1、5-6-1.奇数与偶数的性质与应用.题库教师版page 1 of 13 5-15-1 奇数与偶数的性质与应用奇数与偶数的性质与应用 教学目标教学目标 本讲知识点属于数论大板块内的“定性分析”部分， 小学生的数学思维模式大多为“纯粹的定量计算， 拿 到一个题就先去试数，或者是找规律，在性质分析层面几乎为 0，本讲力求实现的一个主要目标是提高孩 子对数学的严密分析能力，培养孩子明白做题前有时要“先看能不能这么做，再去动手做”的思维模式。无 论是小升初还是杯赛会经常遇到，但不会单独出题，而是结合其他知识点来考察学生综合能力。 知识点拨知识点拨 一、奇数和偶数的定义 整数可以分成奇数和偶数两大类.能被
2、 2 整除的数叫做偶数，不能被 2 整除的数叫做奇数。通常偶数可 以用 2k（k 为整数）表示，奇数则可以用 2k+1（k 为整数）表示。特别注意，因为 0 能被 2 整除，所以 0 是偶数。 二、奇数与偶数的运算性质 性质 1：偶数偶数=偶数，奇数奇数=偶数 性质 2：偶数奇数=奇数 性质 3：偶数个奇数的和或差是偶数 性质 4：奇数个奇数的和或差是奇数 性质 5：偶数奇数=偶数，奇数奇数=奇数，偶数偶数=偶数 三、两个实用的推论 推论 1：在加减法中偶数不改变运算结果奇偶性，奇数改变运算结果的奇偶性。 推论 2：对于任意 2 个整数 a,b ,有 a+b 与 a-b 同奇或同偶 例题精讲
3、模块一、奇偶分析法之计算法 【例【例 1 1】1231993的和是奇数还是偶数？的和是奇数还是偶数？ 【考点】奇偶分析法之计算法【难度】2 星【题型】解答 【解析】【解析】在 1 至 1993 中，共有 1993 个连续自然数，其中 997 个奇数，996 个偶数，即共有奇数个奇数， 那么原式的计算结果为奇数. 【答案】奇数 【例【例 1】从从 1 开始的前开始的前 2005 个整数的和是个整数的和是_数数(填：填：“奇奇”或或“偶偶”)。 【考点】奇偶分析法之计算法【难度】2 星【题型】填空 【关键词】希望杯，4 年级，初赛，5 题 【解析】1+2+3+2004+2005=(1+2005)2
4、0052=10032005 是奇数 【答案】奇数 【巩固】【巩固】【巩固】【巩固】2930318788得数是奇数还是偶数？得数是奇数还是偶数？ 5-6-1.奇数与偶数的性质与应用.题库教师版page 2 of 13 【考点】奇偶分析法之计算法【难度】2 星【题型】解答 【解析】【解析】偶数。原式中共有 60 个连续自然数，有 30 个奇数，为偶数个。 【答案】偶数 【巩固】【巩固】【巩固】【巩固】123456799100999897967654321的和是奇数还是的和是奇数还是 偶数？为什么？偶数？为什么？ 【考点】奇偶分析法之计算法【难度】1 星【题型】解答 【解析】【解析】略 【答案】 偶
5、数， 在算式中，1 99都出现了2次， 所以123499999897964321 是偶数，而100也是偶数，所以 123456799100999897967654321 的和是偶数 【巩固】【巩固】【巩固】【巩固】(200201202288151 152153233）（）得数是奇数还是偶数？得数是奇数还是偶数？ 【考点】奇偶分析法之计算法【难度】2 星【题型】解答 【解析】【解析】200 至 288 共 89 个数，其中偶数比奇数多 1，44 个奇数的和是偶数；151 至 233 共 83 个数，奇 数比偶数多 1，42 个奇数，为偶数；偶数减去偶数仍为偶数。 【答案】偶数 【例【例 2】12
6、3456798 99 的计算结果是奇数还是偶数，为什么？的计算结果是奇数还是偶数，为什么？ 【考点】奇偶分析法之计算法【难度】2 星【题型】解答 【解析】【解析】特殊数字：“1”在这个算式中，所有做乘法运算的都是奇数偶数，所以它们的乘积都是偶数， 这些偶数相加的结果还是偶数，只有1是奇数，又因为奇数偶数=奇数，所以这个题的计算结 果是奇数 【答案】奇数 【例【例 3】 东东在做算术题时，写出了如下一个等式：东东在做算术题时，写出了如下一个等式：103813 7564，他做得对吗？，他做得对吗？ 【考点】奇偶分析法之计算法【难度】2 星【题型】解答 【解析】【解析】等式左边是偶数，13 75是奇
7、数，64是偶数，根据奇数偶数奇数，等式右边是奇数，偶数不 等于奇数，因此东东写出的等式是不对的 【答案】不能做对 【例【例 4 4】 一个自然数分别与另外两个相邻奇数相乘，所得的两个积相差一个自然数分别与另外两个相邻奇数相乘，所得的两个积相差 150，那么这个数是多少？，那么这个数是多少？ 【考点】奇偶分析法之计算法【难度】2 星【题型】解答 【解析】由定义知道，相邻两个奇数相差 2，那么说明 150 是这个未知自然数的两倍，所以原自然数为 75. 【答案】75 【巩固】【巩固】【巩固】【巩固】一个偶数分别与其相邻的两个偶数相乘一个偶数分别与其相邻的两个偶数相乘， 所得的两个乘积相差所得的两个
8、乘积相差 80， 那么这三个偶数的和是多少？那么这三个偶数的和是多少？ 【考点】奇偶分析法之计算法【难度】2 星【题型】解答 【解析】由定义知道，相邻两个偶数相差 2，那么 80 恰好是原偶数的 4 倍，即原来的偶数是 20。而由题 意知道原来的三个偶数分别 18,20,22，它们的和是 60。 【答案】60 【例【例 5 5】 能否在下式的能否在下式的“”内填入加号或减号，使等式成立，若能请填入符号，不能请说明理由。内填入加号或减号，使等式成立，若能请填入符号，不能请说明理由。 （1）1 2 3 4 5 6 7 8 910 （2）1 2 3 4 5 6 7 8 927 【考点】奇偶分析法之计
9、算法【难度】3 星【题型】解答 【解析】【解析】略 【答案】不能。很多学生拿到这个题就开始试数，试了半天也试不出来因为，这时给他讲解，原式有 5 个 奇数，无论经加、减运算后结果一定是奇数。本小题是一个典型的奇偶性质“先定性分析后定量 计算的题目”（2）可以。12345678927或12345678927 【例【例 6 6】 能否从四个能否从四个 3，三个，三个 5，两个，两个 7 中选出中选出 5 个数，使这个数，使这 5 个数的和等于个数的和等于 22. 【考点】奇偶分析法之计算法【难度】2 星【题型】解答 5-6-1.奇数与偶数的性质与应用.题库教师版page 3 of 13 【解析】略
10、 【答案】不能。因为不论如何选，选出的 5 个数均为奇数，5 个奇数的和还是奇数，不可能等于 22。 【巩固】【巩固】【巩固】【巩固】能否从、四个能否从、四个 6，三个，三个 10，两个，两个 14 中选出中选出 5 个数，使这个数，使这 5 个数的和等于个数的和等于 44. 【考点】奇偶分析法之计算法【难度】3 星【题型】解答 【解析】略 【答案】从性质上看，选出 5 个偶数的和仍然是偶数。而从计算层面上考虑，假设等式可以成立，那么可 以把题目中的数都除以 2.那么本题相当于：能否从、四个 3，三个 5，两个 7 中选出 5 个数，使 这 5 个数的和等于 22.因为 3，5，7 都是奇数，
11、而且 5 个奇数的和还是奇数，不可能等于偶数 22， 所以不能. 【例【例 7 7】 一个偶数的数字和是一个偶数的数字和是 40,这个偶数最小是这个偶数最小是。 【考点】奇偶分析法之计算法【难度】3 星【题型】填空 【关键词】走美杯，五年级，初赛，第 8 题 【解析】这个偶数的数字和是 40，应让其各个位数尽量的大，首先让个位为 8，则让其前面尽量为 9，则 这个偶数最小为 59998。 【答案】59998 【例【例 8 8】 多米诺骨牌是由塑料制成的多米诺骨牌是由塑料制成的 12 长方形长方形，共共 28 张张，每张牌上的两个每张牌上的两个 11 正方形中刻有正方形中刻有“点点”，点点 的个
12、数分别为的个数分别为 0，1，2，6 个不等，其中个不等，其中 7 张牌两端的点数一样，即两个张牌两端的点数一样，即两个 0，两个，两个 1， 两个两个 6；其余其余 21 张牌两端的点数不一样张牌两端的点数不一样，所谓连牌规则是指所谓连牌规则是指：每相邻两张牌必须有一端的点数每相邻两张牌必须有一端的点数 相同，且以点数相同的端相连，例如：相同，且以点数相同的端相连，例如： ? ? 现将一现将一副副多米诺骨牌按连牌规则连成一条链，如果在链的一端为多米诺骨牌按连牌规则连成一条链，如果在链的一端为 6 点，那么在链的另一端为多点，那么在链的另一端为多 少点少点?并简述你的理由并简述你的理由 【考点
13、】奇偶分析法之计算法【难度】5 星【题型】解答 【解析】略 【答案】6，由连牌规则可知，在链的内部各种点数均成对相连，即所有点都有偶数个，而 6 点的个数为 8，所以在链的两端一定有偶数个点，所以链的另一端也应为 6 【巩固】【巩固】【巩固】【巩固】一条线段上分布着一条线段上分布着 n 个点个点，这些点的颜色不是黑的就是白的这些点的颜色不是黑的就是白的，它们将线段分为它们将线段分为 n+1 段段，已知线段已知线段 两端的两个点都是黑的，而中间的每一个点的两边各有一黑一白两端的两个点都是黑的，而中间的每一个点的两边各有一黑一白.那么白点的数目是奇数还是偶那么白点的数目是奇数还是偶 数？数？ 【考
14、点】奇偶分析法之计算法【难度】4 星【题型】解答 【解析】略 【答案】 因为中间的每一个点的两边各有一黑一白， 所以所有的点一定是两个黑点、 两个白点依次相邻 （除 了首尾可能出现一个黑点） ，所以白点都是成对出现的.所以白点的个数为偶数. 【例【例 9】 沿着河岸长着沿着河岸长着 8 丛植物，相邻两丛植物上所结的浆果数目相差丛植物，相邻两丛植物上所结的浆果数目相差 1 个问：个问：8 丛植物上能否一共丛植物上能否一共 结有结有 225 个浆果个浆果?说明理由说明理由 【考点】奇偶分析法之计算法【难度】4 星【题型】解答 【关键词】俄罗斯，小学奥林匹克 【解析】【解析】略 【答案】不能。相邻的
15、两个植物果实数目差 1 个意味着相邻 2 个植物的奇偶性不同，所以一定有 4 棵植物 的果实为奇数个，总和一定为偶数，不能为 225. 【例【例 10】有一批文章共有一批文章共 15 篇，各篇文章的页数是篇，各篇文章的页数是 1 页、页、2 页、页、3 页、页、14 页和页和 15 页的稿纸，如果页的稿纸，如果 将这些文章按某种次序装订成册，并统一编上页码，那么每篇文章的第一页是奇数页码的文章将这些文章按某种次序装订成册，并统一编上页码，那么每篇文章的第一页是奇数页码的文章 5-6-1.奇数与偶数的性质与应用.题库教师版page 4 of 13 最多有多少篇？最多有多少篇？ 【考点】奇偶分析法
16、之计算法【难度】4 星【题型】解答 【解析】【解析】先将偶数页的文章(2 页、4 页、14 页)编排，这样共有 7 篇文章的第一页都是奇数页码然 后将奇数页的文章(1 页、3 页、5 页、7 页、9 页、11 页、13 页和 15 页)依次编排，这样编排的 1 页、5 页、9 页和 13 页的 4 篇文章的第一页都是奇数页码因此每篇文章的第一页是奇数页码的 文章最多是7411(篇) 【答案】11 【巩固】【巩固】【巩固】【巩固】一本故事书共有一本故事书共有 30 个故事个故事，每个故事分别占每个故事分别占 1、2、3、30 页页（未必按这个顺序未必按这个顺序） 。第一个故第一个故 事从第事从第
17、 1 页开始，每个故事都从新的一页开始，最多有页开始，每个故事都从新的一页开始，最多有_个故事是从奇数页开始的。个故事是从奇数页开始的。 【考点】奇偶分析法之计算法【难度】4 星【题型】解答 【关键词】走美杯，四年级，初赛，第 9 题 【解析】【解析】前 15 个故事让其均为偶数页，这样前 15 个故事均为奇数页开始，后面 15 个奇数页的故事，有 8 个是从奇数页开始的，所以最多有 15+8=23 个。 【答案】23个 【例【例 11】有四个互不相等的自然数，最大数与最小数的差等于有四个互不相等的自然数，最大数与最小数的差等于 4，最小数与最大数的乘积是一个奇数，最小数与最大数的乘积是一个奇
18、数， 而这四个数的和是最小的两位奇数求这四个数而这四个数的和是最小的两位奇数求这四个数 【考点】奇偶分析法之计算法【难度】3 星【题型】解答 【解析】【解析】入手点： 最小的两位奇数是11， 最小数与最大数的乘积是一个奇数可得最小数和最大数都是奇数 首先由这四个数的和是最小的两位奇数，可知这四个自然数的和是11其次，由最小数与最大数 的乘积是一个奇数， 可知最小数与最大数都是奇数 由12341011，23451411， 可以推导出这四个互不相等的自然数分别是：1，2，3，5 【答案】12 35， ， ， 【例【例 12】三个相邻偶数的乘积是一个六位数三个相邻偶数的乘积是一个六位数82，求这三个
19、偶数，求这三个偶数 【考点】奇偶分析法之计算法【难度】3 星【题型】解答 【解析】【解析】由三个相邻偶数的乘积是一个六位数，可以断定这三个数必须是两位数，并且它们的个位数字只 能是 0，2，4，6，8 中相邻的三个又这三个数积的个位数字是 2，所以，这三个相邻偶数的个 位数字只能是 4，6，8 由于三个 100 相乘等于一个最小的七位数字 1000000，三个 90 相乘等于 729000，所以，这三个 相邻偶数的十位数字必须是 9，从而，这相邻三个偶数分别是 94 ，96，98经计算94，96， 98 三个数满足题意 【答案】94，96，98 【例【例 13】两个四位数相加，第一个四位数每个
20、数码都小于两个四位数相加，第一个四位数每个数码都小于 5，第二个四位数仅仅是第一个四位数的四个，第二个四位数仅仅是第一个四位数的四个 数码调换了位置，两个数的和可能是数码调换了位置，两个数的和可能是 7356 吗？为什么？吗？为什么？ 【考点】奇偶分析法之计算法【难度】4 星【题型】解答 【解析】【解析】略 【答案】不能。因为数码都小于 5 所以这两个四位数相加不会产生进位，所以这两个四位数的数码和等于 7356 的数码和，第二个四位数仅仅是第一个四位数的四个数码调换了位置，所以两个四位数的数 码和为偶数，而 7356 的数码和是奇数，所以不成立。 【例【例 14】任意交换某个三位数的数字顺序
21、，得到一个新的三位数，原三位数与新三位数之和能否等任意交换某个三位数的数字顺序，得到一个新的三位数，原三位数与新三位数之和能否等于于 999？ 【考点】奇偶分析法之计算法【难度】4 星【题型】解答 【解析】【解析】略 【答案】不能。2 个三位数的和为 999，说明在两个数相加时不产生任何进位。如果不产生进位说明两个 三位数的数字之和相加求和，就会等于和的数字之和，这是一个今后在数字谜中的常用结论。那 么 999 的数字之和是 27，而原来的 2 个三位数经调换数字顺序后数字之和是不会变的，若以 a 记为其中一个三位数的数字之和，那么另一个也为 a，则会有 2a=27 的矛盾式子出现。说明原式
22、不成立。 5-6-1.奇数与偶数的性质与应用.题库教师版page 5 of 13 模块二、奇偶分析法之代数法 【例【例 15】已知已知 a,b,c 是三个连续自然数是三个连续自然数， 其中其中 a 是偶数是偶数。 根据根据下面的下面的的信息的信息： 小红说小红说：“那么那么1a ,2b ,3c 这三个数的乘积一定是奇数这三个数的乘积一定是奇数” ；小明小明： “不对不对1a ,2b ,3c 这三个数的乘积是偶数这三个数的乘积是偶数” 。判断小红判断小红 和小明两人的说法中正确的是和小明两人的说法中正确的是。 【考点】【难度】星【题型】填空 【关键词】希望杯，五年级，初赛，第 4 题，6 分 【
23、解析】三个连续自然数就是 a、a+1、a+2，则（a+1） （b+2） （c+3）=（a+1） （a+3） （a+5）,三个奇数相 乘一定是奇数. 【答案】小红 【例【例 16】试找出两个整数试找出两个整数，使大数与小数之和加上大数与小数之差使大数与小数之和加上大数与小数之差，再加上再加上1000等于等于1999如果找得出如果找得出 来，请写出这两个数，如果找不出来，请说明理由来，请写出这两个数，如果找不出来，请说明理由 【考点】奇偶分析法之代数法【难度】3 星【题型】解答 【解析】【解析】略 【答案】因为两个数的和ab与两个数的差ab的奇偶性相同，所以abab（）（）的和是偶数由结 论三可知
24、，这两数之和与这两数之差的和为偶数，再加 1000 还是偶数，所以它们的和不能等于 奇数 1999 【例【例 1717】是否存在自然数是否存在自然数 a 和和 b，使得，使得 ab(ab)=115? 【考点】奇偶分析法之代数法【难度】3 星【题型】解答 【解析】略 【答案】不存在。此类问题引导学生接触分类讨论的基本思想，即 2 个自然数在奇偶性的组合上只有 3 种 情况，“2 奇 0 偶，1 奇 1 偶，0 奇 2 偶”，可以分别讨论发现均不成立。 【巩固】【巩固】【巩固】【巩固】是否存在自然数是否存在自然数a和和b，使得，使得515015ab ab（）？ 【考点】奇偶分析法之代数法【难度】3
25、 星【题型】解答 【解析】【解析】略 【答案】不存在因为 15015 是奇数，所以5abab、 、都应为奇数，但是当a和b均为奇数时，5ab却 是偶数 【巩固】【巩固】【巩固】【巩固】是否存在自然数是否存在自然数 a、b、c，使得，使得(a-b)(b-c)(a-c)=45327？ 【考点】奇偶分析法之代数法【难度】4 星【题型】解答 【解析】略 【答案】不存在。可以分情况来讨论：3 奇 0 偶，2 奇 1 偶，1 奇 2 偶，0 奇 3 偶。但是比较繁琐，可以根 据 45327 是一个奇数，只有奇数乘以奇数才能得到，所以 a-b、b-c、a-c 都为奇数，再根据奇偶性 进行判断。 【例【例 1
26、818】a、b、c 三个数的和与它们的积的和为奇数，问这三个数中最多可以有几个奇数？三个数的和与它们的积的和为奇数，问这三个数中最多可以有几个奇数？ 【考点】奇偶分析法之代数法【难度】4 星【题型】解答 【解析】根据题目内容，可以列出所要讨论的式子为abcabc。则接下来可以分类讨论 3 奇 0 偶，2 奇 1 偶，1 奇 2 偶，0 奇 3 偶四种情况。经验证如果要满足上式结果为奇数，那么可以发现最多 只能有 1 个奇数。 【答案】1个奇数 【例【例 1919】已知已知 a,b,c 中有一个是中有一个是 511，一个是，一个是 622，一个是，一个是 793。求证：。求证：(1)(2)(3)
27、abc是一个偶数。是一个偶数。 【考点】奇偶分析法之代数法【难度】4 星【题型】解答 【解析】略 【答案】 因为在 a,b,c 中有 2 个是奇数， 1 个是偶数， 那么说明 a,c 两个数中至少有一个是奇数，那么(1)a 和(3)c 中至少有一个是偶数，所以(1)(2)(3)abc中至少有一个因数是偶数，结果为偶数. 【巩固】【巩固】【巩固】【巩固】小红写了四个不同的非零整数小红写了四个不同的非零整数 a,b,c,d，并且说这四个整数满足四个算式：，并且说这四个整数满足四个算式： 5-6-1.奇数与偶数的性质与应用.题库教师版page 6 of 13 1991abcda 1993abcdb
28、1995abcdc 1997abcdd 但是小明看过之后立刻说小红是错的，根不不存在这样的四个数，你能证明小明结论吗？但是小明看过之后立刻说小红是错的，根不不存在这样的四个数，你能证明小明结论吗？ 【考点】奇偶分析法之代数法【难度】4 星【题型】解答 【解析】略 【答案】 由小红的提出的等式组， 我们可以得到(1)1991abcd，(1)1993bacd，(1)1995cabd， (1)1997dabc，发现如果每个等式的结果都是一个奇数，那么要求, , ,a b c d四个数都是奇数， 因为只有奇数与奇数相乘才能得奇数，这样, , ,a b c d中任意三个数的乘积也为奇数，导致(1)abd
29、 等四个差均为偶数，乘积结果只能得偶数，发生矛盾。 【例【例 20】设设a,b,c,d,e,f,g都是整数，试说明：都是整数，试说明： 在在,ab bc cd de ef fg ga中，必有奇数个偶数中，必有奇数个偶数 【考点】奇偶分析法之代数法【难度】4 星【题型】解答 【解析】【解析】略 【答案】加数中奇数的个数决定和的奇偶性，反过来，和的奇偶性由加数中奇数的个数决定，所以我们考 虑这 7 个数的和 2abbccddeeffggaabcdefg（）（）（）（）（）（）（） （），和是偶 数，ab,bc,cd,de,ef,fg,ga中，必有偶数个奇数，因而必有奇数 个偶数 模块三、奇偶分析法
30、之图论 【例【例 21】你能不能将自然数你能不能将自然数 1 到到 9 分别填入分别填入 33 的方格表中，使得每一行中的三个数之和都是偶数。的方格表中，使得每一行中的三个数之和都是偶数。 【考点】奇偶分析法之图论【难度】3 星【题型】解答 【解析】【解析】略 【答案】不能。此题学生容易想到九宫格数阵问题，其实不是。1 到 9 中共有 5 个奇数，分别分成 3 组后 会分布在每一行里面，也就是说要想实现每一行都是偶数，就需要每一行都有偶数个奇数，从而 需要三行奇数的和是偶数，但是现在仅有 5 个奇数，所以无法填入。 【巩固】【巩固】【巩固】【巩固】你能不能将整数你能不能将整数 0 到到 8 分
31、别填入分别填入 33 的方格表中，使得每一行中的三个数之和都是奇数的方格表中，使得每一行中的三个数之和都是奇数? 【考点】奇偶分析法之图论【难度】3 星【题型】解答 【解析】【解析】略 【答案】不能。分析过程与例题类似。 【例【例 22】能否将能否将116这这 16 个自然数填入个自然数填入44的方格表中（每个小方格只填一个数的方格表中（每个小方格只填一个数） ，使得各行之和及，使得各行之和及 各列之和恰好是各列之和恰好是 8 个连续的自然数？如果能填，请给出一种填法；如果不能填，请说明理由个连续的自然数？如果能填，请给出一种填法；如果不能填，请说明理由 【考点】奇偶分析法之图论【难度】3 星
32、【题型】解答 【解析】【解析】略 【答案】不能将所有的行和与列和相加，所得之和为44的方格表中所有数之和的 2 倍即为： 1231516216 17（） 而 8 个连续的自然数之和设为： 1234567828kkkkkkkkk（）（）（）（）（）（）（） 若44的方格表中各行之和及各列之和恰好是 8 个连续的自然数，应有82816 17k ，即 274 17k 显然这个式子左端为奇数，右端为偶数，得出矛盾 所以不能实现题设要求的填数法 【例【例 23】在一张在一张9行行9列的方格纸上，把每个方格所在的行数和列数加起来，填在这个方格中，例如列的方格纸上，把每个方格所在的行数和列数加起来，填在这个
33、方格中，例如 538a 问：填入的问：填入的81个数字中是奇数多还是偶数多？个数字中是奇数多还是偶数多？ 5-6-1.奇数与偶数的性质与应用.题库教师版page 7 of 13 ? a ? 1 ? 2 ? 3 ? 4 ? 5 ? 6 ? 7 ? 8 ? 9 ? 9 ? 8 ? 7 ? 6 ? 5 ? 4 ? 3 ? 2 ? 1 【考点】奇偶分析法之图论【难度】4 星【题型】解答 【解析】【解析】此题如果按步就班地把每个格子的数算出来，再去数一数奇数和偶数各有多少然后得出奇数和 偶数哪个多，哪个少的结论显然花时间很多，不能在口试抢答中取胜我们应该从整体上去比 较奇偶数的多少易知奇数行偶数多一个，
34、偶数行奇数多1个所以前8行中奇偶数一样，余下 第9行奇数行，答案可脱口而出偶数多 【答案】偶数多 【巩固】【巩固】【巩固】【巩固】如果把每个方格所在的行数和列数乘起来，填在这个方格，例如：如果把每个方格所在的行数和列数乘起来，填在这个方格，例如：5 315a 问填入的问填入的 81 个数中是奇数多还是偶数多？个数中是奇数多还是偶数多？ 【考点】奇偶分析法之图论【难度】4 星【题型】解答 【解析】【解析】奇数行奇数多 1 个，偶数行全是偶数，显然偶数多。 【答案】偶数多 【例【例 24】在在“8 8”的方格中放棋子，每格至多放的方格中放棋子，每格至多放 1 枚棋子若要求枚棋子若要求8行、行、8列
35、、列、30条斜线（如图所示）条斜线（如图所示） 上的棋子数均为偶数那么上的棋子数均为偶数那么“8 8”的方格中最多可以放多少枚棋子？的方格中最多可以放多少枚棋子？ ? 第11题【考点】奇偶分析法之图论【难度】5 星【题型】解答 【解析】【解析】如图，观察向左下倾斜的 15 条斜线，其中的方格数依次是：1，2，3，7，8，7，3，2， 1，其中有 8 个奇数，表明有 8 条斜线中必须至少缺一个棋子同理右下倾斜的斜线中，也有 8 条必须缺一个棋子这样，总共至少缺 16 个子下图表明缺 16 个棋子的时候是可以办到的，其 中黑点占据的空格表示不放棋子的空格 ? 图1 【答案】16 【例【例 25】有
36、有 8 个棱长是个棱长是 1 的小正方体的小正方体，每个小正方体有三组相对的面每个小正方体有三组相对的面，第一组相对的面上都写着数字第一组相对的面上都写着数字 1， 第二组相对的面上都写着数字第二组相对的面上都写着数字 2，第三组相对的面上都写着数字第三组相对的面上都写着数字 3(如图如图)现在把这现在把这 8 个小正方个小正方 体拼成一个棱长是体拼成一个棱长是 2 的大正方体的大正方体.。问问：是否有一种拼合方式是否有一种拼合方式，使得大正方体每一个面上的使得大正方体每一个面上的 4 个个 数字之和恰好组成数字之和恰好组成 6 个连续的自然数个连续的自然数? ? 1 ? 2 ? 3 ? 1
37、? 3 ? 2 ? H ? G ? F ? E ? D ? C ? B ? A 【考点】奇偶分析法之图论【难度】4 星【题型】解答 【解析】【解析】略 【答案】假设满足条件的大正方体 ABCDEFGH 可以拼成(见图 2)，即它的每个面上的 4 个数字之和恰好 组成 6 个连续的自然数那么这个大正方体的六个面上的 24 个数字之和 S 就等于这 6 个连续自 然数之和又因为，6 个连续自然数之中必有三个偶数、三个奇数，所以 6 个连续自然数之和必 是奇数，即 S 是奇数另一方面，考虑大正方体的 8 个顶点 A、B、C、D、E、F、G、H，它们 分别是一个小正方体的顶点由于，交于这些顶点的小正方
38、体的三个面互不相对，因此，在这三 5-6-1.奇数与偶数的性质与应用.题库教师版page 8 of 13 个面上所写的 3 个数字分别为 1、2、3这样大正方体的六个面上的 24 个数之和 S=8(12 3)=48即 S 又应该是偶数所以这是不可能的 模块四、奇偶分析法之生活运用 【例【例 26】甲、乙、丙三人进行万米赛跑，甲是最后一个起跑的，在整个比赛过程中，甲与乙、丙的位置甲、乙、丙三人进行万米赛跑，甲是最后一个起跑的，在整个比赛过程中，甲与乙、丙的位置 共交换了共交换了 9 次，则比赛的结果甲是第次，则比赛的结果甲是第名名 【考点】奇偶分析法之生活运用【难度】3 星【题型】填空 【关键词
39、】希望杯，四年级，复赛，第 9 题 【解析】三人的位置交换了奇数次，甲必然是在乙丙中间如果交换了偶数次，甲是第一或第三名 【答案】甲是第 2 名 【例【例 27】甲、乙两个哲人将正整数甲、乙两个哲人将正整数 5 至至 11 分别写在分别写在 7 张卡片上他们将卡片背面朝上，任意混合之后张卡片上他们将卡片背面朝上，任意混合之后， 甲取走三张，乙取走两张剩下的两张卡片，他们谁也没看，就放到麻袋里去了甲认真研究甲取走三张，乙取走两张剩下的两张卡片，他们谁也没看，就放到麻袋里去了甲认真研究 了自己手中的三张卡片之后，对乙说：了自己手中的三张卡片之后，对乙说：“我知道你的两张卡片上的数的和是偶数我知道你
40、的两张卡片上的数的和是偶数”试问：甲手试问：甲手 中的三张卡片上都写了哪些数？答案是否唯一中的三张卡片上都写了哪些数？答案是否唯一 【考点】奇偶分析法之生活运用【难度】4 星【题型】解答 【解析】【解析】甲手中的3张卡片上分别写了 6，8 和 10甲知道其余4张卡片上分别写了哪些数，但不知道它 们之中的哪两张落到了乙的手中因此，只有在它们之中任何两张卡片上的数的和都是偶数时， 甲才能说出自己的断言而这就意味着，这 4 张卡片上所写的数的奇偶性相同，亦即或者都是偶 数，或者都是奇数但是由于一共只有 3 张卡片上写的是偶数，所以它们不可能都是偶数，从而 只能都是奇数于是 3 张写着偶数的卡片全都落
41、入甲的手中答案是唯一的 【答案】甲手中的3张卡片上分别写了 6，8 和 10答案是唯一的 【例【例 28】甲同学一手握有写着甲同学一手握有写着 23 的纸片的纸片，另一只手握有写着另一只手握有写着 32 的纸片的纸片乙同学请甲回答如下一个问题乙同学请甲回答如下一个问题： “请将左手中的数乘以请将左手中的数乘以 3，右手中的数乘以，右手中的数乘以 2，再将这两个积相加，这个和是奇数还是偶数？，再将这两个积相加，这个和是奇数还是偶数？” 当甲说出和为奇数时当甲说出和为奇数时，乙马上就猜出写有乙马上就猜出写有 23 的纸片握在甲的左手中的纸片握在甲的左手中你能说出是什么道理吗？你能说出是什么道理吗？
42、 【考点】奇偶分析法之生活运用【难度】4 星【题型】解答 【解析】【解析】略 【答案】甲的两张纸片，23 是奇数，32 是偶数因此，只要能判断出甲的左手中握的是奇数，即可知左 手的是 23设甲左手握的数为a，右手握的数为b，乙同学请甲计算所得结果为c，则 32abc 若c为奇数，则3a为奇数，所以左手握的数a是奇数 若c为偶数，则 3a为偶数，所以左手握的数a是偶数因此，从c的奇偶性就可以断定左手握的数a的奇偶性， 从而确定左手握的数是 23 还是 32在本题中，c为奇数，因此合于第(1)种情况，a是奇数，即 左手中握的是 23 【例【例 29】在一次聚会时在一次聚会时，朋友们陆续到来朋友们陆
43、续到来，见面时见面时，有些人互相握手问好有些人互相握手问好主人很高兴主人很高兴，笑着说笑着说：“不论不论 你们怎样握手你们怎样握手， 你们之中你们之中， 握过奇数次手的人必定有偶数个握过奇数次手的人必定有偶数个 ”请你想一想请你想一想， 主人为什么这么说主人为什么这么说， 他有什么理由呢？他有什么理由呢？ 【考点】奇偶分析法之生活运用【难度】3 星【题型】解答 【解析】【解析】略 【答案】 握偶数次手的人：不管奇数个人还是偶数个人总次数偶数次人数偶数 握奇数次手的总次数握手总次数偶数次握手总次数，即偶偶偶，而偶奇数次人数 人数为偶数，由此证明 【巩固】【巩固】【巩固】【巩固】元旦前夕元旦前夕，
44、同学们相互送贺年卡同学们相互送贺年卡每人只要接到对方贺年卡就一定回赠贺年卡每人只要接到对方贺年卡就一定回赠贺年卡，那么送了奇数张那么送了奇数张 贺年卡的人数是奇数，还是偶数？为什么？贺年卡的人数是奇数，还是偶数？为什么？ 【考点】奇偶分析法之生活运用【难度】3 星【题型】解答 【解析】【解析】略 【答案】此题初看似乎缺总人数但解决问题的实质在送贺年卡的张数的奇偶性上，因此与总人数无关 由于是两人互送贺年卡，给每人分别标记送出贺年卡一次那么贺年卡的总张数应能被2整除， 所以贺年卡的总张数应是偶数 送贺年卡的人可以分为两种：一种是送出了偶数张贺年卡的人：他们送出贺年卡总和为偶数另 一种是送出了奇数
45、张贺年卡的人： 他们送出的贺年卡总数所有人送出的贺年卡总数-所有送出了 5-6-1.奇数与偶数的性质与应用.题库教师版page 9 of 13 偶数张贺年卡的人送出的贺年卡总数偶数偶数偶数他们的总人数必须是偶数，才使他们 送出的贺年卡总数为偶数所以，送出奇数张贺年卡的人数一定是偶数 【例【例 30】四个人一道去郊游，他们年龄的和是四个人一道去郊游，他们年龄的和是 97 岁，最小的一人只有岁，最小的一人只有 10 岁，他与年龄最大的人的岁数岁，他与年龄最大的人的岁数 和比另外两人岁数的和大和比另外两人岁数的和大 7 岁问：岁问： 年龄最大的人是多少岁？年龄最大的人是多少岁？ 另外两人的岁数的奇偶
46、性另外两人的岁数的奇偶性 相同吗？相同吗？ 【考点】奇偶分析法之生活运用【难度】3 星【题型】解答 【解析】【解析】先将四个人的岁数暂时分为两组进行分析，如果将 97 岁减去 7 岁，则两组人的岁数和相等（可 以按照和差问题求出大小数） ，然后再求出年龄最大的人的岁数，再说明另外两人的岁数的奇偶 性 另外两人的岁数和是：977245（）（岁）年龄最大的人的岁数：4571042（岁） 因为另外两人的年龄和是 45 岁，是一个奇数，那么他们中一个的岁数是奇数，另一个人的岁 数是偶数，也就是他们的岁数的奇偶性不同 【答案】 （1）42岁， （2）奇偶性不同 【例【例 31】圆桌旁坐着圆桌旁坐着 2k
47、 个人个人，其中有其中有 k 个物理学家和个物理学家和 k 个化学家个化学家，并且其中有些人总说真话并且其中有些人总说真话，有些人则有些人则 总说假话总说假话今知物理学家中说假话的人同化学家中说假话的人一样多今知物理学家中说假话的人同化学家中说假话的人一样多又当问及又当问及：“你的右邻是你的右邻是 什么人什么人”时，大家全部回答：时，大家全部回答：“是化学家是化学家”那么请你证明：那么请你证明：k 为偶数为偶数 【考点】奇偶分析法之生活运用【难度】3 星【题型】解答 【解析】【解析】略 【答案】由题目条件可发现不仅物理学家与化学家总人数相同，其中说真话与说假话的人数也分别相同， 如果有 a 个
48、物理学家说谎，同时也会有 a 个化学家说谎。所以总共有 2a 个人说谎。而最后发现 有 k 个物理学家的身份被说谎的人改变了， 每一个人只能影响有右邻的人， 说明有 k 个说谎的人， 那么 k=2a，则说明 k 是偶数。 【例【例 32】一个图书馆分东西两个阅览室东阅览室里每张桌子上有一个图书馆分东西两个阅览室东阅览室里每张桌子上有 2 盏灯西阅览室里每张桌子上有盏灯西阅览室里每张桌子上有 3 盏灯盏灯 现在知道两个阅览室里的总的桌子数和灯数都是奇数现在知道两个阅览室里的总的桌子数和灯数都是奇数 问问： 哪个阅览室的桌子数是奇数？哪个阅览室的桌子数是奇数？ 【考点】奇偶分析法之生活运用【难度】
49、3 星【题型】解答 【解析】【解析】根据两个阅览室里总的桌子数和灯数都是奇数，想一想可以确定哪个阅览室桌子数、灯数的奇偶 性呢？由于东阅览室里每张桌子上有2盏灯，因此东阅览室的灯的总数一定是偶数由于两个阅 览室里灯的总数是奇数，因此西阅览室的灯的总数一定是奇数又因为西阅览室里每张桌子上有 3盏灯，可知西阅览室的桌子数是奇数由于两个阅览室里的总的桌子数是奇数，因此东阅览室 的桌子数是偶数所以，只有西阅览室的桌子数是奇数 【答案】东阅览室的桌子数是偶数，西阅览室的桌子数是奇数 【例【例 33】四年级一班同学参加学校的数学竞赛四年级一班同学参加学校的数学竞赛，试题共试题共 50 道道，评分标准是评分
50、标准是：答对一道给答对一道给 3 分分，不答给不答给 1 分，答错倒扣分，答错倒扣 1 分请你说明：该班同学的得分总和一定是偶数分请你说明：该班同学的得分总和一定是偶数 【考点】奇偶分析法之生活运用【难度】3 星【题型】解答 【解析】【解析】略 【答案】因为题目中没有说明该班的人数，说明该班人数的多少与总分的奇偶性无关，所以要说明总分是 偶数，只需要说明每人得分必为偶数就可以了对于一名参赛同学来说，如果他全部答对，他的 成绩将是3 50150，是偶数；有一道题未答，则他将丢 2 分，也是偶数；答错一道题，则他将 丢 4 分，还是偶数；所以不论这位同学答的情况如何，他的成绩将是 150 减一个偶
