1、利用反证法证明圆锥曲线的 光学性质 迤山中学数学组 贾浩 2014.1.1 利用反证法证明圆锥曲线的光学性质 反证法又称归谬法，是高中数学证明中常用的一种方法。利用反证法证明问 题的思路为： 首先在原命题的条件下， 假设结论的反面成立， 然后推理出明显矛 盾的结果，从而说明假设不成立，则原命题得证。 在光的折射定律中，从点P发出的光经过直线l折射后，反射光线的反向延 长线经过点P关于直线l的对称点。 下面结合光的折射定律，利用反证法证明圆锥曲线的光学性质。 一、椭圆的光学性质 从椭圆的一个焦点出发的光线， 经过椭圆反射后， 反射光线经过椭圆的另一 个焦点上。 该命题证明如下： 已知椭圆的两个焦
2、点分别为 1 F、 2 F，P为椭圆上的一个点， 过点P作椭圆的 切线l， 2 F 关于切线l的对称点为 2 F，证明： 1 F、P、 2 F 三点共线。 证明假设 2 F 不在 1 F、P所在的直线上，连接 1 F、 2 F，交椭圆于M。 则 1212 F FMFMF， 1212 F FPFPF 由 12 2PFPFa， 22 PFPF得 12 2PFPFa，则 12 2F Fa 又由 12 2MFMFa， 22MFMF得 122MFMFa，则 12 2F Fa。这与上式矛盾。因此， 1 F、P、 2 F 三点共线。 二、双曲线的光学性质 从双曲线的一个焦点出发的光线，经过双曲线反射后， 反
3、射光线的反向延长 线经过双曲线的另一个焦点。 该命题证明如下： 已知双曲线的两个焦点分别为 1 F、 2 F，P为双曲线右支上的一个点， 过点P 作双曲线的切线l， 2 F 关于切线l的对称点为 2 F，证明： 1 F、P、 2 F 三点共线。 证明假设 2 F 不在 1 F、P所在的 直线上，连接 1 F、 2 F，交椭圆于M。 则 1212 F FMFMF， 1212 F FPFPF 由 12 2PFPFa得 12 2F Fa。 又由 12 2MFMFa， 22 MFMF得 12 2MFMFa，则 12 2F Fa。 这与上式矛盾。因此， 1 F、P、 2 F 三点共线。 三、抛物线的光学
4、性质 从抛物线的焦点出发的光线， 经过抛物线反射后， 反射光线平行于抛物线的 轴。 该命题证明如下： 已知抛物线焦点分别为F，直线 m为抛物线的准线，P为抛物线上的一个点， 过点P作直线 m 的垂线，垂足为 P。过点P作抛物线的切线l，F关于切线l的 对称点为 F，证明： F、P、 P三点共线。 证明假设 F、P、 P三点不共线，由 PFPF， PFPP得 PFPP。又因 为直线 PPm，故 F在直线 m右侧。 过 F作直线 m的垂线，交抛物线于点 M，交直线 m于N，则 MNMF，由抛物 线的定义得 MNMF，则 MFMF 由M在切线l右侧得 MFMF，这与 上式矛盾。因此， F、P、 P三点共线。 在上述的证明过程中， 没有利用圆锥曲线的方程， 只利用了教材中圆锥曲线 的定义，这样就避免了大量的代数计算。借助于反证法， 大大的简化了证明的过 程。
