1、大一轮复习讲义 第七章立体几何与空间向量 强化训练8空间位置关系中的综合问题 1.(2021保山模拟)下列叙述错误的是 A.若P，且l，则Pl B.若直线abA，则直线a与b能确定一个平面 C.三点A，B，C确定一个平面 D.若Al，Bl且A，B则l 12345678910 11 12 13 14 15 16 基础保分练 解析选项A，点P是两平面的公共点，当然在交线上，故正确； 选项B，由公理的推论可知，两相交直线确定一个平面，故正确； 选项C，只有不共线的三点才能确定一个平面，故错误； 选项D，由公理1得，直线上有两点在一个平面内，则整条直线都在平面内. 2.(2020资中模拟)若l1，l2
2、为异面直线，直线l3与l2平行，则l1与l3的位置关 系是 A.相交 B.异面 C.平行 D.异面或相交 12345678910 11 12 13 14 15 16 解析将直线l1，l2，l3放在正方体中，作为正方体的棱，可知D选项正确. 3.(2021潍坊模拟)已知a，b为不同的直线，为不同的平面，则下列 结论正确的是 A.若a，ba，则b B.若a，b，a，b，则 C.若a，b，ab，则 D.若b，a，ab，则 12345678910 11 12 13 14 15 16 解析A选项，若a，ba，则b或b，A错； B选项，若a，b，a，b，当ab时，与可能相交，故B错； C选项，若ab，b，
3、根据线面垂直的性质， 可得a，又a，根据面面垂直的判定定理， 可得，故C正确； D选项，若b，a，ab，垂直于交线，并不能推出垂直于另一 平面， 因此不能得出a，即不能推出，故D错. 12345678910 11 12 13 14 15 16 BDE为正三角形，所以BDE60， 所以异面直线BD与AC所成的角为60. 4.(2020合肥模拟)如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中， D为A1B1的中点，ABBC2BB12，AC ，则 异面直线BD与AC所成的角为 12345678910 11 12 13 14 15 16 A.30 B.45 C.60 D.90 解析如图，取B1C1的中点E，连结
4、BE，DE，则ACA1C1DE， 所以BDE即为异面直线BD与AC所成的角或其补角， 5.(多选)如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，下面结论正确的是 A.BD平面CB1D1 B.AC1BD C.平面ACC1A1CB1D1 D.异面直线AD与CB1所成的角为60 12345678910 11 12 13 14 15 16 解析对于A，ABCDA1B1C1D1为正方体， BDB1D1，由线面平行的判定可得BD平面CB1D1， A正确； 对于B，连结AC， ABCDA1B1C1D1为正方体， BDAC，且CC1BD，由线面垂直的判定可得BD平面ACC1， BDAC1，B正确； 1234567
5、8910 11 12 13 14 15 16 12345678910 11 12 13 14 15 16 对于C，由上可知BD平面ACC1， 又BDB1D1，B1D1平面ACC1， 则平面ACC1A1CB1D1，C正确； 对于D，异面直线AD与CB1所成的角即为直线BC与CB1所成的角为45， D错误 故选ABC. 6.(多选)如图，棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，P为线段A1B上的 动点，则下列结论正确的是 A.平面D1A1P平面A1AP B.APD1的取值范围是 C.三棱锥B1D1PC的体积为定值 D.DC1D1P 12345678910 11 12 13 14 15 16 1
6、2345678910 11 12 13 14 15 16 解析在A中，因为A1D1平面A1AP， A1D1平面D1A1P， 所以平面D1A1P平面A1AP，故A正确； 在C中，因为B1D1C的面积是定值， A1B平面B1D1C， 所以点P到平面B1D1C的距离是定值， 所以三棱锥B1D1PC的体积为定值，故C正确； 在D中，因为DC1D1C，DC1BC，D1CBCC， D1C，BC平面BCD1A1， 所以DC1平面BCD1A1，又D1P平面BCD1A1， 所以DC1D1P，故D正确. 12345678910 11 12 13 14 15 16 7.如图所示，在三棱锥ABCD中，截面EFG平行于
7、底面，且AEAB 13，已知BCD的周长是18，则EFG的周长为_. 12345678910 11 12 13 14 15 16 6 解析由已知得EFBD，EGBC，FGDC， EFGBDC， 8.(2020天津模拟)如图，在三棱锥SABC中，SA底面ABC，底面ABC 为边长为1的等边三角形，SAAB，则A与平面SBC的距离为_. 12345678910 11 12 13 14 15 16 解析因为SA底面ABC，所以SAAB， 12345678910 11 12 13 14 15 16 因为ABC为边长为1的等边三角形， 设A与平面SBC的距离为h， 9.(2020湛江模拟)在棱长为4的正
8、方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是 BC和C1D1的中点，经过点A，E，F的平面把正方体ABCDA1B1C1D1截 成两部分，则截面与平面BCC1B1的交线段的长为_. 12345678910 11 12 13 14 15 16 解析如图，过点F作FHAE交A1D1于H， 易知D1H1，所以点H为A1D1的四等分点， 连结AH，过点E作EPAH交CC1于点P， 10.(2021海淀模拟)已知正四面体ABCD的棱长为2，点E是AD的中点， 点F在线段BC上，则下面四个命题中： FBC，EFAC； FBC，EF ； FBC，EF与AD不垂直； FBC，直线EF与平面BCD夹角正弦的最大值
9、为 . 所有不正确的命题序号为_. 12345678910 11 12 13 14 15 16 解析如图， 对FBC，EF与AC异面或相交，故错误； 12345678910 11 12 13 14 15 16 当点F为BC的中点时，EF为异面直线AD和BC的公 垂线段， 此时EF取得最小值， 当F与B，C重合时，EF取得最大值 ，故正确； 因为ADBE，ADCE，BECEE， 所以AD平面BEC，故ADEF，故错误； 因为E到平面BCD的距离为定值d， 12345678910 11 12 13 14 15 16 当F为BC的中点时，易知EF为异面直线AD和BC的 公垂线段， 由RtEFD可知，
10、EFDEDFd， 11.(2021长春模拟)如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为梯形， ABDC，BAD90，点E为PB的中点，且CD2AD2AB4，点F 在CD上，且DF FC. 12345678910 11 12 13 14 15 16 (1)求证：EF平面PAD； 又因为ABDC，所以EMDF， 所以四边形EMDF为平行四边形， 所以EFDM， 又DM平面PAD，EF 平面PAD， 所以EF平面PAD. 证明如图所示，取PA的中点M，连结DM，EM， 12345678910 11 12 13 14 15 16 因为点E为PB的中点，且CD2AD2AB4， (2)若平面PAD平面AB
11、CD，PAPD且PAPD，求三棱锥PCEF的体积. 12345678910 11 12 13 14 15 16 因为平面PAD平面ABCD，且平面PAD平面ABCD AD，PAPD，取AD的中点N，连结PN， 则PN平面ABCD， 12.如图，在三棱锥ABCD中，ABBDADAC2，BCD是以BD 为斜边的等腰直角三角形，P为AB的中点，E为BD的中点. 12345678910 11 12 13 14 15 16 (1)求证：AE平面BCD； 如图，连结CE， 证明由题图可知，ABD是边长为2的等边三角形， 12345678910 11 12 13 14 15 16 AC2AE2EC2，AEE
12、C. BDECE，BD平面BCD，EC平面BCD， AE平面BCD. (2)求直线PD与平面ACD所成角的正弦值. 12345678910 11 12 13 14 15 16 解方法一取CD的中点F，连结AF，EF， ACAD，CDAF. 由(1)可知，AECD， AEAFA，AE平面AEF，AF平面AEF， CD平面AEF， 又CD平面ACD，平面AEF平面ACD. 设PD，AE相交于点G，则点G为ABD的重心， 12345678910 11 12 13 14 15 16 过点G作GHAF于H，则GH平面ACD， 连结DH，则GDH为直线PD与平面ACD所成的角. 12345678910 1
13、1 12 13 14 15 16 方法二由(1)可知AE平面BCD，且CEBD， 可作如图所示的空间直角坐标系Exyz， 12345678910 11 12 13 14 15 16 设平面ACD的一个法向量为n(x，y，z)， 12345678910 11 12 13 14 15 16 设PD与平面ACD所成的角为，则 13.(2021太原模拟)如图，在正四面体DABC中，P平面DBA，则在平 面DAB内过点P与直线BC成60角的直线共有 12345678910 11 12 13 14 15 16 技能提升练 A.0条 B.1条 C.2条 D.3条 12345678910 11 12 13 1
14、4 15 16 解析在平面DAB内过P点与DB或AB平行的直线都与 BC成60的角， 实际上只要求得在平面DAB内过点B且与直线BC成 60角的直线的条数. 在空间过点B与直线BC成60角的直线构成以BC为轴，BD为母线的圆锥 侧面， 此圆锥侧面与平面DAB只有两条交线. 因此满足题意的直线只有2条. 14.(2020阳泉期末)如图，在直角梯形SABC中，ABCBCS90， 过点A作ADSC交SC于点D，以AD为折痕把SAD折起，当几何体 SABCD的体积最大时，则下列命题中正确的个数是 ACSB； AB平面SCD； SA与平面SBD所成的角等于SC与平面SBD所成的角； AB与SC所成的角等
15、于DC与SA所成的角. A.4 B.3 C.2 D.1 12345678910 11 12 13 14 15 16 解析当体积最大时，平面SAD平面ABCD，如图所示， 对，若ACSB，又根据题意，ACSD， 故AC平面SDB， 又BD平面SDB， 故可得ACBD， 而根据题意，无法得知两直线位置关系，故不正确； 对，ABCD，由CD平面SCD， 故AB平面SCD，正确； 12345678910 11 12 13 14 15 16 对，因为无法得知底面ABCD的边长关系，所以无法 确定，故错误； 对，AB与SC所成角度为SCD，而DC与SA所成角度 为SAB，两个角度显然不相等，故错误. 综上
16、所述，正确的只有. 12345678910 11 12 13 14 15 16 12345678910 11 12 13 14 15 16 拓展冲刺练 15.九章算术卷第五商功中描述几何体“阳 马”为底面为矩形，一棱垂直于底面的四棱锥.现有 阳马SABCD，SA平面ABCD，AB1，AD3， SA .BC上有一点E，使截面SDE的周长最短，则 SE与CD所成角的余弦值等于_. 12345678910 11 12 13 14 15 16 解析要使截面SDE的周长最短，则SEED最短， 将底面ABCD沿BC展开成平面图形ABCD(如图)， 连结SD，交BC于E， 则SEEDSEEDSD， 当S，E
17、，D共线时等号成立， 故SA3，ADAD3，故BE2， 12345678910 11 12 13 14 15 16 作EFCD交AD于F，连结SF， 则SE与CD所成角为SEF， 16.已知在梯形ABCD中，ADBC，ABCBAD ，ABBC2AD 4，E，F分别是AB，CD上的点，EFBC，AEx，沿EF将梯形ABCD 翻折，使平面AEFD平面EBCF(如图). 12345678910 11 12 13 14 15 16 (1)当x2时： 证明：EF平面ABE； 故DAAB，BCAB， 因为EFBC，故EFAB. 所以在折叠后的几何体中，有EFAE，EFBE， 而AEBEE，故EF平面ABE
18、. 12345678910 11 12 13 14 15 16 求二面角DBFE的余弦值； 12345678910 11 12 13 14 15 16 解如图，在平面AEFD中，过D作DGEF交EF于G. 12345678910 11 12 13 14 15 16 在平面DBF中，过D作DHBF交BF于H，连结GH. 因为平面AEFD平面EBCF，平面AEFD平面EBCF EF，DG平面AEFD，故DG平面EBCF， 因为BF平面EBCF，故DGBF，而DGDHD， 故BF平面DGH，又GH平面DGH，故GHBF， 所以DHG为二面角DBFE的平面角， 在平面AEFD中，因为AEEF，DGEF
19、， 故AEDG， 故EFAD，故四边形AEGD为平行四边形， 故DGAE2，GF1， 12345678910 11 12 13 14 15 16 因为BFE为三角形的内角， 因为DHG为三角形的内角， 12345678910 11 12 13 14 15 16 (2)三棱锥DFBC的体积是否可能等于几何体ABEFDC体积的 ？并说 明理由. 12345678910 11 12 13 14 15 16 由(1)的证明可知，DG平面BEFC， 同理可证BE平面AEFD，AEDG. 12345678910 11 12 13 14 15 16 在直角梯形ABCD中，过D作BC的垂线，与EF，BC分别交于M，N， 12345678910 11 12 13 14 15 16 解得x2， 12345678910 11 12 13 14 15 16 大一轮复习讲义 本课结束 更多精彩内容请登录：
