1、8.2两条直线的位置关系两条直线的位置关系 考试要求1.能根据斜率判定两条直线平行或垂直.2.能用解方程组的方法求两条直线的交 点坐标.3.探索并掌握平面上两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间 的距离 一、两条直线的平行与垂直 1两条直线平行 (1)对于两条不重合的直线 l1，l2，若其斜率分别为 k1，k2，则有 l1l2k1k2. (2)当直线 l1，l2不重合且斜率都不存在时，l1l2. 2两条直线垂直 (1)如果两条直线 l1，l2的斜率存在，设为 k1，k2，则有 l1l2k1k21. (2)当其中一条直线的斜率不存在，而另一条的斜率为 0 时，l1l2. 二、两
2、条直线的交点坐标 已知两条直线 l1：A1xB1yC10，l2：A2xB2yC20 相交，则交点 P 的坐标是方程组 A1xB1yC10， A2xB2yC20 的解 三、三种距离公式 1两点间的距离公式 (1)条件：点 P1(x1，y1)，P2(x2，y2) (2)结论：P1P2 x2x12y2y12. (3)特例：点 P(x，y)到原点 O(0,0)的距离 OP x2y2. 2点到直线的距离 点 P(x0，y0)到直线 l：AxByC0 的距离 d|Ax 0By0C| A2B2 . 3两条平行直线间的距离 两条平行直线 l1：AxByC10 与 l2：AxByC20 之间的距离 d|C 1C
3、2| A2B2. 微思考 1已知直线 l1：A1xB1yC10，l2：A2xB2yC20(A1，B1不同时为 0；A2，B2不同时 为 0)，则 l1l2的充要条件是什么，l1l2的充要条件是什么？ 提示l1l2A1B2A2B1，且 B1C2B2C1(或 A1C2A2C1)；l1l2A1A2B1B20. 2点 P(x0，y0)关于点 A(a，b)的对称点的坐标是什么？ 提示(2ax0,2by0) 3点 P(x1，y1)，Q(x2，y2)关于直线 ykxb(k0)对称，列出 P，Q 坐标的关系式 提示 y2y1 x2x1k1， y1y2 2 kx1x2 2 b. 题组一思考辨析 1判断下列结论是
4、否正确(请在括号中打“”或“”) (1)当直线 l1和 l2斜率都存在时，一定有 k1k2l1l2.() (2)已知直线 l1：A1xB1yC10，l2：A2xB2yC20(A1，B1，C1，A2，B2，C2为常数)， 若直线 l1l2，则 A1A2B1B20.() (3)点 P(x0，y0)到直线 ykxb 的距离为|kx 0b| 1k2.( ) (4)直线外一点与直线上一点的距离的最小值就是点到直线的距离() 题组二教材改编 2已知 P(2，m)，Q(m,4)，且直线 PQ 垂直于直线 xy10，则 m_. 答案1 解析由题意知 m4 2m1， 所以 m42m， 所以 m1. 3若三条直线
5、 y2x，xy3，mx2y50 相交于同一点，则 m 的值为_ 答案9 解析由 y2x， xy3， 得 x1， y2. 所以点(1,2)满足方程 mx2y50， 即 m12250，所以 m9. 4两平行直线 l1：2x3y80，l2：2x3y100 之间的距离为_ 答案 2 13 13 解析因为 l1l2，所以由两条平行直线间的距离公式得 d|810| 2232 2 13 13 . 题组三易错自纠 5直线 2x(m1)y40 与直线 mx3y20 平行，则 m 等于() A2B3 C2 或3D2 或3 答案C 解析直线 2x(m1)y40 与直线 mx3y20 平行，则有2 m m1 3 4
6、2(m0)，故 m2 或3.故选 C. 6(多选)等腰直角三角形 ABC 的直角顶点为 C(3,3)，若点 A 的坐标为(0,4)，则点 B 的坐标 可能是() A(2,0)B(0,2) C(4,6)D(6,4) 答案AC 解析设 B(x，y)，根据题意可得 kACkBC1， BCAC， 即 34 30 y3 x31， x32y32 032432， 解得 x2， y0 或 x4， y6， 所以 B(2,0)或 B(4,6) 故选 AC. 题型一 两条直线的平行与垂直 1已知两条直线 l1：(a1)x2y10，l2：xay30 平行，则 a 等于() A1B2 C0 或2D1 或 2 答案D 解
7、析方法一直线 l1：(a1)x2y10 的斜率存在 又l1l2，a1 2 1 a， a1 或 a2，又两条直线在 y 轴上的截距不相等 a1 或 a2 时满足两条直线平行 方法二由 A1B2A2B10 得，(a1)a120， 解得 a1 或 a2. 由 A1C2A2C10，得(a1)3110. 所以 a1 或 a2. 2若直线 ax4y20 与直线 2x5yb0 垂直，垂足为(1，c)，则 abc 等于() A2B4C6D8 答案B 解析由已知得 a 4 2 51， a4c20,25cb0， 解得 a10， c2， b12.a bc4. 3经过抛物线 y22x 的焦点且平行于直线 3x2y50
8、 的直线 l 的方程是() A6x4y30B3x2y30 C2x3y20D2x3y10 答案A 解析因为抛物线 y22x 的焦点坐标为 1 2，0，直线 3x2y50 的斜率为3 2，所以所求直 线 l 的方程为 y3 2 x1 2 ，化为一般式，得 6x4y30. 4已知三条直线 2x3y10,4x3y50，mxy10 不能构成三角形，则实数 m 的 取值集合为() A. 4 3， 2 3B. 4 3， 2 3， 4 3 C. 4 3， 2 3D. 4 3， 2 3， 2 3 答案D 解析由题意得直线 mxy10 与 2x3y10,4x3y50 平行，或者直线 mxy1 0 过 2x3y10
9、 与 4x3y50 的交点当直线 mxy10 与 2x3y10,4x3y 50 分别平行时，m2 3或 4 3；当直线 mxy10 过 2x3y10 与 4x3y50 的 交点时，m2 3.所以实数 m 的取值集合为 4 3， 2 3， 2 3 . 思维升华 (1)当含参数的直线方程为一般式时，若要表示出直线的斜率，不仅要考虑到斜率 存在的一般情况，也要考虑到斜率不存在的特殊情况，同时还要注意 x，y 的系数不能同时为 零这一隐含条件 (2)在判断两直线的平行、垂直时，也可直接利用直线方程的系数间的关系得出结论 题型二 两直线的交点与距离问题 1已知直线 ykx2k1 与直线 y1 2x2 的
10、交点位于第一象限，则实数 k 的取值范围是 _ 答案 1 6， 1 2 解析由方程组 ykx2k1， y1 2x2， 解得 x24k 2k1， y6k1 2k1. (若 2k10，即 k1 2，则两直线平行) 交点坐标为 24k 2k1， 6k1 2k1 . 又交点位于第一象限， 24k 2k10， 6k1 2k10， 解得1 6k 1 2. 2求经过直线 l1：3x2y10 和 l2：5x2y10 的交点，且垂直于直线 l3：3x5y6 0 的直线 l 的方程为_ 答案5x3y10 解析先解方程组 3x2y10， 5x2y10， 得 l1，l2的交点坐标为(1,2)， 再由 l3的斜率为3
11、5求出 l 的斜率为 5 3， 于是由直线的点斜式方程求出 l： y25 3(x1)，即 5x3y10. 3(2021广州模拟)已知点 P(4，a)到直线 4x3y10 的距离不大于 3，则 a 的取值范围是 _ 答案0,10 解析由题意得，点 P 到直线的距离为|443a1| 5 |153a| 5 . 又|153a| 5 3，即|153a|15，解得 0a10， 所以 a 的取值范围是0,10 4 若P， Q分别为直线3x4y120与 6x8y50 上任意一点， 则 PQ 的最小值为_ 答案 29 10 解析因为3 6 4 8 12 5 ，所以两直线平行，将直线 3x4y120 化为 6x8
12、y240，由 题意可知 PQ 的最小值为这两条平行直线间的距离， 即|245| 6282 29 10， 所以 PQ 的最小值为 29 10. 思维升华 (1)求过两直线交点的直线方程的方法 先求出两直线的交点坐标，再结合其他条件写出直线方程 (2)利用距离公式应注意：点 P(x0，y0)到直线 xa 的距离 d|x0a|，到直线 yb 的距离 d |y0b|；两平行线间的距离公式要把两直线方程中 x，y 的系数化为相等 题型三 对称问题 命题点 1中心对称 例 1 (1)直线 x2y30 关于定点 M(2,1)对称的直线方程是_ 答案x2y110 解析设所求直线上任一点(x，y)，则关于 M(
13、2,1)的对称点(4x,2y)在已知直线上， 所求直线方程为(4x)2(2y)30，即 x2y110. (2)过点 P(0,1)作直线 l，使它被直线 l1：2xy80 和 l2：x3y100 截得的线段被点 P 平分，则直线 l 的方程为_ 答案x4y40 解析设 l1与 l 的交点为 A(a,82a)，则由题意知，点 A 关于点 P 的对称点 B(a,2a6)在 l2上，代入 l2的方程得a3(2a6)100，解得 a4，即点 A(4,0)在直线 l 上，所以直线 l 的方程为 x4y40. 命题点 2轴对称 例 2 (1)已知入射光线经过点 M(3,4)，被直线 l：xy30 反射，反射
14、光线经过点 N(2,6)， 则反射光线所在直线的方程为_ 答案6xy60 解析设点 M(3,4)关于直线 l：xy30 的对称点为 M(a，b)，则反射光线所在直线过 点 M， 所以 b4 a311， 3a 2 b4 2 30， 解得 a1，b0.又反射光线经过点 N(2,6)， 所以所求直线的方程为y0 60 x1 21，即 6xy60. (2)直线 2xy30 关于直线 xy20 对称的直线方程是_ 答案x2y30 解析设所求直线上任意一点 P(x，y)， 则 P 关于 xy20 的对称点为 P(x0，y0)， 由 xx0 2 yy0 2 20， xx0yy0， 得 x0y2， y0 x2
15、， 点 P(x0，y0)在直线 2xy30 上， 2(y2)(x2)30， 即 x2y30. 思维升华 (1)解决对称问题的思路是利用待定系数法将几何关系转化为代数关系求解 (2)几个常用结论 点(x，y)关于 x 轴的对称点为(x，y)，关于 y 轴的对称点为(x，y) 点(x，y)关于直线 yx 的对称点为(y，x)，关于直线 yx 的对称点为(y，x) 点(x，y)关于直线 xa 的对称点为(2ax，y)，关于直线 yb 的对称点为(x,2by) 跟踪训练 1 (1)(2020宝鸡模拟)光线沿着直线 y3xb 射到直线 xy0 上， 经反射后沿着 直线 yax2 射出，则有() Aa1
16、3，b6 Ba3，b1 6 Ca3，b1 6 Da1 3，b6 答案D 解析由题意，直线 y3xb 与直线 yax2 关于直线 yx 对称， 所以直线 yax2 上的点(0,2)关于直线 yx 的对称点(2,0)在直线 y3xb 上， 所以(3)(2)b0，所以 b6， 所以直线 y3x6 上的点(0，6)关于直线 yx 的对称点(6,0)在直线 yax2 上，所 以 6a20，所以 a1 3. (2)已知直线 l：y3x3，则点 P(4,5)关于 l 的对称点的坐标为_ 答案(2,7) 解析设点 P 关于直线 l 的对称点为 P(x，y)， 则线段 PP的中点 M x4 2 ，y5 2在直线
17、 l 上， 且直线 PP垂直于直线 l， 即 y5 2 3x4 2 3， y5 x431， 解得 x2， y7. 点 P的坐标为(2,7) 题型四 直线系方程的应用 命题点 1平行直线系、垂直直线系 例 3 (1)与直线 3x4y10 平行且过点(1,2)的直线 l 的方程为_ 答案3x4y110 解析由题意，可设所求直线方程为 3x4yc0(c1)， 又因为直线 l 过点(1,2)， 所以 3142c0，解得 c11. 因此，所求直线方程为 3x4y110. (2)经过点 A(2,1)，且与直线 2xy100 垂直的直线 l 的方程为_ 答案x2y0 解析因为所求直线与直线 2xy100 垂
18、直，所以设该直线方程为 x2yc0，又直线 过点 A(2,1)， 所以有 221c0，解得 c0， 即所求直线方程为 x2y0. 命题点 2过两直线交点的直线系 例 4 已知两条直线 l1：x2y40 和 l2：xy20 的交点为 P，求过点 P 且与直线 l3： 3x4y50 垂直的直线 l 的方程 解方法一解 l1与 l2组成的方程组得到交点 P(0,2)， 因为 k33 4， 所以直线 l 的斜率 k 4 3， 方程为 y24 3x，即 4x3y60. 方法二设所求直线 l 的方程为 4x3yc0，由法一可知 P(0，2)，将其代入方程，得 c 6，所以直线 l 的方程为 4x3y60.
19、 方法三设所求直线 l 的方程为 x2y4(xy2)0，即(1)x(2)y420， 因为直线 l 与 l3垂直，所以 3(1)4(2)0，所以11，所以直线 l 的方程为 4x3y 60. 思维升华 几种常见的直线系方程 (1)与直线 AxByC0 平行的直线系方程是 AxBym0(mR 且 mC) (2)与直线 AxByC0 垂直的直线系方程是 BxAyn0(nR) (3)过直线 l1：A1xB1yC10 与 l2：A2xB2yC20 的交点的直线系方程为 A1xB1yC1 (A2xB2yC2)0(R)，但不包括 l2. 跟踪训练 2 求过直线 2x7y40 与 7x21y10 的交点，且和
20、 A(3,1)，B(5,7)等距离 的直线方程 解设所求直线方程为 2x7y4(7x21y1)0， 即(27)x(721)y(4)0， 由点 A(3,1)，B(5,7)到所求直线距离相等，可得 |27372114| 2727212 |27572174| 2727212 ， 整理可得|433|11355|， 解得29 35或 1 3， 所以所求的直线方程为 21x28y130 或 x1. 课时精练课时精练 1如果直线 l1的斜率为 a，l1l2，则直线 l2的斜率为() A.1 a BaC1 a D1 a或不存在 答案D 解析设直线 l1，l2的斜率分别是 k1，k2， 当 a0 时，由 l1l
21、2得 k1k2ak21，k21 a； 当 a0 时，l1与 x 轴平行或重合，则 l2与 y 轴平行或重合， 直线 l2的斜率不存在 故直线 l2的斜率为1 a或不存在 2设 aR，则“a1”是“直线 l1：ax2y10 与直线 l2：x(a1)y40 平行”的 () A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分又不必要条件 答案A 解析若两直线平行，则 a(a1)2，即 a2a20， a1 或2，故 a1 是两直线平行的充分不必要条件 3已知直线 l 过点(0,7)，且与直线 y4x2 平行，则直线 l 的方程为() Ay4x7By4x7 Cy4x7Dy4x7 答案D 解析过点
22、(0,7)且与直线 y4x2 平行的直线方程为 y74x，即直线 l 的方程为 y 4x7，故选 D. 4若直线 mx4y20 与直线 2x5yn0 垂直，垂足为(1，p)，则实数 n 的值为() A12B2C0D10 答案A 解析由 2m200，得 m10. 由垂足(1，p)在直线 mx4y20 上，得 p2， 垂足坐标为(1，2) 又垂足在直线 2x5yn0 上，得 n12. 5(2020河北五校联盟质检)若直线 l1：xay60 与 l2：(a2)x3y2a0 平行，则 l1 与 l2间的距离为() A. 2B.8 2 3 C. 3D.8 3 3 答案B 解析因为 a0 或 a2 时，l
23、1与 l2均不平行，所以 a0 且 a2. 因为 l1l2，所以 1 a2 a 3 6 2a， 解得 a1， 所以 l1：xy60，l2：xy2 30， 所以 l1与 l2之间的距离 d| 62 3| 2 8 2 3 . 6(多选)定义点 P(x0，y0)到直线 l：axbyc0(a2b20)的有向距离为 dax 0by0c a2b2 . 已知点 P1，P2到直线 l 的有向距离分别是 d1，d2.以下命题不正确的是() A若 d1d21，则直线 P1P2与直线 l 平行 B若 d11，d21，则直线 P1P2与直线 l 垂直 C若 d1d20，则直线 P1P2与直线 l 垂直 D若 d1d2
24、0，则直线 P1P2与直线 l 相交 答案BCD 解析设 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，对于 A，若 d1d21， 则 ax1by1cax2by2c a2b2，直线 P1P2与直线 l 平行，正确； 对于 B，点 P1，P2在直线 l 的两侧且到直线 l 的距离相等，P1P2不一定与 l 垂直，错误； 对于 C，若 d1d20，满足 d1d20， 即 ax1by1cax2by2c0， 则点 P1，P2都在直线 l 上，所以此时直线 P1P2与直线 l 重合，错误； 对于 D，若 d1d20， 即(ax1by1c)(ax2by2c)0， 所以点 P1，P2分别位于直线 l 的两侧或在直
25、线 l 上， 所以直线 P1P2与直线 l 相交或重合，错误 7(多选)点 P 在直线 3xy50 上，且点 P 到直线 xy10 的距离为 2，则点 P 的坐 标为() A(1,2)B(2,1) C(2，1)D(2,1) 答案AC 解析设 P(x0，y0)，则 3x0y050， |x0y01| 2 2， 解得 x01， y02 或 x02， y01， 所以点 P 的坐标为(1,2)或(2，1)故选 AC. 8(多选)(2021苏州模拟)已知直线 l1：axy10，l2：xay10，aR，以下结论正 确的是() A不论 a 为何值时，l1与 l2都互相垂直 B当 a 变化时，l1与 l2分别经
26、过定点 A(0,1)和 B(1,0) C不论 a 为何值时，l1与 l2都关于直线 xy0 对称 D如果 l1与 l2交于点 M，则|MO|的最大值是 2 答案ABD 解析对于 A，a1(1)a0 恒成立，l1与 l2互相垂直恒成立，故 A 正确； 对于 B，直线 l1：axy10，当 a 变化时，x0，y1 恒成立， 所以 l1恒过定点 A(0,1)； l2：xay10，当 a 变化时，x1，y0 恒成立， 所以 l2恒过定点 B(1,0)，故 B 正确 对于 C，在 l1上任取点(x，ax1)， 关于直线 xy0 对称的点的坐标为(ax1，x)， 代入 l2：xay10，则左边不等于 0，
27、故 C 不正确； 对于 D，联立 axy10， xay10， 解得 xa1 a21 ， ya1 a21 ， 即 M a1 a21 ，a1 a21 ， 所以 MO a1 a21 2 a1 a21 2 2 a21 2， 所以 MO 的最大值是 2，故 D 正确.故选 ABD. 9直线 3x4y50 关于 x 轴对称的直线方程是_ 答案3x4y50 解析在所求直线上任取一点 P(x，y)，则点 P 关于 x 轴的对称点 P(x，y)在已知直线 3x 4y50 上， 所以 3x4(y)50，即 3x4y50. 10已知点 A(3，4)，B(6,3)到直线 l：axy10 的距离相等，则实数 a 的值为
28、_ 答案1 3或 7 9 解析由点到直线的距离公式得|3a41| a21 |6a31| a21 ， 解得 a1 3或 7 9. 11过两直线 l1：x3y40 和 l2：2xy50 的交点和原点的直线方程为_ 答案3x19y0 解析过两直线交点的直线系方程为 x3y4(2xy5)0，代入原点坐标，求得 4 5，故所求直线方程为 x3y4 4 5(2xy5)0，即 3x19y0. 12设光线 l 从点 A(4， 3)出发，经过 x 轴反射后经过点 B 0， 3 3 ，则光线 l 与 x 轴的交 点为_，若该入射光线 l 经 x 轴发生折射，折射角为入射角的一半，则折射光线所在 直线的纵截距为_
29、答案(1,0) 3 解析点 A(4， 3)关于 x 轴的对称点为 A(4， 3)，则直线 AB：y 3 3 x 3 3 与 x 轴交于点(1,0)，所以光线 l 与 x 轴的交点为(1，0)；由入射角是 60，得折射角是 30， 且光线经过(1,0)，得出折射光线所在直线方程为 y 3x 3，所以纵截距为 3. 13若三条直线 y2x，xy3，mxny50 相交于同一点，则点(m，n)到原点的距离的 最小值为() A. 5B. 6C2 3D2 5 答案A 解析联立 y2x， xy3， 解得 x1，y2. 把(1,2)代入 mxny50 可得，m2n50. m52n. 点(m，n)到原点的距离
30、d m2n2 52n2n2 5n225 5， 当 n2，m1 时取等号 点(m，n)到原点的距离的最小值为 5. 14在平面直角坐标系内，已知 A(1,2)，B(1,5)，C(3，6)，D(7，1)，则平面内任意一点到 点 A 与点 C 的距离之和的最小值为_，平面内到 A，B，C，D 的距离之和最小的点的 坐标是_ 答案2 5(2,4) 解析设平面上任一点 M，因为 MAMCAC2 5，当且仅当 A，M，C 共线，且 M 在 A， C 之间时取等号，同理，MBMDBD，当且仅当 B，M，D 共线，且 M 在 B，D 之间时取 等号，连结 AC，BD 交于一点 M，此时 MAMCMBMD 最小
31、，则点 M 为所求点因为 kAC62 312，所以直线 AC 的方程为 y22(x1)，即 2xy0. 又因为 kBD51 17 1，所以直线 BD 的方程为 y5(x1)，即 xy60. 联立得 2xy0， xy60， 解得 x2， y4， 所以 M(2,4) 15(多选)(2021福州期末)瑞士数学家欧拉(Leonhard Euler)1765 年在其所著的三角形的几 何学一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上，后人称这条直线为欧 拉线已知ABC 的顶点 A(4,0)，B(0,4)，其欧拉线方程为 xy20，则顶点 C 的坐标 可以是() A(2,0)B(0,2)C(2,0
32、)D(0，2) 答案AD 解析设 C(x，y)，AB 的垂直平分线为 yx， ABC 的外心为欧拉线方程 xy20 与直线 yx 的交点 M(1,1)， MCMA 10， (x1)2(y1)210， 由 A(4，0)，B(0，4)，ABC 重心为 x4 3 ，y4 3， 代入欧拉线方程 xy20，得 xy20， 由可得 x2，y0 或 x0，y2.故选 AD. 16已知点 A(4，1)，B(8,2)和直线 l：xy10，动点 P(x，y)在直线 l 上，则 PAPB 的最小值为_ 答案65 解析设点 A1与 A 关于直线 l 对称，P0为 A1B 与直线 l 的交点， P0A1P0A，PA1PA. PA1PBA1BA1P0P0BP0AP0B， PAPBP0AP0BA1B. 当 P 点运动到 P0时，PAPB 取得最小值 A1B. 设点 A 关于直线 l 的对称点为 A1(x1， y1)， 则由对称的充要条件知， y11 x1411， x14 2 y11 2 10， 解得 x10， y13， A1(0,3) (PAPB)minA1B 8212 65.
