1、5-2-1.数的整除之四大判断法综合运用.题库教师版page 1 of 7 5-2-1.5-2-1.数的整除之四大判断法数的整除之四大判断法 综合运用综合运用 教学目标教学目标 1.了解整除的性质； 2.运用整除的性质解题； 3.整除性质的综合运用. 知识点拨知识点拨 一、常见数字的整除判定方法 1. 一个数的末位能被 2 或 5 整除，这个数就能被 2 或 5 整除； 一个数的末两位能被 4 或 25 整除，这个数就能被 4 或 25 整除； 一个数的末三位能被 8 或 125 整除，这个数就能被 8 或 125 整除； 2. 一个位数数字和能被 3 整除，这个数就能被 3 整除； 一个数各
2、位数数字和能被 9 整除，这个数就能被 9 整除； 3. 如果一个整数的奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差能被 11 整除，那么这个数能被 11 整除. 4. 如果一个整数的末三位与末三位以前的数字组成的数之差能被 7、11 或 13 整除，那么这个数能被 7、11 或 13 整除. 5.如果一个数能被 99 整除，这个数从后两位开始两位一截所得的所有数（如果有偶数位则拆出的数都有两个 数字，如果是奇数位则拆出的数中若干个有两个数字还有一个是一位数）的和是 99 的倍数，这个数一定 是 99 的倍数。 【备注【备注】 （以上规律仅在十进制数中成立（以上规律仅在十进制数中成立.） 二、整
3、除性质 性质性质 1如果数 a 和数 b 都能被数 c 整除，那么它们的和或差也能被 c 整除即如果 ca， cb，那么 c(ab) 性质性质 2如果数 a 能被数 b 整除，b 又能被数 c 整除，那么 a 也能被 c 整除即如果 ba， cb，那么 ca 用同样的方法，我们还可以得出： 性质性质 3如果数 a 能被数 b 与数 c 的积整除，那么 a 也能被 b 或 c 整除即如果 bca，那 么 ba，ca 性质性质 4如果数 a 能被数 b 整除，也能被数 c 整除，且数 b 和数 c 互质，那么 a 一定能被 b 与 c 的乘积整除即如果 ba，ca，且(b，c)=1，那么 bca
4、例如：如果 312，412，且(3，4)=1，那么(34) 12 性质性质 5如果数 a 能被数 b 整除，那么 am 也能被 bm 整除如果 ba，那么 bmam（m 为非 0 整数） ； 性质性质 6如果数 a 能被数 b 整除，且数 c 能被数 d 整除，那么 ac 也能被 bd 整除如果 ba ，且 dc ，那 5-2-1.数的整除之四大判断法综合运用.题库教师版page 2 of 7 么 bdac； 例题精讲例题精讲 综合系列 【例【例 1 1】 甲、乙两个三位数的乘积是一个五位数，这个五位数的后四位为甲、乙两个三位数的乘积是一个五位数，这个五位数的后四位为 1031如果甲数的数字和
5、为如果甲数的数字和为 10， 乙数的数字和为乙数的数字和为 8，那么甲乙两数之和是，那么甲乙两数之和是_ 【考点】整除之综合系列【难度】3 星【题型】填空 【关键词】迎春杯，高年级，初赛，第 2 题 【解析】【解析】根据弃九法可得知，乘积是3103131 7 11 13 ，适当组合可得知两数为31 7217和 11 13143，和为 360 【答案】360 【例【例 2 2】 有有 5 个不同的正整数，它们中任意两数的乘积都是个不同的正整数，它们中任意两数的乘积都是 12 的倍数，那么这的倍数，那么这 5 个数之和的最小值是个数之和的最小值是 _ 【考点】整除之综合系列【难度】3 星【题型】填
6、空 【关键词】迎春杯，六年级，初赛，第 7 题) 【解析】【解析】为了 5 个数的和最小，那么 121122634。 （1）若为 1、12、，那么后面的三个数必须 是 12 的倍数，最小为 24、36、48，和为 121； （2）若为 2、6、，那么后面的三个数必须是 6 的倍数，最小为 12、18、24，和为 62； （3）若为 3、4、，那么后面的三个数必须是 12 的倍数，最小为 12、24、36，和为 79；综上所述，得到的最小值为 62。 【答案】62 【例【例 3 3】173是个四位数字。数学老师说：是个四位数字。数学老师说：“我在这个我在这个中先后填中先后填入入 3 个数字，所得
7、到的个数字，所得到的 3 个四位数，依个四位数，依 次可被次可被 9、11、6 整除。整除。”问：数学老师先后填入的问：数学老师先后填入的 3 个数字的和是多少？个数字的和是多少？ 【考点】整除之综合系列【难度】3 星【题型】解答 【解析】【解析】用 1730 试除，17309=1922，17301l=1573，17306=2882所以依次添上(9-2=)7、 (11-3=)8、(6-2=)4 后得到的 1737、1738、1734 依次能被 9、11、6 整除所以，这三种情况下填入 口内的数字的和为 7+8+4=19 【答案】19 【例【例 4 4】1 87 2aa是是 2008 的倍数的倍
8、数a _ 【考点】整除之综合系列【难度】4 星【题型】填空 【关键词】走美杯，五年级，初赛，第 6 题 【解析】根据能被 4 整除的数的特征后两位能被 4 整除，a 1，3，5，7，9；再根据能被 8 整除的数的 特征后三位能被 8 整除，可得a 1，5，9。分别代入知9a 。 【答案】9 【例【例 5 5】 使得使得101 n 是是63的倍数的最小正整数的倍数的最小正整数 n 是是。 【考点】整除之综合系列【难度】3 星【题型】填空 【关键词】学而思杯，5 年级，第 5 题 【解析】6397，101 n 肯定是 9 的倍数，所以只要考虑 7 的倍数就可以了。考虑到 111111 是 7 的倍
9、数， 6 101999999 ，所以最小的 n 是 6. 【答案】6 【例【例 6 6】 如果六位数如果六位数1992能被能被 105 整除，那么它的最后两位数是多少？整除，那么它的最后两位数是多少？ 【考点】整除之综合系列【难度】3 星【题型】填空 【解析】【解析】因为1053 75 ，所以这个六位数同时满足能被 3、7、5 整除的数的特征即可 方法一：利用整除特征 5-2-1.数的整除之四大判断法综合运用.题库教师版page 3 of 7 末位只能为 0 或 5 如果末位填入 0，那么数字和为1992021 ，要求数字和是 3 的倍数，所以 可以为 0，3，6，9，验证2001991，23
10、019931，26019961，29019991， 有 91 是 7 的倍数，即199290是 7 的倍数，所以题中数字的末两位为 90 如果末位填入 5，同上解法，验证没有数同时满足能被 3、7、5 整除的特征 所以，题中数的末两位只能是 90 方法二：采用试除法 用199200试除，199200105189715，余 15 可以看成不足，1051590所以补上 90，即 在末两位的方格内填入 90 即可 【答案】90 【例【例 7 7】 六位数六位数 2008 能被能被 49 整除，整除，中的数是多少？中的数是多少？ 【考点】整除之综合系列【难度】3 星【题型】填空 【解析】【解析】200
11、008 被 49 除商 4081 余 39，所以0039能被 49 整除，商 11 时，49 11539，末两位是 39， 所以为 05。 【答案】05 【例【例 8 8】 在六位数在六位数 1111 中的两个方框内各填入一个数字中的两个方框内各填入一个数字，使此数能被使此数能被 17 和和 19 整除整除，那么方框中的两那么方框中的两 位数是多少位数是多少? 【考点】整除之综合系列【难度】4 星【题型】填空 【解析】【解析】采用试除法.设六位数为1111,111111 10000001111001100abababab如果一个数能同时被 17 和 19 整除，那么一定能被 323 整除110
12、011323340191，余 191 也可以看成不足 323 191132所以当00ab 132323n时，即00ab是 100 的倍数时，六位数才是 323 的倍数所 以有323n的末位只能是1028， 所以 n 只能是 6， 16， 26，验证有16n 时，132323 165300， 所以原题的方框中填入 5，3 得到的 115311 满足题意 【答案】115311 【例【例 9 9】 某个七位数某个七位数 1993能够同时被能够同时被 2，3，4，5，6，7，8，9 整除整除，那么它的最后三位数字依次是多那么它的最后三位数字依次是多 少？少？ 【考点】整除之综合系列【难度】4 星【题型
13、】填空 【解析】【解析】本题可采用整除数字的判定特征进行判断，但是太过繁琐。采用试除法比较方便，若使得 7 位数能 够同时被 2，3，4，5，6，7，8，9 整除，只要让七位数是 2，3，4，5，6，7，8，9 最小公倍数的 倍数即可。 【2，3，4，5，6，7，8，9】=2520.用 1993000 试除，19930002520=7902200，余 2200 可以看成不足 2520-2200=320，所以在末三位的方格内填入 320 即可 【答案】320 【例【例 1010】在在 523 后面写出三个数字，使所得的六位数被后面写出三个数字，使所得的六位数被 7、8、9 整除那么这三个数字的和
14、是多少整除那么这三个数字的和是多少? 【考点】整除之综合系列【难度】4 星【题型】解答 【解析】【解析】7、8、9 的最小公倍数是 504，所得六位数应被 504 整除。5240005041039344，所以所得六位 数是524000344523656，或523656504523152因此三个数字的和是 17 或 8 【答案】17 或 8 【例【例 1111】用数字用数字 6，7，8 各两个，组成一个六位数，使它能被各两个，组成一个六位数，使它能被 168 整除。这个六位数是多少？整除。这个六位数是多少？ 【考点】整除之综合系列【难度】3 星【题型】解答 【解析】【解析】因为 168=837，
15、所以组成的六位数可以被 8、3、7 整除 能够被 8 整除的数的特征是末三位组成的数一定是 8 的倍数，末两位组成的数一定是 4 的倍数，末 位为偶数在题中条件下，验证只有 688、768 是 8 的倍数，所以末三位只能是 688 或 768，而又要 求是 7 的倍数，由例 8 知abcabc形式的数一定是 7、11、13 的倍数，所以 768768 一定是 7 的倍数， 688 的不管怎么填都得不到 7 的倍数 至于能否被 3 整除可以不验证，因为整除 3 的数的规律是数字和为 3 的倍数，在题中给定的条件下， 不管怎么填数字和都是定值。 所以 768768 能被 168 整除，且验证没有其
16、他满足条件的六位数 5-2-1.数的整除之四大判断法综合运用.题库教师版page 4 of 7 【答案】768768 【例【例 1212】一个十位数，如果各位上的数字都不相同，那么就称为一个十位数，如果各位上的数字都不相同，那么就称为“十全数十全数”，例如，例如，3785942160 就是一个十就是一个十 全数现已知一个十全数能被全数现已知一个十全数能被 1，2，3，18 整除，并且它的前四位数是整除，并且它的前四位数是 4876，那么这个十全，那么这个十全 数是多少？数是多少？ 【考点】整除之综合系列【难度】5 星【题型】解答 【解析】【解析】这个十全数能被 10 整除，个位数字必为 0；能
17、被 4 整除，十位数字必为偶数，末两位只能是 20设 这个十全数为487620abcd由于它能被 11 整除，所以奇位数上的数字之和与偶位数上的数字之和 的差能被 11 整除，即860(472)1()bdacbdac 被 11 整除，可能是 111bdac 、1bdac 、1 11bdac 由于a、b、c、d四个数分别为 1、3、 5、9 中的一个，只能是111bdac ，即10bdac所以b、d是 9 和 5；a、c是 3 和 1，这个十全数只能是 4876391520，4876351920，4876193520，4876153920 中的一个由于它能 被 7、13、17 整除，经检验，只有
18、 4876391520 符合条件 【答案】4876391520 【例【例 1313】将数字将数字 4，5，6，7，8，9 各使用一次各使用一次，组成一个被组成一个被 667 整除的整除的 6 位数位数，那么那么，这个这个 6 位数除以位数除以 667 的结果是多少？的结果是多少？ 【考点】整除之综合系列【难度】4 星【题型】解答 【关键词】2009 年，迎春杯，五年级,初赛，第 8 题 【解析】【解析】4，5，6，7，8，9各用一次后，各位数字之和为39，即这个六位数应该为3的倍数，所以这个 数应该是3 6672001的倍数一个首位数字超过3的六位数除以2001得到的商应该是三位数而 该三位数
19、的商乘以2001后所得六位数（即原六位数）的末三位即为该商，而前三位是该商的两倍， 所以4，5，6，7，8，9这6个数字应该组成两个三位数，其中一个三位数是另一个的2倍，所 以两个三位数的首位数字，大者应至少是小者的两倍，显然的较小的那个三位数的首位只能是4， 较大的那个三位数的首位可能是8，也可能是9，而较小的那个三位数的个位只能是8，才能使较大 的那个三位数的个位数字能被取到， 进一步试验可得到这个六位数是956478， 这个6位数除以667后 的得数为1434 【答案】956478667=1434 【例【例 1414】某住宅区有某住宅区有 12 家住户，他们的门牌号分别是家住户，他们的门
20、牌号分别是 1，2，12他们的电话号码依次是他们的电话号码依次是 12 个连续的个连续的 六位自然数，并且每家的电话号码都能被这家的门牌号整除，已知这些电话号码的首位数字都小六位自然数，并且每家的电话号码都能被这家的门牌号整除，已知这些电话号码的首位数字都小 于于 6，并且门牌号是，并且门牌号是 9 的这一家的电话号码也能被的这一家的电话号码也能被 13 整除，问：这一家的电话号码是什么数？整除，问：这一家的电话号码是什么数？ 【考点】整除之综合系列【难度】4 星【题型】解答 【解析】【解析】设第一户电话号是1x ，第二户的电话号是2x ，第 12 户的电话号是12x 根据条件可知xi是i的倍
21、数(1i ，2，12)，因此x是 1，2，12 的公倍数 而1,2,1227720，所以27720 xm 又277209m 是13 的倍数， 而 27720 除以13 余数为 4， 所以49m 是 13 的倍数， 则1m ， 14， 27， 第 9 户的电话号码是277209m ，是一个首位数字小于 6 的六位数，所以m取 14 合适； 因此这一家的电话号码是27720 149388089 【答案】27720 149388089 【例【例 1515】在六位数在六位数ABCDEF中中，不同的字母表示不同的数字不同的字母表示不同的数字，且满足且满足A，AB，ABC，ABCD，ABCDE， ABCD
22、EF依次能被依次能被 2，3，5，7，11，13 整除整除则则ABCDEF的最小值是的最小值是；已知当已知当ABCDEF 取得最大值时取得最大值时0C ，6F ，那么，那么ABCDEF的最大值是的最大值是_ 【考点】整除之综合系列【难度】4 星【题型】填空 【关键词】学而思杯，5 年级，第 14 题 【解析】求 最 小 值 ， 先 看A, 最 小 偶 数 为2， 然 后AB被3整 除 ，B最 小 为1， 然 后 依 次 推 出 0C .7D ,6E ,9F 求最大值与上述方法类似。最后求出最大值为840736 【答案】210769；840736 【例【例 1616】有一个九位数有一个九位数ab
23、cdefghi的各位数字都不相同且全都不为的各位数字都不相同且全都不为 0，并且二位数，并且二位数ab可被可被 2 整除，三位数整除，三位数 abc可被可被 3 整除整除，四位数四位数abcd可被可被 4 整除整除，依此类推依此类推，九位数九位数abcdefghi可被可被 9 整除整除请问这个请问这个 5-2-1.数的整除之四大判断法综合运用.题库教师版page 5 of 7 九位数九位数abcdefghi是多少？是多少？ 【考点】整除之综合系列【难度】5 星【题型】填空 【解析】【解析】由题可知这个九位数由数字 19 组成，其中每个数字出现一次，且b、d、f、h都是偶数，a、c、 e、g、i
24、是奇数由于abcde可被 5 整除，所以5e 由于abc可被 3 整除，所以a、b、c三个数之和可被 3 整除由于abcdef可被 6 整除，所以d、e、 f三个数之和可被 3 整除 由于abcd可被 4 整除，所以cd可被 4 整除，而c是奇数，所以d只能为 2 或 6由abcdefgh可被 8 整除知abcdefgh可被 4 整除，所以gh可被 4 整除，同上可知h也只能为 2 或 6所以有如下两种情 况： 2d ，6h 此时25deff可被 3 整除，f只能为 8那么b为 4由于a、b、c三个数之和 可被 3 整除，而a、c为 1、3、7、9 中的某两个，所以a、c为 1 和 7那么g为
25、 3 或 9，其中满足 8 6fghg可被 8 整除的只有 9，所以g为 9，i为 3此时abcdefg为 1472589 或 7412589，但这两个 数都不能被 7 整除，不符题意； 6d ，2h 此时65deff可被 3 整除，f只能为 4那么b为 8此时4 2fghg可被 8 整除， 所以g为 3 或 7又a、b、c三个数之和可被 3 整除，而b为 8，所以a、c可以为(1，3)、(1，9)、 (7， 3)或(7， 9)， 所以此时abcdefghi有 8 种可能情况： 189654327； 981654327； 789654321； 987654321； 183654729；3816
26、54729；189654723；981654723经检验，其中只有 381654729 满足abcdefg能被 7 整除，所以所求的abcdefghi是 381654729 【答案】381654729 【例【例 1717】用数字用数字 0、1、2、3、4、5、6、7、8、9 拼成一个十位数。要求前拼成一个十位数。要求前 1 位数能被位数能被 2 整除，前整除，前 2 位数能位数能 被被 3 整除，整除，前，前 9 位数能被位数能被 10 整除整除已知最高位数为已知最高位数为 8这个十位数是这个十位数是 【考点】整除之综合系列【难度】4 星【题型】填空 【关键词】走美杯，5 年级，决赛，第 8
27、题，10 分 【解析】由前 9 位数能被 10 整除，可知第九位数字为 0，前四位能被 5 整除，可知第四位数字为 5，前 8 位 数能被 9 整除，即前八位数字和为 9 的倍数，而所有数字本身就是 9 的倍数，所以第十位数字只能 是 9，前两位数能被 3 整除，故第二位数字只能是 1、4 或 7，如果第二位数字是 4，则找不到前三 位数能被 4 整除，故第二位数字只能是 1 或 7，则第三位数字只能是 2 或 6，结合前五位能被 6 整除 知只能是前五位 87654 或 81654，前七位数字能被 8 整除，知第七位数字是 2由前 6 位数字能被 7 整除，经试验唯一可能是 816543，故
28、 7 必在第八位上，故这个数应为 8165432709 【答案】8165432709 【例【例 1818】N 是一个各位数字互不相等的自然数，它能被它的每个数字整除是一个各位数字互不相等的自然数，它能被它的每个数字整除N 的最大值是的最大值是 【考点】整除之综合系列【难度】4 星【题型】填空 【关键词】走美杯，5 年级，决赛，第 7 题，10 分 【解析】N 不能含有 0，因为不能被 0 除。N 不能同时含有 5 和偶数，因为此时 N 的个位将是 0。如果含有 5， 则 2，4，6，8 都不能有，此时位数不会多。如果 N 只缺少 5，则含有 1，2，3，4，6，7，8，9，但 是数字和为 40
29、，不能被 9 整除。所以必须再去掉一位，为了最大，应该保留 9 放到最高位，为了使 数字和被 9 整除，还需要去掉 4。此时由 1，2，3，6，7，8，9 组成，肯定被 9 整除，还需要考虑 被 7 和 8 整除。 前四位最大为 9876，剩下三个数字组成的被 8 整除的三位数为 312，9876312 被 7 除余 5； 前四位如果取 9873，剩下三个数字组成的被 8 整除的三位数为 216，9873216 被 7 除余 3； 前四位如果取 9872，剩下三个数字组成的被 8 整除的三位数为 136，9872136 被 7 除余 1； 前四位如果取 9871，剩下三个数字组成的被 8 整除
30、的三位数为 632，9871632 被 7 除余 1； 前四位如果取 9867，剩下三个数字组成的被 8 整除的三位数为 312，9867312 被 7 整除。 【答案】9867312 【例【例 1919】a，b，c，d各代表一个不同的非零数字各代表一个不同的非零数字，如果如果abcd是是13的倍数的倍数，bcda是是11的倍数的倍数，cdab是是9 的倍数，的倍数，dabc是是7的倍数，那么的倍数，那么abcd是是。 5-2-1.数的整除之四大判断法综合运用.题库教师版page 6 of 7 【考点】整除之综合系列【难度】4 星【题型】填空 【关键词】学而思杯，6 年级，第 14 题 【解析
31、】【解析】由于cdab是9的倍数，说明其各位数字之和能被9整除；由于abcd与cdab的各位数字之和相同，所 以abcd也是9的倍数；由于bcda是11的倍数，那么其奇位数字之和与偶位数字之和的差能被11整 除，也就是ac与bd的差能被11整除，而abcd的奇位数字之和与偶位数字之和分别为bd和 ac，恰好的差能被11整除，恰好与bcda互换了一下，可知abcd的奇位数字之和与偶位数字之和 的差也能被11整除，也就是abcd是11的倍数；又根据题意，abcd是13的倍数，那么abcd是9，11， 13的公倍数，也就是9，11，131287的倍数，又是四位数，可能为1287，2574，3861，
32、5148， 6435，7722，9009， 其中7722和9009出现重复数字， 可予排除。 由于abcd是7的倍数， 说明abcd 是7的倍数，对1287，2574，3861，5148，6435，一一进行检验，发现只有3861满足这一点， 所以abcd是3861。 【答案】3861 【例【例 2020】利用数字利用数字 0，1，2，3，4，8，9(每个数字可以重复每个数字可以重复)构造一个构造一个 6 位数位数，满足要求满足要求：前前 k 位能位能被被 k 整除整除(1k ，2，6)这样的这样的 6 位数最小是位数最小是，最大是，最大是 【考点】整除之综合系列【难度】4 星【题型】填空 【关
33、键词】走美杯，4 年级，决赛，第 8 题，10 分 【解析】 最小的数先填第一位易知为 1，第二位易知被 2 整除，最小为 0，第三位结合前三位被 3 整除， 所以为 2，第四位同样结合前四位被 4 整除为 0，同理知第五位为 0，第六位可知前三位已能被 6 整 除，所以第六位为 0，即此数该为 102000 最大的数方法同上，从首位开始填起，然后取前k位能被k整除的最大数，即可得出结论，最大 为987654 【答案】最小102000，最大为987654 【例【例 2121】有有 15 位同学位同学，每位同学都有编号每位同学都有编号，他们是他们是 1 号到号到 15 号号，1 号同学写了一个自
34、然数号同学写了一个自然数，其余各位同学其余各位同学 都说这个数能被自己的编号数整除都说这个数能被自己的编号数整除1 号作了检验号作了检验：只有编号连续的两位同学说的不对只有编号连续的两位同学说的不对，其余同学其余同学 都对，问：都对，问：说的不对的两位同学，他们的编号是哪两个连续自然数？说的不对的两位同学，他们的编号是哪两个连续自然数？如果告诉你如果告诉你 1 号写的数号写的数 是五位数，请找出这个数是五位数，请找出这个数 【考点】整除之综合系列【难度】4 星【题型】解答 【解析】【解析】为了表达方便，不妨设 1 号同学写的自然数为a根据215号同学所述结论，215中只有两个 连续的自然数不能
35、整除a，其他的数都能整除a由于27中的每一个数的 2 倍都在 15 以内，如果 27中有某个数不能整除a，那么这个数的 2 倍也不能整除a，然而27中的这个数与它的 2 倍不 可能是两个连续的自然数，所以27中每一个数都是a的约数由于 2 与 5 互质，那么2510也 是a的约数同理可知，12、14、15 也都是a的约数还剩下的四个数为 8、9、11、13，只有 8、9 是两个连续的自然数，所以说的不对的两位同学，他们的编号分别是 8 和 9 1 号同学所写的自然数能被 2，3，4，5，6，7，10，11，12，13，14，15 这 12 个数整除，也就是 它们的公倍数它们的最小公倍数是： 2
36、 23 57 11 1360060 因为 60060 是一个五位数，而 这 12 个数的其他公倍数都是它们的最小公倍数 60060 的倍数，且最小为 2 倍，所以均不是五位数， 那么 1 号同学写的五位数是 60060 【答案】60060 【例【例 2222】已知：已知：23!258 20 67388849766000DCAB则则DCBA？ 【考点】整除之综合系列【难度】4 星【题型】填空 【关键词】走美杯，5 年级，决赛，第 7 题，10 分 【解析】【解析】由于 123 中有 4 个 5 的倍数，所以23!的末尾有 4 个 0，所以0B 由于23!25 10 15 82010000 8 3
37、MM (M为正整数)，所以 258 20 67388849766000DCAB去掉末尾的 4 个 0 后得到的数是 8 的倍数，那么66A是 8 的倍数，所 以4A 易知258 20 673888497664DC是 9 和 11 的倍数，所以 2582067388849766493DCCD是 9 的倍数； 2827889645063847615CDCD是 11 的倍数， 5-2-1.数的整除之四大判断法综合运用.题库教师版page 7 of 7 那么6CD或 15，7CD或4DC 若15CD，由于CD与CD(或DC)奇偶性相同，所以此时7CD，得11C ，不合题 意所以6CD，4DC，得1C
38、，5D ，所以51042040DCBA 【答案】2040 【例【例 2323】为了打开银箱，需要先输入密码，密码由为了打开银箱，需要先输入密码，密码由 7 个数字组成，它们不是个数字组成，它们不是 1、2 就是就是 3在密码中在密码中 1 的数的数 目比目比 2 多，多，2 的数目比的数目比 3 多，而且密码能被多，而且密码能被 3 和和 16 所整除试问密码是多少？所整除试问密码是多少？ 【考点】整除之综合系列【难度】4 星【题型】解答 【解析】【解析】密码由 7 位数字组成，如果有两个 3 的话，那么至少是2349位数，与题意不符；只有一个 3 的话，那么至少有两个 2.如果有三个 2，那
39、么 1 至少有四个，总共至少有1348个数字，与题 意不符，所以 2 只有两个，1 有四个，如此，各数位数字和为44311，不是 3 的倍数，所以密 码中没有 3，只有 1、2，由 1、2 组成的四位数中只有 2112 能被 16 整除（从个位向高数位推得） ， 所以密码的后四位是 2112， 所以前三位数字和是 3 的倍数， 只有 111 和 222 满足条件， 其中 2222112 的 2 多于 1，应予排除，所以这个密码是 1112112. 【答案】1112112 【巩固】【巩固】【巩固】【巩固】为了打开银箱为了打开银箱，需要先输入密码需要先输入密码，密码由密码由 7 个数字组成个数字组
40、成，它们不是它们不是 2 就是就是 3在密码中在密码中 2 的数目比的数目比 3 多，而且密码能被多，而且密码能被 3 和和 4 所整除试求出这个密码所整除试求出这个密码 【考点】整除之综合系列【难度】4 星【题型】解答 密码中的 2 比 3 要多，所以 2 可能有 4、5、6 或 7 个当 2 有 4 个时，密码的数字和为 17；当 2 有 5 个时，数字和为 16；当 2 有 6 个时，数字和为 15；当 2 有 7 个时，数字和为 14由于一个数能被 3 整除时，它的数字和也能被 3 整除，所以密码中 2 应当有 6 个，这样 3 就只能有 1 个另外，一个 数能被 4 整除， 那么它的
41、末两位数也应当能被 4 整除， 所以末两位数必定是 32 所以， 密码是 2222232 【答案】密码是 2222232 【例【例 2424】盒子里放有编号为盒子里放有编号为 1 到到 10 的十个球，小明先后三次从盒中共取出九个球，如果从第二次开始，每的十个球，小明先后三次从盒中共取出九个球，如果从第二次开始，每 次取出的球的编号之和是前一次的次取出的球的编号之和是前一次的 2 倍，那么未取出的球的编号是倍，那么未取出的球的编号是_. 【考点】整除之综合系列【难度】3 星【题型】填空 【关键词】迎春杯，中年级，初赛，第 11 题 【解析】【解析】因为从第二次开始每次取出的球的编号是前一次的
42、2 倍，由此得出：1 1 21 227 ，三次取 出的9个球的编号之和必是7的倍数。因为10个球的编号之和是55，所以取出的9个球，编号之和 必在45 54之间，期间只有49是7的倍数，所以未取出的球的编号为55496。 【答案】6 【例【例 2525】六位自然数，六位自然数，1082能被能被 12 整除，末两位数有整除，末两位数有种情况。种情况。 【考点】整除之综合系列【难度】2 星【题型】填空 【关键词】希望杯，五年级，初赛，第 10 题，4 分 【解析】试除法：10829912=902411，99-11=88、88-12=76、76-12=64、64-12=52、52-12=40、40-12=28、 28-12=16、16-12=04 共 8 种情况 【答案】8种情况
