1、讲义是乐谱，学生是听众，老师是指挥家，每节课都是一篇乐章，老师您辛苦了！ 学而思小学奥数讲义组 学而思教育07 年秋季五年级精英班第十五讲教师版Page 1 of 4 第十五讲第十五讲期末考试期末考试 考试时间：考试时间：90 分钟分钟 总总 分分 值：值：100 分分+20 分分 姓姓名：名： 得得分：分： 一、填一填（每空一、填一填（每空 5 分，共分，共 510105050 分分） 1.1.在下面的算式中，相同的汉字代表相同的数字，不同的汉字代表不同的数在下面的算式中，相同的汉字代表相同的数字，不同的汉字代表不同的数 字那么字那么， “努力力争努力力争”四个汉字所代表的四个数字的和是四个
2、汉字所代表的四个数字的和是5 5. . 2.2.有有 9 9 个连续的的质数，它们的和为偶数，则其中后个连续的的质数，它们的和为偶数，则其中后 5 5 个数的平均数是个数的平均数是16.6 3.3.一副扑克牌，共一副扑克牌，共 54 张，问：至少从中摸出张，问：至少从中摸出1919张牌才能保证：至少有张牌才能保证：至少有 5 张牌的花色相同张牌的花色相同. . 4.烙饼需要烙它的正、反面，如果烙熟一块饼的正、反面，各用去烙饼需要烙它的正、反面，如果烙熟一块饼的正、反面，各用去 3 分钟，分钟，那么用一次可容下那么用一次可容下 2 块饼块饼 的锅来烙的锅来烙 19 块饼，至少需要块饼，至少需要5
3、757分钟分钟。 5.期末结束老师买来许多乒乓球拍期末结束老师买来许多乒乓球拍，羽毛球拍和跳绳做礼物奖励全班学生羽毛球拍和跳绳做礼物奖励全班学生，全班共有全班共有 6666 个同学个同学，老师老师 预计每个人至少分得一件礼物预计每个人至少分得一件礼物, ,最多分得两件礼物，问至少有最多分得两件礼物，问至少有8 8名同学所分得的礼物的种类是完名同学所分得的礼物的种类是完 全一样的。全一样的。 6.有有 1010 个学生向老师请教问题个学生向老师请教问题， 老师解答第一个人的问题要老师解答第一个人的问题要 1 1 分钟分钟， 解答第二个人的问题需要解答第二个人的问题需要 2 2 分钟分钟， 解答第
4、三个人的问题要解答第三个人的问题要 3 3 分钟分钟， 如此下去如此下去， 如果安排两个老师来答疑如果安排两个老师来答疑， 如何巧妙安排这如何巧妙安排这 1010 个人提问个人提问， 使他们总的费时时间最少，最少的时间是使他们总的费时时间最少，最少的时间是125125分钟分钟。 7.甲、乙二人同时从同一点甲、乙二人同时从同一点 A 出发，在出发，在 A、B 两地间往返，甲每小时行两地间往返，甲每小时行 5 千米，乙每小时行千米，乙每小时行 4 千米。千米。 二人第一次相遇后二人第一次相遇后，都继续前进都继续前进，分别到达分别到达 B、A 两地后又立即按原速度返回两地后又立即按原速度返回。从开始
5、走到第三次相遇从开始走到第三次相遇， 共用了共用了 6 小时。小时。A、B 两地相距两地相距9千米。千米。 8.8.把把 125125 本书分给五二班的学生，如果其中至少有一个人分到至少本书分给五二班的学生，如果其中至少有一个人分到至少 4 4 本书，那么，这本书，那么，这 个班最多有个班最多有4141人。人。 秋季的学习很快就结束了！怎么秋季的学习很快就结束了！怎么 样样，孩子们？准备好了孩子们？准备好了，让我们来一个让我们来一个 期末大比拼吧！期末大比拼吧！ 自信！细心！你是最棒的！自信！细心！你是最棒的！ 讲义是乐谱，学生是听众，老师是指挥家，每节课都是一篇乐章，老师您辛苦了！ 学而思小
6、学奥数讲义组 学而思教育07 年秋季五年级精英班第十五讲教师版Page 2 of 4 9.9.一片一片匀速生长的匀速生长的草地草地，可供可供 5 5 头牛吃头牛吃 3030 天天，或者可供或者可供 4 4 头牛吃头牛吃 4040 天天，如果如果 4 4 头牛吃头牛吃 3030 天天，又增加又增加 了了 2 2 头牛一起吃，还可以再吃头牛一起吃，还可以再吃6天天。 10.10.在一条公路上，每隔在一条公路上，每隔 10 千米有一座仓库（如千米有一座仓库（如右右图图） ，共有五座，图中数字表示各仓库库存货物的重，共有五座，图中数字表示各仓库库存货物的重 量量.现在要把所有的货物集中存放在一个仓库里
7、，如果每吨货物运输现在要把所有的货物集中存放在一个仓库里，如果每吨货物运输 1 千米需要运费千米需要运费 0.9 元，那么元，那么要要集中集中 到到D D仓库运费最少仓库运费最少，最少是，最少是15301530元。元。 ? E ? 60吨 ? 10吨 ? 20吨 ? 30吨 ? 10吨 ? D ? C ? B ? A 二、二、大显身手（每题大显身手（每题 10 分，共分，共 10105 55050 分分） 1.甲甲、乙两车同时从乙两车同时从 A，B 两地相向而行两地相向而行，在距在距 B 地地 54 千米处相遇千米处相遇他们各自到达对方车站后立即返他们各自到达对方车站后立即返 回原地回原地，途
8、中又在距途中又在距 A 地地 42 千米处相遇千米处相遇 （1）AB 两道的距离是多少千米？两道的距离是多少千米？（2）两次相遇地点的距离两次相遇地点的距离 分析：（分析：（1 1）第一次相遇两车共行了第一次相遇两车共行了 A A， B B 间的一个单程，其中乙行了间的一个单程，其中乙行了 5454 千米；第二次相遇两车共行千米；第二次相遇两车共行了了 A A，B B 间的间的 3 3 个单程个单程，乙行了乙行了 54543 3162162（千米千米），乙行的路程又等于一个单程加乙行的路程又等于一个单程加 4242 千米千米故故 A A，B B 间的间的 距离为距离为 162162424212
9、0120（千米（千米）。（）。（2 2）两个相遇点之间距离为）两个相遇点之间距离为 120120545442=2442=24 千米千米 2.一片茂盛的草地，每天的生长速度相同，现在这片青草一片茂盛的草地，每天的生长速度相同，现在这片青草 1616 头牛可吃头牛可吃 1515 天，天，或者可供或者可供 100100 只羊吃只羊吃 6 6 天，而天，而 4 4 只羊的吃草量相当于只羊的吃草量相当于 l l 头牛的吃草量，那么头牛的吃草量，那么 8 8 头牛与头牛与 4848 只羊一起吃，可以吃多少天只羊一起吃，可以吃多少天? ? 分析：设头牛天的吃草量为分析：设头牛天的吃草量为“” ，摘录条件，将
10、它们转化为如下形式方便分析，摘录条件，将它们转化为如下形式方便分析 1616 头牛头牛1515 天天16161515240240：原有草量：原有草量1515 天生长的草量天生长的草量 100100 只羊（只羊（2525 头牛）头牛）6 6 天天25256 6150150： 原有草量原有草量6 6 天生长的草量天生长的草量 从上易发现：从上易发现：1 1 天生长的草量天生长的草量1010；那么原有草量：；那么原有草量：15015010106 69090； 8 8 头牛与头牛与 4848 只羊只羊相当于相当于 2020 头牛的吃草量头牛的吃草量，其中其中 1010 头牛去吃新生草头牛去吃新生草，那
11、么剩下的那么剩下的 1010 头牛吃原有草头牛吃原有草 9090 只只 需需 9 9 天，所以天，所以 8 8 头牛与头牛与 4848 只羊一起吃，可以吃只羊一起吃，可以吃 9 9 天天。 3.北京和上海同时制成了电子计算机若干台北京和上海同时制成了电子计算机若干台，除了供应本地外除了供应本地外，北京可以支援外地北京可以支援外地 10 台台，上海可以支上海可以支 持外地持外地 4 台现决定给重庆台现决定给重庆 8 台，汉口台，汉口 6 台，若每台计算机的运费如右表，上海和北京制造的机器完全台，若每台计算机的运费如右表，上海和北京制造的机器完全 相同，应该怎样调运运费最省，最省的运费是多少百元？
12、相同，应该怎样调运运费最省，最省的运费是多少百元？ 分析：上表中第一行的差价为分析：上表中第一行的差价为 84 44（百元（百元） ，第二行的差价为，第二行的差价为 5 32 （百元百元） 。 说明从北京给重庆多发说明从北京给重庆多发 1 台机器要多付运费台机器要多付运费 4 百元百元， 而从上海给重庆多发而从上海给重庆多发 1 台机器要多付运费台机器要多付运费 2 百元。所以应尽量把北百元。所以应尽量把北 京的产品运往汉口京的产品运往汉口，而汉口只要而汉口只要 6 台台，于是可知北京调往汉口于是可知北京调往汉口 6 台台， 其余其余 4 台调往重庆台调往重庆，上海上海 4 台全部调往重庆台全
13、部调往重庆，总运费为总运费为：468 45476（百元（百元） 。 ? 3 ? 5 ? 8 ? 4 ? 重庆 ? 汉口 ? 上海 ? 发站 ? 运费/百元 ? 到站 ? 北京 讲义是乐谱，学生是听众，老师是指挥家，每节课都是一篇乐章，老师您辛苦了！ 学而思小学奥数讲义组 学而思教育07 年秋季五年级精英班第十五讲教师版Page 3 of 4 4.4.甲甲每分钟走每分钟走 5050 米，乙每分钟走米，乙每分钟走 6060 米，丙每分钟走米，丙每分钟走 7070 米米. .甲、乙两人从甲、乙两人从 A A 地，丙一人从地，丙一人从 B B 地同时相地同时相 向出发，丙遇到乙后向出发，丙遇到乙后 2
14、 2 分分钟又遇到甲，钟又遇到甲，A A、B B 两地相距两地相距多少多少米米？ 分析：线段示意图如下：分析：线段示意图如下：当乙和丙相遇时，乙和甲相距当乙和丙相遇时，乙和甲相距：(70+50)(70+50)2 2= =240(240(米米) )，从从 3 3 人同时出发到乙人同时出发到乙、 丙 相 遇 经 过丙 相 遇 经 过 ： 240240(60(60- -50)50)= =24(24( 分分 ) ) ， 即 实 线 的 时 间 为， 即 实 线 的 时 间 为 2424 分 ，分 ， A A 、 B B 两 地 相 距两 地 相 距 ： （ 60+7060+70 ） 2424= =13
15、01302424= =3120(3120(米米) ). . 5.5.一个农夫有面积为一个农夫有面积为 4 4 公顷、公顷、8 8 公顷和公顷和 1212 公顷的三块牧场公顷的三块牧场. .三块牧场上的草长得一样密，而且长得一三块牧场上的草长得一样密，而且长得一 样快样快. .农夫将农夫将 8 8 头牛赶到头牛赶到 4 4 公顷的牧场，牛公顷的牧场，牛 1010 天吃完了草；如果农夫将天吃完了草；如果农夫将 8 8 头牛赶到头牛赶到 8 8 公顷的牧场公顷的牧场, ,牛牛 3 30 0 天可天可吃完草吃完草问：若农夫将这问：若农夫将这 8 8 头牛赶到头牛赶到 1212 公顷的牧场，这块牧场够这
16、些牛吃几天公顷的牧场，这块牧场够这些牛吃几天? ? 分析：分析：设设 1 头牛头牛 1 天吃天吃草量为草量为“” ，可以将不同的公顷数统计为单位量可以将不同的公顷数统计为单位量“1”公顷来解决。公顷来解决。 原条件：原条件：4 公顷公顷8 头牛头牛10 天天 8 公顷公顷8 头牛头牛30 天天 可转化为：相当于把可转化为：相当于把 4 公顷草地分割成公顷草地分割成 4 块每块一公顷有块每块一公顷有 2 头牛来吃，所以吃的时间不变头牛来吃，所以吃的时间不变 相当于把相当于把 8 公顷草地分割成公顷草地分割成 8 块每块一公顷有块每块一公顷有 1 头牛来吃，所以吃的时间不变头牛来吃，所以吃的时间不
17、变 1 公顷公顷2 头牛头牛10 天天2 210102020：1 1 公顷原有草量公顷原有草量1010 天天 1 1 公顷新生草量公顷新生草量 1 公顷公顷1 头牛头牛30 天天130303030：1 1 公顷原有草量公顷原有草量3030 天天 1 1 公顷新生草量公顷新生草量 从上易得：从上易得：1 1 天天 1 1 公顷新生草量公顷新生草量（30302020）（30301010）0.50.5；1 1 公顷原有草量公顷原有草量20200.50.510101515； 1 1 天天 1212 公顷新生草量公顷新生草量0.50.512126 6；1212 公顷原有草量公顷原有草量151512121
18、80180 8 8 头牛里头牛里，若有若有 6 6 头牛去吃每天生长的草头牛去吃每天生长的草，剩下剩下 2 2 头牛需要头牛需要 1801802=902=90（天天）可将原有草吃完可将原有草吃完，即即它可它可供供 8 8 头头牛吃牛吃 9090 天。天。 三、附加题目（每题三、附加题目（每题 10 分，从三道题目中选择两道来做，三道题目全部做也只得满分分，从三道题目中选择两道来做，三道题目全部做也只得满分 20 分。分。 共共 10 02=202=20 分分） 1.老师在黑板上出了两道题，规定每道题做对得老师在黑板上出了两道题，规定每道题做对得 2 2 分，没有做得分，没有做得 1 1 分，做
19、错的分，做错的 0 0 分。老师说：分。老师说：“可以可以 肯定全班同学中至少有肯定全班同学中至少有 6 6 名同学各题的得分都相同。名同学各题的得分都相同。”那么，同学们请算算这个班至少有多少个人？那么，同学们请算算这个班至少有多少个人？ 分析：同学做两道题的得分情况为分析：同学做两道题的得分情况为“抽屉抽屉”，用（，用（a,ba,b）表示各题的得分情况，其中）表示各题的得分情况，其中 a a，b b 表示一题和二表示一题和二 题的得分题的得分，那么抽屉共有那么抽屉共有：（2 2，2 2）（2 2，1 1）（1 1，2 2）（2 2，0 0）（0 0，2 2）（1 1，1 1）（1 1，0
20、0）（0 0，1 1）（0 0， 0 0）这）这 9 9 种情况，求学生数量即种情况，求学生数量即“苹果苹果”数为：数为：9 95 51 14646（人（人） 。 讲义是乐谱，学生是听众，老师是指挥家，每节课都是一篇乐章，老师您辛苦了！ 学而思小学奥数讲义组 学而思教育07 年秋季五年级精英班第十五讲教师版Page 4 of 4 2.甲甲乙二人分别从乙二人分别从 A、B 两地同时相向而行，甲的速度是乙的两地同时相向而行，甲的速度是乙的 1.5 倍。二人相遇后继续行进，甲到倍。二人相遇后继续行进，甲到 B 地、乙到地、乙到 A 地后立即返回，已知二人第地后立即返回，已知二人第四四次相遇的地点距离
21、第次相遇的地点距离第三三次相遇的地点次相遇的地点 20 千米，那么千米，那么 A、B 两两 地相距多少千米？地相距多少千米？ ? B ? C ? D ? A 分析：分析：因为甲的速度是乙的因为甲的速度是乙的 1.51.5 倍。所以倍。所以1.53 2SVV 乙乙甲甲 ：S：1：，第一次相遇甲乙走一个全，第一次相遇甲乙走一个全 程甲走程甲走 3 份在份在 C 点相遇点相遇， 由此推出由此推出, ,第三次相遇甲乙共走第三次相遇甲乙共走： 3 32 21 15 5 （个全程个全程） ， 甲走了甲走了： 3 35 51515 （份份） 在在 B B 点，第四次相遇甲乙共走：点，第四次相遇甲乙共走：4
22、42 21 17 7（个全程（个全程） ，甲走了：，甲走了：3 37 72121（份）在（份）在 D D 点点, ,已知已知 BDBD 是是 2 20 0 千米，千米，所以所以 AB 的长度是的长度是 204（2+3）25（千米（千米） 。 3.一片一片匀速生长的匀速生长的牧草牧草，如果让马和牛去吃如果让马和牛去吃，15 天将草吃尽天将草吃尽；如果让马和羊去吃如果让马和羊去吃，20 天将草吃尽天将草吃尽；如如 果让牛和羊去吃，果让牛和羊去吃，30 天将草吃尽。已知牛和羊每天的吃草量的和等于马每天的吃草量。现在让马、牛天将草吃尽。已知牛和羊每天的吃草量的和等于马每天的吃草量。现在让马、牛、 羊一
23、起去吃草，几天可以将这片牧草吃尽？羊一起去吃草，几天可以将这片牧草吃尽？ 分析：分析：设设 1 头头马马 1 天吃天吃草量为草量为“” ，摘录条件，将它们转化为如下形式方便分析摘录条件，将它们转化为如下形式方便分析 马和牛马和牛15 天天15 天马和牛吃草量原有草量天马和牛吃草量原有草量15 天新长草量天新长草量（）（） 马和羊马和羊20 天天20 天马和羊吃草量原有草量天马和羊吃草量原有草量20 天新长草量天新长草量（）（） 牛和羊（同马）牛和羊（同马）30 天天30 马（牛和羊）吃原有草量马（牛和羊）吃原有草量30 天新长草量天新长草量（）（） 由（）由（）（）可得：（）可得：30 天牛吃草量原有草量天牛吃草量原有草量牛每天吃草量原有草量牛每天吃草量原有草量30； 由（由（3）分析知道：）分析知道：30 天羊吃草量天羊吃草量30 天新长草量，羊每天吃草量每天新长草量；天新长草量，羊每天吃草量每天新长草量； 讲分析的结果带入（讲分析的结果带入（2）得：原有草量）得：原有草量20，带入（，带入（3）30 天牛吃草量天牛吃草量20 得牛每天吃草量得牛每天吃草量 2 3 这样如果马这样如果马、牛和羊一起吃牛和羊一起吃，可以让羊去吃新生草可以让羊去吃新生草，马和牛吃原有草可以吃马和牛吃原有草可以吃：20（1 2 3 ）12（天天） 。
