1、1 1997 年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题解析1997 年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题解析 一、填空题(本题共 5 分,每小题 3 分,满分 15 分.把答案在题中横线上.)一、填空题(本题共 5 分,每小题 3 分,满分 15 分.把答案在题中横线上.) (1)【答案】 ( ) 1 lnln f x efxfx fx dx x 【解析】题目考察复合函数的微分法,利用链式法则计算如下： 由 ( ) (ln ) f x yfx e可知 ( )( ) ( ) 1 lnln 1 lnln. f xf x f x dyfx edxfx efx dx x efxfx fx dx x (
2、2)【答案】 4 【分析】本题中 1 0 ( )f x dx 是个常数,只要定出这个数问题就解决了. 【解析】令 1 0 ( )f x dxA ,则 2 2 1 ( )1 1 f xAx x ,两边从 0 到 1 作定积分得 11 2 2 00 1 1 dx AAx dx x 1 0 arctan 444 xAA , 解得 4 A . 【评注】本题主要考查定积分的概念和计算.本题中出现的积分 1 2 0 1x dx 表示单位圆 在第一象限部分的面积,可直接根据几何意义求得.考生务必注意这种技巧的应用. (3)【答案】(2)2t t yCt 【解析】对应的齐次差分方程是 1 0 tt yy ,显
3、然有不恒等于零的特解1 t y . 因方程的右端函数( )2tf tt,可设非齐次差分方程的特解有形式 ()2tyAtB , 代入方程得(2)22 ,0,1,2,. tt AtABtt由于20 t ,于是 2,0,1,2,.AtABtt 可确定1,2AB ,即非齐次差分方程有一个特解是(2)2tyt . 从而,差分方程的通解是(2)2t t yCt. (4)【答案答案】22t 2 【解析】二次型 123 ( ,)f x x x对应的矩阵为 210 11 2 01 2 t A t . 因为f正定 A的顺序主子式全大于零.又 2 123 21 1 211 112 ,At , 故f正定 2 1 10
4、 2 t,即22t . (5)【答案】t分布,参数为 9 【解析】由 19 ,XX是来自总体X的简单随机样本,故 19 ,XX独立,且都服从正态 分布 2 (0,3 )N.类似有 19 ,YY相互独立,且都服从正态分布 2 (0,3 )N. 又因服从正态分布的独立随机变量的线性组合也服从正态分布,即 2 19 ( ,)XXXN . 其中 19 ()()E XE XX, 2 19 ()()D XD XX. 由期望的性质, 19129 ()()0E XE XXEXEXEX； 由独立随机变量方差的性质, 2 1919 ()()81D XD XXDXDX, 故 2 (0,9 )XN. 因 2 19 ,
5、(0,3 )YYN,故 0 (0,1),(1,2,9) 3 i Y Ni ,所以, 2 9 2 1 (9) 3 i i Y Y . 由t分布的定义,现已有 2 (0,9 )XN,将其标准化得 0 (0,1) 9 X N ,故 0 9 (9) 9 X t Y . 化简有 (9) 9 X t Y ,即 1919 22 22 19 19 (9) 1 9() 9 XXXX t YY YY . 3 【相关知识点】1.数学期望的性质：()()( )E aXbYcaE XbE Yc,其中, ,a b c为 常数. 2.方差的性质：X与Y相互独立时, 22 ()()( )D aXbYca D Xb D Y,其
6、中, ,a b c为常 数. 3. 2 分布的定义：若 1, , n ZZ相互独立,且都服从标准正态分布(0,1)N,则 22 (1) i Z, 22 1 ( ) n i i Zn . 4.若 2 ( ,)ZN u,则(0,1) Zu N . 5.t分布的定义：若(0,1)XN, 2 ( )Yn,X Y独立,则 ( ) X Tt n Y n . 二、选择题(本题共 5 小题,每小题 3 分,满分 15 分.每小题给出的四个选项中,只有一项符 合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内) 二、选择题(本题共 5 小题,每小题 3 分,满分 15 分.每小题给出的四个选项中,只有一项符 合题目要
7、求,把所选项前的字母填在题后的括号内) (1)【答案】(B) 【分析】只要求出极限 0 ( ) lim ( ) x f x g x 就能判断出正确的选项. 【解析】用变上限积分求导公式及重要的等价无穷小关系,得 1 cos 2 2 0 564 000 5 2 44 000 sin ( )(sin )sin(1 cos ) limlimlim ( )(1) 56 1 1(1 cos ) 4 limlimlim0, 1 x xxx xxx t dt f xxx xxg xxx x xx xxx 故应选(B). 【相关知识点】1.对积分上限的函数的求导公式：若 ( ) ( ) ( )( ) t t
8、F tf x dx ,( ) t,( ) t均一 阶可导,则 ( )( )( )( )( )F ttfttft . 2.无穷小的比较： 设在同一个极限过程中,( ),( )xx为无穷小且存在极限 ( ) lim ( ) x l x , (1) 若0,l 称( ),( )xx在该极限过程中为同阶无穷小； (2) 若1,l 称( ),( )xx在该极限过程中为等价无穷小,记为( )( )xx； 4 (3) 若0,l 称在该极限过程中( )x是( ) x的高阶无穷小,记为( )( )xox. 若 ( ) lim ( ) x x 不存在(不为),称( ),( )xx不可比较. (2)【答案】(C) 【
9、解析】题目考察抽象函数的凹凸性和单调性的问题. 方法 1：由()( )fxf x(,) 知,( )f x的图形关于y轴对称.由在(,0)内, 0fx 且( )0fx知,( )f x的图形在(,0)内单调上升且是凸的；由对称性知,在 (0,)内,( )f x的图形单调下降,且是凸的,所以应选(C). 方法 2：由()( )fxf x可知()( ),()( )fxfxfxfx. 当(0,)x时,(,0)x ,此时由题设知0fx ,()0fx ,则 ( )0,( )0,(0,)fxfxx, 故应选(C). 方法 3：排除法.取 2 ( )f xx ,易验证( )f x符合原题条件,计算可知(A)、(
10、B)、(D)三个选 项均不正确,故应选(C). 方法 4：由题设可知( )f x是一个二阶可导的偶函数,则( )fx为奇函数,( )fx为偶函数,又 在(,0)内( )0,( )0fxfx,则在(0,)内( )0,( )0fxfx,故应选(C). (3)【答案答案】(C) 【分析】这一类题目最好把观察法与 123123 (,)(,)C 技巧相结合. 【解析】对于(A), 122331 0,即存在一组不全为零的数 1, -1,1,使得等式为零,根据线性相关的定义可知 122331 , 线性相关,排除(A)； 对于(B), 1223123 20,即存在一组不全为零的数 1,1, -1,使得等式为零
11、,根据线性相关的定义可知 1223123 ,2 线性相关,排除 (B)； 对于(C),简单的加加减减得不到零,就不应继续观察下去,而应立即转为计算行列式.设 有数 123 k ,k ,k ,使得 112223313 22330kkk, 5 整理得 131122233 22330.kkkkkka 已知 1 , 2 , 3 线性无关,上式成立,当且仅当 13 12 23 0 220 330 kk kk kk 因的系数行列式 101 220120 033 ,故有唯一零解,即 123 0kkk.故原向量组 12 2, 23 23, 31 3线性无关.应选(C). 或者也可以将 12 2, 23 23,
12、 31 3用 123 , 线性表出,且写成矩阵形式,有 122331123123 101 2,23,3,220, 033 C 记 , 120C ,则C可逆,故两向量组是等价向量组,由 1 , 2 , 3 线性无关知 12 2, 23 23, 31 3线性无关. (4)【答案答案】(D) 【解析】方法 1方法 1：用排除法.任意两个同阶可逆矩阵不具备乘法的交换律,不一定相似,也 不一定合同. 例如,若 1010 0302 A,B ,由于特征值不同,故不相似,又对应二次型的正、负 惯性指数不同,故也不合同,(B)、(C)不成立； 若 1010 0302 A,B ,则 111012 030206 A
13、B , 101111 020306 BA, ABBA. 故(A)不成立；应取(D). 方法 2方法 2：因,A B是同阶(设为n)可逆阵,故有 r Ar Bn,而 r Ar B,A B等价存在可逆阵P,Q使得PAQB. (这里只需取 1 PA ,QB, 既有 1 PAQA BAB 成立),故应选(D). 6 或者,因,A B是同阶可逆阵,故,A B均可以通过初等行变换化成单位阵, AE,BE, 行变换行变换 即存在初等阵 1212sr PP,P ,P ,WW ,WW ,使得 PAE,WBE, 从而有PAEWB,得 1 PAWPAQB 1 WQ .故(D)成立. (5)【答案】(A) 【解析】因
14、X和Y相互独立, 而 11 11,11 22 P XP YP XP Y , 故有： 111 1,111 224 P XYP XP Y ； 111 1,111 224 P XYP XP Y ； 111 1,111 224 P XYP XP Y ； 111 1,111 224 P XYP XP Y； 111 1,11,1 442 P XYP XYP XY , 故(A)正确,(B)错； 111 01,11,1 442 P XYP XYP XY , 故(C)错； 111 11,11,1 442 P XYP XYP XY , 故(D)错. 三、(本题满分 6 分.)三、(本题满分 6 分.) 【分析】要
15、证明 0 lim( ) x Q xQ ,只须证明 0 limln( )ln x Q xQ 即可,因为( )Q x为指数函数,因 此化为对数形式便于极限计算. 【解析】因为 1 ln( )lnln(1) xx Q xAKL x ,而且 0 0 1 ln(1) lim ln(1)ln lim (1) ln(1)lnln(), xx x xx xx x KL x KKLL KL KLK L 7 所以, 11 0 limln( )lnln()ln() x Q xAK LAK L , 于是, 1 0 lim( ) x Q xAK LQ . 四、(本题满分 5 分.)四、(本题满分 5 分.) 【解析】由
16、题设有 duff dyf dz dxxy dxz dx .(*) 在0 xy ey中,将y视为x的函数,两边对x求导,得 2 ()0 11 xy xy xy dydydyyey eyx dxdxdxxexy .(1) 在0 z exz中,将z视为x的函数,两边对x求导,得 0 z z dzdzdzzz ezx dxdxdxexxyx .(2) 将(1)、(2)两式代入()式,得 2 1 dufyfzf dxxxyyxyxz . 【相关知识点】1.多元复合函数求导法则：若( , )uu x y和( , )vv x y在点( , )x y处偏导数 存在,函数( , )zf u v在对应点( , )
17、u v具有连续偏导数,则复合函数 ( , ), ( , )zf u x y v x y 在点( , )x y处的偏导数存在,且 , zfufvzfufv xuxv xyuyv y . 五、(本题满分 6 分)五、(本题满分 6 分) 【分析】要求获得最大利润时的销售量,需写出利润与销售量之间的的关系( )x,它是商品 销售总收入减去成本和政府税收.正确写出( )x后,满足 0 ()0 x的 0 x即为利润最大时 的销售量,此时, 0( ) x t是t的函数,当商家获得最大利润时,政府税收总额( )Ttx t,再由导 数知识即可求出既保证商家获利最多,又保证政府税收总额达到最大的税值t. 【解析
18、】(1)设T为总税额,则Ttx.商品销售总收入为 2 (70.2 )70.2Rpxx xxx. 8 利润函数为 22 70.2310.2(4)1RCTxxxtxxt x . 令( )0 x,即0.440 xt ,得 45 (4) 0.42 t xt . 由于( )0.40 x ,因此, 5 (4) 2 xt即为利润最大时的销售量. (2)将 5 (4) 2 xt代入Ttx,得 5 (4) 2 Ttt 2 5 10 2 tt. 由( )1050T tt,得惟一驻点2t ；由于( )50Tt ,可见当2t 时T有极大 值,这时也是最大值,此时政府税收总额最大. 六、(本题满分 6 分)六、(本题满
19、分 6 分) 【分析】当0 x 时,( )F x显然连续,故只要证 0 lim( )(0) x F xF ,且当0 x 时,( )0Fx 即可. 【解析】方法 1：方法 1：显然0 x 时,( )F x连续,又由洛必达法则知 0 000 ( ) lim( )limlim( )0(0) x n n xxx t f t dt F xx f xF x , 所以( )F x在0,)上连续. 当(0,)x时, 1 1 0 22 ( )( ) ( )( ) ( ),0 x nn nn xf xt f t dt xf xfx F xx xx . 由于( )f x单调不减,故( )( )f xf,又 nn x
20、,从而( )( ) nn x f xf. 于是有( )00F xx .故( )F x在0,)上单调不减. 方法 2：方法 2：连续性证明同上.由于 1 0 2 000 22 ( )( ) ( ) ( )( )( )( ) 0, x nn xxx nnnn xf xt f t dt F x x x f x dtt f t dtx f xt f t dt xx 可见,( )F x在0,)上单调不减. 【评注】本题主要考查变上限定积分求导,洛必达法则.请考生注意本题两种证法中对于 ( )F x的不同处理方法. 9 O 3 P 2 P 1 Px 1 Q 2 Q 3 Q 1 2 yx y 【相关知识点】
21、1.对积分上限的函数的求导公式：若 ( ) ( ) ( )( ) t t F tf x dx ,( ) t,( ) t均一 阶可导,则 ( )( )( )( )( )F ttfttft . 七、(本题满分 6 分)七、(本题满分 6 分) 【分析】先作出草图,再求出曲线 2 yx在任一点 2 ( ,)a a上的切线方程及其与x轴的交点, 然后依此类推,得出一系列与x轴交点的坐标.最后进行相应计算即可. 【解析】(1)由 2 yx,得2yx .对于任意(01)aa, 抛物线 2 yx在点 2 ( ,)a a处的切线方程为 2 2 ()yaa xa. 且该切线与x轴的交点为(,0) 2 a ,故由
22、 1 1OP 可见 21 32 2 1 11 , 22 11 11 , 22 22 1 . 2 n n OPOP OPOP OP (2)由于 22 2 1 11 24 n nnn n Q POP ,可见 1 110 11 44 m nn n nnm Q P . 利用几何级数求和公式 0 1 (1) 1 n n xx x 即得 10 114 1 43 1 4 m nn nm Q P . 【评注】 本题是级数与微分学的综合题,本题中所得的级数仍为收敛的几何级数,利用几何级 数求和公式即可求出它的和. 八、(本题满分 6 分)八、(本题满分 6 分) 【解析】将直角坐标化为极坐标,由于 10 222
23、 222 22 000 4 1 ()( )2( ) 222 tt xyt rr fxydxdydfrdrrfdr , 可得 22 4 0 ( )2( ) 2 t t r f terfdr .在积分中作换元 2 r s ,又有 2 00 ( )4( ) 2 tt r rfdrsf s ds . 于是,( )f t满足积分关系式 2 4 0 ( )8( ) t t f tsf s dse . 在上式中令0t 得(0)1f.利用变上限积分的求导公式,将上式两端对t求导,得 2 4 ( )8( )8 t f ttf tte . 上述方程为关于( )f t的一阶线性微分方程,利用一阶线性微分方程通解公式
24、,得 2 24 ( )(4) t f ttC e ,其中常数C待定. 由(0)1f可确定常数1C ,因此, 2 24 ( )(41) t f tte . 【相关知识点】1.对积分上限的函数的求导公式：若 ( ) ( ) ( )( ) t t F tf x dx ,( ) t,( ) t均一 阶可导,则 ( )( )( )( )( )F ttfttft . 2. 一阶线性非齐次微分方程的标准形式为( )( )yp x yq x ,其通解公式为 ( )( ) ( ) p x dxp x dx yeq x edxC ,其中C为常数. 九、(本题满分 6 分)九、(本题满分 6 分) 【解析】(1)由
25、 * AAA AA E及 1* AA A,有 * 1 0 . 0 TTTTT T EAA PQ AAA AAAb Ab A A bA (2)用行列式拉普拉斯展开式及行列式乘法公式,有 0 T E PA AA , 11 2 1 1 0 T T A P QPQAbA A bA 又因A是非奇异矩阵,所以0A ,故 1T QA bA . 由此可知Q可逆的充要条件是0Q ,即 1 0 T bA ,亦即 1T Ab . 评注：本题考查分块矩阵的运算,要看清 1T A 是 1 阶矩阵,是一个数. 【相关知识点】1.两种特殊的拉普拉斯展开式：设A是m阶矩阵,B是n阶矩阵,则 * , * AOA AB BOB
26、* 1 * mn OAA AB BBO . 2.行列式乘积公式： 设,A B是两个n阶矩阵,则乘积AB的行列式等于A和B的行列式的乘 积,即ABA B. 十、(本题满分 10 分)十、(本题满分 10 分) 【解析】(1)设A的属于3的特征向量为 3123 T x ,x ,x,因为实对称矩阵属于不同特 征值的特征向量相互正交,故 13123 23123 0 20 T T xxx, xxx. 解上述方程组,设方程组的系数矩阵为 111 121 B ,对B进行初等行变换： 111111101 121030010 B , 系数矩阵的秩为 2,根据基础解系的个数与系数矩阵秩之间的关系,我们得到基础解系
27、的个 数为 1,解得1 0 1 T , ,即A的对应于3的特征向量为 3 1 0 1 T k, ,其中k为非零常 数. (2)方法 1：方法 1：令 123 111 120 111 P, ,则有 1 100 020 003 P AP, 即 1 AP P,其中 1 P计算如下： 12 211 31 1 3 1 2 2 231 3 131121 111 100111100 120 010031110 111 001002101 11111 0 33322 110100 11111 0301010 22636 001001 1111 00 222 P E 2 得 1 222 1 121 6 303
28、P , 1 1111002221325 11 1200201212102 66 1110033035213 AP P . 方法 2方法 2：因A是对称矩阵,不同特征值对应的特征向量互相正交,故存在正交阵Q(对P单位 化),使 1T Q AQQ AQ , T AQ Q,其中 111 362 12 0 36 111 362 Q . 111111 362333 100 12121 0020 36666 003 11111 0 36222 111111 362333 1325 122421 02102 636666 521 11133 0 36222 T AQ Q 3 . 方法 3：方法 3：由于矩阵
29、A的特征值是 1,2,3,特征向量依次为 123 , ,利用分块矩阵有 123123 (,)(,2,3)A . 13 因为 123 , 是不同特征值的特征向量,它们线性无关,于是矩阵 123 (,) 可逆.故 1 1 123123 123111 (,2,3)(,)140120 123111 1232221325 11 1401212102 . 66 1233035213 A 【评注】 本题有两个难点,一是能否由 “实对称矩阵” 挖掘出隐含的信息,通过正交性求出 3 , 另一个难点就是反求矩阵A. 十一、(本题满分 7 分)十一、(本题满分 7 分) 【分析】求分布函数( )F xP Xx实质上
30、是求Xx的概率. 【解析】由X的绝对值不大于 1,可得 当1x 时,( )0F xP Xx； 当1x 时,( )1F xP Xx； 又 11 1, 1 84 P XP X ,则 115 111111 848 PxP XP X ； 由题意X在( 1,1)内的任一子区间上取值的条件概率与该子区间长度成正比,那么当 X的值属于( 1,1)的条件下,事件1Xx 的条件概率为： ( 1)1 1| 11 1 ( 1)2 xx PXxXkk (其中k为比例正常数), 又11| 111PXX , 而 1 1 11| 11 2 PXXkk , 所以1k ,故 1 1| 11 2 x PXxX ； 当11x 时,
31、 1111XxXxX , 所以11, 11PXxPXxX . 由条件概率公式,有 14 11, 11 1| 11 11 1555 , 2816 PXxPXxX PXxXPX xx ( )11F xP XxP XPXx , 而 11 1110 88 P XP XP X , 所以 15557 ( )11 81616 xx F xP XxP XPXx , 故所求的X的分布函数为 0,1 57 ( ),11 16 1,1 x x F xx x . 十二、(本题满分 6 分)十二、(本题满分 6 分) 【解析】已知X在0,60上均匀分布,则其密度函数为： 1 ,160, ( )60 0, x f x 其
32、他. 设Y表示游客等候电梯的时间(单位： 分钟),由于电梯于每个整点的第 5 分钟,25 分钟, 55 分钟起行,则 当05X时,游客需等候时间5YX； 当525X时,游客需等候时间25YX； 当2555X时,游客需等候时间55YX； 当5560X时,游客需等候时间60565YXX(这个时间段到达,就需要 等下个整点的第分钟,所以是605X). 故Y是关于到达时刻X的函数： 5,05, 25,525, () 55,2555, 65,5560. XX XX Yg X XX XX 由随机变量函数期望的定义,有 5255560 052555 11 ( ) ( )( )( ) 6060 1 (5)(2
33、5)(55)(65) 60 1 (12.520045037.5)11.67. 60 EYg x f x dxg x dxg x dx x dxx dxx dxx dx 15 【相关知识点】1.随机变量函数期望的定义： 若随机变量()Yg X,且EY存在,则有( ) ( )EYg x f x dx . 十三、(本题满分 6 分)十三、(本题满分 6 分) 【解析】设 12 XX和表示先后开动的记录仪无故障工作的时间,则两台记录仪无故障工作的 总时间为 12 TXX. 由于每台无故障工作的时间都服从参数为的指数分布,则 12 XX和的概率密度函数为 5 5,0 ( ) 0,0 x ex f x x
34、 . 因为两台仪器是独立的,则其无故障工作的时间显然也是相互独立的,即 12 XX和独立,应用 两个独立随机变量之和的卷积公式： 当0t 时,T的概率密度为 55()5 12 0 ( )( )()2525 t xt xt f tf x f tx dxeedxte . 当0t 时,( )0f t ,即 5 25,0, ( ) 0,0. t tet f t t 由指数分布的期望和方差的结论,有 12 11 5 EXEX , 12 2 11 25 DXDX , 由期望的性质,有 1212 112 () 555 ETE XXEXEX, 由独立随机变量方差的性质,有 1212 112 () 252525 DTD XXDXDX. 【相关知识点】1.指数分布的期望和方差的结论： 若X服从参数为的指数分布,则其期望 1 EX ,方差 2 1 DX . 2.X与Y相互独立,数学期望和方差的性质: ()()( )E aXbYcaE XbE Yc, 22 ()()( )D aXbYca D Xb D Y, 其中, ,a b c为常数.
