1、讲义是乐谱，学生是听众，老师是指挥家，每节课都是一篇乐章，老师您辛苦了 学而思小学奥数讲义组 学而思教育07 年秋季五年级精英班第五讲教师版Page 1 of 8 第五讲第五讲包含与排除包含与排除 教学目标教学目标 本讲的知识要点及需要学生掌握的解题方法：本讲的知识要点及需要学生掌握的解题方法： 1 1包含排除法的内容包含排除法的内容。 （了解）（了解） 2 2包含排除法的简单应用包含排除法的简单应用。 （掌握）（掌握） 3 3设关键未知项解设关键未知项解。 （掌握）（掌握） 要求学生知道基本公式的内容要求学生知道基本公式的内容 （弄清楚具体题目中的量分别是公式中的哪一部分弄清楚具体题目中的量
2、分别是公式中的哪一部分） ， 而且会熟练运用而且会熟练运用； 能够用公式与韦恩图结合解题（要求学生弄清楚韦恩图中每一部分代表的含义能够用公式与韦恩图结合解题（要求学生弄清楚韦恩图中每一部分代表的含义） 。 容斥原理的要领：多算的要减去、少算的要补上。有些题目不一定与公式完全吻合，那么分析题目容斥原理的要领：多算的要减去、少算的要补上。有些题目不一定与公式完全吻合，那么分析题目 时要弄清楚哪些是多算的，哪些是少算了的，也有些问题需要转化成它的反面情况去考虑。教师讲课时时要弄清楚哪些是多算的，哪些是少算了的，也有些问题需要转化成它的反面情况去考虑。教师讲课时 要结合画韦恩图来分析。要结合画韦恩图来
3、分析。 分析分析：画四个圆能将长方形划分为画四个圆能将长方形划分为 14 个部分个部分，因为两个圆只可能有两个交点因为两个圆只可能有两个交点，第四个圆与其余三个圆最第四个圆与其余三个圆最 多只能有多只能有 6 个交点个交点，这六个交点将圆周分为这六个交点将圆周分为 6 段圆弧段圆弧，每段圆弧将三个圆的情况下每段圆弧将三个圆的情况下 6 个划区分为两部分个划区分为两部分， 所以，四个圆的情况最多只能比原先三个圆的情况的划区数目多所以，四个圆的情况最多只能比原先三个圆的情况的划区数目多 6，所以四个圆的情况只能将长方形划，所以四个圆的情况只能将长方形划 分为分为 14 个部分个部分.同样的五个圆能
4、将长方形划分为同样的五个圆能将长方形划分为 14+8=22 个部分个部分， 六个圆能将长方形划分为六个圆能将长方形划分为 22+10=32 个个 部分，部分，n 个圆能将长方形划分为个圆能将长方形划分为 2+2+4+6+8（2n-4）+（2n-2）=n2-n+2 块块. 评注 韦恩图在包含与排除中运用广泛，但它只适用于三个圆和四个圆以下的情况，如果有四组不完全 相关性质划分集合，根据乘法原理它们会将集合划分为 2222=16 种类别.这是四个圆划分长方形无 法办到的，圆办不到，不代表其他图形办不到，例如右图，粗实线能够分别穿越原来的 8 个区块将长方 形分为 8+8=16 个部分.一般小学奥数
5、题中最多出现三组不完全相关性质划分集合的情况，用韦恩图足够 了.万一出现四组不完全相关性质的情况，不推荐使用韦恩图. 在一张长方形的纸张上画一个圆能将长方形划分为两个部分在一张长方形的纸张上画一个圆能将长方形划分为两个部分； 画俩圆能将长方画俩圆能将长方 形划分为四个部分形划分为四个部分，画仨圆能将长方形划分为八个部分画仨圆能将长方形划分为八个部分，那么画四个圆最多能那么画四个圆最多能 将长方形纸划分为多少个部分？五个圆，六个圆呢？将长方形纸划分为多少个部分？五个圆，六个圆呢？ 想想挑挑战战吗？吗？ 讲义是乐谱，学生是听众，老师是指挥家，每节课都是一篇乐章，老师您辛苦了 学而思小学奥数讲义组
6、学而思教育07 年秋季五年级精英班第五讲教师版Page 2 of 8 专题精讲专题精讲 包含排除法：包含排除法： 1 1若已知若已知 A A、B B、C C 三部分的数量（如图三部分的数量（如图） ，其中，其中 C C 为重复部分，则为重复部分，则 图中的数量等于图中的数量等于 A+B-C.A+B-C. 即：即：A AB=A+B-B=A+B- A AB B，其中，其中 A AB=C.B=C. 2 2若已知若已知 A A、 B B、 C C 三部分的数量三部分的数量 （如图如图） ，则图中的数量等于则图中的数量等于 A+B+C-A+B+C- （A A 与与 B B 重叠部分重叠部分+ + B B
7、 与与 C C 重叠部分重叠部分+ + C C 与与 A A 重叠部分）重叠部分）+A+A、B B、 C C 三者重叠的部分三者重叠的部分. . 即：即：A AB BC=A+B+C-C=A+B+C-（A AB+BB+BC+CC+CA A）+ + A AB BC.C. 以上概念中符号解释：以上概念中符号解释： “”“”表示并集表示并集， “A AB B”表示表示 A A 并并 B B，通俗的讲表示所有或属于，通俗的讲表示所有或属于 A A、或属于、或属于 B B 的元素的的元素的 数量（集合数量（集合） ， “A AB BC C” 通俗的讲表示所有或属于通俗的讲表示所有或属于 A A、或属于、或
8、属于 B B、或属于、或属于 C C 的元素数量的元素数量. . “”“”表示交集表示交集， “A AB B”表示表示 A A 交交 B B，通俗的讲表示所有即属于，通俗的讲表示所有即属于 A A、又属于、又属于 B B 的元素的的元素的 数量（集合数量（集合） ， “A AB BC C”通俗的讲表示所有即属于通俗的讲表示所有即属于 A A，又属于，又属于 B B，还属于，还属于 C C 的元素数量的元素数量 基本类型基本类型 【例【例 1 1】 在桌面上放置着三个面积相等的纸片在桌面上放置着三个面积相等的纸片 A A、B B、C C，A A 和和 B B 的重叠面积为的重叠面积为 1616
9、cmcm 2 2， ，B B 和和 C C 重叠的面积重叠的面积 为为 1212 cmcm 2 2， ，C C 和和 A A 重叠的面积为重叠的面积为 1010 cmcm 2 2，三张纸片共同重叠的面积为 ，三张纸片共同重叠的面积为 6 6 cmcm 2 2，已知三张纸片一共覆盖 ，已知三张纸片一共覆盖了了 160160 cmcm 2 2，那么每张纸片的面积为多少？ ，那么每张纸片的面积为多少？ 分析分析：将各种重叠将各种重叠、部分重叠的各部分凑成三张纸片的的面积和部分重叠的各部分凑成三张纸片的的面积和.可以由公式推倒可以由公式推倒，也可以靠对各部分面也可以靠对各部分面 积的容斥关系和数量关系
10、的理解积的容斥关系和数量关系的理解，三张纸片的面积和三张纸片的面积和=覆盖面积覆盖面积+重叠了两次部分的面积重叠了两次部分的面积+2重叠了三次重叠了三次 部分的面积部分的面积=覆盖面积覆盖面积+两两相互重叠的面积之和两两相互重叠的面积之和-重叠了三次的部分重叠了三次的部分=160+16+12+10-6=192，所以每张纸，所以每张纸 片的面积为片的面积为 64cm2. 前铺在桌面上放置着三个两两重叠的近圆形纸片（如图，三个纸片等大） ，它们 的面积都是 100cm 2，并知 A、B 两圆重叠的面积是 20cm2，A、C 两圆重叠的面积为 45cm 2，B、C 两圆重叠的面积为 31cm2,三个
11、圆共同重叠的面积为 15cm2，求盖住桌子 的总面积。 分析： （法 1）直接套用公式：1003-20-45-31+15=219cm 2.套用公式的前提必须建 立在对公式的理解的基础上，A、B、C 三个圆的面积各包含了四块面积，例如 A 覆盖的部分包括，A 与 B 共有而 C 没有的；A 与 C 共有的而 B 没有的，A、B、C 三圆共有的；A 独有的.这样如果将 A、B、C 的面积 简单相加，A 与 B 共有而 B 没有的；A 与 C 共有的而 B 没有的；B 与 C 共有的而 A 没有的；A、B、C 三个 部分的共有部分则被计算了 3 次，如果再将 A、C 两圆重叠的；B、C 两圆重叠的；
12、A、B 两圆重叠的三部 分各减去一遍，那么同时 A、B、C 三个部分的共有部分则被减了 3 次，此时得到的结果中 A、B、C 三个 部分的共有部分没有被计算过，所以最后还要将这一部分加上. C B A C B A 讲义是乐谱，学生是听众，老师是指挥家，每节课都是一篇乐章，老师您辛苦了 学而思小学奥数讲义组 学而思教育07 年秋季五年级精英班第五讲教师版Page 3 of 8 （法二）分别计算各区块的面积，A 与 B 共有而 C 没有的=20-15=5，B 与 C 共有的而 A 没有的=31-15=16， A 与 C 共有的而 B 没有的=45-15=30.A 独有的=100-5-30-15=5
13、0，B 独有的=100-16-5-15=64，C 独有的 100-30-16-15=39.盖住桌子的总面积=15+5+16+30+50+64+39=219，事实上如果我们实现没有将各个区块 算出来的话，盖住桌子的总面积=15+（20-15）+（31-15）+（45-15）+（100-15-（20-15）-（45-15） ） +（100-15-（20-15）-（31-15） ）+（100-15-（36-15）-（45-15） ）=1003-20-45-31+15=219. 【例【例 2】 某校五年级有某校五年级有 120 名学生，订故事大王的有名学生，订故事大王的有 85 人，订儿童漫画的有人，
14、订儿童漫画的有 90 人，订优秀人，订优秀 作文选作文选的有的有 70 人人，同时订同时订故事大王故事大王和和优秀作文选优秀作文选的有的有 62 人人，同时订同时订儿童漫画儿童漫画和和优秀优秀 作文选作文选的有的有 46 人人，同时订这三种杂志的有同时订这三种杂志的有 21 人人，此外此外，还有还有 5 名学生没有订任何杂志名学生没有订任何杂志，问问：恰好只恰好只 订了故事大王和儿童漫画的有多少人？订了故事大王和儿童漫画的有多少人？ 分析：设同时订故事大王和儿童漫画的有分析：设同时订故事大王和儿童漫画的有 X 人，有人，有 120-（85+90+70-62-46-X+21）=5，X=43， 所
15、以恰好只订故事大王和儿童漫画的有所以恰好只订故事大王和儿童漫画的有 43-21=22 人人. 前铺学而思八年级竞赛班有 50 人，共有三个科技兴趣小组；天文、无线电和计算机，参加天文组的有 38 人，参加无线电组的有 35 人，参加计算机组的有 31 人，既参加天文组又参加无线电组的有 29 人，既 参加天文组又参加计算机组的有 28 人，即参加无线电又参加计算机的有 26 人，三个小组都参加的有 24 人，试求三个小组都没有参加的人数. 分析：50-（38+35+31-29-28-26+24）=5 人. 【例【例 3】 五年级三班有五年级三班有 46 名学生参加三项课外活动名学生参加三项课外
16、活动， 其中其中 24 人参加了绘画小组人参加了绘画小组， 20 人参加了合唱小组人参加了合唱小组， 参加朗诵小组的人数是既参加绘画小组又参加朗诵小组人数的参加朗诵小组的人数是既参加绘画小组又参加朗诵小组人数的 3.5 倍倍， 又是三项活动都参加人数的又是三项活动都参加人数的 7 倍倍， 既参加朗诵小组又参加合唱小组的人数相当于三项都参加人数的既参加朗诵小组又参加合唱小组的人数相当于三项都参加人数的 2 倍倍，既参加绘画小组又参加合唱小组既参加绘画小组又参加合唱小组 的有的有 10 人，求参加朗诵小组的人数。人，求参加朗诵小组的人数。 分析：设三项都参加的人数有分析：设三项都参加的人数有 X
17、人，则参加朗诵小组的人数为人，则参加朗诵小组的人数为 7X 人，参加绘画小组又参加朗诵小组的人，参加绘画小组又参加朗诵小组的 人数为人数为 2X 人人，参加朗诵小组又参加合唱小组的人数为参加朗诵小组又参加合唱小组的人数为 2X 人人，于是有于是有 46-（24+20+7X-2X-2X-10+X） ，解解 得得 X=3,所以参加朗诵小组的人数为所以参加朗诵小组的人数为 21 人人. 【例【例 4】 某校举行数学竞赛某校举行数学竞赛，共出共出 A、B、C 三道题三道题，有有 110 人参加竞赛人参加竞赛，每个人都至少答对一道题每个人都至少答对一道题，已已 知答对知答对 A 题的有题的有 52 人，
18、只答对人，只答对 A 题的有题的有 16 人；答对人；答对 B 题的有题的有 61 人，只答对人，只答对 B 题的有题的有 15 人；答对人；答对 C 题的有题的有 63 人，只答对人，只答对 C 题的有题的有 21 人，问三道题都答对的有多少人？人，问三道题都答对的有多少人？ 分析分析：结合题的条件结合题的条件，设仅答对设仅答对 AB 的有的有 X 人人，BC 的有的有 Z 人人，AC 的有的有 Y 人人，全答对的有全答对的有 W 人人，可得可得 以下等式：以下等式： 16+X+Z+W=52 15+X+Y+W=61 21+Y+Z+W=63 16+5+21+X+Y+Z+W=110 +-2：解得
19、：解得 W=8，即三道题都答对得人数为，即三道题都答对得人数为 8. 讲义是乐谱，学生是听众，老师是指挥家，每节课都是一篇乐章，老师您辛苦了 学而思小学奥数讲义组 学而思教育07 年秋季五年级精英班第五讲教师版Page 4 of 8 包容排斥与数论包容排斥与数论 【例【例 5】 在在 1 到到 2004 的所有自然数中，既不是的所有自然数中，既不是 2 的倍数，也不是的倍数，也不是 3、5 的倍数的数有多少个？的倍数的数有多少个？ 分析：分析：1 到到 2004 中是中是 2 的倍数的有的倍数的有 1002 个，个，3 的倍数有的倍数有 668 个，个，5 的倍数有的倍数有2004/5=400
20、 个个,6 的倍数的倍数有有 334 个，个，10 的倍数有的倍数有2004/10=200 个，个，15 的倍数有的倍数有2004/15=133 个，个，30 的倍数有的倍数有2004/30=66 个个.所以所以 不是不是 2、3、5 的倍数有的倍数有 2004-1002-668-400+334+200+133-66=535 个个. 前铺求 1 至 100 的自然数中能被 3 或 7 整除的数的个数. 分析：记 A：1 到 100 中 3 的倍数，1003=331，有 33 个； B：1 到 100 中 7 的倍数，1007=142，有 14 个； AB:1 到 100 中 3 和 7 的倍数
21、，即 21 的倍数，10021=416，有 4 个。 依据公式，1 到 100 中 3 的倍数或 7 的倍数共有 33+14-4=43 个，则能被 3 或 7 整除的数的个数为 43 个. 【例【例 6 6】 在从在从 1 1 至至 10001000 的自然数中，既不能被的自然数中，既不能被 5 5 除尽也不能被除尽也不能被 7 7 除尽的数有多少个？除尽的数有多少个？ 分析分析：记记 1 1 到到 10001000 中中 5 5 的倍数组成的集合为的倍数组成的集合为 A,7A,7 的倍数组成的集合为的倍数组成的集合为 B B，则则 A AB B 表示表示 5 5 和和 7 7 的公倍数的公倍
22、数. . 可知可知 A A 中有中有 200200 个数个数，B B 中有中有 142142 个数个数，A AB B 中有中有 2828 个数个数，依据公式可知依据公式可知 A AB B 中有中有 200+142-28=314200+142-28=314 个个 数数， 即即1 1到到1001000 0中中有有31314 4个数能个数能被被5 5或或7 7整除的数整除的数， 则既不能则既不能被被5 5除尽也不能除尽也不能被被7 7除尽的数除尽的数有有1000-314=681000-314=686 6 个个. . 巩固在前 1000 个自然数中（不包括 0） ，既不是平方数也不是立方数的数有多少个
23、？ 分析：平方数 1 2、22312，31 个；立方数 13、23103，10 个；其中 1、64、729 即是平方数,也是立 方数.既不是平方数，也不是立方数的有 1000-31-10+3=962 个. 【例【例 7】 在所有的三位自然数中，组成数字的三个数字既有大于在所有的三位自然数中，组成数字的三个数字既有大于 5 的数字，又有小于的数字，又有小于 5 的数字的自然数的数字的自然数 共有多少个？共有多少个？ 分析：所有三位的自然树中仅仅由不大于五的数字组成的数有分析：所有三位的自然树中仅仅由不大于五的数字组成的数有 566=180 个数字，仅仅由不小于个数字，仅仅由不小于 5 的的 数字
24、组成的数有数字组成的数有 555=125 个个，其中其中 555 各位书即不大于各位书即不大于 5，也不小于也不小于 5，因此符合条件的三位数共因此符合条件的三位数共有有 999-99-（180+125-1）=596 个个. 前铺不超过 201 的自然数，至少有两个数字相同的奇数有多少个？ 分析：10 到 99 中符合条件的数有 5 个（11、33、55、77、99） ，100 到 199 中有三个数字都不相同的有 9 8=72 个，偶数有 50 个，有三个数字都不同得偶数有 58=40 个，因此至少有两个数字相同的不同的奇 数有 100-72-50+40=18 个,200 和 201 都不符
25、合条件.一共有 23 个符合条件. 讲义是乐谱，学生是听众，老师是指挥家，每节课都是一篇乐章，老师您辛苦了 学而思小学奥数讲义组 学而思教育07 年秋季五年级精英班第五讲教师版Page 5 of 8 【例【例 8】 分母是分母是 385 的最简真分数有多少个？并求这些真分数的和的最简真分数有多少个？并求这些真分数的和. 分析分析：385=5711，不超过不超过 385 的正整数中被的正整数中被 5 整除的数有整除的数有 77 个个；被被 7 整除的数有整除的数有 55 个个；被被 11 整除整除 的数有的数有 35 个个；被被 77 整除的数有整除的数有 5 个个；被被 35 整除的数有整除的
26、数有 11 个个；被被 55 整除的数有整除的数有 7 个个；被被 385 整除的数整除的数 有有 1 个个；最简真分数的分子可以有最简真分数的分子可以有 385-77-55-35+5+11+7-1=240.对于某个分数对于某个分数 a/385 如果是最简真分数的如果是最简真分数的 话，那么（话，那么（385-a）/385 也是最简真分数，所以最简真分数可以每两个凑成整数也是最简真分数，所以最简真分数可以每两个凑成整数 1，所以这些真分数的和，所以这些真分数的和 为为 120. 特殊类型特殊类型 【例【例 9 9】 学而思举行各年级学生画展，其中学而思举行各年级学生画展，其中 1818 幅不是
27、六年级的，幅不是六年级的，2020 幅不是五年级的，现在知道五、六幅不是五年级的，现在知道五、六 年级共展出年级共展出 2222 幅画，问：其他年级共展出多少幅画？幅画，问：其他年级共展出多少幅画？ 分析分析： （方法一方法一）其他年级与五年级共展出其他年级与五年级共展出 18 幅画幅画，其他年级与六年级共展出其他年级与六年级共展出 20 幅画幅画，五年级六年级共五年级六年级共 展出展出 22 幅画，幅画，其他年级共展出（其他年级共展出（18+20-2218+20-22）2=82=8 幅幅. . （方法二（方法二）把五年级的画看成一个集合把五年级的画看成一个集合 A A，六年级的画看成一个集合
28、六年级的画看成一个集合 B B，其他年级的画看成一个集其他年级的画看成一个集合合 C C，它们的画加起来是集合，它们的画加起来是集合 I I，那么我们知道：，那么我们知道： n(I)n(I)n(A)=20,n(I)n(A)=20,n(I)n(B)=18,n(A)n(B)=18,n(A)n(B)=22,n(B)=22,其他年级展出的画其他年级展出的画 n(C)=n(I)-n(A)-n(B).n(C)=n(I)-n(A)-n(B). 把把 n(I)n(I)n(A)=20,n(I)n(A)=20,n(I)n(B)=18n(B)=18 两个式子相加得到：两个式子相加得到：2n(I)2n(I)n(A)n
29、(A)n(B)=38,n(B)=38,即即 2n(I)=n(A)2n(I)=n(A)n(B)n(B) 38=2238=2238=60,n(I)=30.38=60,n(I)=30.所以，所以，n(C)=n(I)n(C)=n(I)n(A)n(A)n(B)=30n(B)=3022=822=8 幅。幅。 【例【例 10】（奥数网原创）某学校派出若干名学生参加体育竞技比赛，比赛一共只有三个项目，已知（奥数网原创）某学校派出若干名学生参加体育竞技比赛，比赛一共只有三个项目，已知 参加长跑、跳高、标枪三个项目的人数分别为参加长跑、跳高、标枪三个项目的人数分别为 10、15、20 人，长跑、跳高、标枪每一项的
30、的参加选手人，长跑、跳高、标枪每一项的的参加选手 中人中都有五分之一的人还参加了别的比赛项目，求这所学校一共派出多少人参加比赛？中人中都有五分之一的人还参加了别的比赛项目，求这所学校一共派出多少人参加比赛？ 分析分析：由条件可知由条件可知，参加长跑的人中有参加长跑的人中有 2 人参加其它项目人参加其它项目，参加跳高的人中有参加跳高的人中有 3 人参加其它项目人参加其它项目，参加参加 标枪的人中有标枪的人中有 4 人还参加别的项目人还参加别的项目，假设只参加长跑和跳高的人数为假设只参加长跑和跳高的人数为 x，只参加长跑和标枪的人数为只参加长跑和标枪的人数为 y， 只参加标枪和跳高的有只参加标枪和
31、跳高的有 z 人，三项都参加的有人，三项都参加的有 n 人人.那么有以下方程组：那么有以下方程组： x+y+n=2 x+z+n=3 z+y+n=4 将将 3 条等式相加则有条等式相加则有 2（x+y+z）+3n=9，由这个等式可以得到，由这个等式可以得到，n 必须是奇数，所以，必须是奇数，所以，n 只能是只能是 1 或或 3、 5、7，如果，如果 n3 时时 x、y、z 中会出现负数中会出现负数.所以所以 n=1，这样可以求得，这样可以求得 x=0，y=1，z=2. 由此可得到这个学校一共派出了由此可得到这个学校一共派出了 10+15+20-0-1-2-21=40 人人. 拓展五一班有 28
32、位同学，每人至少参加数学、语文、自然课外小组中的一个。其中仅参加数学与语文 小组的人数等于仅参加数学小组的人数，没有同学仅参加语文或仅参加自然小组，恰有 6 个同学参加数 学与自然小组但不参加语文小组，仅参加语文与自然小组的人数是 3 个小组全参加的人数的 5 倍，并且 知道 3 个小组全参加的人数是一个不为 0 的偶数，那么仅参加数学和语文小组的人有多少人？ 分析：参加 3 个小组的人数是一个不为 0 的偶数，如果该数大于或等于 4，那么仅参加语文与自然小组的 人数则大于等于 20，而仅参加数学与自然小组的人有 6 个，这样至少应有 30 人，与题意矛盾，所以参加 3 个小组的人数为 2。仅
33、参加语文与自然小组的人数为 10，于是仅参加语文与自然、仅参加数学与自然和 参加 3 个小组的人数一共是 18 人，剩下的 10 人是仅参加数学与语文以及仅参加数学的。 由于这两个人数相等，所以仅参加数学和语文小组的有 5 人。 讲义是乐谱，学生是听众，老师是指挥家，每节课都是一篇乐章，老师您辛苦了 学而思小学奥数讲义组 学而思教育07 年秋季五年级精英班第五讲教师版Page 6 of 8 【例【例 11】将将 113 这这 13 个数字分别填入如图所示的由四个大小相同的圆分割个数字分别填入如图所示的由四个大小相同的圆分割 成的成的 13 个区域中，然后把每个圆内的个区域中，然后把每个圆内的
34、7 个数相加，最后把四个圆的和相加，问：个数相加，最后把四个圆的和相加，问： 和最大是多少？和最大是多少？ 分析分析：越是中间越是中间，被重复计算的越多被重复计算的越多，最中心的区域被重复计算四次最中心的区域被重复计算四次，将数字按从将数字按从 大到小依次填写于被重复计算多的区格中，最大和为：大到小依次填写于被重复计算多的区格中，最大和为： 134+（12+11+10+9）3+（8+7+6+5）2+（4+3+2+1）=240. 【例【例 12】有有 2000 盏亮着的电灯，各有一个拉线开关控制着，现按其顺序编号盏亮着的电灯，各有一个拉线开关控制着，现按其顺序编号 为为 1，2，3，2000，然
35、后将编号为然后将编号为 2 的倍数的灯线拉一下的倍数的灯线拉一下，再将编号为再将编号为 3 的倍的倍 数的灯线拉一下数的灯线拉一下，最后将编号为最后将编号为 5 的倍数的灯线拉一下的倍数的灯线拉一下，三次拉完后三次拉完后，亮着的灯有亮着的灯有 多少盏？多少盏？ 分析：教师可以先讲解前铺，但要区分例题与前铺的区别分析：教师可以先讲解前铺，但要区分例题与前铺的区别. 三次拉完后三次拉完后，亮着的灯包括不是亮着的灯包括不是 2、3、5 的倍数的数以及是的倍数的数以及是 6、10、15 的倍数但不的倍数但不 是是 30 的倍数的数。的倍数的数。12000 这这 2000 个正整数中，个正整数中，2 的
36、倍数有的倍数有 1000 个，个，3 的倍数有的倍数有 666 个，个，5 的倍数的倍数有有 400 个，个，6 的倍数有的倍数有 333 个，个，10 的倍数有的倍数有 200 个，个，15 的倍数有的倍数有 133 个，个，30 的倍数有的倍数有 66 个，亮着的灯一个，亮着的灯一 共有共有 2000-1000-666-400+2（333+200+133）-466=1002 盏。盏。 前铺 在 1 到 2004 的所有自然数中，既不是 2 的倍数，也不是 3、5 的倍数的数有多少个？ 分析：1 到 2004 中是 2 的倍数的有 1002 个，3 的倍数的有 668 个，5 的倍数的有20
37、04/5=400 个， 6 的倍数的有 334 个，10 的倍数的有2004/10=200 个，15 的倍数的有2004/15=133 个，30 的倍数的 有2004/30=66 个。所以不是 2、3、5 的倍数有 2004-1002-668-400+334+200+133-66=535 个. 专题展望专题展望 因为容斥原理是中学的知识，所以是小升初的热点内容，相关内容我们会在五年级、六年级继续学习因为容斥原理是中学的知识，所以是小升初的热点内容，相关内容我们会在五年级、六年级继续学习. 练习五练习五 1.（例（例 1）边长为边长为 6、5、2 的三个正方形的三个正方形，如图所示如图所示，求它
38、们的盖住部分的求它们的盖住部分的 面积。面积。 分析：边长为分析：边长为 5 的正方形与边长为的正方形与边长为 6 的正方形，共同盖住的部分面积为的正方形，共同盖住的部分面积为 9； 边长为边长为 5 的正方形与边长为的正方形与边长为 2 的正方形，共同盖住的部分面积为的正方形，共同盖住的部分面积为 2； 边长为边长为 2 的正方形与边长为的正方形与边长为 6 的正方形，共同盖住的部分面积为的正方形，共同盖住的部分面积为 2； 三个正方形共同盖住的面积为三个正方形共同盖住的面积为 1。 它们一共盖住面积为它们一共盖住面积为 25+36+4-9-2-2+1=53. 讲义是乐谱，学生是听众，老师是
39、指挥家，每节课都是一篇乐章，老师您辛苦了 学而思小学奥数讲义组 学而思教育07 年秋季五年级精英班第五讲教师版Page 7 of 8 2.（例（例 4）经纬小学四年级有经纬小学四年级有 45 人参加了慰问坚守在青年宫人参加了慰问坚守在青年宫、防洪纪念塔防洪纪念塔、九站三个地段抗洪的解放九站三个地段抗洪的解放 军叔叔的活动，去过青年宫慰问的有军叔叔的活动，去过青年宫慰问的有 19 人，去过防洪纪念塔的有人，去过防洪纪念塔的有 18 人，去过九站的有人，去过九站的有 16 人；去过青人；去过青 年宫、防洪纪念塔两处的有年宫、防洪纪念塔两处的有 7 人，去过青年宫、九站两处的有人，去过青年宫、九站两
40、处的有 6 人，去过防洪纪念塔、九站两处的有人，去过防洪纪念塔、九站两处的有 5 人；有人；有 3 人三处都去过；其余的在校准备慰问品，请问准备慰问品的有多少人？人三处都去过；其余的在校准备慰问品，请问准备慰问品的有多少人？ 分析：参加慰问的有分析：参加慰问的有 19+18+16-7-6-5+3=38 人，剩下人，剩下 45-38=7 人准备慰问品。人准备慰问品。 3.（例（例 4）某校有某校有 28 名学生参加市运动会名学生参加市运动会，参加跑步类项目的有参加跑步类项目的有 15 人人，参加跳类项目的有参加跳类项目的有 13 人人，参参 加投掷类项目的有加投掷类项目的有 14 人，既参加跑又
41、参加跳项目的有人，既参加跑又参加跳项目的有 4 人，既参加跑又参加投掷项目的有人，既参加跑又参加投掷项目的有 6 人，既参人，既参 加跳又参加投掷项目的有加跳又参加投掷项目的有 5 人，三种项目都参加的有人，三种项目都参加的有 2 人，试说明，这个报名表有误。人，试说明，这个报名表有误。 分析：按照赞加各个项目的详细人数，分析：按照赞加各个项目的详细人数， 该校参加市运动会的人数为该校参加市运动会的人数为 15+13+14-4-6-5+2=29 人，人， 与实际参加人数不符，所以这个报名表有误。与实际参加人数不符，所以这个报名表有误。 4.4.（例（例 7 7）求在）求在 1 1100100
42、的自然数中不是的自然数中不是 5 5 的倍数也不是的倍数也不是 6 6 的倍数的数有多少个？的倍数的数有多少个？ 分析分析： “既不是既不是 5 5 的倍数也不是的倍数也不是 6 6 的倍数的倍数”的反面情况就是的反面情况就是“是是 5 5 的倍数或者是的倍数或者是 6 6 的倍数的倍数” 。 记记A A：1 1100100 中中 5 5 的倍数，的倍数，100520，有，有 2020 个；个； B B：1 1100100 中中 6 6 的倍数，的倍数，4166100，有，有 1616 个；个； BA：1 1100100 中中 5 5 和和 6 6 的公倍数，即的公倍数，即 3030 的倍数，
43、的倍数，10330100，有，有 3 3 个。个。 依据公式依据公式，1 1100100 中中 5 5 的倍数或的倍数或 6 6 的倍数共有的倍数共有3331620个个，则既不是则既不是 5 5 的倍数也不是的倍数也不是 6 6 的的 倍数的数有倍数的数有6733100个。个。 5.（例（例 8）以）以 1001 为分母的最简真分数共有多少个？为分母的最简真分数共有多少个？ 分析：分析：1001=71113，1001 以内的以内的 7 的倍数有的倍数有 143 个，个，11 的倍数有的倍数有 91 个，个，13 的倍数有的倍数有 77 个，个，711 的倍数有的倍数有 13 个，个，137 的
44、倍数有的倍数有 5 个，个，1113 的倍数有的倍数有 143 个，只有个，只有 1001 是是 7、11、13 的倍数，的倍数，1001 以内与以内与 1001 互质的数一共有互质的数一共有 1001-（143+77+91-7-13-11+1）=720 个个. 讲义是乐谱，学生是听众，老师是指挥家，每节课都是一篇乐章，老师您辛苦了 学而思小学奥数讲义组 学而思教育07 年秋季五年级精英班第五讲教师版Page 8 of 8 成长故事成长故事 好学不倦好学不倦 在一个漆黑的晚上，老鼠首领带领着小老鼠出外觅食，在一家人的厨房内，垃圾桶之中有很多剩余在一个漆黑的晚上，老鼠首领带领着小老鼠出外觅食，在
45、一家人的厨房内，垃圾桶之中有很多剩余 的饭菜，对于老鼠来说，就好像人类发现了宝藏。的饭菜，对于老鼠来说，就好像人类发现了宝藏。正当一大群老鼠在垃圾桶及附近范围大挖一顿之正当一大群老鼠在垃圾桶及附近范围大挖一顿之 际，突然传来了一阵令它们肝胆俱裂的声音，那就是一头大花猫的叫声。它们震惊之余，更各自四处逃际，突然传来了一阵令它们肝胆俱裂的声音，那就是一头大花猫的叫声。它们震惊之余，更各自四处逃 命，但大花猫绝不留情，不断穷追不舍，终于有两只小老鼠走避不及，被大花猫捉到，正要向它们吞噬命，但大花猫绝不留情，不断穷追不舍，终于有两只小老鼠走避不及，被大花猫捉到，正要向它们吞噬 之际，突然传来一连串凶恶的狗吠声，令大花猫手足无措，狼狈逃命。之际，突然传来一连串凶恶的狗吠声，令大花猫手足无措，狼狈逃命。大花猫走后，老鼠首领施施大花猫走后，老鼠首领施施 然从垃圾桶后面走出来说：然从垃圾桶后面走出来说： 我早就对你们说，多学一种语言有利无害，这次我就因而救了你们一命。我早就对你们说，多学一种语言有利无害，这次我就因而救了你们一命。 温馨提示：温馨提示： 多一门技艺，多一条路。多一门技艺，多一条路。 不断学习实在是成功人士的终身承诺不断学习实在是成功人士的终身承诺
