1、 一、知识回顾一、知识回顾 1.1.向量的有关概念：向量、向量的长、单位向量、零向量；向量的有关概念：向量、向量的长、单位向量、零向量； 2.2.向量的表示方法；向量的表示方法； 3.3.平行向量平行向量( (即共线向量即共线向量) )； 4.4.相等向量相等向量. . 我们知道，我们知道，数能进行运算，因为有了运算而使数的威力无穷数能进行运算，因为有了运算而使数的威力无穷. . 那么那么, ,向量是否也能像数一样进行运算呢？人们从向量的物理背景向量是否也能像数一样进行运算呢？人们从向量的物理背景 和数的运算中得到启发，引进了向量的运算和数的运算中得到启发，引进了向量的运算. .本节我们就来研
2、究平本节我们就来研究平 面向量的运算，探索其运算性质，体会向量运算的作用面向量的运算，探索其运算性质，体会向量运算的作用. . 下面先学习向量的加法下面先学习向量的加法. . 如右图，某质点从点如右图，某质点从点A A经过点经过点B B到到 点点C C，这个质点的位移如何表示？，这个质点的位移如何表示？ C C B B A A 二、探究新知二、探究新知 我们知道，位移、力是向量，它们可以合成我们知道，位移、力是向量，它们可以合成. . 能否从位移、能否从位移、 力的合成中得到启发，引进向量的加法呢？力的合成中得到启发，引进向量的加法呢？ 物理知识告诉我们，这个质点两次位移物理知识告诉我们，这个
3、质点两次位移 、 的结果，与从的结果，与从 点点A A直接到点直接到点C C的位移的位移 相同相同. . ?ABAB?BCBC ?ACAC 因此，位移因此，位移 可以看成是位移可以看成是位移 与与 合成的合成的. . 数的加法启示我们，从运算的角度看，数的加法启示我们，从运算的角度看， 可以看作可以看作 是是 与与 的和，即位移的合成可以看作向量的加法的和，即位移的合成可以看作向量的加法. . ?ABAB ?BCBC ?ACAC ?ABAB?BCBC ?ACAC 三、向量加法的三角形法则三、向量加法的三角形法则 如下图，已知非零向量如下图，已知非零向量 ，b b、a a在平面内取任意一点在平面
4、内取任意一点A A，作，作 ，b bB BC C，a aA AB B则向量则向量 叫做叫做 与与 的和，记作的和，记作 ，即，即 ACACa ab bb ba a ACACBCBCABABb ba a a a b b A A B B a a C C b b b ba a 上述分析表明，两个向量可以相加，并且上述分析表明，两个向量可以相加，并且两个向量的和还是两个向量的和还是 一个向量一个向量. . 上述上述求两个向量和的方法求两个向量和的方法，称为，称为向量加法的三角形法则向量加法的三角形法则. . 一般地，求两个向量和的运算一般地，求两个向量和的运算，叫做，叫做向量的加法向量的加法. . 位
5、移的合成可以看作向量加法三角形法则的物理模型位移的合成可以看作向量加法三角形法则的物理模型. . 我们再来看力的合成问题我们再来看力的合成问题. . 四、向量加法的平行四边形法则四、向量加法的平行四边形法则 如右图，如右图，在光滑的平面上，一个物体在光滑的平面上，一个物体 同时受到两个外力同时受到两个外力F F1 1与与F F2 2的作用，你能作的作用，你能作 出这个物体所受的合力出这个物体所受的合力F F吗？吗？ F F1 1 F F2 2 OA A B B F F C C 我们知道，合力我们知道，合力F F在以在以OA A、OB B为邻边的平行四边形的对角线为邻边的平行四边形的对角线 上，
6、并且大小等于这条对角线的长上，并且大小等于这条对角线的长. . 从运算的角度看，从运算的角度看，F F可以看作可以看作 是是F F1 1与与F F2 2的和，即力的合成可以看作向量的加法的和，即力的合成可以看作向量的加法. . 如右图如右图，以同一点以同一点O为起点的两个已知为起点的两个已知 向量向量 ，以，以OA A、OB B为邻边作为邻边作OACBACB，则，则b b、a a C C OA A B B a a b b 以以O为起点的向量为起点的向量 ( (OC C是是OACBACB的对角线的对角线) ) 就是向量就是向量 与与 的和的和. . C CO a ab b 这种这种作两个向量和的
7、方法作两个向量和的方法叫做叫做向量加法的平行四边形法则向量加法的平行四边形法则. . 力的合成可以看作向量加法平行四边形法则的物理模型力的合成可以看作向量加法平行四边形法则的物理模型. . ab + + 向量加法的平行四边形法则与三角形法则一致吗？为什么？向量加法的平行四边形法则与三角形法则一致吗？为什么？ 三角形法则：首尾相接连端点三角形法则：首尾相接连端点 平行四边形法则：起点相同连对角平行四边形法则：起点相同连对角 对于零向量与任意向量对于零向量与任意向量 ，我们规定：，我们规定： a a 五、向量的加法法则五、向量的加法法则 + = =+ = = a00a + + a 六、向量形式的不
8、等式六、向量形式的不等式 (1) (1)如果向量如果向量 共线，它们的加法与数的加法有什么关系？共线，它们的加法与数的加法有什么关系？ 你能作出向量你能作出向量 吗？吗？ (2)(2)结合例结合例1 1，探索，探索 之间的关系之间的关系. . b b、a a b ba a | | |b b| |- -| |a a| | |、| |b b| |、| |a a| |、| |b ba a| | a a+ +b b b ba a a a b b a a b b b ba a | |b b| | |a a| | |b ba a| | | |b b| |- -| |a a| | | 同向取等号同向取等号反
9、向取等号反向取等号 O A A a a B B b b b ba a 七、向量加法的运算律七、向量加法的运算律 数的加法满足交换律与结合律，即对任意数的加法满足交换律与结合律，即对任意a,bRa,bR，有，有 a ab=bb=ba a，(a+b)+c=a+(b+c).(a+b)+c=a+(b+c). 向量加法是否也满足交换律与结合律吗？请画图进行探索向量加法是否也满足交换律与结合律吗？请画图进行探索. . 向量的加法交换律：向量的加法交换律： 向量的加法交换律：向量的加法交换律： B B A A O a a b b C Ca a b b ab + + C C B B A A O ab + +
10、bc + + a ab b c c ab + + + +c ab + =+ =b a + + ab( + )( + ) c+ =+ =a+( )+( )b+ +c 八、典型例题八、典型例题 例例1 1 如如右图右图，已知向量已知向量 ，求作向量，求作向量 . .b b、a a a a b b b ba a 作法作法1 1：在平面内任取一点在平面内任取一点O，作，作 ，b bA AB B，a aA AO . .b ba aB BO则则 O A A a a B B b b 作法作法2 2：在平面内任在平面内任取取一点一点O，作，作 O A A a a B B b b ，b bB B，a aA AO
11、O 以以OA A、OB B为邻边作为邻边作OACBACB，连接连接OC C， C C . .b ba aB BA AC COOO则则 ab + + ab + + 解：解：(1)(1) 八、典型例题八、典型例题 例例2 2 长江两岸之间没有大桥的地方，常长江两岸之间没有大桥的地方，常 常通过轮渡进行运输常通过轮渡进行运输. . 如右图，一如右图，一 艘船从长江南岸艘船从长江南岸A A地出发地出发, ,垂直于对垂直于对 岸航行岸航行, ,航行速度的大小为航行速度的大小为15km/h,15km/h, 同时江水的速度为向东同时江水的速度为向东6km/h.6km/h. (1) (1)用向量表示江水速度、
12、船速以用向量表示江水速度、船速以 及船实际航行的速度；及船实际航行的速度； (2)(2)求船实际航行的速度的大小求船实际航行的速度的大小( (结果保留小数点后一位结果保留小数点后一位) )与方与方 向向( (用与江水速度间的夹角表示，精确到用与江水速度间的夹角表示，精确到1 1 ).). A AB B C CD D如右图，如右图，ABAB表示江水速度；表示江水速度；ADAD表示船速；表示船速； ACAC表示表示船实际航行的速度船实际航行的速度. . (2)(2)在在RtRtABCABC中，中，1 15 5，| |B BC C| |6 6，| |A AB B| |于是于是1 16 6. .2 2
13、| |A AC C| | 因为因为tanCAB=2.5tanCAB=2.5，所以所以CABCAB6868 . . 因此，船实际航行的速度大小约为因此，船实际航行的速度大小约为16.2km/h16.2km/h， 方向与江水速度间的夹角约为方向与江水速度间的夹角约为6868 . . 九、课堂小结九、课堂小结 三角形法则：三角形法则：首尾相接连端点首尾相接连端点 平行四边形法则：平行四边形法则：起点相同连对角起点相同连对角 1.1.向量的加法法则向量的加法法则 2.2.向量的三角不等式向量的三角不等式 3.3.向量加法的运算律向量加法的运算律 向量的加法交换律：向量的加法交换律： 向量的加法交换律：向量的加法交换律： | |b b| | |a a| | |b ba a| | | |b b| |- -| |a a| | | 同向取等号同向取等号反向取等号反向取等号 ab + =+ =b a + + ab( + )( + ) c+ =+ =a+( )+( )b+ +c 十、巩固提升十、巩固提升 课堂练习课堂练习: : 第第1010页练习第页练习第1 1、2 2、3 3、4 4、5 5题题 课堂作业课堂作业: : 第第2222页页习题习题6.26.2第第1 1、2 2、3 3题题
