1、8.6双曲线双曲线 考试要求1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，以及它们的简单几何性质.2.通过圆 锥曲线与方程的学习，进一步体会数形结合的思想 1双曲线的定义 (1)定义： 平面内到两个定点 F1， F2的距离的差的绝对值等于常数(小于 F1F2的正数)的点的轨迹 (2)符号表示：|MF1MF2|2a(常数)(02a0，b0) y2 a2 x2 b21(a0，b0) 图形 性质 焦点F1(c,0)，F2(c,0)F1(0，c)，F2(0，c) 焦距F1F22c 范围xa 或 xa，yRya 或 ya，xR 对称性对称轴：坐标轴；对称中心：原点 顶点A1(a,0)，A2(a,0)A1(0
2、，a)，A2(0，a) 轴 实轴：线段 A1A2，长：2a；虚轴：线段 B1B2，长：2b， 实半轴长：a，虚半轴长：b 离心率ec a(1，) 渐近线yb ax ya bx a，b，c 的关系c2a2b2(ca0，cb0) 3.等轴双曲线 实轴与虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线，其方程为 x2y2(0)，离心率 e 2，渐近 线方程为 yx. 4双曲线的第二定义 平面内动点 P 到定点 F 的距离和它到定直线 l(点 F 不在直线 l 上)的距离的比是常数 e(e1) 的点的轨迹是双曲线 定点F是焦点， 定直线l是准线， 常数e是离心率 双曲线x 2 a2 y2 b21(a0， b0)的准线方
3、程为 xa 2 c ，双曲线y 2 a2 x2 b21(a0，b0)的准线方程为 y a2 c . 微思考 1平面内与两定点 F1，F2的距离之差的绝对值等于常数 2a 的动点的轨迹一定为双曲线吗？ 为什么？ 提示不一定当 2aF1F2时，动点的轨迹是两条射线； 当 2aF1F2时，动点的轨迹不存在； 当 2a0 时，动点的轨迹是线段 F1F2的中垂线 2已知双曲线方程为x 2 a2 y2 b21(a0，b0)，如何求其他具有共同渐近线的双曲线方程？ 提示可设方程为x 2 a2 y2 b2(0) 题组一思考辨析 1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)方程x 2 m y2 n
4、1(mn0)表示焦点在 x 轴上的双曲线() (2)双曲线x 2 m2 y2 n2(m0，n0，0)的渐近线方程是 x m y n0.( ) (3)等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于 2.() (4)若双曲线x 2 a2 y2 b21(a0，b0)与 x2 b2 y2 a21(a0，b0)的离心率分别是 e 1，e2，则 1 e21 1 e22 1.() 题组二教材改编 2若双曲线x 2 a2 y2 b21(a0，b0)的焦点到其渐近线的距离等于实轴长，则该双曲线的离心率 为() A. 5B5 C. 2D2 答案A 解析由题意知焦点到其渐近线的距离等于实轴长， 双曲线的渐近线方程为x a
5、y b0， 即 bxay 0， 2a bc a2b2b.又 a 2b2c2，5a2c2. e2c 2 a25，e 5. 3(2020阜阳模拟)已知双曲线x 2 a2 y2 b21 (a0，b0)的一条渐近线经过点(2， 6)，则该双 曲线的离心率为() A2B. 2C3D. 3 答案A 解析双曲线x 2 a2 y2 b21 (a0，b0)的一条渐近线为 yb ax 过第一象限，所以点 (2， 6)在渐 近线 yb ax 上，可得 6 2 b a，所以 b a 3， 所以 ec a a2b2 a2 1 b a 2 132. 4经过点 A(4,1)，且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线方程为_ 答案
6、x2 15 y2 151 解析设双曲线的方程为x 2 a2 y2 a21(a0)， 把点 A(4,1)代入，得 a215(舍负)，故所求方程为x 2 15 y2 151. 题组三易错自纠 5(多选)(2020辽宁六校协作体月考)若方程 x2 3t y2 t11 所表示的曲线为 C，则下面四个命 题中错误的是() A若 C 为椭圆，则 1t3 或 t1 C曲线 C 可能是圆D若 C 为椭圆，且长轴在 y 轴上，则 1t3，则方程可变形为 y2 t1 x2 t31，它表示焦点在 y 轴上的双曲线；若 t1，则方 程可变形为 x2 3t y2 1t1，它表示焦点在 x 轴上的双曲线； 若 2t3，则
7、 03tt1，故方程 x2 3t y2 t11 表示焦点在 y 轴上的椭圆；若 1t2，则 0t 13t，故方程 x2 3t y2 t11 表示焦点在 x 轴上的椭圆； 若 t2，则方程 x2 3t y2 t11 即为 x 2y21，它表示圆，综上，选 AD. 6 (2021哈尔滨师范大学青冈实验中学模拟)双曲线x 2 9 y 2 161 上一点 P 到焦点 F 1(5,0)的距 离为 7，则点 P 到焦点 F2(5,0)的距离为_ 答案13 解析在双曲线x 2 9 y 2 161 中，a3，由题意得 PF 17， 由双曲线的定义可得|PF1PF2|2a6， 即|7PF2|6， 解得 PF21
8、3 或 PF21， 又 PF2ca2， 所以 PF213. 题型一 双曲线的定义及应用 例 1 (1)(2020滨州质检) x2y32 x2y324 表示的曲线方程为() A.x 2 4 y 2 5 1(x2)B.x 2 4 y 2 5 1(x2) C.y 2 4 x 2 5 1(y2)D.y 2 4 x 2 5 1(y2) 答案C 解析x2y32的几何意义为点 M(x，y)到点 F1(0,3)的距离， x2y32的几何意义为 点 M(x， y)到点 F2(0， 3)的距离， 则 x2y32 x2y324 表示点 M(x， y)到点 F1(0,3) 的距离与到点 F2(0，3)的距离的差为 4
9、，且 40 时，2m4，m2； 当 mb0)的右顶点作 x 轴的垂线，与 C 的一条渐近线相交于点 A.若 以 C 的右焦点 F 为圆心、半径为 4 的圆经过 A，O 两点(O 为坐标原点)，则双曲线 C 的标准 方程为() A.x 2 4 y 2 121 B.x 2 7 y 2 9 1 C.x 2 8 y 2 8 1D.x 2 12 y2 4 1 答案A 解析因为渐近线 yb ax 与直线 xa 交于点 A(a，b)，c4 且 4a 2b24，解得 a24， b212，因此双曲线的标准方程为x 2 4 y 2 121. 3已知双曲线 E 与双曲线x 2 4 y 2 9 1 共渐近线且经过点
10、P(2,3 5)，则双曲线 E 的标准方程为 _，顶点坐标为_ 答案 y2 36 x2 161 (0,6)，(0，6) 解析根据题意， 设所求双曲线的方程为x 2 4 y 2 9 (0)， 又由双曲线经过点 P(2,3 5)， 得4 4 45 9 ，即4，所以双曲线的方程为x 2 4 y 2 9 4，其标准方程为y 2 36 x2 161，顶点坐标为 (0,6)，(0，6) 4已知双曲线x 2 a2 y2 b21(a0，b0)的左、右焦点分别为 F 1，F2，点 P(2， 3)在双曲线上， 且 PF1，F1F2，PF2成等差数列，则该双曲线的标准方程为_ 答案x2y21 解析PF1，F1F2，
11、PF2成等差数列， PF1PF24c. 点 P 位于第一象限，PF1PF22a， PF12ca，PF22ca， cos PF2F14c 22ca22ca2 4c2ca c2a 2ca，又点 P(2， 3)在双曲线上， sin PF2F1 3 2ca， c2a 2ca 2 3 2ca21，化简得(c2a) 23(2ca)2，即 c2a2 b21，又 4 a2 3 b21，a 21，双曲线的标准方程为 x2y21. 思维升华 求双曲线的标准方程的方法 (1)定义法：由题目条件判断出动点轨迹是双曲线，由双曲线定义，确定 2a,2b 或 2c，从而求 出 a2，b2，写出双曲线方程 (2)待定系数法：
12、先确定焦点在 x 轴上还是 y 轴上，设出标准方程，再由条件确定 a2，b2的值， 即“先定型，再定量”，如果焦点位置不好确定，可将双曲线方程设为x 2 m2 y2 n2(0)，再 根据条件求的值 题型三 双曲线的几何性质 命题点 1渐近线和离心率 例 2 (1)(2021广州模拟)设 F1，F2是双曲线 C：x 2 a2 y2 b21(a0，b0)的左、右焦点，P 是双曲 线 C 右支上一点，若 PF1PF24a，且F1PF260，则双曲线 C 的渐近线方程是() A. 3xy0B2x 7y0 C. 3x2y0D2x 3y0 答案C 解析F1，F2是双曲线的左、右焦点，点 P 在双曲线右支上
13、，由双曲线的定义可得 PF1 PF22a，又知 PF1PF24a，PF13a，PF2a.在PF1F2中，由余弦定理的推论可得 cos 60PF 2 1PF22F1F22 2PF1PF2 ，即1 2 3a2a24c2 23aa ，3a210a24c2，即 4c27a2，又知 b2 a2c2，b 2 a2 3 4，双曲线 C 的渐近线方程为 y 3 2 x，即3x2y0，故选 C. (2)(2019江苏)在平面直角坐标系 xOy 中，若双曲线 x2y 2 b21(b0)经过点(3,4)，则该双曲线 的渐近线方程是_ 答案y 2x 解析因为双曲线 x2y 2 b21(b0)经过点(3,4)， 所以
14、916 b21，得 b 2， 所以该双曲线的渐近线方程是 y 2x. (3)设双曲线 C：x 2 a2 y2 b21(ab0)的两条渐近线的夹角为，且 cos 1 3，则 C 的离心率为 _ 答案 6 2 解析ab0，渐近线 yb ax 的斜率小于 1， 两条渐近线的夹角为，cos 1 3. cos2 2 2 3，sin 2 2 1 3，tan 2 2 1 2， b 2 a2 1 2， c2a2 a2 1 2，e 23 2，e 6 2 . 命题点 2双曲线的几何性质的综合应用 例 3 (1)(2020长沙雅礼中学模拟)已知双曲线x 2 a2 y2 b21(a0， b0)的左、 右焦点分别为 F
15、 1， F2， 在双曲线上存在点 P 满足 2|PF1 PF2 |F1F2 |，则此双曲线的离心率 e 的取值范围是( ) A(1,2B2，) C(1， 2D 2，) 答案B 解析当 P 不是双曲线与 x 轴的交点时，连结 OP，因为 OP 为PF1F2的边 F1F2上的中线， 所以PO 1 2(PF 1 PF2 )；当 P 是双曲线与 x 轴的交点时，同样满足上述等式因为双曲线上 存在点 P 满足 2|PF1 PF2 |F1F2 |，所以 4|PO|2c，由|PO|a，可知 4a2c，则 e2，选 B. (2)(2021潍坊模拟)已知 F1，F2是双曲线x 2 a2 y2 b21(a0，b0
16、)的左、右焦点，过 F 1的直线 l 与双曲线的左支交于点 A， 与右支交于点 B， 若 AF12a， F1AF22 3 ， 则 1 2 2 AF F ABF S S 等于() A1B.1 2 C.1 3 D.2 3 答案B 解析如图所示，由双曲线定义可知 AF2AF12a. 又 AF12a，所以 AF24a，因为F1AF22 3， 所以 1 2 AF F S1 2AF 1AF2sin F1AF21 22a4a 3 2 2 3a2. 由双曲线定义可知 BF1BF22a， 所以 BF12aBF2，又知 BF12aBA， 所以 BABF2，又F1AF22 3， 所以BAF2为等边三角形，边长为 4
17、a， 所以 2 ABF S 3 4 AB2 3 4 (4a)24 3a2， 所以 1 2 2 AF F ABF S S 2 3a 2 4 3a2 1 2.故选 B. 思维升华 (1)求双曲线的渐近线或离心率的方法 求出 a，b，c 直接求离心率，写渐近线方程 列出 a，b，c 的各次方程(或不等式)，然后解方程或不等式 (2)双曲线性质的综合应用要充分注意与平面几何知识的联系，善于发现条件中的相等或不等 关系 跟踪训练 2 (1)已知抛物线 y24x 的焦点为 F，准线为 l.若 l 与双曲线x 2 a2 y2 b21(a0，b0)的 两条渐近线分别交于点 A 和点 B，且 AB4OF(O 为
18、原点)，则双曲线的离心率为() A. 2B. 3C2D. 5 答案D 解析由题意，可得 F(1,0)，直线 l 的方程为 x1，双曲线的渐近线方程为 yb ax. 将 x1 代入 yb ax，得 y b a， 所以点 A，B 的纵坐标的绝对值均为b a. 由 AB4OF 可得2b a 4，即 b2a，b24a2， 故双曲线的离心率 ec a a2b2 a2 5. (2)设双曲线x 2 9 y 2 161 的右顶点为 A，右焦点为 F.过点 F 且平行于双曲线的一条渐近线的直 线与双曲线交于点 B，则AFB 的面积为_ 答案 32 15 解析a29，b216，故 c5. A(3,0)，F(5,0
19、)，不妨设直线 BF 的方程为 y4 3(x5)， 代入双曲线方程解得 B 17 5 ，32 15 . SAFB1 2AF|y B|1 22 32 15 32 15. 课时精练课时精练 1已知双曲线x 2 m y2 m61(m0)的虚轴长是实轴长的 2 倍，则双曲线的标准方程为( ) A.x 2 2 y 2 4 1B.x 2 4 y 2 8 1 Cx2y 2 8 1D.x 2 2 y 2 8 1 答案D 解析由题意，得 2 m m6，解得 m2，所以双曲线的标准方程为x 2 2 y 2 8 1. 2已知方程 x2 m2n y2 3m2n1 表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为 4，则 n 的
20、取值 范围是() A(1,3)B(1， 3) C(0,3)D(0， 3) 答案A 解析方程 x2 m2n y2 3m2n1 表示双曲线， (m2n)(3m2n)0，解得m2n3m2，由双曲线性质，知 c2(m2n)(3m2n)4m2(其 中 c 是半焦距)， 焦距 2c22|m|4，解得|m|1， 1n0，b0)，过抛物线 y 24x 的焦点和点(0，b) 的直线为 l.若 C 的一条渐近线与 l 平行，另一条渐近线与 l 垂直，则双曲线 C 的方程为() A.x 2 4 y 2 4 1Bx2y 2 4 1C.x 2 4 y21Dx2y21 答案D 解析由题意知，抛物线的焦点坐标为(1,0)，
21、 直线 l 的斜率 klb0 01b b a，解得 a1. 又b a(b)1，ba1， 双曲线 C 的方程为 x2y21. 4 已知 F1， F2为双曲线 C： x2y22 的左、 右焦点， 点 P 在 C 上， PF12PF2， 则 cos F1PF2 等于() A.1 4 B.3 5 C.3 4 D.4 5 答案C 解析由 x2y22， 知 ab 2， c2.由双曲线定义知， PF1PF22a2 2， 又 PF12PF2， PF14 2，PF22 2， 在PF1F2中，F1F22c4，由余弦定理，得 cos F1PF2PF 2 1PF22F1F22 2PF1PF2 3 4. 5(2019全
22、国)已知 F 是双曲线 C： x2 4 y 2 5 1 的一个焦点，点 P 在 C 上，O 为坐标原点若 OPOF，则OPF 的面积为() A.3 2 B.5 2 C.7 2 D.9 2 答案B 解析由 F 是双曲线x 2 4 y 2 5 1 的一个焦点， 知 OF3，所以 OPOF3. 不妨设点 P 在第一象限，P(x0，y0)，x00，y00， 则 x20y203， x20 4 y 2 0 5 1， 解得 x2056 9 ， y2025 9 ， 所以 P 2 14 3 ，5 3 ， 所以 SOPF1 2OFy 01 23 5 3 5 2. 6(2020山南模拟)已知 A，B，C 是双曲线x
23、 2 a2 y2 b21(a0，b0)上的三个点，AB 经过原点 O， AC 经过右焦点 F，若 BFAC 且 2AFCF，则该双曲线的离心率是() A.5 3 B. 17 3 C. 17 2 D.9 4 答案B 解析设左焦点为 F，AFm，连结 AF，CF，BF， 则 FC2m，AF2am，CF2a2m，FF2c. 因为 BFAC，且 AB 经过原点 O， 所以四边形 FAFB 为矩形 在 RtAFC 中，AF2AC2FC2， 代入得(2am)2(3m)2(2a2m)2， 化简得 m2a 3 ， 所以在 RtAFF 中，AF2AF2FF2， 代入得 2a2a 3 2 2a 3 2(2c)2，
24、 化简得c 2 a2 17 9 ，即 e 17 3 . 7(多选)(2020新高考全国)已知曲线 C：mx2ny21.() A若 mn0，则 C 是椭圆，其焦点在 y 轴上 B若 mn0，则 C 是圆，其半径为 n C若 mn0，则 C 是两条直线 答案ACD 解析对于 A，当 mn0 时，有1 n 1 m0，方程化为 x2 1 m y 2 1 n 1，表示焦点在 y 轴上的椭圆，故 A 正确 对于 B，当 mn0 时，方程化为 x2y21 n，表示半径为 1 n的圆，故 B 错误 对于 C，当 m0，n0 时，方程化为x 2 1 m y2 1 n 1，表示焦点在 x 轴上的双曲线，其中 a
25、1 m， b1 n，渐近线方程为 y m nx；当 m0 时，方程化为 y2 1 n x2 1 m 1，表示焦点 在 y 轴上的双曲线，其中 a 1 n，b 1 m，渐近线方程为 y m nx，故 C 正确 对于 D，当 m0，n0 时，方程化为 y 1 n，表示两条平行于 x 轴的直线，故 D 正确 8(多选)已知 F1，F2分别是双曲线 C：y2x21 的上、下焦点，点 P 是其一条渐近线上一 点，且以线段 F1F2为直径的圆经过点 P，则() A双曲线 C 的渐近线方程为 yx B以 F1F2为直径的圆的方程为 x2y21 C点 P 的横坐标为1 DPF1F2的面积为 2 答案ACD 解
26、析等轴双曲线 C：y2x21 的渐近线方程为 yx，故 A 正确； 由双曲线的方程可知 F1F22 2， 所以以 F1F2为直径的圆的方程为 x2y22，故 B 错误； 点 P(x0，y0)在圆 x2y22 上， 不妨设点 P(x0，y0)在直线 yx 上， 所以由 x20y202， y0 x0， 解得|x0|1， 则点 P 的横坐标为1，故 C 正确； 由上述分析可得PF1F2的面积为1 22 21 2，故 D 正确 故选 ACD. 9(2020北京)已知双曲线 C：x 2 6 y 2 3 1，则 C 的右焦点的坐标为_；C 的焦点到其 渐近线的距离是_ 答案(3,0)3 解析由x 2 6
27、y 2 3 1，得 c2a2b29， 解得 c3，焦点在 x 轴上， 所以双曲线 C 的右焦点坐标为(3,0) 双曲线的一条渐近线方程为 y 3 6x， 即 x 2y0， 所以焦点(3,0)到渐近线的距离为 d 3 1 22 3. 10(2020焦作模拟)已知左、右焦点分别为 F1，F2的双曲线 C：x 2 a2 y2 b21(a0，b0)的一条 渐近线与直线 l：x2y0 互相垂直，点 P 在双曲线 C 上，且 PF1PF23，则双曲线 C 的 焦距为_ 答案3 5 解析双曲线 C：x 2 a2 y2 b21(a0，b0)的渐近线为 y b ax， 一条渐近线与直线 l：x2y0 相互垂直，
28、可得b a2， 即 b2a，由双曲线的定义可得 2aPF1PF23， 可得 a3 2，b3，即有 c a 2b2 9 49 3 5 2 ， 即焦距为 2c3 5. 11.如图，F1和 F2分别是双曲线x 2 a2 y2 b21(a0，b0)的两个焦点，A 和 B 是以 O 为圆心，以 OF1为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且F2AB 是等边三角形，则双曲线的离心率为 _ 答案31 解析设 F1F22c，连结 AF1(图略)， F2AB 是等边三角形，且 F1F2是O 的直径， AF2F130，F1AF290， AF1c，AF2 3c,2a 3cc， ec a 2 31 31. 12(202
29、0广安邻水实验中学模拟)已知双曲线 C：x 2 a2 y2 b21 (a0，b0)的左、右焦点分别为 F1，F2，O 为原点，若以 F1F2为直径的圆与 C 的渐近线的一个交点为 P，且 F1P 3OP，则 C 的渐近线方程为_ 答案y 3x 解析根据双曲线 C：x 2 a2 y2 b21 (a0，b0)的左、右焦点为 F1，F2，O 为原点，以 F1F2为直 径的圆与 C 的渐近线的一个交点为 P，如图所示， 则 F1OOPc，F1P 3OP 3c， 所以在POF1中，由余弦定理可得 cosPOF1OP 2OF12PF12 2OPOF1 c 2c2( 3c)2 2cc 1 2. 所以POF1
30、2 3 ，则POF2 3， 所以 tanPOF2tan 3 3，则渐近线方程为 y 3x. 13(多选)(2020百师联盟模拟)双曲线 C： x2 a2 y2 b21(a0，b0)的焦点在圆 O：x 2y213 上， 圆 O 与双曲线 C 的渐近线在第一、二象限分别交于点 M，N，点 E(0，a)满足EO EM EN 0(其中 O 为坐标原点)，则() A双曲线 C 的一条渐近线方程为 3x2y0 B双曲线 C 的离心率为 13 2 C|OE |1 DOMN 的面积为 6 答案ABD 解析如图， 设双曲线 C 的焦距为 2c2 13， MN 与 y 轴交于点 P， 由题意可知 OMc 13，
31、则 P(0， b)， 由EO EM EN 0 得点 E 为OMN 的重心， 可得 OE2 3OP， 即 a 2 3b， b2 a2 c2a2 a2 9 4， 所以 a2，b3，e 13 2 . 双曲线 C 的渐近线方程为 3x2y0，|OE |2，M 的坐标为(2,3)，SOMN6， 故选 ABD. 14.(2021临川一中模拟)已知双曲线x 2 a2 y2 b21(a0，b0)中，A 1，A2是左、右顶点，F 是右焦 点， B 是虚轴的上顶点 若在线段 BF 上(不含端点)存在不同的两点 Pi(i1,2)，使得PiA1 P iA2 0，则双曲线离心率的取值范围是_ 答案 2， 51 2 解析
32、设 c 为半焦距，则 F(c,0)，又 B(0，b)， 所以 BF：bxcybc0， 以 A1A2为直径的圆的方程为O：x2y2a2， 因为PiA1 P iA2 0，i1,2， 所以O 与线段 BF 有两个交点(不含端点)， 所以 bc b2c2a， 即 c43a2c2a42a2， 故 e43e212， 解得 2e0)个单位长度， 得到离心率为 e2的双曲线 C2，则() A对任意的 a，b，e1e2 B当 ab 时，e1e2；当 ab 时，e1e2 C对任意的 a，b，e1b 时，e1e2；当 ae2 答案D 解析依题意，e1 a2b2 a 1 b a 2， e2 am2bm2 am 1 b
33、m am 2. 因为b a bm am abbmabam aam mba aam， 由于 m0，a0，b0， 所以当 ab 时，0b a1,0 bm am1， b a bm am， b a 2 bm am 2，所以 e1e2； 当 a1， bm am1， b a bm am， 所以 b a 2 bm am 2，所以 e1e2. 所以当 ab 时，e1e2；当 ae2. 16(2020长沙雅礼中学模拟)已知 F 是双曲线 C：x2y 2 8 1 的右焦点，P 是 C 左支上一点， A(0,6 6)，当APF 的周长最小时，点 P 的坐标为_ 答案(2,2 6) 解析如图，令 E 为双曲线的左焦点， 由双曲线 C 的方程可知 a21，b28， c2a2b2189， c3， 左焦点 E(3,0)， 右焦点 F(3,0)， AF 326 6215， 当APF 的周长最小时，PAPF 最小 由双曲线的性质得 PFPE2a2， PFPE2， 又 PEPAAEAF15，当且仅当 A，P，E 三点共线且点 P 在线段 AE 上时，等号成立， APF 的周长为 AFAPPF15PEAP21515232. 直线 AE 的方程为 y2 6x6 6， 将其代入到双曲线方程得 x29x140， 解得 x7(舍) 或 x2， 由 x2，得 y2 6(负值已舍)， 点 P 的坐标为(2,2 6)
