1、数学试题第1页（共4页） 高二数学参考答案与评分标准 一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的。 1A2C3B4C5C6D7C8A 二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。在每小题给出的选项中，有多 项符合题目要求。全部选对的得 5 分，有选错的得 0 分，部分选对的得 2 分。 9BCD10AC11ACD12BC 三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。 139.614 415 3 5 ； 1 9 161 四、解答题：本题 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过
2、程或演算步骤。 17（1）因为 2 33 122x fx xxx ，1 分 所以(1)1 f ，2 分 又因为 (1)1f， 所以所求的切线方程为 11 (1)yx ， 即 20 xy 4 分 （2） ( )f x的定义域为(0,) 由0( )fx ，得 2x ，由0( )fx ，得 2x ，6 分 故( )f x在(02)，上单调递减，在( 2)，上单调递增，8 分 所以 ( )f x存在极小值为 11 ( 2)ln2(1ln2) 22 f， 无极大值10 分 18（1）女生全排在一起，把 3 个女生捆绑在一起看做一个元素，再和 5 个男生全排， 故有 36 36 4320A A 种；3 分
3、 （2）女生必须全分开，先排男生，在形成的 6 个空中，插入 3 名女生， 故有 53 56 14400A A 种；6 分 （3）男生按固定顺序，从 8 个位置中，任意排 3 个女生，其余的 5 个位置男生按照 固定顺序排列，故有 3 8 336A 种，9 分 （4）三个女生站在前排，五个男生站在后排，故有 35 35 720A A 种. 12 分 19（1）选，二项式 2 2 ()nx x 的展开式的第1r 项为 5 2 22 1 22 n rnr rrrrr rnn TCxxCx ， 因为展开式中第 5 项的系数与第 3 项系数之比为56:3，所以 44 22 256 23 n n C C
4、 ， 数学试题第2页（共4页） 则 4 2 456 3 n n C C ，即 2356 33 nn ，解得10n ；4 分 选，展开式中前三项的系数之和为 201， 所以 0122 4 (1) 241221201 2 nnn n n CCCnn ， 解得10n .4 分 选，展开式中第三项为 22 4 2242 22 3 24 nn nn TC xxC x ， 所以 2 40 2 n ，解得10n .4 分 （2）设第1r 项系数最大，即 10 2 rr C 最大， 即 11 1010 11 1010 22 22 rrrr rrrr CC CC ，6 分 即 101 21 10 12 1 r
5、r r r ， 解得 1922 33 r ，8 分 又因为rN，所以7r ，10 分 即系数最大的项为第 8 项， 25 2 8 15360Tx .12 分 20（1）据题意，填写列联表如下： 分数不低于 120 分分数不足 120 分合计 线上学习时间不 少于 5 小时 301040 线上学习时间不 足 5 小时 202040 合计503080 2 分 假设 0 H： “高三学生的数学成绩与学生线上学习时间没有关系” ， 22 2 ()80 (30 2020 10) 5.3333.841 ()()()()40 40 50 30 n adbc ab cd ac bd 4 分 故有95%的把握认
6、为“高三学生的数学成绩与学生线上学习时间有关” 6 分 （2）因为学生成绩(123 49)XN，所以1237， 8 分 因为 1() (130)() 2 PX P XP X 10.68270.3173 0.15865 22 ，10 分 数学试题第3页（共4页） 所以10000.15865158.65159， 故全年级本次考试成绩不低于 130 分的同学大约有 159 人12 分 21（1）设第一关回答的 4 道题目中恰有 3 道正确为事件 A，第二关回答的 4 道题目全 正确为事件 B；第一关回答的 4 道题目都正确为事件 C，第二关回答的 1 道题目正确 为事件 D，获得“党史学习优秀奖”为
7、事件 E， 根据题意有 E=(AB)(CD)，且 AB 与 CD 互斥，1 分 所以( )()()P EP ABP CD 3344 4 111113 ( )( )( ) 2222264 C. 4 分 （2）X 的可能取值为 8，10，16. 334 4 11111 (8)1( )( ) 22216 P XC ， 4 11 (10)( ) 216 P X ， 33 4 111 (16)( ) 224 P XC， 所以 X 的分布列为： X81016 P 11 16 1 16 1 4 10 分 （说明：每个概率 2 分） 故 111181 ()81016 161648 E X .12 分 22（1
8、）函数的定义域为R，由( )exf xax，得( )exfxa， 当0a时，0a ，又因为e0 x ，所以( )0fx恒成立， 此时( )f x在(1)，上单调递增； 当0a 时，由( )0fx得，lnxa，由( )0fx得，lnxa， （i）当0ea时，ln1a， 此时( )f x在(1)，上单调递增； （ii）当ea时，ln1a ， 所以当(1 ln )xa ，时，( )0fx，当(ln)xa，时，( )0fx， 此时( )f x在(1 ln )a，上单调递减，在(ln)a ，上单调递增； 综上，当ea时，( )f x在(1)，上单调递增； 当ea时，( )f x在(1 ln )a，上单调
9、递减，在(ln)a ，上单调递增； 2 分 （若只从ea和ea讨论，结论正确同样给分） （2）由（1）知，当ea时，( )f x在(ln )a，上单调递减，在(ln)a ，上单调递 增，所以lnxa是函数( )f x的极小值点， 因为ea，所以ln1a ，从而 ln (ln )ln(1ln )0e a faaaaa， 3 分 数学试题第4页（共4页） 又因为(0)f1 0， 所以( )f x在(ln )a，上有且仅有一个零点 1 x，且 1 (0 ln )xa，4 分 又 2 ( )eaf aa，令 2 ( )()ee x g xxx，( )2exg xx，( )20exgx， 所以函数( )
10、g x在区间( ,)e上单调递增，且 e ( )20eee g ，即( )0g x， 所以函数( )g x在( ,)e单调递增，所以 2e ( )( )0eeeg xg，所以( )0f a ， 令( )ln ()eh xxx x，则 1 ( )10h x x ，所以函数( )h x在( ,)e单调递增， 所以( )( )10eeh xh ，所以当ea时，lnaa， 所以( )f x在(ln)a ，上有且仅有一个零点 2 x，且 2 (ln)xa a， 综上，当ea时，函数( )f x有两个零点；6 分 （3）因为函数( )f x有两个零点 1 x， 2 x， 所以 12 12 ee xx ax
11、ax，所以要证1 21 xx，即证 12 2 ee 1 xx a ， 等价于 21 12 2 21 ee ee() xx xx xx ，也即 12 21 22 21 ee1 ()(ee ) xx xx xx ， 即证 21 21 22 21 e1 ()(e1) xx xx xx （*），8 分 不妨设 12 xx，令0 12 xxt，（*）式等价于 22 e1 (0) (e1) t t t t ， 也即 2 e1( 0) e1 t t t t ，于是只要证 2 ee10 t t t ，10 分 令 2 ( )ee1(0) t t m ttt ，则 2222 1 ( )eeee (1e ) 22 tttt tt m tt， 又令 2 ( )1e (0) 2 t t tt ，得 2 11 ( )e0 22 t t， 所以)(t在(0)，单调递减， 0)0()(t，从而( )0m t，( )m t在), 0( 单调递减， 所以( )(0)0m tm，即证原不等式成立. 12 分
