（2021新教材）人教A版《高中数学》必修第一册3.2.2 奇偶性讲义（学生版+教师版）.zip

函数的奇偶性函数的奇偶性 【要点梳理要点梳理】 要点一、函数的奇偶性概念及判断步骤要点一、函数的奇偶性概念及判断步骤 1函数奇偶性的概念函数奇偶性的概念 偶函数：若对于定义域内的任意一个 x，都有 f(-x)=f(x)，那么 f(x)称为偶函数. 奇函数：若对于定义域内的任意一个 x，都有 f(-x)=-f(x)，那么 f(x)称为奇函数. 要点诠释：要点诠释： （1）奇偶性是整体性质； （2）x 在定义域中，那么-x 在定义域中吗？ -具有奇偶性的函数，其定义域必定是关于原点对称的； （3）f(-x)=f(x)的等价形式为：， () ( )()0,1( ( )0) ( ) fx f xfxf x f x f(-x)=-f(x)的等价形式为：； () ( )()01( ( )0) ( ) fx f xfxf x f x ， （4）由定义不难得出若一个函数是奇函数且在原点有定义，则必有 f(0)=0； （5）若 f(x)既是奇函数又是偶函数，则必有 f(x)=0. 2.奇偶函数的图象与性质奇偶函数的图象与性质 （1）如果一个函数是奇函数，则这个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形；反之， 如果一个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形，则这个函数是奇函数. （2）如果一个函数为偶函数，则它的图象关于轴对称；反之，如果一个函数的图像关于轴对yy 称，则这个函数是偶函数. （3）注意到偶函数的性质：，可避免讨论( )f x()( )(|)fxf xfx 3.用定义判断函数奇偶性的步骤用定义判断函数奇偶性的步骤 （1）求函数的定义域，判断函数的定义域是否关于原点对称，若不关于原点对称，则该函数( )f x 既不是奇函数，也不是偶函数，若关于原点对称，则进行下一步； （2）结合函数的定义域，化简函数的解析式；( )f x( )f x （3）求，可根据与之间的关系，判断函数的奇偶性.()fx()fx( )f x( )f x 若=-，则是奇函数；若=，则是偶函数；()fx( )f x( )f x()fx( )f x( )f x 要点二、判断函数奇偶性的常用方法要点二、判断函数奇偶性的常用方法 （1）定义法：若函数的定义域不是关于原点对称，则立即可判断该函数既不是奇函数也不是偶函 数；若函数的定义域是关于原点对称的，再判断与之一是否相等.()fx( )f x （2）验证法：在判断与的关系时，只需验证=0 及是否成()fx( )f x()fx( )f x () 1 ( ) fx f x 立即可. （3）图象法：奇（偶）函数等价于它的图象关于原点（轴）对称.y （4）性质法：两个奇函数的和仍为奇函数；两个偶函数的和仍为偶函数；两个奇函数的积是偶函 数；两个偶函数的积是偶函数；一个奇函数与一个偶函数的积是奇函数. （5）分段函数奇偶性的判断 判断分段函数的奇偶性时，通常利用定义法判断.分段函数不是几个函数，而是一个函数.因此其判 断方法也是先考查函数的定义域是否关于原点对称，然后判断与的关系.首先要特别注意()fx( )f x 与的范围，然后将它代入相应段的函数表达式中，与对应不同的表达式，而它们的xx( )f x()fx 结果按奇偶函数的定义进行比较. 【典型例题典型例题】 类型一、判断函数的奇偶性类型一、判断函数的奇偶性 例 1. 判断下列函数的奇偶性： (1)； (2)f(x)=x2-4|x|+3 ； (3)f(x)=|x+3|-|x-3|； 1- ( )(1) 1 x f xx x (4)； (5)； (6) 2 1- ( ) |2| -2 x f x x 2 2 -(0) ( ) (0) xx x f x xx x 1 ( ) ( )-()() 2 f xg xgxxR 举一反三：举一反三： 【变式 1】判断下列函数的奇偶性： (1)； (2)； 2 3 ( ) 3 x f x x ( ) |1|1|f xxx (3)； (4). 2 22 ( ) 1 xx f x x 2 2 x2x1(x0) f(x)0(x0) x2x1 (x0) 例 2.已知函数，若对任意实数都有，判断的奇偶性.( ),f x xR, a b()( )( )f abf af b( )f x 举一反三：举一反三： 【变式 1】定义在（，0）（0，+）上的函数 f（x） ，总有 f（mn）=f（m）f（n） ， 且 f（x）0，当 x1 时，f（x）1 （1）求 f（1） ，f（1）的值； （2）判断函数的奇偶性，并证明； （3）判断函数在（0，+）上的单调性，并证明 类型二、函数奇偶性的应用类型二、函数奇偶性的应用(求值，求解析式，与单调性结合求值，求解析式，与单调性结合) 例 3. f(x)，g(x)均为奇函数，在上的最大值为 5，( )( )( )2H xaf xbg x0, 则在（-）上的最小值为 ( )H x,0 举一反三：举一反三： 【变式 1】已知 f(x)=x5+ax3-bx-8，且 f(-2)=10，求 f(2). 例 4已知 f(x)是 R 上的奇函数，且当 x0 时，； 2 ( )1f xxx （1）求 f(x)的解析式； （2）作出函数 f(x)的图象（不用列表） ，并指出它的增区间。 举一反三：举一反三： 【变式 1】（1）偶函数的定义域是 R，当时，求的解析式.( )f x0 x 2 ( )31f xxx( )f x （2）已知奇函数的定义域是 R，当时，求的解析式.( )g x0 x 2 ( )21g xxx( )g x 例 5. 定义域在区间2，2上的偶函数，当 x0 时，是单调递减的，若( )g x( )g x 成立，求 m 的取值范围(1)( )gmg m 类型三、函数奇偶性的综合问题类型三、函数奇偶性的综合问题 例 6. 已知是偶函数，且在0，+）上是减函数，求函数的单调递增区间( )yf x 2 (1)fx 举一反三 【变式 1】设奇函数 f（x）在（0，+）上为增函数，且 f（1）=0， 则不等式的解集为（ ） ( )() 0 f xfx x A （1，0）（1，+） B （，1）（0，1） C （，1）（1，+） D （1，0）（0，1） 例 7.设函数（xR，a 为实数） 2 ( )2f xxxa （1）若 f（x）为偶函数，求实数 a 的值； （2）设 a2，求函数 f（x）的最小值 举一反三：举一反三： 【变式 1】 判断的奇偶性( ) |()f xxaxaaR 例 8.对于函数，若存在 x0R，使成立，则称点（x0，x0）为函数的不动( )f x 00 ()f xx( )f x 点 （1）已知函数有不动点（1，1） ， （3，3） ，求 a，b 的值； 2 ( )()(0)f xaxbxb a （2）若对于任意的实数 b，函数总有两个相异的不动点，求实数 a 2 ( )()(0)f xaxbxb a 的取值范围； （3）若定义在实数集 R 上的奇函数存在（有限）n 个不动点，求证：n 必为奇数( )g x 【巩固练习巩固练习】 1函数的图象( ) 2 ( )|f xxx A关于原点对称 B关于轴对称 C关于轴对称 D不具有对称轴yx 2已知函数为偶函数，则的值是( )127()2() 1()( 22 mmxmxmxfm A. B. C. D. 1234 3设函数，且则等于（ ） 3 ( )1f xaxbx( 1)3,f (1)f A.-3 B.3 C.-5 D. 5 4如果奇函数在区间 上是增函数且最大值为，那么在区间上是( )(xf3,75)(xf3, 7 A增函数且最小值是 B增函数且最大值是55 C减函数且最大值是 D减函数且最小值是55 5已知是定义在 R 上的偶函数，在上是减函数，且，)(xf 0 , (0)3(f 则使的的范围是（ ）0)(xfx A B C D)3 ,(), 3( ), 3()3 ,()3 , 3( 6若函数为奇函数，且 g（x）=f（x）+2，若 f（1）=1，则 g（1）的值为（ 2 ( )( )xF xf x ） A1 B3 C2 D2 7若是偶函数，其定义域为，且在上是减函数，则)(xf, 0 的大小关系是( ) 2 5 2() 2 3 ( 2 aaff与 A B ) 2 3 (f) 2 5 2( 2 aaf) 2 3 (f) 2 5 2( 2 aaf C D) 2 3 (f) 2 5 2( 2 aaf) 2 3 (f) 2 5 2( 2 aaf 8若定义在上的函数满足：对任意有+1，则下列R( )f x 12 ,x xR 1212 ()()()f xxf xf x 说法一定正确的是（ ） A为奇函数 B 为偶函数 C为奇函数 D为偶函数( )f x( )f x( ) 1f x ( ) 1f x 9已知函数是奇函数，则 a=_，f（f（1） ）=_ 2 2 2 ,0 ( ) 2 ,0 xx x f x axx x 10奇函数在区间上是增函数，在区间上的最大值为 8，最小值为-1，( )f x3,73,6 则 .2 ( 6)( 3)ff 11函数为偶函数，其定义域为，则的值域 2 ( )3f xaxbxab1,2aa( )f x 12奇函数在（-1，1）上是减函数，求满足的实数的取值范( )f x 2 (1)(1)0fmfmm 围 13已知是定义在上的不恒为零的函数，且对任意的满足( )f xR, a bR ()( )( )f a baf bbf a （1）求的值；(0),(1)ff （2）判断的奇偶性，并证明你的结论( )f x 14定义在1，1上的函数 y=f（x）是增函数且是奇函数，若 f（a+1）+f（4a5）0求实 数 a 的取值范围 15函数 f(x)对于任意的实数 x，y 都有 f(x+y)=f(x)+f(y)成立，且当 x0 时 f(x)0 恒成立 （1）证明函数f(x)的奇偶性； （2）若f(1)= 2，求函数f(x)在2，2上的最大值； （3）解关于x的不等式 2 11 ( 2)( )(4 )( 2) 22 fxf xfxf 函数的奇偶性函数的奇偶性 【要点梳理要点梳理】 要点一、函数的奇偶性概念及判断步骤要点一、函数的奇偶性概念及判断步骤 1函数奇偶性的概念函数奇偶性的概念 偶函数：若对于定义域内的任意一个 x，都有 f(-x)=f(x)，那么 f(x)称为偶函数. 奇函数：若对于定义域内的任意一个 x，都有 f(-x)=-f(x)，那么 f(x)称为奇函数. 要点诠释：要点诠释： （1）奇偶性是整体性质； （2）x 在定义域中，那么-x 在定义域中吗？ -具有奇偶性的函数，其定义域必定是关于原点对称的； （3）f(-x)=f(x)的等价形式为：， () ( )()0,1( ( )0) ( ) fx f xfxf x f x f(-x)=-f(x)的等价形式为：； () ( )()01( ( )0) ( ) fx f xfxf x f x ， （4）由定义不难得出若一个函数是奇函数且在原点有定义，则必有 f(0)=0； （5）若 f(x)既是奇函数又是偶函数，则必有 f(x)=0. 2.奇偶函数的图象与性质奇偶函数的图象与性质 （1）如果一个函数是奇函数，则这个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形；反之， 如果一个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形，则这个函数是奇函数. （2）如果一个函数为偶函数，则它的图象关于轴对称；反之，如果一个函数的图像关于轴对yy 称，则这个函数是偶函数. （3）注意到偶函数的性质：，可避免讨论( )f x()( )(|)fxf xfx 3.用定义判断函数奇偶性的步骤用定义判断函数奇偶性的步骤 （1）求函数的定义域，判断函数的定义域是否关于原点对称，若不关于原点对称，则该函数( )f x 既不是奇函数，也不是偶函数，若关于原点对称，则进行下一步； （2）结合函数的定义域，化简函数的解析式；( )f x( )f x （3）求，可根据与之间的关系，判断函数的奇偶性.()fx()fx( )f x( )f x 若=-，则是奇函数；若=，则是偶函数；()fx( )f x( )f x()fx( )f x( )f x 要点二、判断函数奇偶性的常用方法要点二、判断函数奇偶性的常用方法 （1）定义法：若函数的定义域不是关于原点对称，则立即可判断该函数既不是奇函数也不是偶函 数；若函数的定义域是关于原点对称的，再判断与之一是否相等.()fx( )f x （2）验证法：在判断与的关系时，只需验证=0 及是否成()fx( )f x()fx( )f x () 1 ( ) fx f x 立即可. （3）图象法：奇（偶）函数等价于它的图象关于原点（轴）对称.y （4）性质法：两个奇函数的和仍为奇函数；两个偶函数的和仍为偶函数；两个奇函数的积是偶函 数；两个偶函数的积是偶函数；一个奇函数与一个偶函数的积是奇函数. （5）分段函数奇偶性的判断 判断分段函数的奇偶性时，通常利用定义法判断.分段函数不是几个函数，而是一个函数.因此其判 断方法也是先考查函数的定义域是否关于原点对称，然后判断与的关系.首先要特别注意()fx( )f x 与的范围，然后将它代入相应段的函数表达式中，与对应不同的表达式，而它们的xx( )f x()fx 结果按奇偶函数的定义进行比较. 【典型例题典型例题】 类型一、判断函数的奇偶性类型一、判断函数的奇偶性 例 1. 判断下列函数的奇偶性： (1)； (2)f(x)=x2-4|x|+3 ； (3)f(x)=|x+3|-|x-3|； 1- ( )(1) 1 x f xx x 【解析】(1)f(x)的定义域为，不关于原点对称，因此 f(x)为非奇非偶函数；-1,1 (2)对任意 xR，都有-xR，且 f(-x)=x2-4|x|+3=f(x)，则 f(x)=x2-4|x|+3 为偶函数 ； (3)xR，f(-x)=|-x+3|-|-x-3|=|x-3|-|x+3|=-f(x)，f(x)为奇函数； (4)； (5)； (6) 2 1- ( ) |2| -2 x f x x 2 2 -(0) ( ) (0) xx x f x xx x 1 ( ) ( )-()() 2 f xg xgxxR (4) 2 -1x11-x0 x-1,00,1 x0 x-4x+22 且 ，f(x)为奇函数； 22 1-1- ( ) (2)-2 xx f x xx 2 2 1-(- )1- (- )- ( ) - xx fxf x xx (5)xR，f(x)=-x|x|+x f(-x)=-(-x)|-x|+(-x)=x|x|-x=-f(x)，f(x)为奇函数； (6)，f(x)为奇函数. 11 (- ) (- )- -(- ) (- )-( )- ( ) 22 fxg xgxg xg xf x 举一反三：举一反三： 【变式 1】判断下列函数的奇偶性： (1)； (2)； 2 3 ( ) 3 x f x x ( ) |1|1|f xxx (3)； (4). 2 22 ( ) 1 xx f x x 2 2 x2x1(x0) f(x)0(x0) x2x1 (x0) 【解析】(1)的定义域是，又，是奇函数( )f xR 22 3()3 ()( ) ()33 xx fxf x xx ( )f x （2）的定义域是，又，是偶函数( )f xR() |1|1| |1|1|( )fxxxxxf x （3），为非奇非偶函数 22 ()()() 11fxxxxx ()( )()( )fxf xfxf x 且 （4）任取 x0 则-x0，f(-x)=(-x)2+2(-x)-1=x2-2x-1=-(-x2+2x+1)=-f(x) 任取 x0 f(-x)=-(-x)2+2(-x)+1=-x2-2x+1=-(x2+2x-1)=-f(x) x=0 时，f(0)=-f(0) xR 时，f(-x)=-f(x) f(x)为奇函数. 例例 2.已知函数，若对任意实数都有，判断的奇偶性.( ),f x xR, a b()( )( )f abf af b( )f x 【解析】设则，.0,a ( )(0)( )f bff b(0)0f 又设，则，,ax bx (0)()( )ffxf x ，是奇函数.()( )fxf x ( )f x 举一反三：举一反三： 【变式 1】定义在（，0）（0，+）上的函数 f（x） ，总有 f（mn）=f（m）f（n） ， 且 f（x）0，当 x1 时，f（x）1 （1）求 f（1） ，f（1）的值； （2）判断函数的奇偶性，并证明； （3）判断函数在（0，+）上的单调性，并证明 【解析】 （1）令 m=n=1，则有 f（1）=f（1）f（1） ， 又 f（x）0，则 f（1）=1 令 m=n=1，则有 f（1）=f（1）f（1） ， 又 f（1）=1，f（x）0，则 f（1）=1； （2）证明：定义域为（，0）（0，+） ， 令 m=x，n=1，则有 f（x）=f（x）f（1）=f（x） ， 所以 f（x）为偶函数； （3）证明：，且，令，则， 12 ,(0,)xx 12 xx 1 mnx 2 mx 1 x n x 所以，又 f（x）0，由，则， 1 12 2 ()() () x f xf xf x 11 22 () () () f xx f f xx 12 0 xx 1 2 1 x x 而当 x1 时，f（x）1，所以，即， 1 2 ()1 x f x 1 2 () 1 () f x f x 又 f（x）0，所以， 12 ()()f xf x 所以函数 f（x）在（0，+）上是增函数 类型二、函数奇偶性的应用类型二、函数奇偶性的应用(求值，求解析式，与单调性结合求值，求解析式，与单调性结合) 例 3. f(x)，g(x)均为奇函数，在上的最大值为 5，( )( )( )2H xaf xbg x0, 则在（-）上的最小值为 ( )H x,0 【解析】+=( )H x()Hx( )( )2()()2af xbg xafxbgx ， ()( ), ()( )fxf x gxg x ( )()4H xHx 当时，0 x ( )4()H xHx 而，0 x ()5Hx( )1H x 在上的最小值为-1( )H x(,0) 举一反三：举一反三： 【变式 1】已知 f(x)=x5+ax3-bx-8，且 f(-2)=10，求 f(2). 【解析】法一：f(-2)=(-2)5+(-2)3a-(-2)b-8=-32-8a+2b-8=-40-8a+2b=10 8a-2b=-50 f(2)=25+23a-2b-8=8a-2b+24=-50+24=-26 法二：令 g(x)=f(x)+8 易证 g(x)为奇函数 g(-2)=-g(2) f(-2)+8=-f(2)-8 f(2)=-f(-2)-16=-10-16=-26. 例 4已知 f(x)是 R 上的奇函数，且当 x0 时，； 2 ( )1f xxx （1）求 f(x)的解析式；（2）作出函数 f(x)的图象（不用列表） ，并指出它的增区间。 【解析】 （1）设 x0，则x0， 22 ()()() 11fxxxxx 又函数 f(x)为奇函数，f(x)= f(x)， 2 ( )()1f xfxxx 当 x=0 时，由 f(0)= f(0)，f(0)=0， 2 2 1 (0) ( )0 (0) 1 (0) xxx f xx xxx （2）由函数图象，易得函数的增区间为：（，） ， （，+） 2 1 2 1 举一反三：举一反三： 【变式 1】（1）偶函数的定义域是 R，当时，求的解析式.( )f x0 x 2 ( )31f xxx( )f x 【答案】（1）； 2 2 31(0) ( ) 31(0) xxx f x xxx （2）已知奇函数的定义域是 R，当时，求的解析式.( )g x0 x 2 ( )21g xxx( )g x 【答案】（2） 2 2 21(0) ( )00 21(0) xxx g xx xxx （） 例 5. 定义域在区间2，2上的偶函数，当 x0 时，是单调递减的，若( )g x( )g x 成立，求 m 的取值范围(1)( )gmg m 【解析】 注意到偶函数的性质：，可避免讨论( )f x()( )(|)fxf xfx 由于为偶函数，所以，( )g x(1)(1)gmg m( )(|)g mg m 因为 x0 时，是单调递减的，故，( )g x |1| | (1)( )(|1|)(|)|1| 2 | 2 mm gmg mg mg mm m 所以，解得故 m 的取值范围是 22 21 212 22 mmm m m 1 1 2 m 1 1, ) 2 类型三、函数奇偶性的综合问题类型三、函数奇偶性的综合问题 例 6. 已知是偶函数，且在0，+）上是减函数，求函数的单调递增区间( )yf x 2 (1)fx 【解析】 复合函数的单调性由内层函数和外层函数的单调性共同决定，即“同增异减”。 是偶函数，且在0，+）上是减函数，在（，0上是增函数( )f x( )f x 设 u=1x2，则函数是函数与函数 u=1x2的复合函数 2 (1)fx( )f u 当 0 x1 时，u 是减函数，且 u0，而 u0 时，是减函数，可得是增函数( )f u 2 (1)fx 当 x1 时，u 是增函数，且 u0，而 u0 时，是增函数，可得是增函数( )f u 2 (1)fx 同理可得当1x0 或 x1 时，是减函数 2 (1)fx 所求的递增区间为0，1和（，1 举一反三 【变式 1】设奇函数 f（x）在（0，+）上为增函数，且 f（1）=0， 则不等式的解集为（ ） ( )() 0 f xfx x A （1，0）（1，+） B （，1）（0，1） C （，1）（1，+） D （1，0）（0，1） 【答案】D 【解析】由奇函数 f（x）可知，即 x 与 f（x）异号， ( )()2 ( ) 0 f xfxf x xx 而 f（1）=0，则 f（1）=f（1）=0， 又 f（x）在（0，+）上为增函数，则奇函数 f（x）在（，0）上也为增函数， 当 x0 时，f（x）0=f（1） ；当 x0 时，f（x）0=f（1） ，所以 0 x1 或1x0 例 7.设函数（xR，a 为实数） 2 ( )2f xxxa （1）若 f（x）为偶函数，求实数 a 的值； （2）设 a2，求函数 f（x）的最小值 【解析】 （1）由已知 f（x）=f（x） ，即2xa=2x+a，解得 a=0 （2） 2 2 1 2, 2 ( ) 1 2, 2 xxa xa f x xxa xa 当时， 1 2 xa 22 ( )2(1)(1)f xxxaxa 由 a2，得 x1，从而 x1 1 2 xa 故 f（x）在时单调递增，f（x）的最小值为 1 2 xa 2 ( ) 24 aa f 当时， 1 2 xa 22 ( )2(1)(1)f xxxaxa 故当时，f（x）单高递增，当 x1 时，f（x）单调递减1 2 a x 则 f（x）的最小值为 f（1）=a1 由，知 f（x）的最小值为 a1 22 (2) (1)0 44 aa a 举一反三：举一反三： 【变式 1】 判断的奇偶性( ) |()f xxaxaaR 【解析】对进行分类讨论a 若，则0a ( ) | 0f xxx ，定义域关于原点对称，函数既是奇函数，又是偶函数xRR( )f x 当时，是奇函数0a () | |( )fxxaxaxaxaf x ( )f x 综上，当时，函数既是奇函数，又是偶函数；0a ( )f x 当时，函数是奇函数0a ( )f x 例 8.对于函数，若存在 x0R，使成立，则称点（x0，x0）为函数的不动( )f x 00 ()f xx( )f x 点 （1）已知函数有不动点（1，1） ， （3，3） ，求 a，b 的值； 2 ( )()(0)f xaxbxb a （2）若对于任意的实数 b，函数总有两个相异的不动点，求实数 a 2 ( )()(0)f xaxbxb a 的取值范围； （3）若定义在实数集 R 上的奇函数存在（有限）n 个不动点，求证：n 必为奇数( )g x 【解析】 （1）由已知得 x=1 和 x=3 是方程 ax2+bxb=x 的根，故 a=1，b=3 1 1 3 3 b a b a （2）由已知得：ax2+bxb=x（a0）有两个不相等的实数根， 1=(b1)2+4ab0 对于任意的实数 b 恒成立 即 b2+(4a2)b+10 对于任意的实数 b 恒成立 也就是函数的图象与横轴无交点 2 ( )(42)1f bbab 又二次函数的图象是开口向上的抛物线，( )f b 从而 2=(4a2)240，即|4a2|2，0a1 满足题意的实数 a 的取值范围为（0，1） （3）是 R 上的奇函数，.( )g x()( )gxg x 令 x=0，得，（0，0）是的一个不动点(0)(0)gg (0)0g( )g x 设（x0，x0） （x00）是的一个不动点，则( )g x 00 ()g xx 又，（x0，x0）也是的一个不动点 000 ()()gxg xx ( )g x 又x0 x0，的非零不动点是成对出现的( )g x 又（0，0）也是的一个不动点，若存在 n 个不动点，则 n 必为奇数( )g x( )g x 【巩固练习巩固练习】 1函数的图象( ) 2 ( )|f xxx A关于原点对称 B关于轴对称 C关于轴对称 D不具有对称轴yx 1. 【答案】B.【解析】因为，偶函数，图象关于轴对称 22 ()()|( )fxxxxxf x y 2已知函数为偶函数，则的值是( )127()2() 1()( 22 mmxmxmxfm A. B. C. D. 1234 2. 【答案】B.【解析】 奇次项系数为0,20,2mm 3设函数，且则等于（ ） 3 ( )1f xaxbx( 1)3,f (1)f A.-3 B.3 C.-5 D. 5 3. 【答案】C.【解析】因为是奇函数，所以， 3 ( ) 1f xaxbx 3 () 1fxaxbx 所以，.( 1) 1( ( 1) 1)ff ( 1) 1(1) 1,3 1(1) 1,(1)5ffff 4如果奇函数在区间 上是增函数且最大值为，那么在区间上是( )(xf3,75)(xf3, 7 A增函数且最小值是 B增函数且最大值是55 C减函数且最大值是 D减函数且最小值是55 4. 【答案】A.【解析】 奇函数关于原点对称，左右两边有相同的单调性 5已知是定义在 R 上的偶函数，在上是减函数，且，)(xf 0 , (0)3(f 则使的的范围是（ D ）0)(xfx A B C D)3 ,(), 3( ), 3()3 ,()3 , 3( 6若函数为奇函数，且 g（x）=f（x）+2，若 f（1）=1，则 g（1）的值为（ 2 ( )( )xF xf x ） A1 B3 C2 D2 6 【答案】A【解析】函数为奇函数， 2 ( )( )xF xf x F（X）=F（x） 由 f（1）=1，则 F（1）=2， F（1）=2，即 f（1）+1=2，f（1）=3， g（1）=f（1）+2=1 7若是偶函数，其定义域为，且在上是减函数，则)(xf, 0 的大小关系是( ) 2 5 2() 2 3 ( 2 aaff与 A B ) 2 3 (f) 2 5 2( 2 aaf) 2 3 (f) 2 5 2( 2 aaf C D) 2 3 (f) 2 5 2( 2 aaf) 2 3 (f) 2 5 2( 2 aaf 7. 【答案】C.【解析】 ， 22 533 2(1) 222 aaa 2 335 ()( )(2) 222 fff aa 8若定义在上的函数满足：对任意有+1，则下列R( )f x 12 ,x xR 1212 ()()()f xxf xf x 说法一定正确的是（ ） A为奇函数 B 为偶函数 C为奇函数 D为偶函数( )f x( )f x( ) 1f x ( ) 1f x 8. 【答案】C.【解析】解法一：（特殊函数法）由条件可取 1212 ()()() 1f xxf xf x ，所以是奇函数.( )1f xx( ) 1f xx 解法二：令，则， 12 0 xx(0)(0)(0) 1fff(0)1f 令，则， 12 ,xx xx (0)( )() 1ff xfx ，为奇函数，故选 C. ( ) 1() 10f xfx( ) 1f x 9已知函数是奇函数，则 a=_，f（f（1） ）=_ 2 2 2 ,0 ( ) 2 ,0 xx x f x axx x 9 【答案】1，1【解析】若函数 f（x）是奇函数， 则 f（1）=f（1） ，即 a+2=（12）=1，则 a=1， 则 f（1）=12=1，f（1）=a+2=1+2=1， 10奇函数在区间上是增函数，在区间上的最大值为 8，最小值为-1，则( )f x3,73,6 .2 ( 6)( 3)ff 10. 【答案】【解析】 在区间上也为递增函数，即15( )f x3,6(6)8,(3)1ff 2 ( 6)( 3)2 (6)(3)15ffff 11函数为偶函数，其定义域为，则的值域 2 ( )3f xaxbxab1,2aa( )f x 11 【答案】【解析】因为函数为上的偶函数， 31 1, 27 2 ( )3f xaxbxab1,2aa 所以即 即，所以函数在上的值域为 120, 0, aa b 1 , 3 0. a b 2 1 ( )1 3 f xx 2 2 , 3 3 31 1, 27 12奇函数在（-1，1）上是减函数，求满足的实数的取值范( )f x 2 (1)(1)0fmfmm 围 12 【解析】由已知，由为奇函数，所以， 2 (1)(1)fmfm ( )f x 2 (1)(1)fmf m 又在上是减函数，( )f x1,1 2 2 1 11, 11 1, 11. m m mm 解得 02, 2002, 21. m mm m 或 01m 13已知是定义在上的不恒为零的函数，且对任意的满足( )f xR, a bR ()( )( )f a baf bbf a （1）求的值；(0),(1)ff （2）判断的奇偶性，并证明你的结论( )f x 13 【解析】 （1）(0)(0 0)0 (0)0 (0)0;ffff ，(1)(1 1)1(1) 1(1)2 (1)fffff (1)0f （2），(1)( 1) ( 1)( 1) ( 1)( 1) ( 1)2 ( 1)0fffff =( 1)0f()( 1)( 1)( )( 1)fxfxf xxf ( )0( )f xf x 故为奇函数( )f x 14定义在1，1上的函数 y=f（x）是增函数且是奇函数，若 f（a+1）+f（4a5）0求实 数 a 的取值范围 14 【解析】由 f（a+1）+f（4a5）0 得 f（4a5）f（a+1） ， 定义在1，1上的函数 y=f（x）是增函数且是奇函数， 不等式等价为 f（4a5）f（a1） ， 则满足，得，即，即实数 a 的取值范围是 1451 11 1 451 a a aa 2 1 3 02 4 3 a a a 43 32 a 43 32 a 15函数 f(x)对于任意的实数 x，y 都有 f(x+y)=f(x)+f(y)成立，且当 x0 时 f(x)0 恒成立 （1）证明函数f(x)的奇偶性； （2）若f(1)= 2，求函数f(x)在2，2上的最大值； （3）解关于x的不等式 2 11 ( 2)( )(4 )( 2) 22 fxf xfxf 15 【解析】 （1）令x=y=0得f(0)=0，再令y=x即得f(x)=f(x） ，f(x）是奇函数 （2）设任意，且，则，由已知得 （1） 12 ,xxR 12 xx 21 0 xx 21 ()0f xx 又 （2） 212121 ()()()()()f xxf xfxf xf x 由（1） （2）可知， 12 ()()f xf x 由函数的单调性定义知f(x)在(-，+)上是减函数 x2，2时， max ( )( 2)(2)(1 1)2 (1)4f xffff f(x)当x2，2时的最大值为4 （3）由已知得： 2 ( 2)(4 )2( )( 2)fxfxf xf 由（1）知f(x）是奇函数， 上式又可化为： 2 ( 24 )2(2)(2)(2)(24)fxxf xf xf xfx 由（2）知f(x）是R上的减函数， 上式即：，化简得 2 2424xxx(2)(1)0 xx 原不等式的解集为或 |2x x 1x