程； 第 2 次相遇，共走 4 个全程； 第 3 次相遇，共走 6 个全程； ，； 第 N 次相遇，共走 2N 个全程； 3-1-4.多次相遇与追及问题.题库教师版page 4 of 17 3、多人多次相遇追及的解题关键 多次相遇追及的解题关键多次相遇追及的解题关键几个全程 多人相遇追及的解题关键多人相遇追及的解题关键路程差 【例【例 6】 甲甲、乙两车分别同时从乙
14、两车分别同时从 A、B 两地相对开出两地相对开出，第一次在离第一次在离 A 地地 95 千米处相遇千米处相遇相遇后继续前进相遇后继续前进 到达目的地后又立刻返回到达目的地后又立刻返回， 第二次在离第二次在离 B 地地 25 千米处相遇千米处相遇 求求 A、 B 两地间的距离是多少千米？两地间的距离是多少千米？ 【考点】行程问题【难度】2 星【题型】解答 【解析】画线段示意图(实线表示甲车行进的路线，虚线表示乙车行进的路线)： 可以发现第一次相遇意味着两车行了一个 A、B 两地间距离，第二次相遇意味着两车共行了三个 A、B 两地间的距离当甲、乙两车共行了一个 A、B 两地间的距离时，甲车行了 9
15、5 千米，当它 们共行三个 A、B 两地间的距离时，甲车就行了 3 个 95 千米，即 953=285（千米），而这 285 千米比一个 A、B 两地间的距离多 25 千米，可得：953-25=285-25=260(千米) 【答案】260 千米 【巩固】【巩固】 甲甲、乙二人以均匀的速度分别从乙二人以均匀的速度分别从 A、B 两地同时出发两地同时出发，相向而行相向而行，他们第一次相遇地点离他们第一次相遇地点离 A 地地 4 千米，相遇后二人继续前进，走到对方出发点后立即返回，在距千米，相遇后二人继续前进，走到对方出发点后立即返回，在距 B 地地 3 千米处第二次相遇，求千米处第二次相遇，求 两
16、次相遇地点之间的距离两次相遇地点之间的距离. 【考点】行程问题【难度】2 星【题型】解答 【解析】43=12 千米，通过画图，我们发现甲走了一个全程多了回来那一段，就是距 B 地的 3 千米，所 以全程是 12-3=9 千米，所以两次相遇点相距 9-（3+4）=2 千米。 【答案】2 千米 【巩固】【巩固】 甲甲、乙二人以均匀的速度分别从乙二人以均匀的速度分别从 A、B 两地同时出发两地同时出发，相向而行相向而行，他们第一次相遇地点离他们第一次相遇地点离 A 地地 7 千米，相遇后二人继续前进，走到对方出发点后立即返回，在距千米，相遇后二人继续前进，走到对方出发点后立即返回，在距 B 地地 5
17、 千米处第二次相遇，求千米处第二次相遇，求 两次相遇地点之间的距离两次相遇地点之间的距离. 【考点】行程问题【难度】2 星【题型】解答 【解析】4 千米 【答案】4 千米 【巩固】【巩固】 甲甲、乙二人以均匀的速度分别从乙二人以均匀的速度分别从 A、B 两地同时出发两地同时出发，相向而行相向而行，他们第一次相遇地点离他们第一次相遇地点离 A 地地 6 千米，相遇后二人继续前进，走到对方出发点后立即返回，在距千米，相遇后二人继续前进，走到对方出发点后立即返回，在距 B 地地 4 千米处第二次相遇，求千米处第二次相遇，求 两人第两人第 5 次相遇地点距次相遇地点距 B 多远多远. 【考点】行程问题
18、【难度】2 星【题型】解答 【解析】12 千米 【答案】12 千米 【巩固】【巩固】 甲甲、乙二人以均匀的速度分别从乙二人以均匀的速度分别从 A、B 两地同时出发两地同时出发，相向而行相向而行，他们第一次相遇地点离他们第一次相遇地点离 A 地地 7 千米，相遇后二人继续前进，走到对方出发点后立即返回，在距千米，相遇后二人继续前进，走到对方出发点后立即返回，在距 B 地地 3 千米处第二次相遇，求千米处第二次相遇，求 第三次相遇时共走了多少千米第三次相遇时共走了多少千米. 【考点】行程问题【难度】2 星【题型】解答 【解析】90 千米 【答案】90 千米 【巩固】【巩固】 甲甲、乙二人以均匀的速
19、度分别从乙二人以均匀的速度分别从 A、B 两地同时出发两地同时出发，相向而行相向而行，他们第一次相遇地点离他们第一次相遇地点离 A 地地 3 千米，相遇后二人继续前进，走到对方出发点后立即返回，在距千米，相遇后二人继续前进，走到对方出发点后立即返回，在距 B 地地 2 千米处第二次相遇，求千米处第二次相遇，求 第第 2000 次相遇地点与第次相遇地点与第 2001 次相遇地点之间的距离次相遇地点之间的距离. 【考点】行程问题【难度】2 星【题型】解答 3-1-4.多次相遇与追及问题.题库教师版page 5 of 17 【解析】4 千米 【答案】4 千米 【巩固】【巩固】 甲、乙二人以均匀的速度
20、分别从甲、乙二人以均匀的速度分别从 A、B 两地同时出发，相向而行，他们第一次相遇地点离两地同时出发，相向而行，他们第一次相遇地点离 A 地地 18 千米，相遇后二人继续前进，走到对方出发点后立即返回，在距千米，相遇后二人继续前进，走到对方出发点后立即返回，在距 B 地地 13 千米处第二次相遇千米处第二次相遇， 求求 AB 两地之间的距离两地之间的距离. 【考点】行程问题【难度】2 星【题型】解答 【解析】41 千米 【答案】41 千米 【巩固】【巩固】 甲甲、乙两车同时从乙两车同时从 A，B 两地相向而行两地相向而行，在距在距 B 地地 54 千米处相遇千米处相遇。他们各自到达对方车站后立
21、他们各自到达对方车站后立 即返回原地，途中又在距即返回原地，途中又在距 A 地地 42 千米处相遇。求两次相遇地点的距离。千米处相遇。求两次相遇地点的距离。 【考点】行程问题【难度】2 星【题型】解答 【解析】24 千米。提示：第一次相遇两车共行了 A， B 间的一个单程，其中乙行了 54 千米；第二次相遇 两车共行了 A，B 间的 3 个单程，乙行了 543162（千米） ，乙行的路程又等于一个单程加 42 千米。故 A，B 间的距离为 16242120（千米） 。 【答案】120 千米 【巩固】【巩固】 湖中有湖中有 A，B 两岛两岛，甲甲、乙二人都要在两岛间游一个来回乙二人都要在两岛间游
22、一个来回。两人分别从两人分别从 A，B 两岛同时出发两岛同时出发，他他 们第一次相遇时距们第一次相遇时距 A 岛岛 700 米，第二次相遇时距米，第二次相遇时距 B 岛岛 400 米。问：两岛相距多远？米。问：两岛相距多远？ 【考点】行程问题【难度】2 星【题型】解答 【解析】1700 米。 【答案】1700 米 【例【例 7】 A、B 两地相距两地相距 2400 米米，甲从甲从 A 地地、乙从乙从 B 地同时出发地同时出发，在在 A、B 间往返长跑间往返长跑。甲每分钟跑甲每分钟跑 300 米米，乙每分钟跑乙每分钟跑 240 米米，在在 30 分钟后停止运动分钟后停止运动。甲甲、乙两人在第几次
23、相遇时乙两人在第几次相遇时 A 地最近？最近距地最近？最近距 离是多少米？离是多少米？ 【考点】行程问题【难度】3 星【题型】解答 【关键词】希望杯，五年级，二试 【解析】30(300+240)2400=6.75 个全程，相遇 3 次，把全程分成 9 份，第一次相遇，甲跑 5 份，第二次 相遇甲跑 15 份，距离 A3 份，第三次相遇甲跑 25 份距离 A7 份，所以第二次相遇距离 A 最近，最 近为 240093=800 米。 【答案】800 米 【巩固】【巩固】 A、B 两地相距两地相距 950 米米。甲甲、乙两人同时由乙两人同时由 A 地出发往返锻炼半小时地出发往返锻炼半小时。甲步行甲步
24、行，每分钟走每分钟走 40 米米； 乙跑步，每分钟行乙跑步，每分钟行 150 米。则甲、乙二人第米。则甲、乙二人第_次迎面相遇时距次迎面相遇时距 B 地最近。地最近。 【考点】行程问题【难度】3 星【题型】填空 【关键词】希望杯，六年级，二试 【解析】半小时，两人一共行走40150305700米，相当于 6 个全程，两人行程每 2 个全程就会有一 次相遇，而两人的速度比 15：4，所以相同时间内两人的行程比为 15：4，那么第一次相遇甲走 了全程的 48 2 15419 ， 距离B 11 19 个全程， 第二次相遇甲总行程 16 19 距离B 3 19 个全程， 第三次 24 19 距离 5
25、19 个全程，所以甲、乙两人第二次迎面相遇时距离B地最近。 【答案】第二次 【例【例 8】 如图如图 8，甲、乙两艘快船不断往返于，甲、乙两艘快船不断往返于 A、B 两港之间。若甲、乙同时从两港之间。若甲、乙同时从 A 港出发，它们能否同港出发，它们能否同 时到达下列地点？若能，请推出它们何时到达该地点；若不能，请说明理由：时到达下列地点？若能，请推出它们何时到达该地点；若不能，请说明理由： （1）A 港口；港口； 3-1-4.多次相遇与追及问题.题库教师版page 6 of 17 （2）B 港口；港口； （3）在两港口之间且距离在两港口之间且距离 B 港港 30 千米的大桥。千米的大桥。 【
26、考点】行程问题【难度】4 星【题型】解答 【关键词】希望杯。五年级。二试 【解析】（1）甲往返一次的时间是 .h 180180 13 5 3010300 ， 乙往返一次的时间是 .h 180180 5 5010500 ， 13.5 和 7.5 的最小公倍数是 67.5， 所以，在甲、乙出发后的., ,67 51 2a a 小时，它们又同时回到A港。（5 分） （2）设甲、乙能同时到达B港，此时，甲、乙各完成了,m n次往返（,m n是自然数） ，则有 . 180180 13 57 5 30105010 mn 即915mn。 当m的个位数是 6 或 1 时，有满足上式的自然数n。 ，最小的=1,
27、最少需要 4.5+13.5=18 小时。则在 甲、乙出发后 18+67.5 小时，它们同时到达港口。 （10 分） （3）设甲、乙能同时到达大桥，且分别完成了,m n次往返（,m n是自然数） 。 若此时甲、乙向下游行驶，则 . 150150 13 57 5 30105010 mn ， 即.13512 575mn， 没有满足上式的自然数,m n。 若此时甲、乙向上游行驶，则 . 1803018030 13 57 5 3010301050105010 mn ， 即.13522 575mn， 没有满足上式的自然数,m n。 若此时甲向上游行驶，乙向下游行驶，则 . 18030150 13 57 5
28、 301030105010 mn 即27715mn 没有满足上式的自然数,m n。 若此时甲向下游行驶，乙向上游行驶，则 . 15018030 13 57 5 301050105010 mn 即95mn 当m的个位数是 0 或 5 时，有满足上式的自然数n，所以在甲、乙出发后的 ., , , 150 13 5 53 7567 50 1 2 3010 cc c 小时，它们同时到达大桥。 3-1-4.多次相遇与追及问题.题库教师版page 7 of 17 【答案】 （1）., ,67 51 2a a 小时 （2）18+67.5 小时 （3）., , , 150 13 5 53 7567 50 1
29、2 3010 cc c 小时 【例【例 9】 甲甲、乙二人进行游泳追逐赛乙二人进行游泳追逐赛，规定两人分别从游泳池规定两人分别从游泳池 50 米泳道的两端同时开始游米泳道的两端同时开始游，直到一方追直到一方追 上另一方为止上另一方为止，追上者为胜追上者为胜。已知甲已知甲、乙的速度分别为乙的速度分别为 1.0 米秒和米秒和 0.8 米秒米秒。问问： （1）比赛比赛 开始后多长时间甲追上乙？（开始后多长时间甲追上乙？（2）甲追上乙时两人共迎面相遇了几次？）甲追上乙时两人共迎面相遇了几次？ 【考点】行程问题【难度】3 星【题型】解答 【解析】（1）250 秒； （2）4 次。提示： （2）甲、乙分别
30、游了 5 个和 14 个单程，故迎面相遇 4 次。 【答案】 （1）250 秒； （2）4 次 【例【例 10】甲甲、乙两车分别从乙两车分别从 A，B 两地出发两地出发，并在并在 A，B 两地间不断往返行驶两地间不断往返行驶。已知甲车的速度是已知甲车的速度是 15 千千 米时米时，乙车的速度是乙车的速度是 25 千米时千米时，甲甲、乙两车第三次相遇地点与第四次相遇地点相差乙两车第三次相遇地点与第四次相遇地点相差 100 千千 米。求米。求 A，B 两地的距离。两地的距离。 【考点】行程问题【难度】3 星【题型】解答 【解析】200 千米。第一次相遇时，两车共走1个单程，其中乙车占 153 15
31、258 。第三次相遇时，两车共 走5个单程， 乙车走了 37 51 88 （个） 单程； 第四次相遇时， 两车共走7个单程， 乙车走了 35 72 88 （个）单程；因为第三次、四次相遇地点相差 751 1 882 （个）单程，所以A，B两地相距 1 100200 2 （千米） 。 【答案】200 千米 【例【例 11】欢欢和乐乐在操场上的欢欢和乐乐在操场上的 A、B 两点之间练习往返跑，欢欢的速度是每秒两点之间练习往返跑，欢欢的速度是每秒 8 米，乐乐的速度是每米，乐乐的速度是每 秒秒 5 米。两人同时从米。两人同时从 A 点出发，到达点出发，到达 B 点后返回，已知他们第二次迎面相遇的地点
32、距离点后返回，已知他们第二次迎面相遇的地点距离AB的的 中点中点 5 米，米，AB之间的距离是之间的距离是_。 【考点】行程问题【难度】3 星【题型】填空 【关键词】学而思杯，4 年级 【解析】130 米。 第二次应面相遇，两人合计跑了4个全程，速度比试8:5，所以欢欢跑了 8326 42 131313 全程为 16 5130 213 米 【答案】130米 【例【例 12】甲甲、乙两车同时从乙两车同时从 A、B 两地相对亦开出两地相对亦开出，两车第一次距两车第一次距 A 地地 32 千米处相遇千米处相遇，相遇后两车继续相遇后两车继续 行驶行驶，各自达到各自达到 B、A 两地后两地后，立即沿原路
33、返回立即沿原路返回，第二次在距第二次在距 A 地地 64 千米处相遇千米处相遇，则则 A、B 两两 地间的距离是地间的距离是_千米。千米。 【考点】行程问题【难度】3 星【题型】填空 【关键词】希望杯，6 年级 ，二试 【解析】第一次相遇，两车行驶的距离总和等于 AB 两地距离； 第二次相遇，两车行驶的距离总和等于 AB 两地距离的三倍。 所以，第二次相遇时，两车各自行驶的距离也分别等于第一次相遇时行驶的距离的三倍。 第一次相遇时，甲车行驶 32 千米； 第二次相遇时，甲车行驶全程的二倍减 64 千米。 所以，全程的二倍减 64 千米等于 96 千米，全程为 80 千米。 【答案】80 3-1
34、-4.多次相遇与追及问题.题库教师版page 8 of 17 【例【例 13】小明和小红两人在长小明和小红两人在长 100 米的直线跑道上来回跑步米的直线跑道上来回跑步，做体能训练做体能训练，小明的速度为小明的速度为 6 米米/秒秒，小红小红 的速度为的速度为 4 米米/秒他们同时从跑道两端出发，连续跑了秒他们同时从跑道两端出发，连续跑了 12 分钟在这段时间内，他们迎面相分钟在这段时间内，他们迎面相 遇了多少次？遇了多少次？ 【考点】行程问题【难度】3 星【题型】解答 【解析】第一次相遇时，两人共跑完了一个全程，所用时间为：1006410（）(秒)此后，两人每相遇 一次，就要合跑 2 倍的跑
35、道长，也就是每 20 秒相遇一次，除去第一次的 10 秒，两人共跑了 126010710(秒)求出 710 秒内两人相遇的次数再加上第一次相遇，就是相遇的总次数列 式计算为：1006410（）(秒)，1260101023510（）（），共相遇35136 (次)。注注：解 决问题的关键是弄清他们首次相遇以及以后每次相遇两人合跑的路程长 【答案】36 次 【例【例 14】A、B两地间有条公路两地间有条公路，甲从甲从A地出发地出发，步行到步行到B地地，乙骑摩托车从乙骑摩托车从B地出发地出发，不停地往返于不停地往返于 A、B两地之间两地之间，他们同时出发他们同时出发，80 分钟后两人第一次相遇分钟后两
36、人第一次相遇，100 分钟后乙第一次追上甲分钟后乙第一次追上甲，问问： 当甲到达当甲到达B地时，乙追上甲几次？地时，乙追上甲几次？ 【考点】行程问题【难度】3 星【题型】解答 【解析】 由上图容易看出： 在第一次相遇与第一次追上之间， 乙在1008020(分钟)内所走的路程恰等于 线段FA的长度再加上线段AE的长度，即等于甲在(80100)分钟内所走的路程，因此，乙的速 度是甲的9倍(18020)， 则BF的长为AF的9倍， 所以， 甲从A到B， 共需走80(19)800(分 钟)乙第一次追上甲时，所用的时间为 100 分钟，且与甲的路程差为一个AB全程从第一次追上 甲时开始， 乙每次追上甲的
37、路程差就是两个AB全程， 因此， 追及时间也变为 200 分钟(1002)， 所以，在甲从A到B的 800 分钟内，乙共有 4 次追上甲，即在第 100 分钟，300 分钟，500 分钟 和 700 分钟 【答案】第 100 分钟，300 分钟，500 分钟和 700 分钟 【例【例 15】甲、乙两人分别从甲、乙两人分别从A、B两地同时出发相向而行，乙的速度是甲的两地同时出发相向而行，乙的速度是甲的 2 3 ，二人相遇后继续行进，二人相遇后继续行进， 甲到甲到B地地、乙到乙到A地后立即返回地后立即返回 已知两人第二次相遇的地点距第三次相遇的地点是已知两人第二次相遇的地点距第三次相遇的地点是 1
38、00 千米千米， 那么，那么，A、B两地相距两地相距千米千米 【考点】行程问题【难度】4 星【题型】填空 【解析】由于甲、乙的速度比是2:3，所以在相同的时间内，两人所走的路程之比也是2:3第一次相遇 时，两人共走了一个AB的长，所以可以把AB的长看作 5 份，甲、乙分别走了 2 份和 3 份；第 二次相遇时，甲、乙共走了三个AB，乙走了236份；第三次相遇时，甲、乙共走了五个AB， 乙走了2510份 乙第二次和第三次相距 106=4（份）所以一份距离为：1004=25（千米） ， 那么A、B两地距离为：525125（千米） 【答案】125 千米 【巩固】【巩固】 小王、小李二人往返于甲、乙两
39、地，小王从甲地、小李从乙地同时出发，相向而行，两人第一小王、小李二人往返于甲、乙两地，小王从甲地、小李从乙地同时出发，相向而行，两人第一 次在距甲地次在距甲地 3 千米处相遇千米处相遇，第二次在距甲地第二次在距甲地 6 千米处相遇千米处相遇(追上也算作相遇追上也算作相遇)，则甲则甲、乙两地的距乙两地的距 离为离为千米千米 【考点】行程问题【难度】3 星【题型】填空 【解析】由于两人同时出发相向而行，所以第一次相遇一定是迎面相遇；由于本题中追上也算相遇，所以 两人第二次相遇可能为迎面相遇，也可能为同向追及 如果第二次相遇为迎面相遇，如下图所示，两人第一次在A处相遇，第二次在B处相遇由于 第一次相
40、遇时两人合走 1 个全程，小王走了 3 千米；从第一次相遇到第二次相遇，两人合走 2 个 全程，所以这期间小王走了326千米，由于A、B之间的距离也是 3 千米，所以B与乙地的 距离为(63)21.5千米，甲、乙两地的距离为61.57.5千米； 3-1-4.多次相遇与追及问题.题库教师版page 9 of 17 如果第二次相遇为同向追及，如上图，两人第一次在A处相遇，相遇后小王继续向前走，小李 走到甲地后返回，在B处追上小王在这个过程中，小王走了633千米，小李走了639千 米，两人的速度比为3:91:3所以第一次相遇时小李也走了 9 千米，甲、乙两地的距离为 9312千米 所以甲、乙两地的距
41、离为7.5千米或 12 千米 【答案】7.5千米或 12 千米 【巩固】【巩固】 A，B 两地相距两地相距 540 千米千米。甲甲、乙两车往返行驶于乙两车往返行驶于 A，B 两地之间两地之间，都是到达一地之后立即返回都是到达一地之后立即返回， 乙车较甲车快。设两辆车同时从乙车较甲车快。设两辆车同时从 A 地出发后第一次和第二次相遇都在途中地出发后第一次和第二次相遇都在途中 P 地。那么到两车第地。那么到两车第 三次相遇为止，乙车共走了多少千米？三次相遇为止，乙车共走了多少千米？ 【考点】行程问题【难度】3 星【题型】解答 【解析】第一次相遇，甲乙总共走了 2 个全程，第二次相遇，甲乙总共走了
42、4 个全程，乙比甲快，相遇又 在 P 点，所以可以根据总结和画图推出：从第一次相遇到第二次相遇，乙从第一个 P 点到第二个 P 点，路程正好是第一次的路程。所以假设一个全程为 3 份，第一次相遇甲走了 2 份乙走了 4 份。 第二次相遇， 乙正好走了 1 份到 B 地， 又返回走了 1 份。 这样根据总结： 2 个全程里乙走了 （5403） 4=1804=720 千米，乙总共走了 7203=2160 千米。 【答案】乙总共走了 2160 千米 【例【例 16】小张与小王分别从甲小张与小王分别从甲、乙两村同时出发乙两村同时出发，在两村之间往返行走在两村之间往返行走（到达另一村后就马上返回到达另一
43、村后就马上返回） ，他他 们在离甲村们在离甲村 3.5 千米处第一次相遇，在离乙村千米处第一次相遇，在离乙村 2 千米处第二次相遇千米处第二次相遇.问他们两人第四次相遇的地问他们两人第四次相遇的地 点离乙村多远（相遇指迎面相遇）？点离乙村多远（相遇指迎面相遇）？ 【考点】行程问题【难度】3 星【题型】解答 【解析】画示意图如下. 第二次相遇两人已共同走了甲、乙两村距离的 3 倍，因此张走了 3.5310.5（千米）. 从图上可看出，第二次相遇处离乙村 2 千米.因此，甲、乙两村距离是 10.5-28.5（千米）. 每次要再相遇，两人就要共同再走甲、乙两村距离 2 倍的路程.第四次相遇时，两人已
44、共同走了两村距 离（322）倍的行程.其中张走了 3.5724.5（千米） ， 24.5=8.58.57.5（千米）. 就知道第四次相遇处，离乙村 8.5-7.5=1（千米）. 答：第四次相遇地点离乙村 1 千米. 【答案】第四次相遇地点离乙村 1 千米 【例【例 17】A，B 两地间有条公路两地间有条公路，甲从甲从 A 地出发步行到地出发步行到 B 地地，乙骑摩托车从乙骑摩托车从 B 地出发不停顿地往返于地出发不停顿地往返于 A， B 两地之间。他们同时出发，两地之间。他们同时出发，80 分后两人第一次相遇，分后两人第一次相遇，100 分后乙第一次超过甲。问：当甲到分后乙第一次超过甲。问：当
45、甲到 3-1-4.多次相遇与追及问题.题库教师版page 10 of 17 达达 B 地时，乙追上甲几次？地时，乙追上甲几次？ 【考点】行程问题【难度】3 星【题型】解答 【解析】4 次。提示：如下图所示，C，D 点分别为乙第一次遇到和超过甲的地点。甲从 A 到 C 用了 80 分，到 D 用了 100 分，乙从 C 到 A 又到 D 用了 20 分，可见乙 20 分走了甲需 180 分走的路，即 己的速度是甲的 9 倍。 【答案】4 次 【例【例 18】电子玩具车电子玩具车A与与B在一条轨道的两端同时出发相向而行在一条轨道的两端同时出发相向而行，在轨道上往返行驶在轨道上往返行驶。已知已知A比
46、比B的速的速 度快度快50%，根据推算，第，根据推算，第 2007 2007次相遇点与第次相遇点与第 2008 2008次相遇点相距次相遇点相距58厘米，轨道长厘米，轨道长厘米厘米。 【考点】行程问题【难度】3 星【题型】解答 【关键词】学而思杯，6 年级，1 试 【解析】A，B两车速度比为(150%):13:2。第 2007 2007次相遇点的位置在： 2007 3 (220071)5(mod10)；第 2008 2008次相遇点的位置在： 2008 3 (220081)3(mod10)。所以这条轨道长58(53)5145（厘米） 。 【答案】145 板块四、解多次相遇问题的工具柳卡 柳卡图
47、，不用基本公式解决，快速的解法是直接画时间-距离图，再画上密密麻麻的交叉线，按要求 数交点个数即可完成。折线示意图往往能够清晰的体现运动过程中“相遇的次数”，“相遇的地点”，以及“由 相遇的地点求出全程”，使用折线示意图法一般需要我们知道每个物体走完一个全程时所用的时间是多少。 如果不画图，单凭想象似乎对于像我这样的一般人儿来说不容易。 【例【例 19】每天中午有一条轮船从哈佛开往纽约，且每天同一时刻也有一艘轮船从纽约开往哈佛轮船在每天中午有一条轮船从哈佛开往纽约，且每天同一时刻也有一艘轮船从纽约开往哈佛轮船在 途中均要航行七天七夜试问：某条从哈佛开出的轮船在到达纽约前（途中）能遇上几艘从纽途
48、中均要航行七天七夜试问：某条从哈佛开出的轮船在到达纽约前（途中）能遇上几艘从纽 约开来的轮船？约开来的轮船？ 【考点】行程问题【难度】3 星【题型】解答 【解析】这就是著名的柳卡问题下面介绍的法国数学家柳卡斯图姆给出的一个非常直观巧妙的解法 他先画了如下一幅图： 这是一张运行图在平面上画两条平行线，以一条直线表示哈佛，另一条直线表示纽约那么， 从哈佛或纽约开出的轮船，就可用图中的两组平行线簇来表示图中的每条线段分别表示每条船 的运行情况粗线表示从哈佛驶出的轮船在海上的航行，它与其他线段的交点即为与对方开来轮 船相遇的情况 从图中可以看出，某天中午从哈佛开出的一条轮船（图中用实线表示）会与从纽约
49、开出的 15 艘 轮船相遇（图中用虚线表示） 而且在这相遇的 15 艘船中，有 1 艘是在出发时遇到（从纽约刚到 达哈佛） ，1 艘是到达纽约时遇到（刚好从纽约开出） ，剩下 13 艘则在海上相遇；另外，还可从图 中看到，轮船相遇的时间是每天中午和子夜 如果不仔细思考，可能认为仅遇到 7 艘轮船这个错误，主要是只考虑以后开出的轮船而忽略了 已在海上的轮船 【答案】15 艘 【巩固】【巩固】 一条电车线路的起点站和终点站分别是甲站和乙站，每隔一条电车线路的起点站和终点站分别是甲站和乙站，每隔 5 分钟有一辆电车从甲站发出开往乙分钟有一辆电车从甲站发出开往乙 站站，全程要走全程要走 15 分钟分钟
50、有一个人从乙站出发沿电车线路骑车前往甲站有一个人从乙站出发沿电车线路骑车前往甲站他出发的时候他出发的时候，恰好有恰好有 3-1-4.多次相遇与追及问题.题库教师版page 11 of 17 一辆电车到达乙站一辆电车到达乙站在路上他又遇到了在路上他又遇到了 10 辆迎面开来的电车辆迎面开来的电车到达甲站时到达甲站时，恰好又有一辆电车恰好又有一辆电车 从甲站开出问他从乙站到甲站用了多少分钟？从甲站开出问他从乙站到甲站用了多少分钟？ 【考点】行程问题【难度】3 星【题型】解答 【解析】先让学生用分析间隔的方式来解答： 骑车人一共看到 12 辆车，他出发时看到的是 15 分钟前发的车，此时第 4 辆车
