1、讲义是乐谱，学生是听众，老师是指挥家，每节课都是一篇乐章，老师您辛苦了！学而思小学奥数讲义组 学而思教育07 年秋季五年级竞赛班第四讲教师版Page 1 of 13 第四讲第四讲数的进制数的进制 卷卷 教学目标教学目标 数的进制问题一直是我们教学大纲的一个漏洞，只在三年级春季班讲了一次简单的二进制与十进制数的进制问题一直是我们教学大纲的一个漏洞，只在三年级春季班讲了一次简单的二进制与十进制 的互化之外，再也没有讲过，到了六年级也只是简单提一下这几年随着二进制与计算机的联系、一的互化之外，再也没有讲过，到了六年级也只是简单提一下这几年随着二进制与计算机的联系、一年年 1212 个月、一周个月、一
2、周 7 7 天等生活中的其它进制问题的凸显，数的进制问题将来一定会是命题的热点天等生活中的其它进制问题的凸显，数的进制问题将来一定会是命题的热点 我们常用十进制我们常用十进制，可是这并不代表其它进制没有学习的必要可是这并不代表其它进制没有学习的必要，就像我们就像我们 5656 个民族个民族，汉族是多数汉族是多数，但但 其它民族也有可以学习和借鉴之处其它民族也有可以学习和借鉴之处，更何况在生活中我们用的很多就是二进制更何况在生活中我们用的很多就是二进制、三进制三进制、七进制等等七进制等等所所 以调整了大纲，放了这么一讲，大部分题目都是原创题，不妥之处请批评指教以调整了大纲，放了这么一讲，大部分题
3、目都是原创题，不妥之处请批评指教 本讲主要从两个方面来系统地介绍数的进制：一是从进制的基本计数关系、运算法则出发，使学生本讲主要从两个方面来系统地介绍数的进制：一是从进制的基本计数关系、运算法则出发，使学生 从十进制的计数思维中解脱出来；二是从进制的转化及应用来说，进一步巩固进制的使用（还有各种进从十进制的计数思维中解脱出来；二是从进制的转化及应用来说，进一步巩固进制的使用（还有各种进 制的整除特征及法则制的整除特征及法则，怕学生难以接受就没放怕学生难以接受就没放） 建议教师专题回顾讲起建议教师专题回顾讲起，先介绍几种进制的计数单位及先介绍几种进制的计数单位及 运算法则，再引出想挑战吗中间穿插
4、了两个信息点，教师可以简单介绍运算法则，再引出想挑战吗中间穿插了两个信息点，教师可以简单介绍 下表是十进制与二进制、三进制下表是十进制与二进制、三进制 、八进制、十六进制的位值（计数单位）对比图：、八进制、十六进制的位值（计数单位）对比图： 十进制十进制1010 5 5 1010 4 4 1010 3 3 1010 2 2 1010 1 1 1010 0 0 二进制二进制2 2 5 5 2 2 4 4 2 2 3 3 2 2 2 2 2 2 1 1 2 2 0 0 三进制三进制3 3 5 5 3 3 4 4 3 3 3 3 3 3 2 2 3 3 1 1 3 3 0 0 八进制八进制8 8 5
5、 5 8 8 4 4 8 8 3 3 8 8 2 2 8 8 1 1 8 8 0 0 十六进制十六进制1616 5 5 1616 4 4 1616 3 3 1616 2 2 1616 1 1 1616 0 0 n n 进制的运算法则是进制的运算法则是“逢逢 n n 进一进一” 、 “借一当借一当 n n” n n 进制的四则混合运算和十进制一样进制的四则混合运算和十进制一样：先乘除先乘除，后加减后加减； 同级运算，先左后右；有括号，先算括号里面的同级运算，先左后右；有括号，先算括号里面的 7 7 进制乘法表进制乘法表8 8 进制乘法表进制乘法表 123456 1123456 246111315
6、 312152124 4222633 53442 651 1234567 11234567 24610121416 31114172225 420243034 5313643 64452 761 我们都学过十进制乘法口诀表，那么聪明的你能写出七进制的乘法 口诀表吗？八进制的呢？ 想挑战吗？想挑战吗？ 讲义是乐谱，学生是听众，老师是指挥家，每节课都是一篇乐章，老师您辛苦了！学而思小学奥数讲义组 学而思教育07 年秋季五年级竞赛班第四讲教师版Page 2 of 13 专题回顾专题回顾 计算计算： （1） 22 (101)(111)； （2） 22 (1101)(110)； （3） 22 (1101
7、)(101)； （4） 22 (101101)(111) 分析：和十进制一样列数式计算分析：和十进制一样列数式计算， “逢二进一逢二进一” 、 “借一当二借一当二”. （1） 101 111 1100 （2） 1101 110 111 （3） 1101 101 1101 1101 1000001 （4） 110 111 101101 111 1000 111 11 专题精讲专题精讲 （一）进制的概念及性质（一）进制的概念及性质 【例【例 1 1】 （奥数网原创题）在八进制中，（奥数网原创题）在八进制中，1234-456-322=_.1234-456-322=_. 分析分析：十进制中十进制中，两
8、个数的和是整十整百整千的话两个数的和是整十整百整千的话，我们称为我们称为“互补数互补数” ，凑出凑出“互补数互补数”的这种方法叫的这种方法叫 “凑整法凑整法” ，在，在 n n 进制中也有进制中也有“凑整法凑整法” ，要凑的就是整，要凑的就是整 n.n. 原式原式=1234-(456+322)=1234-1000=234.=1234-(456+322)=1234-1000=234. 前铺 （奥数网原创题）在十进制中，1234-456-544=_._. 分析：观察两个减数，会发现它们的和是 1000所以，原式=1234-(456+544)=1234-1000=234 拓展 1 （奥数网原创题）在
9、八进制中，63121-1247-16034-26531-1744=_._. 分析：原式=63121-(1247+26531)-(16034+1744)=63121-30000-20000=13121 拓展 2 （奥数网原创题）在九进制中，14438+3123-7120-11770+5766=_._. 分析：原式=14438+(3123+5766)-(7120+11770)=14438+10000-20000=4438 讲义是乐谱，学生是听众，老师是指挥家，每节课都是一篇乐章，老师您辛苦了！学而思小学奥数讲义组 学而思教育07 年秋季五年级竞赛班第四讲教师版Page 3 of 13 信息提示关于
10、八进制的奥秘 来自外星世界的太空飞船突然出现在我们上空时将会发生什么样的情况？科学家曾经仔细研究过来 自外形世界的信号并发现信息是采用的八进制编码地球上流行十进制，换句话说，我们有 0 到 9 共 10 个数码在十进制计数法中，每个数码表示 10 的某个乘幂，但是，没有任何理由假定外星生物也会使用 十进制，来自外星的信息不大可能用十进制编码在地球上，我们的数学计算用的是十进制，因为我们 恰好有 10 个手指事实上，我们的语言已经提示了手指同数制的联系“digit”这个单词兼有两种 意思：数或手指由于十进制来自我们的 10 只手指，那么八进制会不会透漏一点外星生物的解剖学结构 呢？也许八进制会意
11、味着：外星人的每只手上有一个大拇指，3 个手指；或者是有着 8 根触须的怪物；或 者是：这种动物长着 4 只手，而每只手上有一个大拇指，一个小指甚至还有更荒唐的设想：外星人长 着 3 个头颅， 点头和摇头的全部组合刚好是 8 种！（当然也有可能他们的计数制同其身体结构毫无关系 毕 竟，古巴比伦的 60 进制不能为我们提供关于人体结构的任何信息） 【例【例 2 2】 （奥数网原创题）在六进制中，（奥数网原创题）在六进制中，15+255+3555+45555+555555=_.15+255+3555+45555+555555=_. 分析分析：利用凑整法利用凑整法，十进制中十进制中，接近整十整百整千
12、的数接近整十整百整千的数，后面会有若干个后面会有若干个 9 9，那么类似地那么类似地，在在 n n 进制中进制中， 接近一个比较整的数，后面会有若干位是接近一个比较整的数，后面会有若干位是 n-1n-1 原式原式=(20-1)+(300-1)+(4000-1)+(50000-1)+(1000000-1)=1054320-5=1054311=(20-1)+(300-1)+(4000-1)+(50000-1)+(1000000-1)=1054320-5=1054311 前铺 （奥数网原创题）在十进制中，19+299+3999+49999+599999=_. 分析：观察各个数，发现每一个都比一个整十
13、整百整千之类的数少 1所以，也可以利用凑整法，原式 =(20-1)+(300-1)+(4000-1)+(50000-1)+(600000-1)=654320-5=654315 拓展 （奥数网原创题）在七进制中，666661-66662-6663-664-65-6=_._. 分析：原式=(1000000-6)-(100000-5)-(10000-4)-(1000-3)-(100-2)-(10-1) =(1000000-111110)-6+21=555560+12=555602 【例【例 3 3】 （仁华考题）若（仁华考题）若(62)n是是(14)n的的 4 4 倍，那么倍，那么(41)n化为十进
14、制是多少？化为十进制是多少？ 分析：因为分析：因为(62)4(14) nn ，所以，所以 1010 (62)4 (4) 62416 7 nn nn n ， 710. (41)4 7 1(29) 前铺(54)n表示 n 进制数，若 10 (54)(64) n ，求 n. 分析：有5464n，得到12n . 讲义是乐谱，学生是听众，老师是指挥家，每节课都是一篇乐章，老师您辛苦了！学而思小学奥数讲义组 学而思教育07 年秋季五年级竞赛班第四讲教师版Page 4 of 13 【例【例 4 4】 （仁华考题）（仁华考题）在几进制中有在几进制中有 4 413=10013=100 分析分析：我们利用尾数分析
15、来求解这个问题我们利用尾数分析来求解这个问题：不管在几进制均有不管在几进制均有(4)(4)10(3)(3)10=(12)=(12)10但是但是，式中为式中为 100100， 尾数为尾数为 0 0 也就是说已经将也就是说已经将 1212 全部进到上一位全部进到上一位 所以说进位制所以说进位制n为为 1212 的约数的约数， 也就是也就是 1212， 6 6， 4 4， 3 3， 2 2 但但 是出现了是出现了 4 4，所以不可能是，所以不可能是 4 4，3 3，2 2 进制我们知道进制我们知道(4)(4)10(13)(13)10=(52)=(52)10，因，因 5252 100100，也就是说不
16、，也就是说不 到到 1010 就已经进位，才就已经进位，才能是能是 100100，于是我们知道，于是我们知道n1010所以，所以，n只能是只能是 6 6 前铺 计算： （234）7+（656）7 分析：7 进制的运算是逢 7 进 1，所以原式=（1223）7. 【例【例 5 5】 （仁华考题）证明（仁华考题）证明 1010110101 在任何进制的记数法中，都是一个合数在任何进制的记数法中，都是一个合数. . 分析：设在分析：设在 a a 进制，则进制，则 4222222 (10101)111(1)(1)(1) a aaaaaa aa ， 可以将其表达为两个均不为可以将其表达为两个均不为 1
17、1 的整数乘积，显然为合数的整数乘积，显然为合数. . 前铺 证明 10201 在大于 2 的任何进制的记数法中，都是一个合数. 分析：设在 b 进制，则 4222 (10201)121(1) b bbb ，所以不管在任何进制，均是一个非 1 的 完全平方数，当然是一个合数. 卷卷 （二）进制的转化及应用（二）进制的转化及应用 【例【例 6】 （奥数网原创题）（奥数网原创题）把二进制自然数把二进制自然数 10100001101 转化为八进制自然数转化为八进制自然数. 分析：分析：二进制数转化为八进制是从个位开始往前每三位转化为八进制对应关系如下：二进制数转化为八进制是从个位开始往前每三位转化为
18、八进制对应关系如下： 二进制二进制000000001001010010011011100100101101110110111111 八进制八进制0 01 12 23 34 45 56 67 7 对其进行分组，情况如下对其进行分组，情况如下： （一定要从后往前）有：（一定要从后往前）有： 10101001000010011011012 2 进制进制 2 24 41 15 58 8 进制进制 (10100001101)(10100001101)2=(2415)=(2415)8 讲义是乐谱，学生是听众，老师是指挥家，每节课都是一篇乐章，老师您辛苦了！学而思小学奥数讲义组 学而思教育07 年秋季五年级
19、竞赛班第四讲教师版Page 5 of 13 拓展 1 （奥数网原创题）把二进制小数 11.0010010001 转化为八进制小数 分析：小数和整数转化的方法类似，只不过是从小数点处，向前和向后都要三位三位数但是本题的小 数点后位数不是 3 的倍数，所以必须补 0 11. 001 001 000 100 3.1104 所以，二进制 11.0010010001 转化为八进制是 3.1104 拓展 2 （奥数网原创题）把二进制循环小数0.10011 转化为八进制循环小数 分析：循环小数转化的方法也类似，但是循环节长度不是 3 的倍数，所以需要把循环节连写三遍，如下： 0.100 111 001 11
20、0 011 0.47163 所以，二进制0.10011 转化为八进制是0.47163 拓展 3 （奥数网原创题）在几进制中，0.1463 是一个整数的倒数？ 分析：看到这类问题不知道如何入手的话，可以这样想： 大家都熟悉的十进制循环小数 1 0.142857 7 中，循环节的前一半和后一半“互补” ，也就是对应位相加 等于 9， 也就是进制数减 1 而0.1463 的循环节前一半和后一半对应位相加等于 7， 所以应该是八进制 经 检验， 1 0.1463 5 信息提示莫尔斯-瑟厄数列 在管乐声中有两个调子，用表示长调， 用表示短调，所有乐曲都可以用类似 或 表示，就是这种看似既非完全规则、又非
21、全然不规则节奏的神奇模式就是著名的、奇异的二进制数字模 式莫尔斯-瑟厄数列，它可以用 0 和 1 的数字串来表示. 莫尔斯-瑟厄数列是为了纪念挪威数学家阿克塞尔-瑟厄和普林斯顿大学的马斯登-莫尔斯而命 名的.瑟厄引入这个数列，作为一种非周期性的、但又可以通过递推办法而算出来的实例.有好几种办法 可以生成莫尔斯-瑟厄数列. 第一种：从数 0 开始，反复进行下列置换：001，110换句话说，你一旦见到 0，就用 01 取代 它，见到 1 就用 10 来取代，从一个单独的 0 开始，我们就可以得出以下各“代” ： 你可以用一支笔、一张纸来形成这个数列从 0 开 讲义是乐谱，学生是听众，老师是指挥家，
22、每节课都是一篇乐章，老师您辛苦了！学而思小学奥数讲义组 学而思教育07 年秋季五年级竞赛班第四讲教师版Page 6 of 13 始，代之以 01，现在你已有了一个两个数码的数列，用 01 代替 0，10 代替从而有了数列 0110，下一 个二进数模式是 01101001，请注意 0110 是对称的，它是一个回文数，然而 01101001 则不是但是，你 要顶住！再下面一个模式 0110100110010110 又是回文了这种现象是否交替出现？显然，数列的神奇性 质只是刚刚开始，奥妙还在后面呢 注意数列的第四行可以译成管乐声中的 8 个手指记号， 如果表示 0， 表示 1 的话， 真是令人惊讶！
23、 （未完，见数学知识） 【例【例 7 7】 （奥数网原创题（奥数网原创题）在三进制中的数在三进制中的数 1212012011011012112112120120110110121121，则将其改写为九进制则将其改写为九进制，其从左向其从左向右右 数第数第 l l 位数字是位数字是几几? ? 分析分析：我们如果通过十进制来将三进制转化为九进制，那运算量我们如果通过十进制来将三进制转化为九进制，那运算量很大很大注意到，三进制进动两位则我们注意到，三进制进动两位则我们 注意到进动了注意到进动了 3 3 个个 3 3，于是为，于是为 9 9所以变为遇所以变为遇 9 9 进进 1 1也就是九进制也就是九
24、进制. .于是，两个数一组，两个数一组，于是，两个数一组，两个数一组， 每两个数改写为九进制，如下表：每两个数改写为九进制，如下表： 3 3 进制进制12121 12 20l0l2020111101011010121211112121 9 9 进制进制5 55 5l l6 64 41 13 35 54 47 7 所以，首位为所以，首位为 5 5 总结 若原为n进制的数，转化为n k 进制，则从右往左数每k个数一组化为n k 进制 【例【例 8 8】 （仁华考题（仁华考题）N N 是整数是整数，它的它的 b b 进制表示是进制表示是 777777，求最小的正整数求最小的正整数 b b，使得使得
25、N N 是十进制整数的四是十进制整数的四 次方次方. . 分析：先化为十进制数，分析：先化为十进制数， 2 (777)777 b bb ，则有，则有 24 777bbx ，因为，因为 N N 是是 7 7 的倍数，的倍数， 所以所以 4 x也是也是 7 7 的倍数，又的倍数，又 7 7 为质数，所以为质数，所以x是是 7 7 的倍数的倍数. .于是令于是令7xt，则，则 24 7772401bbt ， 则则 2 1343bb ，(1)342b b，则，则18b . .因为因为t最小，所以最小，所以b也是最小的也是最小的. .即有最小在即有最小在 1818 进制有进制有 4 1810. (777
26、)(7 ) 前铺 在 7 进制中有三位数abc，化为 9 进制是cba，求这个三位数在十进制中是多少？ 分析：都化为十进制数， 2 7 ()77497abcabcabc ， 2 9 ()99819cbacbacba ， 于 是497819abccba，48802acb， 即 2440acb，因为24a是 8 的倍数，40c也是 8 的倍数，所以b也是 8 的倍数.于是0b 或8b ， 但在 7 进制不可能有 8.所以0b ，即2440ac，则35ac，所以a为 5 的倍数，c为 3 的倍数，有 0a 或5a ，首位不可以是 0，所以5a ，那么3c ，所以 77 ()(503)5 493248
27、.abc 讲义是乐谱，学生是听众，老师是指挥家，每节课都是一篇乐章，老师您辛苦了！学而思小学奥数讲义组 学而思教育07 年秋季五年级竞赛班第四讲教师版Page 7 of 13 拓展 设 1987 可以在b进制中写成三位数xyz，且xyz=1+9+8+7，试确定出所有可能的x、y、z 及b 分析：我们注意 2 ()1987 1 987 b xyzb xbyz xyz - 得 ： ( 2 b-1)x+(b-1)y=1987-25 ， 则 (b-1)(b+1)x+(b-1)y=1962 ， 即 (b-1)(b+1)x+y=1962所以，1962 是(b-1)的倍数1962=29109， 当b-1=9
28、 时，b=10，显然不满足； 当b-1=18 时，b=19，则（b-1)(b+1)x+y=18(20 x+y)=1962；则 20 x+y=109， 所以， 545 ,( 9299 11 b xxx yyy z =19 不满足),.则 显然，当b=109 不满足，b=2109 不满足，当b=9109 也不满足于是为(59B)19=(1987)10，B 代表 11 【例【例 9】 （仁华考题）（仁华考题）若若 n 21能被能被 15 整除，自然数整除，自然数 n 可以取哪些值？可以取哪些值？ 分析分析：因为因为 n n1 n0 2 2 21= 10001111 个 个 ，而而 2 151111
29、（），如果如果 n 21能被能被 15 整除整除，即即 n1 2 111 个 能被能被 2 1111（）整除，所以整除，所以 n 是是 4 的倍数，的倍数，n=4，8，12， 前铺 求证： 18 21能被 7 整除. 分析： 直接用十进制比较困难， 我们考虑化为二进制的整除问题.因为 18 181 180 2 2 2110001111 个 个 . 而 2 7111 （）， 于是 18 22 181 2 2171111111001001001001001 个 （- ）=（） （）， 所以 18 21能被 7 整除. 讲义是乐谱，学生是听众，老师是指挥家，每节课都是一篇乐章，老师您辛苦了！学而思小
30、学奥数讲义组 学而思教育07 年秋季五年级竞赛班第四讲教师版Page 8 of 13 拓展 计算： 20033 3 3 3. 3 1 个 26 的余数 分析： 20033 3 3 3. 3 1 个 = 20033 3 1000. 0 1 个 = 2003 3 222.2 个2 ，26=(222)3， 所以 20033 3 3 3. 3 1 个 26= 2003 3 222.2 个2 (222)3，(222)3整除(222)3，20033=6672，所以余数 是(22)3=8 【例【例 1010】 （仁华考题（仁华考题）三个两位数恰构成公差为三个两位数恰构成公差为 6 6 的等差数列的等差数列，
31、而在五进制的表示中而在五进制的表示中，这三个数的数字这三个数的数字 和是依次减少的，那么符合这样要求的等差数列有多少个？和是依次减少的，那么符合这样要求的等差数列有多少个？ 分析：设等差数列中最小的那个数表示为分析：设等差数列中最小的那个数表示为 5 5 进制为进制为 5 （abc），最大可为，最大可为 5 (322)996 287 ，最小可为，最小可为 5 (20)10. .那么有那么有 5 ()abc、 55 ()(11)abc、 55 ()(22)abc的数字的数字 和依次减少和依次减少，所以所以 55 ()(11)abc、 55 ()(22)abc在运算时均必须有进位在运算时均必须有进
32、位，不难发现有不难发现有 5 ( 24)a、 5 ( 43)a 满足，而满足，而 a a 可以取可以取 0 0，1 1，2 2，于是共有，于是共有 6 6 组符合要求的数列组符合要求的数列. . 前铺 用a、b、c、d、e分别表示五进制中互不相同的数字，如果 5 ()ade、 5 ()adc、 5 ()aab是由小 到大排列的连续正整数，那么 5 ()cde所表示的整数写成十进制的表示是多少？ 分析：由题意知 55 ()1()adeadc ， 55 ()1()adcaab ，根据进位原则知，4,0cb.又1ce， 所以3e .1ad，且a、d只能在 1，2 中取值，所以2,1ad.即 55 (
33、)(413)cde，转化为十进 制的表示为 22 510 (413)4 51 53(108) . 【例【例 11】 （奥数网原创题（奥数网原创题）一串数一串数：1，3，4，9，10，12，13，由一些正整数组成由一些正整数组成，它们或者是它们或者是 3 的幂，或者是若干个不同的的幂，或者是若干个不同的 3 的幂的和，求这串数中的第的幂的和，求这串数中的第 100 项是多少？项是多少？ 分析：将已知数改写成三进制数，得：分析：将已知数改写成三进制数，得： 1 3 4 9 10 12 13 110 11 100 101 110 111 十进制： 三进制： 观察发现，在三进制数中，各位上的数字均不是
34、观察发现，在三进制数中，各位上的数字均不是 2，若将它们看成二进制数，可以看出，它们与十进制，若将它们看成二进制数，可以看出，它们与十进制 数数 1， 2， 3， 4， 5， 6， 7， 对应对应， 第第 100 项与十进制项与十进制数数 100 对应对应 因因为为 10010=26+25+22=11001002， 所以这一串数用三进制表示，第所以这一串数用三进制表示，第 100 项项 11001003.11001003=36+35+32=729+243+9=981. 讲义是乐谱，学生是听众，老师是指挥家，每节课都是一篇乐章，老师您辛苦了！学而思小学奥数讲义组 学而思教育07 年秋季五年级竞赛
35、班第四讲教师版Page 9 of 13 【例【例 1212】 （仁华考题（仁华考题）称称 n n 个相同的数个相同的数 a a 相乘叫做相乘叫做 a a 的的 n n 次方次方，记做记做 n a，并规定并规定 0 1a . .如果某个自然如果某个自然 数可以写成数可以写成 2 2 的两个不同次方（包括零次方）的和，我们就称这样的数为的两个不同次方（包括零次方）的和，我们就称这样的数为“双子数双子数” ，如，如 30 922， 52 3622. .它们都是双子数，那么小于它们都是双子数，那么小于 10401040 的双子数有多少个？的双子数有多少个？ 分析：双子数与二进制的联系，分析：双子数与二
36、进制的联系， 30 10102 (9)(22 )(1001)， 52 10102 (36)(22 )(100100)，写成写成 2 2 的两个不同次方的两个不同次方（包括零次方包括零次方）的和的和，这样的数改写成二进制这样的数改写成二进制 后只含有后只含有 2 2 个个 1 1，有，有 104 101022 (1040)(22 )(10000000000 10000)(10000010000 )，这样的二进制数为这样的二进制数为 1111 位数位数，但但 是是 1111 位数有限制：先看位数有限制：先看 1010 位数，于是位数，于是()，这样，这样 1010 位数，选择位数，选择 2 2 个
37、数位填个数位填 1 1，其它为，其它为 0 0， 所以为所以为 2 10 C，再考虑，再考虑 1111 位数，于是位数，于是(1000001)，只有，只有 4 4 个个“”和紧邻的和紧邻的“1 1” ，于是有，于是有 5 5 种选择种选择， 所以共有所以共有 2 10 550C种选择方法，所以这样的种选择方法，所以这样的“双子数双子数”为为 5050 个个. . 拓展 一个非零自然数，如果它的二进制表示中数码 l 的个数是偶数，则称之为“坏数”.例如： 2 18= 10010（）是“坏数” 试求小于 1024 的所有坏数的个数. 分析：我们现把 1024 转化为二进制：(1024)10=2 1
38、0 =(10000000000)2于是，在二进制中为 11 位数，但 是 我 们 只 用 看 10 位 数 中 情 况 并 且 ， 我 们 把 不 足 10 位 数 的 在 前 面 补 上 0 ， 如 50 2 111.10000.0 5个1个或以上91 2 111.1 个 = 91 2 0111.1 个 则， 10 * * * * * * * * * * 个位置 可以含 2 个 l，4 个 1，6 个 1，8 个 l，10 个 1于是为 226810 1010101010 CCCCC = 10 910 9 8 710 9 8 7 6 510 9 8 7 6 5 4 3 1 21 2 3 41
39、 2 3 4 5 61 2 3 4 5 6 7 8 =45+210+210+45+1=511，于是，小于 1024 的“坏数”有 511 个. 讲义是乐谱，学生是听众，老师是指挥家，每节课都是一篇乐章，老师您辛苦了！学而思小学奥数讲义组 学而思教育07 年秋季五年级竞赛班第四讲教师版Page 10 of 13 【例【例 13】 （奥数网原创题（奥数网原创题）在地球上有一个矮人国在地球上有一个矮人国，这个国家不用通常的十进制这个国家不用通常的十进制，而是用大于十的另一而是用大于十的另一 种进制种进制但是该国家的钟表与中国的本质上相同但是该国家的钟表与中国的本质上相同（当然可能钟面标的数字有区别当
40、然可能钟面标的数字有区别，这不是本质这不是本质 区别区别） 一名司机开车在笔直的公路上匀速行驶，每小时的速度是整数当钟表的时针与分针一名司机开车在笔直的公路上匀速行驶，每小时的速度是整数当钟表的时针与分针 垂直的时候垂直的时候，司机发现他刚好经过路边的一个里程碑司机发现他刚好经过路边的一个里程碑，上面的数字是一个两位数上面的数字是一个两位数当钟表的时当钟表的时 针与分针再次垂直的时候针与分针再次垂直的时候，司机再次发现他刚好经过路边的里程碑司机再次发现他刚好经过路边的里程碑，上面的数字是刚才那个两上面的数字是刚才那个两 位数的数字颠倒过来位数的数字颠倒过来当钟表的时针与分针第三次垂直的时候当钟
41、表的时针与分针第三次垂直的时候，司机第三次发现他刚好经过路司机第三次发现他刚好经过路 边的里程碑边的里程碑，上面的数字是一个三位数上面的数字是一个三位数，是在第一次的那个两位数中间插了一个数字是在第一次的那个两位数中间插了一个数字在该国在该国 家的进制数尽量小的情况下，司机的时速是多少？（请把答案转化成十进制）家的进制数尽量小的情况下，司机的时速是多少？（请把答案转化成十进制） 分析：每个小时，时针走过分析：每个小时，时针走过 1 12 周，分针走过周，分针走过 1 周，也就是分针比时针多走过周，也就是分针比时针多走过 11 12 周两次垂直之间，分周两次垂直之间，分 针比时针多走过半周，所以
42、时间为针比时针多走过半周，所以时间为 1116 21211 小时小时 显然显然，第三次所经过的里程碑的首位是第三次所经过的里程碑的首位是 1设矮人国用设矮人国用 N 进制进制，设第一次的里程数是设第一次的里程数是1X，则第二次的里则第二次的里 程数是程数是1X，再设第三次的里程数是再设第三次的里程数是1YX则有则有111 2XYXX从个位上看从个位上看，X+X 个位是个位是 2，所所以以 2X=N+2，N 必须是偶数，必须是偶数，1 2 N X (1) 1 11(1) 1(1) 222 NNN N XXNXNXNN 也 就 是 说 ， 车 的 时 速 等 于 也 就 是 说 ， 车 的 时 速
43、 等 于 (1)611 (1) 21112 N NN N ，所以，所以 N 最小是最小是 12，时速是，时速是 121 专题展望专题展望 六年级还会继续学习数的进制哦！六年级还会继续学习数的进制哦！ 练习四练习四 1.1.（例（例 4 4）在几进制中有）在几进制中有 125125125=16324.125=16324. 分 析 ： 因 为分 析 ： 因 为 101010 (125)(125)(15626)， 且， 且1562516324， 所 以， 所 以10n . . 再 来 看 尾 数 ，再 来 看 尾 数 ， 101010 (5)(5)(25)，1632416324 的末位是的末位是 4
44、 4，所以所以 25-4=2125-4=21 进到上一位进到上一位. .即即 n n 为为 2121 的约数的约数，也就是也就是 1 1，3 3，7 7， 2121，因为原式中出现了，因为原式中出现了 6 6，所以，所以 n n 只能是只能是 7.7. 讲义是乐谱，学生是听众，老师是指挥家，每节课都是一篇乐章，老师您辛苦了！学而思小学奥数讲义组 学而思教育07 年秋季五年级竞赛班第四讲教师版Page 11 of 13 2.2.（例（例 8 8）在在 6 6 进制中有三位数进制中有三位数abc，化为，化为 9 9 进制为进制为cba，求这个三位数在十进制中为，求这个三位数在十进制中为多少多少?
45、? 分析分析：( (abc) ) 6= =a 6 6 2 2 b6+6+c=36=36a+6+6b+ +c；( (cba) ) 9= =c 92+92+b9+9+a=81=81c+9+9b+ +a所所以以 3636a+6+6b+ +c=81=81c+9+9b+ +a；于是；于是 3535a=3b+80=3b+80c；因为；因为 3535a是是 5 5 的倍数，的倍数，8080c也是也是 5 5 的倍数所以的倍数所以 3 3b也也 必须是必须是 5 5 的倍数，的倍数，又又(3(3，5)=15)=1所以，所以，b= =0 0 或或 5 5 当当b= =0 0，则，则 3535a= =8080c；
46、则；则 7 7a=16=16c；(7(7，16)=116)=1，并，并且且a、c0 0，所以，所以a=16=16，c= =7 7：但是在：但是在 6,96,9 进进 制，不可以有一个数字为制，不可以有一个数字为 1616 当当b= =5 5，则则 3535a=3=35+805+80c；则则 7 7a= =3+163+16c；modmod 7 7 后后，3+23+2c0 0，所以所以c= =2 2 或者或者 2+72+7k( (k为整数为整数) )因因 为有为有 6 6 进制，所以不可能有进制，所以不可能有 9 9 或者或者 9 9 以上的数，于是以上的数，于是c=2=2于是，于是，3535a=
47、15+80=15+802 2；a=5=5于是于是( (abc) ) 6 =(552)=(552)6=5=56 6 2 2+5 +56 6+ +2=2122=212所以所以这这个三位数在十进制中为个三位数在十进制中为 212212 3.3.（例（例 9 9）试求）试求 2006 21（- ）除以除以 992992 的余数是多少？的余数是多少？ 分析：因为被除数与分析：因为被除数与 2 2 的次幂有关，所以我们可以用二进制来解决的次幂有关，所以我们可以用二进制来解决. . 102 9921111100000（） （）， 2006 2 20061 2 21111 个 （- ），在二进制中，在二进制中
48、 51 550 2 111000 个 个或 个以上的 一定能整除一定能整除 2 1111100000（），因为，因为 20001 60 2 111000 个 个 能整除能整除 2 1111100000（），所以余数为，所以余数为 543210 2 11111122222263（），所以原式的余数为，所以原式的余数为 63.63. 4.（例（例 9 9）求证求证 15141312111098 222222222 1能被能被 5 整除整除. 分析：分析： 15141312111098 15131191412108 1010 22 2 222222222 1 2222222221 101010101
49、0101010101010101010101 101010101010101 （） （） （） （） （） 又又 2 5101 （），显然，显然 2 101010101010101（）能被能被 2 101（）整除，所以得证整除，所以得证. 讲义是乐谱，学生是听众，老师是指挥家，每节课都是一篇乐章，老师您辛苦了！学而思小学奥数讲义组 学而思教育07 年秋季五年级竞赛班第四讲教师版Page 12 of 13 5.5.（例（例 1010）一个一个 1010 进制的三位数，把它分别化为进制的三位数，把它分别化为 9 9 进制和进制和 8 8 进制数后，就又得到了进制数后，就又得到了 2 2 个三位数老
50、个三位数老 师发现这师发现这 3 3 个三位数的最高位数字恰好是个三位数的最高位数字恰好是 3 3、4 4、5 5，那，那这样的这样的三位三位数一共有多少个数一共有多少个? ? 分析分析：我们设我们设(3(3ab) )10=(4=(4cd) )9=(5=(5ef) )8；我们知道我们知道(4(4cd) )9在在(400)(400)9(488)(488)9之间之间，也就是也就是 4 49 9 2 2 5 59 9 2 2- -1 1，也就是 ，也就是 324324406406；还知道；还知道(5(5ef) )8在在(500)(500)8(577)(577)8之间，也就是之间，也就是 5 58 8
