1、2021 年湖南省怀化市中考数学试卷年湖南省怀化市中考数学试卷 一一、选择题选择题（每小题每小题 4 分分，共共 40 分分；每小题的四个选项中只有一项是正确的每小题的四个选项中只有一项是正确的，请将正确选请将正确选 项的代号填涂在答题卡的相应位置上）项的代号填涂在答题卡的相应位置上） 1 （4 分）数轴上表示数 5 的点和原点的距离是（） AB5C5D 2 （4 分）到 2020 年底，我国完成了“脱贫攻坚”任务，有约 9980 万的贫困人口实现了脱 贫将数据 9980 万用科学记数法表示是（） A9.98103B9.98105C9.98106D9.98107 3 （4 分）以下说法错误的是
2、（） A多边形的内角大于任何一个外角 B任意多边形的外角和是 360 C正六边形是中心对称图形 D圆内接四边形的对角互补 4 （4 分）对于一元二次方程 2x23x+40，则它根的情况为（） A没有实数根B两根之和是 3 C两根之积是2D有两个不相等的实数根 5 （4 分）下列图形中，可能是圆锥侧面展开图的是（） A B C D 6 （4 分）定义 ab2a+，则方程 3x42 的解为（） AxBxCxDx 7 （4 分）如图，在ABC 中，以 A 为圆心，任意长为半径画弧，分别交 AB、AC 于点 M、 N；再分别以 M、N 为圆心，大于MN 的长为半径画弧，两弧交于点 P；连结 AP 并延
3、 长交 BC 于点 D则下列说法正确的是（） AAD+BDABBAD 一定经过ABC 的重心 CBADCADDAD 一定经过ABC 的外心 8 （4 分）不等式组的解集表示在数轴上正确的是（） A B C D 9 （4 分） “成语”是中华文化的瑰宝，是中华文化的微缩景观下列成语：“水中捞月” ， “守株待兔” ，“百步穿杨” ，“瓮中捉鳖”描述的事件是不可能事件的是（） ABC D 10 （4 分）如图，菱形 ABCD 的四个顶点均在坐标轴上，对角线 AC、BD 交于原点 O，AE BC 于 E 点，交 BD 于 M 点，反比例函数 y（x0）的图象经过线段 DC 的中点 N，若 BD4，则
4、 ME 的长为（） AMEBMECME1DME 二、填空题（每小题二、填空题（每小题 4 分，共分，共 24 分；请将答案直接填写在答题卡的相应位置上）分；请将答案直接填写在答题卡的相应位置上） 11 （4 分）比较大小：（填写“”或“”或“” ） 12 （4 分）函数 y的自变量 x 的取值范围是 13 （4 分）如图，在平面直角坐标系中，已知 A（2，1） ，B（1，4） ，C（1，1） ，将 ABC 先向右平移 3 个单位长度得到A1B1C1，再绕 C1顺时针方向旋转 90得到 A2B2C1，则 A2的坐标是 14 （4 分）为庆祝中国共产党建党一百周年，某单位党支部开展“学史明理，学史
5、增信， 学史崇德，学史力行”读书活动，学习小组抽取了七名党员 5 天的学史的时间（单位：h） 分别为：4，3，3，5，6，3，5，这组数据的中位数是，众数是 15 （ 4 分 ） 如 图 ， 在 O 中 ， OA 3 ， C 45 ， 则 图 中 阴 影 部 分 的 面 积 是 （结果保留） 16 （4 分）观察等式：2+22232，2+22+23242，2+22+23+24252，已知按一 定规律排列的一组数：2100，2101，2102，2199，若 2100m，用含 m 的代数式表示这 组数的和是 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 8 小题，共小题，共 86 分）分） 17 （8
6、 分）计算： 18 （8 分）先化简，再求值：，其中 x 19 （10 分）政府将要在某学校大楼前修一座大桥如图，宋老师测得大楼的高是 20 米， 大楼的底部 D 处与将要修的大桥 BC 位于同一水平线上，宋老师又上到楼顶 A 处测得 B 和 C 的俯角EAB，EAC 分别为 67和 22，宋老师说现在我能算出将要修的大桥 BC 的长了 同学们： 你知道宋老师是怎么算的吗？请写出计算过程 （结果精确到 0.1 米） 其中 sin67，cos67，tan67，sin22，cos22，tan22 20 （10 分）已知：如图，四边形 ABCD 为平行四边形，点 E、A、C、F 在同一直线上，AE
7、CF 求证： （1）ADECBF； （2）EDBF 21 （12 分）某校开展了“禁毒”知识的宣传教育活动为了解这次活动的效果，现随机抽 取部分学生进行知识测试，并将所得数据绘制成不完整的统计图表 等级频数（人 数） 频率 优秀600.6 良好a0.25 合格10b 基本合格50.05 合计c1 根据统计图表提供的信息，解答下列问题： （1）a，b，c； （2）补全条形统计图； （3）该学校共有 1600 名学生，估计测试成绩等级在合格以上（包括合格）的学生约有 多少人？ （4）在这次测试中，九年级（3）班的甲、乙、丙、丁四位同学的成绩均为“优秀” ，现 班主任准备从这四名同学中随机选取两名同
8、学出一期“禁毒”知识的黑板报，请用列表 法或画树状图法求甲、乙两名同学同时被选中的概率 22 （12 分）如图，在半径为 5cm 的O 中，AB 是O 的直径，CD 是过O 上一点 C 的 直线，且 ADDC 于点 D，AC 平分BAD，E 是 BC 的中点，OE3cm （1）求证：CD 是O 的切线； （2）求 AD 的长 23 （12 分）某超市从厂家购进 A、B 两种型号的水杯，两次购进水杯的情况如表： 进货批次 A 型水杯 （个） B 型水杯 （个） 总费用 （元） 一1002008000 二20030013000 （1）求 A、B 两种型号的水杯进价各是多少元？ （2）在销售过程中，
9、A 型水杯因为物美价廉而更受消费者喜欢为了增大 B 型水杯的销 售量，超市决定对 B 型水杯进行降价销售，当销售价为 44 元时，每天可以售出 20 个， 每降价 1 元，每天将多售出 5 个，请问超市应将 B 型水杯降价多少元时，每天售出 B 型 水杯的利润达到最大？最大利润是多少？ （3）第三次进货用 10000 元钱购进这两种水杯，如果每销售出一个 A 型水杯可获利 10 元，售出一个 B 型水杯可获利 9 元，超市决定每售出一个 A 型水杯就为当地“新冠疫情 防控”捐 b 元用于购买防控物资若 A、B 两种型号的水杯在全部售出的情况下，捐款后 所得的利润始终不变，此时 b 为多少？利润
10、为多少？ 24 （14 分）如图所示，抛物线与 x 轴交于 A、B 两点，与 y 轴交于点 C，且 OA2，OB 4，OC8，抛物线的对称轴与直线 BC 交于点 M，与 x 轴交于点 N （1）求抛物线的解析式； （2）若点 P 是对称轴上的一个动点，是否存在以 P、C、M 为顶点的三角形与MNB 相 似？若存在，求出点 P 的坐标，若不存在，请说明理由； （3）D 为 CO 的中点，一个动点 G 从 D 点出发，先到达 x 轴上的点 E，再走到抛物线对 称轴上的点 F，最后返回到点 C要使动点 G 走过的路程最短，请找出点 E、F 的位置， 写出坐标，并求出最短路程 （4）点 Q 是抛物线上
11、位于 x 轴上方的一点，点 R 在 x 轴上，是否存在以点 Q 为直角顶 点 的 等 腰 Rt CQR ？ 若 存 在 ， 求 出 点 Q 的 坐 标 ， 若 不 存 在 ， 请 说 明 理 由 2021 年湖南省怀化市中考数学试卷年湖南省怀化市中考数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一一、选择题选择题（每小题每小题 4 分分，共共 40 分分；每小题的四个选项中只有一项是正确的每小题的四个选项中只有一项是正确的，请将正确选请将正确选 项的代号填涂在答题卡的相应位置上）项的代号填涂在答题卡的相应位置上） 1 （4 分）数轴上表示数 5 的点和原点的距离是（） AB5C5D 【解答】
12、解：数轴上表示数 5 的点和原点的距离是 5； 故选：B 2 （4 分）到 2020 年底，我国完成了“脱贫攻坚”任务，有约 9980 万的贫困人口实现了脱 贫将数据 9980 万用科学记数法表示是（） A9.98103B9.98105C9.98106D9.98107 【解答】解：9980 万998000009.98107 故选：D 3 （4 分）以下说法错误的是（） A多边形的内角大于任何一个外角 B任意多边形的外角和是 360 C正六边形是中心对称图形 D圆内接四边形的对角互补 【解答】解：A多边形的内角不一定大于任何一个外角，故此选项错误，符合题意； B任意多边形的外角和是 360,正确
13、，不合题意； C正六边形是中心对称图形,正确，不合题意； D圆内接四边形的对角互补,正确，不合题意； 故选：A 4 （4 分）对于一元二次方程 2x23x+40，则它根的情况为（） A没有实数根B两根之和是 3 C两根之积是2D有两个不相等的实数根 【解答】解：a2，b3，c4， b24ac（3）2424230， 一元二次方程 2x23x+40 没有实数根 故选：A 5 （4 分）下列图形中，可能是圆锥侧面展开图的是（） A B C D 【解答】解：圆锥的侧面展开图是扇形， 故选：B 6 （4 分）定义 ab2a+，则方程 3x42 的解为（） AxBxCxDx 【解答】解：根据题中的新定义得
14、： 3x23+， 4224+， 3x42， 23+24+， 解得：x， 经检验，x是分式方程的根 故选：B 7 （4 分）如图，在ABC 中，以 A 为圆心，任意长为半径画弧，分别交 AB、AC 于点 M、 N；再分别以 M、N 为圆心，大于MN 的长为半径画弧，两弧交于点 P；连结 AP 并延 长交 BC 于点 D则下列说法正确的是（） AAD+BDABBAD 一定经过ABC 的重心 CBADCADDAD 一定经过ABC 的外心 【解答】解：由题可知 AD 是BAC 的角平分线， A、在ABD 中，AD+BDAB，故选项 A 错误，不符合题意； B、ABC 的重心是三条中线的交点，故选项 B
15、 错误，不符合题意； C、AD 是BAC 的角平分线，BADCAD，故选项 C 正确，符合题意； D、ABC 的外心是三边中垂线的交点，故选项 D 错误，不符合题意； 故选：C 8 （4 分）不等式组的解集表示在数轴上正确的是（） A B C D 【解答】解：解不等式 2x+1x1，得：x2， 解不等式x1，得：x2， 则不等式组的解集为2x2， 故选：C 9 （4 分） “成语”是中华文化的瑰宝，是中华文化的微缩景观下列成语：“水中捞月” ， “守株待兔” ，“百步穿杨” ，“瓮中捉鳖”描述的事件是不可能事件的是（） ABC D 【解答】解：“水中捞月”是不可能事件，符合题意； “守株待兔”
16、是随机事件，不合题意； “百步穿杨” ，是随机事件，不合题意； “瓮中捉鳖”是必然事件，不合题意； 故选：A 10 （4 分）如图，菱形 ABCD 的四个顶点均在坐标轴上，对角线 AC、BD 交于原点 O，AE BC 于 E 点，交 BD 于 M 点，反比例函数 y（x0）的图象经过线段 DC 的中点 N，若 BD4，则 ME 的长为（） AMEBMECME1DME 【解答】解：过 N 作 y 轴和 x 轴的垂线 NG，NH， 设 N（b，a） ， 反比例函数 y（x0）的图象经过点 N， ab， 四边形 ABCD 是菱形， BDAC，DOBD2， NHx 轴，NGy 轴， 四边形 NGOH
17、是矩形， NGx 轴，NHy 轴， N 为 CD 的中点， DOCO2a2b4ab， CO， tanCDO CDO30， DCO60, 四边形 ABCD 是菱形， ADCABC2CDO60，ACBDCO60, ABC 是等边三角形， AEBC，BOAC, AEBO2,BAE30ABO, AMBM, OMEM, MBE30, BM2EM2OM, 3EMOB2, ME， 故选：D 二、填空题（每小题二、填空题（每小题 4 分，共分，共 24 分；请将答案直接填写在答题卡的相应位置上）分；请将答案直接填写在答题卡的相应位置上） 11 （4 分）比较大小：（填写“”或“”或“” ） 【解答】解：12，
18、 1， 即， 故答案为： 12 （4 分）函数 y的自变量 x 的取值范围是x2 且 x3 【解答】解：由题意得：， 解得：x2 且 x3， 故答案为：x2 且 x3 13 （4 分）如图，在平面直角坐标系中，已知 A（2，1） ，B（1，4） ，C（1，1） ，将 ABC 先向右平移 3 个单位长度得到A1B1C1，再绕 C1顺时针方向旋转 90得到 A2B2C1，则 A2的坐标是（2,2） 【解答】解：如图，观察图象可知 A2(2,2) 故答案为： （2,2） 14 （4 分）为庆祝中国共产党建党一百周年，某单位党支部开展“学史明理，学史增信， 学史崇德，学史力行”读书活动，学习小组抽取了
19、七名党员 5 天的学史的时间（单位：h） 分别为：4，3，3，5，6，3，5，这组数据的中位数是4h，众数是3h 【解答】解：将这组数据重新排列为 3，3，3，4，5，5，6， 所以这组数据的中位数为 4h，众数为 3h， 故答案为：4h，3h 15（4 分） 如图， 在O 中， OA3， C45， 则图中阴影部分的面积是 （结 果保留） 【解答】解：C45， AOB90， S阴影S扇形AOBSAOB 故答案为： 16 （4 分）观察等式：2+22232，2+22+23242，2+22+23+24252，已知按一 定规律排列的一组数：2100，2101，2102，2199，若 2100m，用含
20、 m 的代数式表示这 组数的和是m2m 【解答】解：由题意得： 2100+2101+2102+2199， （2+22+23+2199）（2+22+23+299） ， （22002）（21002） ， （2100）22100， m2m， 故答案为：m2m 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 8 小题，共小题，共 86 分）分） 17 （8 分）计算： 【解答】解：原式12+9+4+1 12+9+2+1 11 18 （8 分）先化简，再求值：，其中 x 【解答】解：原式+ + + , 当 x+2 时， 原式 19 （10 分）政府将要在某学校大楼前修一座大桥如图，宋老师测得大楼的高是 20
21、米， 大楼的底部 D 处与将要修的大桥 BC 位于同一水平线上，宋老师又上到楼顶 A 处测得 B 和 C 的俯角EAB，EAC 分别为 67和 22，宋老师说现在我能算出将要修的大桥 BC 的长了 同学们： 你知道宋老师是怎么算的吗？请写出计算过程 （结果精确到 0.1 米） 其中 sin67，cos67，tan67，sin22，cos22，tan22 【解答】解：过 C 作 CFAE 于 F，如图所示： 则 FCAD20 米，AFDC， 在 RtACF 中，EAC22， tanEACtan22， DCAFFC50（米） ， 在 RtABD 中，ABDEAB67， tanABDtan22， B
22、DAD（米） ， BCDCBD5041.7（米） ， 即大桥 BC 的长约为 41.7 米 20 （10 分）已知：如图，四边形 ABCD 为平行四边形，点 E、A、C、F 在同一直线上，AE CF 求证： （1）ADECBF； （2）EDBF 【解答】证明： （1）四边形 ABCD 为平行四边形， DABC，DABC， DACBCA， DAC+EAD180，BCA+FCB180， EADFCB， 在ADE 和CBF 中， ， ADECBF（SAS） ； （2）由（1）知，ADECBF， EF， EDBF 21 （12 分）某校开展了“禁毒”知识的宣传教育活动为了解这次活动的效果，现随机抽 取
23、部分学生进行知识测试，并将所得数据绘制成不完整的统计图表 等级频数（人 数） 频率 优秀600.6 良好a0.25 合格10b 基本合格50.05 合计c1 根据统计图表提供的信息，解答下列问题： （1）a25，b0.1，c100； （2）补全条形统计图； （3）该学校共有 1600 名学生，估计测试成绩等级在合格以上（包括合格）的学生约有 多少人？ （4）在这次测试中，九年级（3）班的甲、乙、丙、丁四位同学的成绩均为“优秀” ，现 班主任准备从这四名同学中随机选取两名同学出一期“禁毒”知识的黑板报，请用列表 法或画树状图法求甲、乙两名同学同时被选中的概率 【解答】解： （1）抽取的学生人数为
24、：600.6100（人） ， c100， a1006010525，b101000.1， 故答案为：25，0.1，100； （2）补全条形统计图： （3） 估计测试成绩等级在合格以上 （包括合格） 的学生约有人数为： 1600 （0.6+0.25+0.1） 1520（人） ； （4）画树状图如图： 共有 12 种等可能的结果，甲、乙两名同学同时被选中的结果有 2 种， 甲、乙两名同学同时被选中的概率为 22 （12 分）如图，在半径为 5cm 的O 中，AB 是O 的直径，CD 是过O 上一点 C 的 直线，且 ADDC 于点 D，AC 平分BAD，E 是 BC 的中点，OE3cm （1）求证：
25、CD 是O 的切线； （2）求 AD 的长 【解答】 （1）证明：连接 OC，如图： AC 平分BAD， DACCAO， OAOC， CAOOCA， DACOCA， ADOC， ADDC， CODC， CD 是O 的切线； （2）E 是 BC 的中点，且 OAOB， OE 是ABC 的中位线，AC2OE， OE3， AC6， AB 是O 的直径， ACB90ADC， 又DACCAB， DACCAB， ，即， AD 23 （12 分）某超市从厂家购进 A、B 两种型号的水杯，两次购进水杯的情况如表： 进货批次 A 型水杯 （个） B 型水杯 （个） 总费用 （元） 一1002008000 二20
26、030013000 （1）求 A、B 两种型号的水杯进价各是多少元？ （2）在销售过程中，A 型水杯因为物美价廉而更受消费者喜欢为了增大 B 型水杯的销 售量，超市决定对 B 型水杯进行降价销售，当销售价为 44 元时，每天可以售出 20 个， 每降价 1 元，每天将多售出 5 个，请问超市应将 B 型水杯降价多少元时，每天售出 B 型 水杯的利润达到最大？最大利润是多少？ （3）第三次进货用 10000 元钱购进这两种水杯，如果每销售出一个 A 型水杯可获利 10 元，售出一个 B 型水杯可获利 9 元，超市决定每售出一个 A 型水杯就为当地“新冠疫情 防控”捐 b 元用于购买防控物资若 A
27、、B 两种型号的水杯在全部售出的情况下，捐款后 所得的利润始终不变，此时 b 为多少？利润为多少？ 【解答】解： （1）设 A 种型号的水杯进价为 x 元，B 种型号的水杯进价为 y 元， 根据题意得：， 解得： 答：A 种型号的水杯进价为 20 元，B 种型号的水杯进价为 30 元； （2）设超市应将 B 型水杯降价 a 元时，每天售出 B 型水杯的利润为 W 元，根据题意， 得：W（44a30） （20+5a） 5a2+50a+280 5（a5）2+405， 当 a5 时，W 取得最大值，最大值为 405 元， 答： 超市应将 B 型水杯降价 5 元时， 每天售出 B 型水杯的利润达到最大
28、， 最大利润为 405 元； （3）设总利润为 w 元，购进 A 种水杯 a 个， 依题意，得：w（10b）a+9（106b）a+3000， 捐款后所得的利润始终不变， w 值与 a 值无关， 106b0，解得：b4， w（1064）a+30003000， 答：捐款后所得的利润始终不变，此时 b 为 4 元，利润为 3000 元 24 （14 分）如图所示，抛物线与 x 轴交于 A、B 两点，与 y 轴交于点 C，且 OA2，OB 4，OC8，抛物线的对称轴与直线 BC 交于点 M，与 x 轴交于点 N （1）求抛物线的解析式； （2）若点 P 是对称轴上的一个动点，是否存在以 P、C、M 为
29、顶点的三角形与MNB 相 似？若存在，求出点 P 的坐标，若不存在，请说明理由； （3）D 为 CO 的中点，一个动点 G 从 D 点出发，先到达 x 轴上的点 E，再走到抛物线对 称轴上的点 F，最后返回到点 C要使动点 G 走过的路程最短，请找出点 E、F 的位置， 写出坐标，并求出最短路程 （4）点 Q 是抛物线上位于 x 轴上方的一点，点 R 在 x 轴上，是否存在以点 Q 为直角顶 点 的 等 腰 Rt CQR ？ 若 存 在 ， 求 出 点 Q 的 坐 标 ， 若 不 存 在 ， 请 说 明 理 由 【解答】解： （1）由题意得，点 A、B、C 的坐标分别为（2，0） 、 （4，0
30、） 、 （0，8） ， 设抛物线的表达式为 yax2+bx+c，则，解得， 故抛物线的表达式为 yx2+2x+8； （2）存在，理由： 当CPM 为直角时， 则以 P、C、M 为顶点的三角形与MNB 相似时，则 PCx 轴， 则点 P的坐标为（1，8） ； 当PCM 为直角时， 在 RtOBC 中，设CBO，则 tanCBO2tan，则 sin，cos ， 在 RtNMB 中，NB413， 则 BM3， 同理可得，MN6， 由点 B、C 的坐标得，BC4，则 CMBCMB， 在 RtPCM 中，CPMOBC， 则 PM， 则 PNMN+PM6+， 故点 P 的坐标为（1，） ， 故点 P 的坐
31、标为（1，8）或（1，） ； （3）D 为 CO 的中点，则点 D（0，4） ， 作点 C 关于函数对称轴的对称点 C（2，8） ，作点 D 关于 x 轴的对称点 D（0，4） ， 连接 CD交 x 轴于点 E，交函数的对称轴于点 F，则点 E、F 为所求点， 理由：G 走过的路程DE+EF+FCDE+EF+FCCD为最短， 由点 C、D的坐标得，直线 CD的表达式为 y6x4， 对于 y6x4，当 y6x40 时，解得 x，当 x1 时，y2， 故点 E、F 的坐标分别为（，0） 、 （1，2） ； G 走过的最短路程为 CD2； （4）存在，理由： 设点 Q 的坐标为（x，x2+2x+8） ， 故点 Q 作 y 轴的平行线交 x 轴于点 N，交过点 C 与 x 轴的平行线于点 M， MQC+RQN90，RQN+QRN90， MQCQRE， ANQQMC90，QRQC， ANQQMC（AAS） ， QNCM， 即 xx2+2x+8，解得 x（不合题意的值已舍去） ， 故点 Q 的坐标为（，）
