（2021新教材）人教A版《高中数学》必修第一册5.2.2 同角三角函数的基本关系式讲义（学生版+教师版）.zip

同角三角函数基本关系同角三角函数基本关系 要点一：同角三角函数的基本关系式要点一：同角三角函数的基本关系式 (1)平方关系： 22 sincos1 (2)商数关系： sin tan cos (3)倒数关系：，tancot1sincsc1cossec1 要点二：同角三角函数基本关系式的变形要点二：同角三角函数基本关系式的变形 1平方关系式的变形：平方关系式的变形： ， 2222 sin1 cos cos1 sin ， 2 12sincos(sincos) 2商数关系式的变形商数关系式的变形 。 sin sincostan cos tan ， 【典型例题典型例题】 类型一：已知某个三角函数值求其余的三角函数值类型一：已知某个三角函数值求其余的三角函数值 例 1已知 tan=2，求 sin，cos的值。 举一反三：举一反三： 【变式 1】已知是的一个内角，且，求AABC 5 tan 4 A sin,cos .AA 类型二：利用同角关系求值类型二：利用同角关系求值 例 2已知：（备注：）求：tancot2, sin cos cot （1）的值；（2）的值；sincossincos （3）的值；（4）及的值sincossincos 举一反三：举一反三： 【变式 1】已知 0 x，sin、cos是方程的两实根，求： 2 50 xxm （1）m 的值； （2）求 sin、cos、tan的值； （3）的值 33 sincos 例 3已知 tan=3，求下列各式的值： （1）； 4sincos 3sin5cos （2） 2 1 2sincoscos 举一反三：举一反三： 【变式 1】 （1）已知 tan=3，求 sin23sincos+1 的值； （2）已知，求的值。 4sin2cos6 5cos3sin11 44 cossin 类型三：利用同角关系化简三角函数式类型三：利用同角关系化简三角函数式 例 4化简：（1）； 1 2sincos ,2,2 sincos2 kkkZ （2）； 22 1 sin 21 cos 2 （3）； 2 2 cos1 cos sin 1 sin （4） 1 sin1 sin 1 sin1 sin 同角三角函数基本关系同角三角函数基本关系 要点一：同角三角函数的基本关系式要点一：同角三角函数的基本关系式 (1)平方关系： 22 sincos1 (2)商数关系： sin tan cos (3)倒数关系：，tancot1sincsc1cossec1 要点二：同角三角函数基本关系式的变形要点二：同角三角函数基本关系式的变形 1平方关系式的变形：平方关系式的变形： ， 2222 sin1 cos cos1 sin ， 2 12sincos(sincos) 2商数关系式的变形商数关系式的变形 。 sin sincostan cos tan ， 【典型例题典型例题】 类型一：已知某个三角函数值求其余的三角函数值类型一：已知某个三角函数值求其余的三角函数值 例 1已知 tan=2，求 sin，cos的值。 【解析】 tan=2，sin=2cos ， 又 sin2+cos2=1 由消去 sin得(2cos)2+cos2=1，即。 2 1 cos 5 当为第二象限角时，代入得。 5 cos 5 2 5 sin 5 当为第四象限角时，代入得。 5 cos 5 2 5 sin 5 举一反三：举一反三： 【变式 1】已知是的一个内角，且，求AABC 5 tan 4 A sin,cos .AA 【解析】为钝角， 5 tan0, 4 AA sin0,cos0.AA 由平方整理得： sin tan, cos A A A 2 22 114 41 cos,cos, 411tan1tan AA AA 5 sintancos41. 41 AAA 类型二：利用同角关系求值类型二：利用同角关系求值 例 2已知：（备注：）求：tancot2, sin cos cot （1）的值；（2）的值；sincossincos （3）的值；（4）及的值sincossincos 【解析】 （1）由已知， sincos 2 cossin 22 sincos 2 sincos 1 sincos 2 （2）， 2 sincos12sincos1 12 sincos2 （3）， 2 sincos1 2sincos1 10 sincos0 （4）由，解得或 sincos2 sincos0 2 sin 2 2 cos 2 2 sin 2 2 cos 2 举一反三：举一反三： 【变式 1】已知 0 x，sin、cos是方程的两实根，求： 2 50 xxm （1）m 的值； （2）求 sin、cos、tan的值； （3）的值 33 sincos 【解析】 （1）0，sin、cos是方程的两实根， 2 50 xxm 1 sincos 5 ，解得：；sincos 5 m 2 21 (sincos)12sincos1 525 m 12 5 m （2） ， 1 sincos 5 12 sincos 25 ， 2 2449 (sincos)1 2sincos1 2525 ， 联立解得：，； 7 sincos 5 4 sin 5 3 cos 5 4 tan 3 （3）， 1 sincos 5 12 sincos 25 原式 22 (sincos)(sinsincoscos) (sincos)(1 sincos) 13737 525125 例 3已知 tan=3，求下列各式的值： （1）； 4sincos 3sin5cos （2） 2 1 2sincoscos 【解析】 （1）原式 4sincos 3sin5cos 分子分母都除以 cos，得原式 4sincos 4tan14 3 111 coscos 3sin5cos 3tan53 3514 coscos （2）原式 2 1 2sincoscos 将分子化成 1=sin2+cos2，可得原式 22 2 sincos 2sincoscos 再将分子分母都除以 cos2，得 原式 22 22 22 2 22 sincos tan13110 coscos 2sincoscos2tan12 3 17 coscos 举一反三：举一反三： 【变式 1】 （1）已知 tan=3，求 sin23sincos+1 的值； （2）已知，求的值。 4sin2cos6 5cos3sin11 44 cossin 【解析】 （1）tan=3，1=sin2+cos2， 原式 222 sin3sincos(sincos) 。 222 222 2sin3sincoscos2tan3tan1 1 sincos1tan （2）由，得，解得： 4sin2cos6 5cos3sin11 4tan26 53tan11 tan2 442222 cossin(cossin)(cossin) 。 222 22 222 cossin1tan1 43 cossin cossin1tan145 类型三：利用同角关系化简三角函数式类型三：利用同角关系化简三角函数式 例 4化简：（1）； 1 2sincos ,2,2 sincos2 kkkZ （2）； 22 1 sin 21 cos 2 （3）； 2 2 cos1 cos sin 1 sin （4） 1 sin1 sin 1 sin1 sin 【解析】 （1）原式= 2 (sincos )|sincos| 1 sincossincos （2）原式= 22 cos 2sin 2|cos2|sin2|cos2sin2 （3）原式= 0,() cos|sin| 2 |cos|sin 在第一象限或第三象限 ，（在第二象限） 2，（在第四象限） （4）原式= = 22 22 1 sin1 sin 1 sin1 sin 1 sin1 sin |cos|cos| =， 2tan (22) 22 3 2tan (22) 22 kk kk kz