1、第 9 单元数学广角集合 数学广角集合是教材中新增设的内容,它主要是介绍和渗透一些数学 思想方法,尝试把重要的数学思想方法通过学生可以理解的简单形式,采用生动有 趣的事例呈现出来。重叠问题是日常生活中应用比较广泛的数学知识。学生虽然 已经学习过分类的思想方法,但集合这部分内容比较抽象,针对三年级学生的认知 水平,在这里让学生通过生活中容易理解的题材初步体会集合思想,为以后学习打 下必要的基础,学生能够用自己的方法解决问题就可以了。 让学生经历韦恩图的产生过程,能借助直观图,利用集合的思想方法解决简单 的实际问题。 培养学生善于观察、善于思考的学习习惯。使学生感受到数学在现实生活中 的广泛应用,
2、尝试用数学的方法来解决实际生活中的问题,体验解决问题策略的多 样性。 体会数学的严谨性,感受数学与生活的联系,提高学习数学的兴趣。 培养学生初步养成善于观察、善于思考的学习习惯。 【重点】 理解集合图的各部分意义,能用集合图分析生活中简单的有重复部分的问 题。 【难点】 借助直观图解决集合问题。 1.注意自主探索与有意义的接受学习有机结合。 学生对于“重复的人数要减去”是有经验的,应 充分尊重学生的基础,放手让学生自主探索解决问题的方法。如果学生不能 画出韦恩图,不必一味让学生“创造”,教师可以用讲授法让学生认识并理解。出 示韦恩图让学生先独立填写,再汇报交流。同时利用多媒体课件或教具,配合学
3、生 汇报直观演示将两个集合圈合并的过程。在汇报交流时,一要注意引导学生讨论 发现“集合中的元素是不能重复出现的”,体会集合元素的互异性;“集合元素的 顺序可以不同”,体会集合元素的无序性。二要让学生说一说图中每一部分所表 示的含义,尤其是“两项都参加的”和“参加这两项比赛的”,体会交集和并集的 含义。 2.重视多元表征,感悟集合思想。 在学生解决“求两个集合的并集的元素个数”的问题时,会用到多种方法,如 画图示或列算式等。教师应放手让学生尝试解决,并充分展示学生的方法。学生 画的图示并不一定是标准的韦恩图,只要能清楚地表示出两个集合的关系,教师都 应给予充分的肯定。另外,要注重通过语言描述,让
4、学生在图示与算式这两种表征 之间进行转换,感受集合的知识。当让学生列式解答时,学生会有多种算法。教师 应让学生结合韦恩图说一说算式所表示的意思,借助直观,深刻理解韦恩图中每一 部分的含义,加深对集合知识的理解。 3.把握好教学要求。 集合思想虽然在小学数学教学中有广泛的渗透,但是此内容并不是必须掌握 的内容。本单元教学的落脚点不是掌握与集合有关的概念,也不是熟练掌握计算 的方法,而是让学生经历探究的过程,在解决问题的过程中理解集合的思想,并获 得有价值的数学活动经验。因此,教师在教学中要注意把握好知识的难度和要求, 尽量用通俗易懂的语言渗透集合思想。例如,对于集合的术语,如集合、元素、交 集、
5、并集等,虽然在教学中可以介绍给学生,但并不需要让学生掌握,只要学生能用 自己的语言表达和交流就可以了。 教科书中出现的解决问题都是计算运算后的集 合(并集或交集)的元素个数,但重点不是熟练计算,而是让学生通过解决此类问题, 了解、体会集合概念及运算的道理。另外,教科书中只给出了利用韦恩图表示两 个集合的交和并的问题,没有出现三个集合的情况。如果学生在解决练习二十三 第 4 题和第 6 题的时候,尝试用韦恩图表示三个集合的运算,教师应给予鼓励和指 导。 数学广角集合 1.例 1,通过解决生活中的实际问题(求两个集合的并集的元素个数),让学生 体会集合概念的含义及集合的运算,学习用集合的思想方法解
6、决简单的实际问 题。 2.用统计表的形式给出三(1)班参加跳绳、踢毽比赛的学生名单,提出要解决 的问题。 3.介绍用韦恩图表示集合及其运算的方法,让学生体会集合元素的特性;互异 性和无序性,体会集合的运算:交集、并集。 1.让学生经历解决问题的过程,了解简单的集合知识,初步感受它的意义。 2.使学生学会借助韦恩(Venn)图,运用集合的思想方法来解决较简单的实际 问题,从而感受到数学与生活之间的相互联系。 3.培养学生合作学习的意识和学习的兴趣。 【重点】 理解集合图的各部分意义,能用集合图分析生活中简单的有重复部分的问 题。 【难点】 借助直观图解决集合问题。 【教师准备】多媒体课件,韦恩图
7、。 师:我想试试同学们反应快不快,请大家猜个脑筋急转弯: 两个爸爸和两个儿子去动物园,可是他们只买了三张票,便顺利地进了动物园, 这是为什么? 预设 生:爷爷、爸爸、儿子。(板书:爷爷、爸爸、儿子) 师:两个爸爸(板书:2),两个儿子(板书:2),却只买了三张票。 (板书:3)这 2+2 怎么 会等于 3?这里谁的身份最特殊?为什么? 预设 生:爸爸的身份最特殊,有两个身份,既是爷爷的儿子又是儿子的爸爸。 (板书:既又) 师:爸爸有两个身份,重复算了一次。(板书:2+2-1=3) 师:今天,我们要研究的就是与这有关的一类问题。(板书:数学广角集合) 窍门满街跑,看你找不找。这节课看谁找的窍门最
8、多?谁表现得最好? 从生活中的实例买门票引起,让学生脑筋急转弯,到底是哪里的原因 少了 1 个人呢?引起学生的探究兴趣,引出新课课题。 师:今天我们来做个小游戏,需要两个同学来帮忙。其他同学可要认真观察呀! 两个同学一人一张纸条。 师:这两张纸条上都是 6 个格子,请你们把它们对接在一起。(学生操作)现在 两张纸条共有多长?怎样计算。 预设 生:两张纸条一共 12 个格子,6+6=12(个)。 师:慢慢向中间移动,这时还是 12 个格子吗?为什么? 预设 生:不是,因为有一部分重合在一起了。 师:哪部分重合了?谁来指一指? 预设 生:原来就是这重合的部分引起了长度的变化。 重合在数学中也叫重叠
9、, 这节课我们就一起来研究集合重叠问题。(板书课题:数学广角集合) 让学生在操作中直观感知,重叠会使总数减少,引起学生的好奇心, 激发学生的探究欲望。 一、了解运动爱好。 师:同学们平时喜欢体育运动吗?体育运动各种各样,你喜欢什么样的运动? 学生随意回答。 师:假如学校里要组织活动,一项跳绳,一项踢毽,请你选择的话,你喜欢什么运 动? 师:我们举举手看,喜欢跳绳的有哪些同学?喜欢踢毽的有哪些同学?都很多, 有没有两样都喜欢的? 师:老师想进一步了解你们,请允许我对你们其中的一个小组进行调查,好吗? 看看哪个小组今天的精神面貌最好! (老师在讲台的两边分别画了两个圈:左边的圈表示喜欢跳绳的,右边
10、的圈表 示喜欢踢毽的) 二、提出问题,激发冲突。 (指定第一小组) 师:现在请喜欢跳绳的同学到左边的圈内(有 9 人,板书:9);请喜欢踢毽的同学 到右边的圈内(有 8 人,板书:8)。 师:为了让大家看得更清楚,老师在黑板上画一个表格:“第一小组喜欢跳绳、 踢毽学生名单”。 课件出示:第一小组喜欢跳绳、踢毽学生名单: 跳 绳 杨 明 陈 东 刘 红 李 芳 王爱 华 马 超 丁 旭 赵 军 徐 强 踢 毽 刘 红 于 丽 周 晓 杨 明 朱小 东 李 芳 陶 伟 卢 强 师:共有多少人呢?谁来说一说? 预设 生:8+9=17(人)。 师:那么对不对呢?我们来数一数吧。 预设 生:不对,没有那
11、么多。 师:为什么算出来的人数和实际人数不符呢? 预设 生:有的同学两项都参加了。 师:为什么“两项都参加的”影响了我们解决问题?“两项都参加的”到底应 该算几个人? 师:我们应该用什么样的方法表示“既能清楚地看出每个人的情况,又能明显 看出一共有多少人?” 三、小组讨论,初步感知集合概念。 1.小组交流,互相介绍自己的方案。 2.选择有代表性的方案全班交流。 请学生介绍自己的思考过程,注意追问 “如何表示出两项比赛都参加的学生” , 体会两个集合中的公共元素构成的交集。 随学生回答课件出示各图: 预设 生 1:把参加两项比赛的学生姓名分别列出来,把相同的名字连起来,就 找到两项比赛都参加的学
12、生了,有 3 人。这样参加跳绳比赛的 9 人,加上参加踢毽 比赛的 8 人,再去掉 3 个重复的,应该是 14 人。 生 2:先写出所有参加跳绳比赛同学的姓名,再写参加踢毽比赛的。如果与前 面的相同就不重复写了,连线就能表示了。 一共写出了 14 个不同的姓名,说明参加 比赛的有 14 人。从姓名上如果引出两条线,就说明他两项比赛都参加了。 生 3:把参加两项比赛学生的姓名分别放到两个圈里,再把两项比赛都参加的 学生的名字移到一边,两个圈里都有这三个名字,把这两个圈的这部分重叠起来, 名字只出现一次就可以了。可以看出只参加跳绳比赛的有 6 人,两项比赛都参加 的有 3 人,只参加踢毽比赛的有
13、5 人,一共有 14 人。 四、介绍用韦恩图表示集合的运算。 在黑板上贴出上面的韦恩图: 师:左边圈住的是什么?(喜欢跳绳的同学)右边圈住的是什么?(喜欢踢毽的同 学)中间相交的部分呢?(既喜欢跳绳又喜欢踢毽的同学)一共是多少个同学?(14 人) 师:这个图是 100 多年前英国的一个名叫韦恩的逻辑学家最早发明的,所以就 以他的名字命名这种图,叫韦恩图。老师发现不少同学的想法和韦恩的一样,看来 如果你生的比他早,那就是用你的名字来命名了。 师:现在我们知道了可以用韦恩图,既能表示重复的部分,又能方便统计总数。 接下来,假如要用算式表示喜欢跳绳和踢毽的一共有多少人,又该是怎样的呢? 预设 生 1
14、:9+8-3=14(人)。 师:你是怎么想的? 预设 生 1:先把喜欢跳绳的和喜欢踢毽的分别加起来。 算式是 9+8=17,然后再 用 17 减去三个重复的,17-3=14。 生 2:6+5+3=14(人)。 师:请你解释一下。 生 2:6 是只喜欢跳绳的人数,5 是只喜欢踢毽的人数,3 是既喜欢跳绳又喜欢踢 毽的人数,是重复的。 生 3:9+5=14(人)。喜欢跳绳的 9 人,加上只喜欢踢毽的 5 人。 生 4:8+6=14(人)。喜欢踢毽的 8 人,加上只喜欢跳绳的 6 人。 五、比较辨析,体会基本方法。 师:刚才同学们想了很多算法,你觉得哪种比较容易理解。把你比较容易理解 的那种算法,说
15、给你的同桌听一下。 师:通过对各种计算方法的比较,发现虽然具体列式方法不同,但都解决了问 题,即求出了两个集合的总数。 师:谁能说一说 9+8-3=14 这一算式的含义?(板书:9+8-3=14(人) 预设 生:参加跳绳比赛的人数加上参加踢毽比赛的人数,再减去重叠的人数。 六、巩固练习。 填一填。 (1)两天进的货相同的有几种? (2)文具店两天一共进了多少种文具? 【参考答案】(1)3(2)5+5-3=7(种) 通过不同方式的表示方法,得出用韦恩图表示最直观、最简便,重叠 的部分重复计算了,所以求出两个集合的总数后,再减去重叠部分的个数,才是集 合的总数。 练习 1 1. (1)填一填。 (
16、2)这个班参加语文兴趣小组和数学兴趣小组的一共有多少人? 2.在圈中填上合适的数。 两个圈里都有的数是多少?请把它圈出来。 3.三(1)班同学订杂志。订少年天地的有 20 人,订童话世界的有 18 人,两种杂志都订的有 8 人。订这两种杂志的一共有多少人? 【参考答案】1.(1)如下图所示。 (2)7+8-3=12(人)2.个位是7的两位数:17,27,37,47,57,67,77,87,97十位是7的两 位数:70,71,72,73,74,75,76,77,78,79两个圈里都有的数是:773.20+18-8=30(人) 练习 2 完成相关习题。 师:今天我们学习了集合的知识,还会运用集合知
17、识解决生活中的问题。说一 说今天你有什么收获? 预设 生:这节课我们学习了集合,会用集合图分析生活中简单的有重复部分 的问题。 作业 1 教材第 106 页练习二十三第 1,2,3 题。 作业 2 完成相关习题。 1.借助课件优化教学过程。对于提高学生的学习能力,发展学生思维能起到 积极的作用。在这节课中教师利用简单的动画演示,形象地体现出集合思想的实 质交集的意义,使教学难点迎刃而解,促进学生的思维更加活跃。 2.注重知识的形成过程,让知识的理解水到渠成。本节课上,我尝试让学生从 生活实际中亲身感知集合的思想,并使他们亲身体验集合图的产生过程,让学生在 过程中体验集合的思想,在过程中感悟重叠
18、,让学生经历问题解决的数学化过程, 从而获得数学学习经验。接着,创设了让学生自己设计图。学生设计的图各式各 样。可见,创造源于实践,提供实践操作平台,激发学生学习数学的兴趣和热情的同 时也培养学生的创新思维。当学生汇报自己独特的表示方法时,进而引导学生借 助一种图(集合图)来理解解决这一问题,让学生经历集合图的产生过 程并充分感知体验集合图的作用。通过让学生在情景体验中“学”、在解决 问题中“悟”,调动了学生学习的主动性,激发了学生的竞争意识和表现意识,使学 生发现问题、探索问题、解决问题的能力得到提高,思维也更加活跃。 1.关注全体落实不够。由于学生多,调控难度大,再加上课堂内容密度大,所以
19、 本课在教学中很难充分关注到每一个学生。 2.学生间的交流与评价还不够充分。在每个环节,尽管都有意识地给学生提 供机会,让他们展开交流与评价。但由于受时间的限制,有些交流与评价进行得不 充分。 再深入理解教材,教学设计更仔细些;必须要耐心,对学生的回答要多加鼓励 与认可。 某商店两天进货单如下。 昨天进的文具品种 铅笔文具盒水彩笔 钢笔笔记本 今天进的文具品种 钢笔三角尺铅笔橡皮 笔记本水彩笔计算器 (1)商店两天一共进了多少种文具? (2)你能提出其他数学问题并解答吗? 名师点拨两天中都进了一些文具,但哪些是两天都进的文具呢?可以利用 韦恩图整理。如下图。 在昨天进的文具中,对应今天进的文具
20、品种,发现相同的有 4 种,即重复的有 4 种,用 5+7-4=8(种),就是两天一共进的文具种数了。 解答(1)5+7-4=8(种)。 答:商店两天一共进了 8 种文具。 (2)两天都进的文具有几种?(答案不唯一) 答:两天都进的文具有 4 种。 【知识拓展】利用集合思想解决问题的题型灵活,如上题知道两天共 进 8 种文具,并知道昨天和今天分别进 5 种和 7 种文具,也可以计算出两天进的重 复的文具数,即:5+7-8=4(种)。 韦恩(18341923) 19 世纪英国哲学家和数学家,1881 年发明了韦恩图,又叫文氏图。 韦恩图(文氏图)是用封闭的曲线直观地表示集合及其关系的图形。在解决
21、一 些实际问题中,由于其直观,往往具有特殊的功效。 集合 集合是近代数学中的一个重要概念。 集合思想是现代数学思想向小学数学渗 透的重要标志,在解决某些数学问题时,若是运用集合思想,可以使问题解决得更 简单明了。集合论的创始人是德国的数学家康托(18451918),其主要思想方法可 归结为三个原则,即概括原则、外延原则、一一对应原则。自集合论创立以来,它 的概念、思想和方法已经渗透到现代数学的各个分支中,成为现代数学的基础。 瑞士数学家欧拉(17071787)最早使用了表示两个非空集之间的关系的图,现称欧 拉图。英国数学家韦恩最早使用了另一种图即可以用于表示任意的几个集合(不 论它们之间的关系如何,都可以画成同一样式),又称 “韦恩图” ,用韦恩图表示集合, 有助于探索某些数学题的解决思路。
