1、5-5-3.同余问题.题库教师版page 1 of 6 5-5-3.5-5-3.同余问题同余问题 教学目标教学目标 1.学习同余的性质 2.利用整除性质判别余数 知识点拨知识点拨 同余定理 1、 定义定义： 若两个整数 a、 b 被自然数 m 除有相同的余数， 那么称 a、 b 对于模 m 同余， 用式子表示为： ab ( mod m )，左边的式子叫做同余式。同余式读作：a 同余于 b，模 m。 2、重要性质及推论：、重要性质及推论： （1）若两个数 a，b 除以同一个数 m 得到的余数相同，则 a，b 的差一定能被 m 整除 例如：17与11除以3的余数都是2，所以1711（）能被3整除
2、（2）用式子表示为：如果有 ab ( mod m )，那么一定有 abmk,k 是整数，即 m|(ab) 3、余数判别法、余数判别法 当一个数不能被另一个数整除时，虽然可以用长除法去求得余数，但当被除位数较多时，计算是很麻烦 的建立余数判别法的基本思想是：为了求出“N 被 m 除的余数”，我们希望找到一个较简单的数 R，使得：N 与 R 对于除数 m 同余由于 R 是一个较简单的数，所以可以通过计算 R 被 m 除的余数来求得 N 被 m 除的余 数 整数 N 被 2 或 5 除的余数等于 N 的个位数被 2 或 5 除的余数； 整数 N 被 4 或 25 除的余数等于 N 的末两位数被 4
3、或 25 除的余数； 整数 N 被 8 或 125 除的余数等于 N 的末三位数被 8 或 125 除的余数； 整数 N 被 3 或 9 除的余数等于其各位数字之和被 3 或 9 除的余数； 整数 N 被 11 除的余数等于 N 的奇数位数之和与偶数位数之和的差被 11 除的余数； （不够减的话先适 当加 11 的倍数再减） ； 整数 N 被 7，11 或 13 除的余数等于先将整数 N 从个位起从右往左每三位分一节，奇数节的数之和与 偶数节的数之和的差被 7，11 或 13 除的余数就是原数被 7，11 或 13 除的余数 例题精讲例题精讲 模块一、两个数的同余问题 【例【例 1 1】 有一
4、个整数，除有一个整数，除 39,51,147 所得的余数都是所得的余数都是 3，求这个数，求这个数. 【考点】两个数的同余问题【难度】1 星【题型】解答 【解析】(法 1)39336，51-3=48，1473144，(36,144)12，12 的约数是1,2,3,4,6,12，因为余数为 3 要小于除数，这个数是4,6,12； (法 2)由于所得的余数相同，得到这个数一定能整除这三个数中的任意两数的差，也就是说它是任意 两数差的公约数513912，14739108，(12,108)12，所以这个数是4,6,12 5-5-3.同余问题.题库教师版page 2 of 6 【答案】4,6,12 【例
5、【例 2 2】 某个两位数加上某个两位数加上 3 后被后被 3 除余除余 1， 加上加上 4 后被后被 4 除余除余 1， 加上加上 5 后被后被 5 除余除余 1， 这个两位数是这个两位数是_. 【考点】两个数的同余问题【难度】2 星【题型】填空 【关键词】人大附中，分班考试 【解析】“加上 3 后被 3 除余 1”其实原数还是余 1，同理这个两位数除以 4、5 都余 1，这样，这个数就是3、 4、5+1=60+1=61。 【答案】61 【例【例 3 3】 有一个自然数，除有一个自然数，除 345 和和 543 所得的余数相同，且商相差所得的余数相同，且商相差 33求这个数是多少？求这个数是
6、多少？ 【考点】两个数的同余问题【难度】3 星【题型】解答 【解析】由于这个数除 345 和 543 的余数相同，那么它可能整除 543-345，并且得到的商为 33所以所 求的数为(543345)336 【答案】6 【例【例 4 4】 一个大于一个大于 10 的自然数去除的自然数去除 90、 164 后所得的两个余数的和等于这个自然数去除后所得的两个余数的和等于这个自然数去除 220 后所得的余数后所得的余数， 则这个自然数是多少？则这个自然数是多少？ 【考点】两个数的同余问题【难度】3 星【题型】解答 【解析】这个自然数去除 90、164 后所得的两个余数的和等于这个自然数去除901642
7、54后所得的余数， 所以 254 和 220 除以这个自然数后所得的余数相同，因此这个自然数是25422034的约数，又大 于 10，这个自然数只能是 17 或者是 34 如果这个数是 34，那么它去除 90、164、220 后所得的余数分别是 22、28、16，不符合题目条件； 如果这个数是 17，那么它去除 90、164、220 后所得的余数分别是 5、11、16，符合题目条件，所以 这个自然数是 17 【答案】17 【例【例 5 5】 两位自然数两位自然数ab与与ba除以除以 7 都余都余 1，并且，并且ab，求，求abba 【考点】两个数的同余问题【难度】3 星【题型】解答 【解析】a
8、bba能被 7 整除， 即(10)10)9abbaab（）能被 7 整除 所以只能有7ab， 那么ab可 能为 92 和 81，验算可得当92ab 时，29 ba 满足题目要求，92292668abba 【答案】2668 【例【例 6 6】 现有糖果现有糖果 254 粒粒,饼干饼干 210 块和桔子块和桔子 186 个个.某幼儿园大班人数超过某幼儿园大班人数超过 40.每人分得一样多的糖果每人分得一样多的糖果,一样一样 多的饼干多的饼干,也分得一样多的桔子也分得一样多的桔子。 余下的糖果余下的糖果、 饼干和桔子的数量的比是饼干和桔子的数量的比是： 1： 3： 2， 这个大班有这个大班有_ 名小
9、朋友，每人分得糖果名小朋友，每人分得糖果_粒，饼干粒，饼干_块，桔子块，桔子_个。个。 【考点】两个数的同余问题【难度】3 星【题型】解答 【关键词】南京市，兴趣杯 【解析】设大班共有 a 名小朋友。由于余下的糖果、饼干和桔子的数量之比是 1:3:2，所以余下的糖果、桔子 数 目 的 和 正 好 等 于 余 下 的 饼 干 数 ， 从 而 254+186-210 一 定 是 a 的 倍 数 ， 即 254+186-210=230=1230=1023=2523 是 a 的倍数。同样，2254-186=322=2314=2314=2327 也一定是 a 的倍数。所以，a 只能是 232 的因数。但
10、 a40,所以 a=46。此时 254=465+24， 210=463+72，186=463+48。故大班有小朋友 46 名，每人分得糖果 5 粒，饼干 3 块，桔子 3 个。 【答案】小朋友 46 名，每人分得糖果 5 粒，饼干 3 块，桔子 3 个 模块二、三个数的同余问题 【例【例 7 7】 有一个大于有一个大于 1 的整数，除的整数，除45,59,101所得的余数相同，求这个数所得的余数相同，求这个数. 【考点】三个数的同余问题【难度】3 星【题型】解答 【解析】这个题没有告诉我们，这三个数除以这个数的余数分别是多少，但是由于所得的余数相同，根据同 5-5-3.同余问题.题库教师版pa
11、ge 3 of 6 余定理，我们可以得到：这个数一定能整除这三个数中的任意两数的差，也就是说它是任意两数差 的公约数1014556，594514，(56,14)14，14的约数有1,2,7,14， 所以这个数可能为2,7,14。 【答案】2,7,14 【巩固】【巩固】【巩固】【巩固】有一个整数，除有一个整数，除 300、262、205 得到相同的余数。问这个整数是几得到相同的余数。问这个整数是几? 【考点】三个数的同余问题【难度】3 星【题型】填空 【关键词】华杯赛，初赛，第 9 题 【解析】这个数除 300、262，得到相同的余数，所以这个数整除 30026238，同理，这个数整除 2622
12、05 57，因此，它是 38、57 的公约数 19。 【答案】19 【巩固】【巩固】【巩固】【巩固】在除在除 13511，13903 及及 14589 时能剩下相同余数的最大整数是时能剩下相同余数的最大整数是_ 【考点】三个数的同余问题【难度】3 星【题型】填空 【关键词】小学数学奥林匹克 【解析】因为13903 13511392,1458913903686，由于 13511，13903，14589 要被同一个数除时，余 数相同，那么，它们两两之差必能被同一个数整除(392,686)98，所以所求的最大整数是 98. 【答案】98 【巩固】【巩固】【巩固】【巩固】140，225，293 被某大
13、于被某大于 1 的自然数除的自然数除,所得余数都相同。所得余数都相同。2002 除以这个自然数的余数是除以这个自然数的余数是. 【考点】三个数的同余问题【难度】3 星【题型】填空 【关键词】三帆中学，入学测试 【解析】这样我们用总结的知识点可知：任意两数的差肯定余 0。那么这个自然数是 293-225=68 的约数,又是 225-140=85 的约数，因此就是 68、85 的公约数,所以这个自然数是 17。所以 2002 除以 17 余 13。 【答案】13 【巩固】【巩固】【巩固】【巩固】三个数：三个数：23，51，72，各除以大于，各除以大于 1 的同一个自然数，得到同一个余数，则这个除数
14、是的同一个自然数，得到同一个余数，则这个除数是。 【考点】三个数的同余问题【难度】3 星【题型】填空 【关键词】希望杯，五年级，初赛，第 4 题，6 分 【解析】512328，725121， （28，21）=7，所以这个除数是 7。 【答案】7 【例【例 8 8】 学校新买来学校新买来 118 个乒乓球，个乒乓球，67 个乒乓球拍和个乒乓球拍和 33 个乒乓球网，如果将这三种物品平分给每个班级个乒乓球网，如果将这三种物品平分给每个班级， 那么这三种物品剩下的数量相同请问学校共有多少个班？那么这三种物品剩下的数量相同请问学校共有多少个班？ 【考点】三个数的同余问题【难度】3 星【题型】解答 【解
15、析】所求班级数是除以118,67,33余数相同的数那么可知该数应该为1186751和673334 的公约数，所求答案为 17 【答案】17 【例【例 9 9】 若若 2836，4582，5164，6522 四个自然数都被同一个自然数相除，所得余数相同且为两位数，除数四个自然数都被同一个自然数相除，所得余数相同且为两位数，除数 和余数的和为和余数的和为_ 【考点】三个数的同余问题【难度】3 星【题型】填空 【关键词】小学数学奥林匹克 【解析】设除数为 A因为 2836，4582，5164，6522 除以 A 的余数相同，所以他们两两之差必能被 A 整除又 因为余数是两位数， 所以 A 至少是两位
16、数 4582-2836=1746，51644582582，652251641358， 因为(582,1358)194，所以 A 是 194 的大于 10 的约数194 的大于 10 的约数只有 97 和 194如果 194A ，238619414120，余数不是两位数，与题意不符如果97A ，经检验，余数都是 23，除数余数9723120 【答案】120 【例【例 1010】一个大于一个大于 1 的数去除的数去除 290，235，200 时，得余数分别为时，得余数分别为a，2a ，5a ，则这个自然数是多少？，则这个自然数是多少？ 5-5-3.同余问题.题库教师版page 4 of 6 【考点
17、】三个数的同余问题【难度】4 星【题型】解答 【解析】根据题意可知，这个自然数去除 290，233，195 时，得到相同的余数（都为a） 既然余数相同，我们可以利用余数定理，可知其中任意两数的差除以这个数肯定余 0那么这个自然 数是29023357的约数，又是233 19538的约数，因此就是 57 和 38 的公约数,因为 57 和 38 的公约数只有 19 和 1，而这个数大于 1，所以这个自然数是 19 【答案】19 【巩固】【巩固】【巩固】【巩固】有有 3 个吉利数个吉利数 888，518，666，用它们分别除以同一个自然数，所得的余数依次为，用它们分别除以同一个自然数，所得的余数依次
18、为 a,a+7,a+10,则这则这 个自然数是个自然数是_. 【考点】三个数的同余问题【难度】4 星【题型】填空 【关键词】清华附中，入学测试 【解析】【解析】处理成余数相同的，则 888、518-7、666-10 的余数相同，这样我们可以转化成同余问题。这样我们 用总结的知识点可知：任意两数的差肯定余 0。那么这个自然数是 888-656=232 的约数，也是 656-511=145 的约数，因此就是 232、145 的公约数,所以这个自然数是 29。 【答案】29 【例【例 1111】一个自然数除一个自然数除 429、791、500 所得的余数分别是所得的余数分别是5a 、2a、a，求这个
19、自然数和，求这个自然数和a的值的值. 【考点】三个数的同余问题【难度】4 星【题型】解答 【解析】将这些数转化成被该自然数除后余数为2a的数：42952848，791、50021000，这样这 些数被这个自然数除所得的余数都是2a，故同余. 将这三个数相减，得到84879157、1000848152，所求的自然数一定是57和152的公约数， 而57,15219，所以这个自然数是19的约数，显然 1 是不符合条件的，那么只能是 19.经过验证， 当这个自然数是19时，除429、791、500所得的余数分别为11、12、6，6a 时成立,所以这个自 然数是19，6a . 【答案】6 【例【例 12
20、12】甲甲、乙乙、丙三数分别为丙三数分别为 603，939，393某数某数A除甲数所得余数是除甲数所得余数是A除乙数所得余数的除乙数所得余数的 2 倍倍，A除除 乙数所得余数是乙数所得余数是A除丙数所得余数的除丙数所得余数的 2 倍求倍求A等于多少？等于多少？ 【考点】三个数的同余问题【难度】4 星【题型】解答 【解析】根 据 题 意 ， 这 三 个 数 除 以A都 有 余 数 ， 则 可 以 用 带 余 除 法 的 形 式 将 它 们 表 示 出 来 ： 11 603AKr， 22 939AKr， 33 393AKr由于 12 2rr， 23 2rr，要消去余数 1 r, 2 r, 3 r,
21、我们只能先把余数处理成相同的，再两数相减这样我们先把第二个式子乘以 2，使得被除 数和余数都扩大 2 倍，同理，第三个式子乘以 4于是我们可以得到下面的式子： 11 603AKr 22 939222AKr 33 393424AKr这样余数就处理成相同的最后两两相减消去 余数，意味着能被A整除93926031275，3934603969，1275,969513 1751 的约数有 1、3、17、51，其中 1、3 显然不满足，检验 17 和 51 可知 17 满足，所以A等于 17 【答案】17 【例【例 1313】已知已知 60，154，200 被某自然数除所得的余数分别是被某自然数除所得的余
22、数分别是1a ， 2 a， 3 1a ，求该自然数的值，求该自然数的值 【考点】三个数的同余问题【难度】5 星【题型】解答 【解析】根据题意可知，自然数 61，154，201 被该数除所得余数分别是a， 2 a， 3 a 由于 2 aaa， 所以自然数 2 613721与154同余； 由于 32 aaa， 所以61 1549394与 201 同余， 所 以 除 数 是3721 1543567和93942019193的 公 约 数 ， 运 用 辗 转 相 除 法 可 得 到 (3567,9193)29，该除数为 29经检验成立 【答案】29 【例【例 1414】有一个自然数有一个自然数，它除以它
23、除以15、17、19所得到的商所得到的商(1)与余数与余数(0)之和都相等之和都相等，这样的数最小可能这样的数最小可能 是多少是多少 【考点】三个数的同余问题【难度】5 星【题型】解答 5-5-3.同余问题.题库教师版page 5 of 6 【解析】 15.1514 17.1716 19.1918 a b c AaXXaAaXaaX AbXXbAbXbbX AcXXcAcXccX （）（） （）（） （）（） 14161872|abcaa至少为72，1515721080 aaa AaXXX 14161863|abcbb至少为63，1717631071 bbb AbXXX 14161856|ab
24、ccc至少为56，1919561064 ccc AcXXX 最小为 1081 【答案】1081 【例【例 1515】三个不同的自然数的和为三个不同的自然数的和为 2001，它们分别除以，它们分别除以 19,23,31 所得的商相同，所得的余数也相同，这三所得的商相同，所得的余数也相同，这三 个数是个数是_，_，_。 【考点】三个数的同余问题【难度】4 星【题型】填空 【关键词】祖冲之杯 【解析】【解析】设所得的商为a，除数为b(19)(23)(31)2001ababab，7332001ab，由19b ，可 求得27a ，10b 所以，这三个数分别是19523ab，23631ab，31847ab
25、。 【答案】523，631，847 模块三、运用同余进行论证 【例【例 1616】在在 33 的方格表中已如右图填入了的方格表中已如右图填入了 9 个质数。将表中同一行或同一列的个质数。将表中同一行或同一列的 3 个数加上相同的自然数个数加上相同的自然数 称为一次操作。问：你能通过若干次操作使得表中称为一次操作。问：你能通过若干次操作使得表中 9 个数都变为相同的数吗？为什么？个数都变为相同的数吗？为什么？ 【考点】运用同余进行论证【难度】3 星【题型】解答 【解析】【解析】略 【答案】因为表中 9 个质数之和恰为 100，被 3 除余 1，经过每一次操作，总和增加 3 的倍数，所以表中 9
26、个 数之和除以 3 总是余 1。 如果表中 9 个数变为相等， 那么 9 个数的总和应能被 3 整除， 这就得出矛盾！ 所以，无论经过多少次操作，表中的数都不会变为 9 个相同的数。 【例【例 1717】一个三位数除以一个三位数除以 17 和和 19 都有余数都有余数， 并且除以并且除以 17 后所得的商与余数的和等于它除以后所得的商与余数的和等于它除以 19 后所得到的后所得到的 商与余数的和那么这样的三位数中最大数是多少，最小数是多少？商与余数的和那么这样的三位数中最大数是多少，最小数是多少？ 【考点】运用同余进行论证【难度】4 星【题型】解答 【关键词】仁华学校 【解析】设这个三位数为s
27、， 它除以 17 和 19 的商分别为a和b， 余数分别为m和n， 则1719sambn 根据题意可知ambn，所以samsbn，即1618ab，得89ab所以a是 9 的倍 数，b是 8 的倍数此时，由ambn知 81 99 nmabaaa由于s为三位数，最小为 100 ， 最 大 为 999 ， 所 以10017999am， 而116m， 所 以17117999aam ， 100171716ama， 得到558a， 而a是 9 的倍数， 所以a最小为 9， 最大为 54 当54a 时， 1 6 9 nma， 而18n ， 所以12m ， 故此时s最大为175412930； 当9a 时， 1
28、 1 9 nma， 由于1m ，所以此时s最小为1791154 所以这样的三位数中最大的是 930，最小的是 154 【答案】最大的是 930，最小的是 154 【例【例 1818】从从 1，2，3，n 中中，任取任取 57 个数个数，使这使这 57 个数必有两个数的差为个数必有两个数的差为 13，则则 n 的最大值为多少？的最大值为多少？ 【考点】运用同余进行论证【难度】4 星【题型】解答 【关键词】西城实验 5-5-3.同余问题.题库教师版page 6 of 6 【解析】被 13 除的同余序列当中，如余 1 的同余序列，1、14、27、40、53、66，其中只要取到两个相 邻的，这两个数的
29、差为 13；如果没有两个相邻的数，则没有两个数的差为 13，不同的同余序列当中 不可能有两个数的差为 13，对于任意一条长度为 x 的序列，都最多能取 2 x x 个数，使得取出的数 中没有两个数的差为 13，即从第 1 个数起隔 1 个取 1 个 基于以上，n 个数分成 13 个序列，每条序列的长度为 13 n 或1 13 n ，两个长度差为 1 的序列，要 使取出的数中没有两个数的差为 13，能够被取得的数的个数之差也不会超过 1，所以为使 57 个数中 任意两个数的差都不等于 13，则这 57 个数被分配在 13 条序列中，在每条序列被分配的数的个数差 不会超过 1，那么 13 个序列有
30、 8 个序列分配了 4 个数，5 个序列分配了 5 个数，则这 13 个序列中 8 个长度为 8，5 个长度为 9，那么当 n 最小为8 895109 时，可以取出 57 个数，其中任两个数 的差不为 13，所以要使任取 57 个数必有两个数的差为 13，那么 n 的最大值为 108 【答案】108 【例【例 1919】设设21n 是质数，证明：是质数，证明： 2 1， 2 2， 2 n被被21n 除所得的余数各不相同除所得的余数各不相同 【考点】运用同余进行论证【难度】5 星【题型】解答 【解析】略 【答案】假设有两个数a、b，(1ban)，它们的平方 2 a， 2 b被21n 除余数相同那么，由 同余定理得 22 0(mod(21)abn，即()()0(mod(21)ab abn，由于21n 是质数，所以 0(mod(21)abn或0(mod(21)abn，由于ab，ab均小于21n 且大于 0，可知，ab 与21n 互质，ab也与21n 互质，即ab，ab都不能被21n 整除，产生矛盾，所以假设不 成立，原题得证
