1、第三十讲：平面向量的基本定理及坐标表示第三十讲：平面向量的基本定理及坐标表示 【学习目标】 1. 了解平面向量基本定理及其意义，了解基底的概念，会进行向量的分解及正交分解. 2. 理解平面向量坐标的概念，掌握平面向量的坐标运算，会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运 算. 3. 理解用坐标表示的平面向量共线的条件，能用向量的坐标形式判断两向量及三点是否共线. 【知识梳理】 1、平面向量的基本定理 如 果 1 e ， 2 e 是 同 一 平 面 内 的 两 个 _ 向 量 ， 那 么 对 于 这 一 平 面 内 的 任 意 向 量a ， _ 12 , ，使a =_，我们把_的向量 12 ,e
2、e 叫做表示这一平面内的所有向 量的_. 2、正交分解 把一个向量分解为两个_的向量，叫做把向量正交分解 3、向量的直角坐标 在平面直角坐标系xOy内，分别取与x轴和y轴_的两个_, i j 作为基底，对于平面内 的向量a ，有且只有一对实数, x y，使得axiy j ，_就叫做在基底, i j 下的坐标. 4、向量的直角坐标运算 若 1122 ( ,),(,)ax ybxy ，则 （1）ab =； （2）ab =； （3）若( , ),ax yR ，则a =； （4）若 1122 ( ,),(,)Ax yBxy，则AB =_. 5、平面向量共线的坐标表示 若 1122 ( ,),(,)(0
3、)ax ybxyb ，则/ab 的充要条件是_. 6.常用结论 （1） 111222 ( ,),(,), ( , )Px yPxyP x y为 12 PP的中点，则点P的坐标为_. （2）设三角形的三个顶点的坐标为 112 ( ,),(,x yx 2), y 33 (,)xy，重心坐标为. 【典题分析】 题型 1：向量的坐标运算 例 1 （1）已知平面向量(1,1)a ，(1, 1)b ，则向量 13 22 ab （） A、( 2, 1)B、( 2,1)C、( 1,0)D、( 1,2) 方法： （1）向量相等就是两向量的坐标对应相等 （2）利用向量的坐标运算可将向量问题代数化。 【题组训练】
4、1、 已知( 2,4)A ,(3, 1)B,( 3, 4)C ,且CM 3CA ,2CNCB ,求点M、 N的坐标及向量MN 的坐标。 2、下列向量组中，能作为平面内所有向量基底的是（） A、 1 (0,0)e ， 2 (3, 2)e B、 1 ( 2,2)e ， 2 (5,7)e C、 1 (3,5)e ， 2 (6,10)e D、 1 (2, 3)e ， 2 13 ( ,) 24 e 3、在平行四边形ABCD中，AC为一条对角线，若(2,4)AB ，(1,3)AC ,则BD () A、( 2, 4)B、( 3, 5)C、(3,5)D、(2,4) 4、已知(1, 2)A，( 1,3)B ，若
5、3ACBC ,则C的坐标是 5已知向量3, 2a ，2,1b ，12,7c ，若c manb ，其中,m nR，则mn的值为 _ 6向量a ，b ，c 在正方形网格中的位置如图所示， 若c a b (，R)，则 _. 题型 2：平面向量的共线问题 例 2 已知梯形ABCD，其中/ABCD,且DC 2AB,三个顶点(1,2)A,(2,1)B,(4,2)C，则点D的坐 标为 方法：解决向量共线（平行）的问题，可从两向量平行的几何表示出发，也可从坐标形式出发。 【题组训练】 1、设, i j 分别为与x轴、y轴正方向相同的两个单位向量，若23aij ，则向量a 的坐标为（） A、(2,3)B、(3,
6、2)C、( 2, 3)D、( 3, 2) 2已知向量(1,1),(2, ),abx 若a b 与42ba 平行，则实数x的值是（ ） A-2B0 C1 D2 3已知向量,12 OAk，4,5 OB，,10 OCk，且A、B、C三点共线，则k _ 4已知122 03ABC x ， 、， 、，且ABC、 、三点共线，则x _ 5已知向量1,2a r ，3,3b r ，若ma nb 与 3ab 共线，则 m n （） A 1 3 B3C 1 3 D3 6、已知(1,2)a ，( 3,2)b ，( 5,6)c 。 （1）求满足cmanb 的实数,m n； （2）当实数k取何值时2kab 与24ab 平
7、行 题型 3：平面向量的基本定理的应用 例 3 如图，在ABC中，H为BC上异于,B C的任一点，M为AH的中点，若AMABAC 则 方法：准确理解平面向量基本定理中的“有且只有”唯一实数对能使任意向量用基底线性表示；线性表达 式常用线性运算直接表示，也可采用待定系数法建立方程（组）求解。 【题组训练】 1下列各组向量中，可以作为基底的是（） A 1 0,0e ， 2 1, 2e B 1 1,2e ， 2 5,7e C 1 3,5e ， 2 6,10e D 1 2, 3e ， 2 13 , 24 e 2如图，正方形ABCD中,E为DC的中点,若ADACAE ,则的值为() A3B2 C1D3
8、3、在平行四边形ABCD中，E和F分别是边CD和BC的中点，或ACAEAF ,其中,R ， 则 4 在同一个平面内， 向量,OA OB OC 的模分别为1,1,2,OA 与OC 的夹角为， 且tan7,OB 与OC 的夹角为45，若,OCmOAnOB m nR ，则mn_ 5已知向量,3at t 与3,2bt 共线且方向相同，则t _. 7 如图， 正方形ABCD中，MN、分别是BCCD、的中点， 若,ACAMBN 则 （ ） A2B 8 3 C 6 5 D 8 5 6如图，圆O是边长为2 3的等边三角形ABC的内切圆，其与BC边相切于点D，点M为圆上任意一 点，BMxBAyBD ( ,)x yR，则2xy的最大值为（） A 2 B3C2D2 2 8 已知扇形AOB半径为1，60AOB， 弧AB上的点P满足,OPOAOBR ， 则 的最大值是_； PAPB 最小值是_；
