1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 2018年普通高等学校招生全国统一考试数学试题 理（天津卷） 本试卷分为第 I卷 (选择题 )和第 II卷 (非选择题 )两部分，共 150分，考试用时 120分钟。第 I卷 1至2页，第 II 卷 3至 5 页。 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试条形码。答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 祝各位考生考试顺利！ 第 I卷 注意事项： 1.每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选 涂其他答案标号。 2.本卷共 8小题
2、，每小题 5分，共 40 分。 参考公式 ： 如果事件 A， B互斥，那么 ( ) ( ) ( )P A B P A P B? . 如果事件 A， B相互独立，那么 ( ) ( ) ( )P AB P A P B? . 棱柱的体积公式 V Sh? ， 其中 S 表示棱柱的底面面积 ， h 表示棱柱的高 . 棱 锥 的体积公式 13V Sh? ， 其中 S 表示棱锥的底面面积 ， h 表示棱锥的高 . 一 . 选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 . (1)设全集为 R，集合 0 2A x x? ? ? ， 1B x x?，则 ()?RIAB (A) 0 1xx? (B)
3、0 1xx? (C) 1 2xx? (D) 0 2xx? (2)设变量 x， y满足约束条件5,2 4,1,0,xyxyxyy? ? ? ? ?则目标函数 35z x y?的最大值为 (A) 6 (B) 19 (C) 21 (D) 45 (3)阅读右边的程序框图，运行相应的程序，若输入 N的值为 20，则输出 T的值为 (A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4 =【 ;精品教育资源文库 】 = (4)设 Rx? ， 则 “ 11|22x?”是“ 3 1x? ”的 (A)充分而不必要条件 (B)必要而不重复条件 (C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件 (5)已知 2log e?a ，
4、ln2b? ，12 1log 3c?， 则 a， b， c的大小关系为 (A) abc? (B) bac? (C) c b a? (D) c a b? (6)将函数 sin(2 )5yx?的图象向右平移 10? 个单位长度 ， 所得图象对应的函数 (A)在区间 35 , 44?上单调递增 (B)在区间 3 , 4? 上单调递 减 (C)在区间 53 , 42?上单调递增 (D)在区间 3 ,2 2? ? 上单调递 减 =【 ;精品教育资源文库 】 = (7)已知双曲线 22 1 ( 0 , 0 )xy abab? ? ? ?的离心率为 2，过右焦点且垂直于 x 轴的直线与双曲线交于 A， B两
5、点 . 设 A， B到双曲线同一条渐近线的距离分别为 1d 和 2d ， 且 126dd?， 则双曲线的方程为 (A) 2214 12xy? (B) 22112 4xy? (C) 22139xy? (D) 22193xy? (8)如图，在平面四边形 ABCD 中， AB BC? ， AD CD? ， 120BAD? ? ?， 1AB AD?. 若点 E 为边CD 上的动点，则 ?uuur uurAEBE 的最小值为 (A) 2116 (B) 32 (C) 2516 (D) 3 第 卷 注意事项 ： 1. 用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上。 2. 本卷共 12小题，共 110 分。 二
6、 . 填空题：本大题共 6小题，每小题 5分，共 30分。 (9) i 是虚数单位，复数 6 7i1 2i? ? . (10) 在 51()2x x?的展开式中 ， 2x 的系数为 . (11) 已知正方体 1 1 1 1ABCD A B C D? 的棱长为 1，除面 ABCD 外 ， 该正方体其余各面的中心分别为点 E， F，G， H， M(如图 )，则四棱锥 M EFGH? 的体积为 . =【 ;精品教育资源文库 】 = (12)已知圆 2220x y x? ? ? 的 圆心为 C，直线21,2232? ? ? ?xtyt(t 为参数 )与该圆相交于 A， B两点，则 ABC?的面积为 .
7、 (13)已知 ,Rab? ， 且 3 6 0ab? ? ? ， 则 12 8ab?的最小值为 . (14)已知 0a? ， 函数 222 , 0 ,() 2 2 , 0 .x a x a xfx x a x a x? ? ? ? ? ? ? ?若关于 x 的方程 ()f x ax? 恰有 2 个互异的实数解，则 a 的取值范围是 . 三 .解答题：本大题共 6小题，共 80分 . 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 . （ 15）（本小题满分 13分） 在 ABC? 中 ， 内角 A， B， C所对的边分别为 a， b， c.已知 sin c o s( )6b A a B ?. （ I）
8、求角 B 的大小； （ II）设 a=2， c=3， 求 b和 sin(2 )AB? 的值 . (16)(本小题满分 13分 ) 已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为 24， 16， 16. 现采用分层抽样的方法从中抽取 7人，进行睡眠时间的调查 . （ I）应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人？ （ II）若抽出的 7人中有 4人睡眠不足， 3人睡眠充足，现从这 7人中随机抽取 3人做进一步的身体检查 . （ i）用 X表示抽取的 3人中睡眠不足的员工人数，求随机变量 X的分布列与数学期望； =【 ;精品教育资源文库 】 = （ ii）设 A为事件“抽取的 3人中，既有睡眠充
9、足的员工，也有睡眠不足的员工”，求事件 A发生的概率 . (17)(本小题满分 13分 ) 如图 ， /AD BC 且 AD=2BC ， AD CD? , /EG AD 且 EG=AD ， /CD FG 且 CD=2FG ，DG ABCD? 平 面 ， DA=DC=DG=2. （ I）若 M为 CF的中点， N为 EG 的中点，求证： MN CDE? 平 面 ； （ II） 求二面角 E BC F?的正弦值 ； （ III）若点 P在线段 DG上，且直线 BP与平面 ADGE所成的角为 60，求线段 DP的长 . (18)(本小题满分 13分 ) 设 na 是等比数列 ， 公比大于 0，其前
10、n项和为 ()nS n N? ， nb 是等差数列 . 已知 1 1a? ， 322aa?，4 3 5a b b?， 5 4 62a b b? . （ I）求 na 和 nb 的通项公式 ； （ II）设数列 nS 的前 n项和为 ()?nT n N ， （ i）求 nT ； （ ii）证明 221() 2 2 ( )( 1 ) ( 2 ) 2nn k k kkT b b nNk k n ? ? ? ? ? ? ? . (19)(本小题满分 14分 ) =【 ;精品教育资源文库 】 = 设椭圆 221xxab?(ab0)的左焦点为 F， 上顶点为 B. 已知椭圆的离心率为 53 ， 点 A的坐
11、标为 (,0)b ，且 62FB AB?. （ I）求椭圆的方程； （ II）设直线 l： ( 0)y kx k?与椭圆在第一象限的交点为 P， 且 l与直线 AB交于点 Q. 若52 s in4AQ AO QPQ ?(O 为原点 ) ， 求 k的值 . (20)(本小题满分 14分 ) 已知函数 () xf x a? ， ( ) logag x x? ， 其中 a1. （ I）求函数 ( ) ( ) lnh x f x x a?的单调区间 ； （ II）若曲线 ()y f x? 在点 11( , ( )x f x 处的切线与曲线 ()y gx? 在点 22( , ( )x g x 处的切线平
12、行 ， 证明12 2 ln ln() ln ax g x a? ? ?； （ III）证明当 1eae? 时 ， 存在直线 l， 使 l是曲线 ()y f x? 的切线 ， 也是曲线 ()y gx? 的切线 . 参考答案： 一 、 选择题 ： 本题考查基本知识和基本运算 每小题 5分，满分 40 分 （ 1） B （ 2） C （ 3） B （ 4） A （ 5） D （ 6） A （ 7） C （ 8） A 二、填空题：本题考查基本知识和基本运算每小题 5分，满分 30 分 （ 9） 4 i （ 10） 52 （ 11） 112 （ 12） 12 （ 13） 14 （ 14） (48)， =
13、【 ;精品教育资源文库 】 = 三 、 解答题 （ 15） 本小题主要考查同角三角函数的基本关系，两角差的正弦与余弦公式，二倍角的正弦与余弦公式，以及正弦定理、余弦定理等基础知识，考查运 算求解能力满分 13 分 （）解：在 ABC中，由正弦定理sin sinabAB?，可得 sin sinb A a B? ， 又由 sin cos( )6b A a B?， 得sin cos( )6a B a B?， 即 sin cos( )6BB?， 可得 tan 3B? 又因为 (0 )B? ， ， 可得 B=3 （）解：在 ABC中，由余弦定理及 a=2， c=3， B=3， 有 2 2 2 2 c o
14、 s 7b a c ac B? ? ? ?，故 b= 7 由 sin cos( )6b A a B?， 可得 3sin7A? 因为 a= 3 10| | | 10? ?mnmn， 于是 sin= 1010 所以，二面角 E BC F的正弦值为 1010 （）解：设线段 DP的长为 h（ h 0， 2），则点 P的坐标为（ 0， 0， h），可得 ( 1 2 )BP h? ? ?， ， 易知， DC =（ 0， 2， 0）为平面 ADGE的一个法向量，故 =【 ;精品教育资源文库 】 = 22c o s5B P D CB P D CB P D C h? ? ? ? ?， 由题意，可得22 5h?
15、=sin60= 32，解得 h= 33 0， 2 所以线段 DP 的 长为 33. （ 18）本小题主要考查等差数列的通项公式，等比数列的通项公式及前 n项和公式等基础知识 .考查等差数列求和的基本方法和运算求解能力 .满分 13分 . （ I）解：设等比数列 na 的 公比为 q.由 1 3 21, 2,a a a? ? ?可得 2 20qq? ? ? . 因为 0q? ， 可得 2q? ， 故 12nna ? . 设等差数列 nb 的 公差为 d，由 4 3 5a b b?，可得 1 3 4.bd?由 5 4 62a b b? ， 可得 13 13 16,bd? 从而 1 1, 1,bd?
16、 故 .nbn? 所以数列 na 的 通项公式为 12nna ? ， 数列 nb 的 通项公式为 .nbn? （ II）（ i）由（ I），有 12 2112n nnS ? ? ?， 故 1112 ( 1 2 )( 2 1 ) 2 2 212 nnnk k nnkkT n n n? ? ? ? ? ? ? ? ? . （ ii）证明：因为 1 1 2 12() ( 2 2 2 ) 2 2 2( 1 ) ( 2 ) ( 1 ) ( 2 ) ( 1 ) ( 2 ) 2 1k k k kk k + kT + b b k k k kk k k k k k k k? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
17、? ? ? ? ? ? ? ?， 所以， 3 2 4 3 2 1 221() 2 2 2 2 2 2 2( ) ( ) ( ) 2( 1 ) ( 2 ) 3 2 4 3 2 1 2n n nn k k kkT b bk k n n n? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? . （ 19）本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线方程等基础知识考查用代数方法研究圆锥曲线的性质考查运算求解能力，以及用方程思想解决问题的能力满分 14 分 （） 解：设椭圆的焦距为 2c，由已知知 22 59ca?， 又由 a2=b2+c2，可得 2a=3b由已知可得， FB a? ，2AB b? ， 由 62FB AB?， 可得 ab=6，从而 a=3， b=2 所以，椭圆的方程为 22194xy? =【 ;精品教育资源文库 】 = （ ）解：设点 P的坐标为 （ x1， y1），点 Q的坐标为（ x2，
