（2021新教材）人教A版《高中数学》必修第一册4.2 指数函数及其性质 讲义（学生版+教师版）.zip

指数函数及性质指数函数及性质 要点一、指数函数的概念：要点一、指数函数的概念： 函数 y=ax(a0 且 a1)叫做指数函数，其中 x 是自变量，a 为常数，函数定义域为 R. 要点诠释：要点诠释： （1）形式上的严格性：只有形如 y=ax(a0 且 a1)的函数才是指数函数像，2 3xy 1 2xy 等函数都不是指数函数31 x y （2）为什么规定底数 a 大于零且不等于 1： 如果，则0a 00 0 x x x x 时，a 恒等于， 时, a 无意义. 如果，则对于一些函数，如，当时，在函数值不存在0a ( 4)xy 11 , 24 xx 如果，则是个常量，就没研究的必要了1a 11 x y 要点二、指数函数的图象及性质：要点二、指数函数的图象及性质： y=ax 0a1 时图象 图象 定义域 R，值域（0，+） a0=1, 即 x=0 时，y=1，图象都经过(0，1)点 ax=a，即 x=1 时，y 等于底数 a性质 在定义域上是单调减函数在定义域上是单调增函数 x1 x0 时，0ax1 x0 时，0ax0 时，ax1 既不是奇函数，也不是偶函数 要点诠释：要点诠释： （1）指数函数与的图象关于轴对称 x ya 1 x y a y 要点三、指数函数底数变化与图像分布规律（令要点三、指数函数底数变化与图像分布规律（令比较）比较）1x 4.（1）指数函数的底数满足：，cd1ab0 的图像如图所示： xxxx dycybyay, （2）特殊函数的图像： 11 2 ,3 ,( ) ,( ) 23 xxxx yyyy 【典型例题典型例题】 类型一、函数的定义域、值域类型一、函数的定义域、值域 例 1求下列函数的定义域、值域. (1)； (2)y=4x-2x+1； (3)； (4)(a 为大于 1 的常数) 3 1 3 x x y 21 1 3 9 x 2 1 1 x x ya 举一反三：举一反三： 【变式 1】求下列函数的定义域： (1) (2) (3) (4) 2-1 2xy 3- 3 x y 2 -1 x y 1(0,1) x yaaa 类型二、指数函数的单调性及其应用类型二、指数函数的单调性及其应用 例 2讨论函数的单调性，并求其值域 2 2 1 ( ) 3 xx f x 举一反三：举一反三： 【变式 1】求函数的单调区间及值域. 2 32 3 xx y 例 3讨论函数的单调性 1 11 2 42 xx y 举一反三：举一反三： 【变式 1】 求函数(x-3，2)的单调区间，并求出它的值域.1) 2 1 () 4 1 ( xx y 例 4(1)1.8a与 1.8a+1 (2) (3)22.5，(2.5)0， (4) 2 4-2 3 1 () ,3 ,() 33 2.5 1 () 2 23( 0,1)aaaa与 举一反三：举一反三： 【变式 1】比较大小： ，； 1 2 2 1 3 3 1 6 6 【变式 2】 比较 1.5-0.2， 1.30.7， 的大小. 1 3 2 ( ) 3 【变式 3】如果（，且），求的取值范围 215xx aa 0a 1a x 类型三、判断函数的奇偶性类型三、判断函数的奇偶性 例 5判断下列函数的奇偶性： (为奇函数)() 2 1 12 1 ()(xxf x ( )x 举一反三：举一反三： 【变式 1】判断函数的奇偶性：.( ) 221 x xx f x 类型四：指数函数的图象问题类型四：指数函数的图象问题 例 6如图的曲线 C1、C2、C3、C4是指数函数的图象，而，则图象 x ya 12 , 3, 22 a C1、C2、C3、C4对应的函数的底数依次是_、_、_、_ 举一反三：举一反三： 【变式 1】 设，cba 且，则下列中一定成立的是（ ）( ) |31| x f x ( )( )( )f cf af b A B C D33 ab 33 cb 332 ca 332 ca 例 7若直线与函数（且）的图象有两个公共点，2ya|1| 1 x ya0,a 1a 则的取值范围是 a 举一反三：举一反三： 【变式 1】如图是指数函数，的图象， x ya x yb x yc x yd 则 a，b，c，d 与 1 的大小关系为（ ） Aab1cd Bba1dc C1abcd Dab1dc 例 8已知函数 | | 1 ( )( ) 2 x f x （1）作出函数 f（x）的图象； （2）指出该函数的单调递增区间； （3）求函数 f（x）的值域 类型五：指数函数性质的综合类型五：指数函数性质的综合 例 9设（a，b 为实常数） 。 1 2 ( ) 2 x x a f x b （1）当时，证明：不是奇函数；是上的单调递减函数。1 ba( )f x( )f x),( （2）设是奇函数，求a与b的值。( )f x 巩固练习巩固练习 1函数在 R 上是减函数，则的取值范围是（ ） 2 ( )1 x f xaa A B C D1a2a2a 12a 2已知定义在上的奇函数和偶函数满足R( )f x( )g x( )( )2 xx f xg xaa ，若，则（ ）0,1aa且(2)ga(2)f A2 B C D 15 4 17 4 2 a 3用表示三个数中的最小值设，min, ,a b c, ,a b c( )min 2 ,2,10(0) x f xxxx 则的最大值为（ ）( )f x A4 B5 C6 D7 4函数的值域是（ ） 1 21 x y A B C D,1 ,00,1, (, 1)0, 5已知，则函数的图像必定不经过（ ）01,1ab x yab A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 6 （2015 年山东高考）设函数则满足的 a 的取值范围是（ . 1 ,2 , 1, 13 )( x xx xf x )( 2)( af aff ） A B0,1 C D1,+） 1 , 3 2 ), 3 2 7一批设备价值万元，由于磨损，每年比上一年价值降低，则年后这批设备的价值为（ a%bn ） A B C D(1%)nab(1%)anb1 ( %) n ab(1%)nab 8设函数若，则的取值范围是_ 2 2 ,(,1) ( ), ,1, x x f x xx ( )4f x x 9函数的值域是区间，则与的大小关系是 . 0, x f xaaxR0,12f 1f 10函数的值域是 2 281 1 ( 31) 3 xx yx 11方程的实数解的个数为 2 23 x x 12若函数（aR）满足 f（2+x）=f（2x） ，且 f（x）在m，+）上单调递增， | ( )2 x a f x 则实数 m 的最小值为_ 13设，解关于的不等式01ax 22 232223xxxx aa 14已知为定义在 上的奇函数，当时，函数解析式为.( )f x 1,11,0 x 11 ( ) 42 xx f x （）求在上的解析式； （）求在上的最值( )f x0,1( )f x0,1 15已知函数的定义域是0，3，设 g（x）=f（2x）f（x+2）( )2xf x （1）求 g（x）的解析式及定义域； （2）若 x0，1，求函数 g（x）的最大值和最小值 指数函数及性质指数函数及性质 要点一、指数函数的概念：要点一、指数函数的概念： 函数 y=ax(a0 且 a1)叫做指数函数，其中 x 是自变量，a 为常数，函数定义域为 R. 要点诠释：要点诠释： （1）形式上的严格性：只有形如 y=ax(a0 且 a1)的函数才是指数函数像，2 3xy 1 2xy 等函数都不是指数函数31 x y （2）为什么规定底数 a 大于零且不等于 1： 如果，则0a 00 0 x x x x 时，a 恒等于， 时, a 无意义. 如果，则对于一些函数，如，当时，在函数值不存在0a ( 4)xy 11 , 24 xx 如果，则是个常量，就没研究的必要了1a 11 x y 要点二、指数函数的图象及性质：要点二、指数函数的图象及性质： y=ax 0a1 时图象 图象 定义域 R，值域（0，+） a0=1, 即 x=0 时，y=1，图象都经过(0，1)点 ax=a，即 x=1 时，y 等于底数 a性质 在定义域上是单调减函数在定义域上是单调增函数 x1 x0 时，0ax1 x0 时，0ax0 时，ax1 既不是奇函数，也不是偶函数 要点诠释：要点诠释： （1）指数函数与的图象关于轴对称 x ya 1 x y a y 要点三、指数函数底数变化与图像分布规律（令要点三、指数函数底数变化与图像分布规律（令比较）比较）1x 4.（1）指数函数的底数满足：，cd1ab0 的图像如图所示： xxxx dycybyay, （2）特殊函数的图像： 11 2 ,3 ,( ) ,( ) 23 xxxx yyyy 【典型例题典型例题】 类型一、函数的定义域、值域类型一、函数的定义域、值域 例 1求下列函数的定义域、值域. (1)； (2)y=4x-2x+1； (3)； (4)(a 为大于 1 的常数) 3 1 3 x x y 21 1 3 9 x 2 1 1 x x ya 【解析】(1)函数的定义域为 R (对一切 xR，3x-1). ，又 3x0， 1+3x1， (1 3 ) 11 1 1 31 3 x xx y ， ， 1 01 1 3x 1 10 1 3x ， 值域为(0，1). 1 011 1 3x (2)定义域为 R， 2x0， 4 3 ) 2 1 2(12)2( 22 xxx y 2 1 2 x 即 x=-1 时，y 取最小值，同时 y 可以取一切大于的实数， 值域为). 4 3 4 3 , 4 3 (3)要使函数有意义可得到不等式，即，又函数是增函数， 21 1 30 9 x 212 33 x 3xy 所以，即，即，值域是.212x 1 2 x 1 , 2 0, (4) 定义域为(-，-1)1，+)，0 1 1 1 1 2 x x x x 又 ，值域为1，a)(a，+)1 1 1 0 1 1 x x x x 且aayay x x x x 1 1 2 1 1 2 1且 举一反三：举一反三： 【变式 1】求下列函数的定义域： (1) (2) (3) (4) 2-1 2xy 3- 3 x y 2 -1 x y 1(0,1) x yaaa 【解析】(1)R (2)要使原式有意义，需满足 3-x0，即，即3x -3， (3) 为使得原函数有意义，需满足 2x-10，即 2x1，故 x0，即0,+ (4) 为使得原函数有意义，需满足，即，所以 a1 时，；0a1，所以函数 y=1.8x为单调增函数，又因为 aa+1，所以 1.8a1.8a+1. (2)因为，又是减函数，所以，即 4 4 1 3 3 1 3 x y -4 2 -2 3 111 () () 333 2 -24 3 11 () () 3 33 (3)因为，所以 2.5 21 2.5 1 1 2 2.502.5 1 ()(2.5) 1 时，当 0a1，故 y=1.3x在 R 上为增函数 1.30.71.30=1， . 7 . 02 . 0 3 1 3 . 15 . 1) 3 2 ( 【变式 3】如果（，且），求的取值范围 215xx aa 0a 1a x 【解析】（1）当时，由于，解得01a 215xx aa 215xx 6x （2）当时，由于，解得1a 215xx aa 215xx 6x 综上所述，的取值范围是：当时，；当时，x01a6x 1a 6x 类型三、判断函数的奇偶性类型三、判断函数的奇偶性 例 5判断下列函数的奇偶性： (为奇函数)() 2 1 12 1 ()(xxf x ( )x 【解析】f(x)定义域为，关于原点对称，0 x 令，则 2 1 12 1 )( x xg 2 1 12 2 2 1 21 2 2 1 12 1 )( x x x x x xg )() 2 1 12 1 ( 2 1 12 1 1 2 1 12 1) 12( xg xxx x g(x)为奇函数， 又 为奇函数， f(x)为偶函数.( )x 举一反三：举一反三： 【变式 1】判断函数的奇偶性：.( ) 221 x xx f x 【解析】定义域x|xR 且 x0， 又 112121 ()()()() 222211221 xx xxx fxxxx ， 21 111111 ()(1)()( ) 222212121 x xxx xxxf x f(-x)=f(x)，则 f(x)偶函数. 类型四：指数函数的图象问题类型四：指数函数的图象问题 例 6如图的曲线 C1、C2、C3、C4是指数函数的图象，而，则图象 x ya 12 , 3, 22 a C1、C2、C3、C4对应的函数的底数依次是_、_、_、_ 【答案】 2 2 1 2 3 举一反三：举一反三： 【变式 1】 设，cba 且，则下列中一定成立的是（ ）( ) |31| x f x ( )( )( )f cf af b A B C D33 ab 33 cb 332 ca 332 ca 【答案】D【解析】f（x）=|3x-1|= 31 1 30 x x x x 0 故可作出 f（x）=|3x-1|的图象，由图可知，要使 cba 且 f（c）f（a）f（b）成立，则有 c0 且 a0，故必有，所以 3c+3a21 331 ca 例 7若直线与函数（且）的图象有两个公共点，2ya|1| 1 x ya0,a 1a 则的取值范围是 a 【解析】当时，通过平移变换和翻折可得如图所示的图象，1a 则由图可知，即与矛盾122a 1 1 2 a1a 当时，同样通过平移和翻折可得如图所示的图象，01a 则由图可知，即，即为所求122a 1 1 2 a 举一反三：举一反三： 【变式 1】如图是指数函数，的图象， x ya x yb x yc x yd 则 a，b，c，d 与 1 的大小关系为（ ） Aab1cd Bba1dc C1abcd Dab1dc 【答案】B 例 8已知函数 | | 1 ( )( ) 2 x f x （1）作出函数 f（x）的图象； （2）指出该函数的单调递增区间； （3）求函数 f（x）的值域 【解析】 （1）图象如图所示： （2）由图象可知，函数的单调递增区间为（，0） ， （3）由图象可知，函数的值域为（0，1 类型五：指数函数性质的综合类型五：指数函数性质的综合 例 9设（a，b 为实常数） 。 1 2 ( ) 2 x x a f x b （1）当时，证明：不是奇函数；是上的单调递减函数。1 ba( )f x( )f x),( （2）设是奇函数，求a与b的值。( )f x 【解析】 （1），其定义域为 R 1 21 ( ) 21 x x f x ， 2 2 11 (1) 215 f 1 1 1 2 ( 1) 24 f 所以，即不是奇函数( 1)(1)ff ( )f x 在上任取且，则),( 21,x x 21 xx 21 21 21 11 1 21 2 (),() 1212 xx xx f xf x 21 ()()f xf x 212112 2121 11 1111 1 21 2(1 2 )(12)(1 2 )(12) 1212(12)(12) xxxxxx xxxx 12 22 11 3(22 ) (12)(12) xx xx 因为，所以，又因为， 21 xx 12 220 xx 12 11 (12)(12)0 xx 所以 ，即 21 ()()0f xf x 21 ()()f xf x 所以是上的单调递减函数。( )f x),( （2）是奇函数时，( )f x()( )fxf x 即对定义域中的任意实数都成立， 11 22 22 xx xx aa bb x 化简整理得，这是关于 x 的恒等式， 2 (2) 2(24) 2(2)0 xx ababab 所以 所以或 20, 240 ab ab 1 2 a b 1 2 a b 巩固练习巩固练习 1函数在 R 上是减函数，则的取值范围是（ ） 2 ( )1 x f xaa A B C D1a2a2a 12a 1 【答案】D【解析】函数是上的减函数，所以，所以，即( )f xR 2 01 1a 2 12a 1 |2a 2已知定义在上的奇函数和偶函数满足R( )f x( )g x( )( )2 xx f xg xaa ，若，则（ ）0,1aa且(2)ga(2)f A2 B C D 15 4 17 4 2 a 2 【答案】B 【解析】因为（1） ，所以，( )( )2 xx f xg xaa()()2 xx fxgxaa 又为奇函数，为偶函数，所以（2） ，( )f x( )g x( )( )2 xx f xg xaa 有（1） 、 （2）得：( ), ( )2 xx f xaag x 22 15 (2),2,(2)22 4 gaaf 3用表示三个数中的最小值设，min, ,a b c, ,a b c( )min 2 ,2,10(0) x f xxxx 则的最大值为（ ）( )f x A4 B5 C6 D7 3 【答案】C【解析】易知，画出的图象，易知的最大值为 6 22 ( )2(24) 10(4) x x f xxx x x （0） ( )f x( )f x 4函数的值域是（ ） 1 21 x y A B C D,1 ,00,1, (, 1)0, 4 【答案】D【解析】当时，；0 x 1 21,210,0 21 xx x 当时， 0 x 1 021,1210,1 21 xx x 5已知，则函数的图像必定不经过（ ）01,1ab x yab A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 5 【答案】A【解析】取特殊值法，取，所以得函数=， 函数= 1 ,2 2 ab y 1 2 2 x y 1 2 2 x 的图象是由函数=的图象向下平移两个单位得到的，故其图象一定不过第一象限y 1 2 x 6 （2015 年山东高考）设函数则满足的 a 的取值范围是（ . 1 ,2 , 1, 13 )( x xx xf x )( 2)( af aff ） A B0,1 C D1,+） 1 , 3 2 ), 3 2 6 【答案】C【解析】当 a1 时， ( ) ( )21( ( )2 af a f af f a 当 a1 时，若，则13)( aaf )( 2)( af aff1)(af 即 3a11 综上： 22 1 33 aa 3 2 a 7一批设备价值万元，由于磨损，每年比上一年价值降低，则年后这批设备的价值为（ a%bn ） A B C D(1%)nab(1%)anb1 ( %) n ab(1%)nab 7 【答案】D【解析】一年后价值为，两年后价值为%(1%)aabab ，年后价值为 2 (1%)(1%) %(1%)ababbabn(1%)nab 8设函数若，则的取值范围是_ 2 2 ,(,1) ( ), ,1, x x f x xx ( )4f x x 8 【答案】 【解析】当时，由可知，；, 2(2,) ( )4,f x 1x 24 x 2x 当时，由可知， 或 1x 2 4x 2x 2x 2x 9函数的值域是区间，则与的大小关系是 . 0, x f xaaxR0,12f 1f 9 【答案】 【解析】由题意，的值域是区间) 1 ()2(ff 0, x f xaaxR0,1 所以 ，如图，画出的图像01a 0, x f xaaxR 是偶函数，所以，而， f x( 2)= (2)ff(2)(1)ff 所以) 1 ()2(ff 10函数的值域是 2 281 1 ( 31) 3 xx yx 10 【答案】 【解析】令， 9 9 1 ,3 3 22 2812(2)9Uxxx ，又为减函数，31,99xU 1 3 U y 9 9 1 3 3 y 11方程的实数解的个数为 2 23 x x 11 【答案】2 【解析】分别作出函数与函数的图象，( )32 x f x 2 ( )g xx 当，从图象上可以看出它们有 2 个交点0,( )(0)2, ( )(0)0 xf xfg xg 12若函数（aR）满足 f（2+x）=f（2x） ，且 f（x）在m，+）上单调递增， | ( )2 x a f x 则实数 m 的最小值为_ 12 【答案】2 【解析】；f（x）关于 x=a 对称；又 f（2+x）=f（2x） ； | ( )2 x a f x f（x）关于 x=2 对称；a=2；f（x）的单调递增区间为2，+） ； 2 2 2 ( ) 2 x x f x 又 f（x）在m，+）上单调递增；实数 m 的最小值为 2 13设，解关于的不等式01ax 22 232223xxxx aa 13 【解析】，01a 在上为减函数， x ya, ， 22 232223xxxx aa 22 2322231xxxxx 14已知为定义在 上的奇函数，当时，函数解析式为.( )f x 1,11,0 x 11 ( ) 42 xx f x （）求在上的解析式； （）求在上的最值( )f x0,1( )f x0,1 14 【解析】 （）设，则0,1x1,0 x ( )f x 1 4 x 1 2 x 42 xx 又().()( )fxf x 42 xx ( )f x24 xx 所以，在上的解析式为( )f x0,1( )f x24 xx （）当，0,1x( )f x 2 24(2 )2 xxxx 设，则，2 (0) x tt 2 ytt 0,1x1,2t 当时，.1t 0 x max ( )0f x 当时，.2t 1x min ( )2f x 所以，函数在0,1上的最大与最小值分别为 0，( )f x2 15已知函数的定义域是0，3，设 g（x）=f（2x）f（x+2）( )2xf x （1）求 g（x）的解析式及定义域； （2）若 x0，1，求函数 g（x）的最大值和最小值 15 【解析】 （1）， 22 ( )(2 )(2)22 xx g xfxf x 的定义域是0，3，( )2xf x ，解得 0 x1， 023 023 x x g（x）的定义域为0，1 （2）由（1）得， 22 ( )22 xx g x 设，则 t1，2，2xt ， 2 ( )4g ttt g（t）在1，2上单调递减， g（t）max=g（1）=3，g（t）min=g（2）=4 函数 g（x）的最大值为3，最小值为4