1、 6.4.3 6.4.3 余弦定理余弦定理 讲课人：邢启强 2 一个三角形含有各种各样的几何量，例如三边 边长、三个内角的度数、面积等，它们之间存 在着确定的关系，例如，在初中，我们得到过 勾股定理、锐角三角函数，这是直角三角形中 的边、角定量关系.对于一般三角形，我们已 经定性地研究过三角形的边、角关系，得到了 SSS,SAS,ASA,AAS等判定三角形全等的方法， 这些判定方法表明，给定三角形的三个角、三 条边这六个元素中的某些元素，这个三角形就 是唯一确定的。 那么三角形的其他元素与给定的某些元素有怎 样的数量关系？ 新课引入新课引入 讲课人：邢启强 3 若已知三角形的两边及其夹角，如何
2、求其他的边若已知三角形的两边及其夹角，如何求其他的边 角呢？下面我们来研究一下这个问题。角呢？下面我们来研究一下这个问题。 C C A A B B a a b b C C A A B B a a b b c c 新课引入新课引入 我们知道，两边和它们的夹角分别相等的两个三角形 全等.这说明，给定两边及其夹角的三角形是唯一确定 的.也就是说，三角形的其他边、角都可以用这两边及 其夹角来表示. 讲课人：邢启强 4 新课引入新课引入 讲课人：邢启强 5 在在ABCABC中，若已知边中，若已知边a a，b b和它们的夹角和它们的夹角C C， 求第三条边求第三条边c.c. C C A A B B a b
3、 b A BC BC A=- uuu ruuruuu r 222 2coscababC=+- c 22 22 2 2 2 cos2 2 )( bCaba CACACBCB CACBABAB 学习新知学习新知 讲课人：邢启强 6 余弦定理：余弦定理： 三角形中任何一边的平方，等于其他两三角形中任何一边的平方，等于其他两 边的平方和，减去这两边与其夹角的余边的平方和，减去这两边与其夹角的余 弦的积的两倍弦的积的两倍. . 学习新知学习新知 讲课人：邢启强 7 余弦定理的推论：余弦定理的推论： 学习新知学习新知 讲课人：邢启强 8 余弦定理的主要作用：余弦定理的主要作用： （1）已知两边一角求边；）
4、已知两边一角求边；(SAS) （2）已知三边求角）已知三边求角.(SSS) 学习新知学习新知 讲课人：邢启强 9 例例1. 1. 在在ABCABC中，已知中，已知a= cm= cm， c= cmc= cm，B=45B=45，解三角形，解三角形. . 62+ 2 3 步骤：步骤： 1.求第三边；（余弦定理）求第三边；（余弦定理） 2.求已知边中较小边所对求已知边中较小边所对 的角；的角； 3.求第三角（内角和为求第三角（内角和为） 已知两边及夹角求边；已知两边及夹角求边；(SAS) 典型例题典型例题 讲课人：邢启强 10 巩固练习巩固练习 讲课人：邢启强 11 巩固练习巩固练习 讲课人：邢启强
5、12 例例2. 2. 在在ABCABC中，已知中，已知 ， ，求最大角，求最大角. . 4,37bc= 3a 已知三边求角已知三边求角.(SSS)典型例题典型例题 2 1 2 cos , 222 ab cba C Cabc最大所以解：因为 3 2 所以C 已知三角形三边求角，可先用余弦定理求两个角，已知三角形三边求角，可先用余弦定理求两个角， 进而求出第三个角进而求出第三个角 【思路点拨】【思路点拨】在三角形中，大边对大角，所以在三角形中，大边对大角，所以a 边所对角最大，然后根据已知三边可用余弦定理边所对角最大，然后根据已知三边可用余弦定理 求三角求三角 讲课人：邢启强 13 在在ABC中，
6、已知中，已知a7,b3,c5， 求最大角求最大角 巩固练习巩固练习 讲课人：邢启强 14 例例3 3 在在ABCABC中，角中，角A A、B B、C C的对边分的对边分 别为别为a a 、b b 、c c，若，若ABABAC=BAAC=BABC=1BC=1. (1)(1)求证：求证：A=B;A=B; (2)(2)求边长求边长c的值的值. (3)(3)若若|AB+AC|=|AB+AC|= ,求求ABCABC的面积的面积. .6 典型例题典型例题 讲课人：邢启强 15 训练训练 1在ABC中： (1)已知b8,c3,A60,求a； (2)已知a20,b29,c21,求B； (3)已知a3 ,c2,
7、B150,求b； (4)已知a2，b 求A 3 2,3 1c 巩固练习巩固练习 讲课人：邢启强 16 典型例题典型例题 讲课人：邢启强 17 典型例题典型例题 在在ABC中，中，acos Abcos B ccos C，试判断三角形的形状，试判断三角形的形状 【思路点拨】【思路点拨】利用余弦定理把边与角的关系转化为边与利用余弦定理把边与角的关系转化为边与 边的关系边的关系 通分整理得：通分整理得： a2(b2c2a2)b2(a2c2b2)c2(c2a2b2)0. 展开整理得展开整理得(a2b2)2c4. a2b2c2，即，即a2b2c2或或b2a2c2. 根据勾股定理，知根据勾股定理，知ABC是
8、直角三角形是直角三角形 讲课人：邢启强 18 方法总结方法总结 判断三角形的形状判断三角形的形状 判断三角形的形状应围绕三角形的边角关系判断三角形的形状应围绕三角形的边角关系 进行思考，可用余弦定理将已知条件转化为进行思考，可用余弦定理将已知条件转化为 边边关系，通过因式分解、配方等方式得出边边关系，通过因式分解、配方等方式得出 边的相应关系，从而判断三角形的形状，也边的相应关系，从而判断三角形的形状，也 可利用余弦定理将已知条件转化为角与角之可利用余弦定理将已知条件转化为角与角之 间的关系，通过三角变换，得出三角形各内间的关系，通过三角变换，得出三角形各内 角之间的关系，从而判断三角形形状角
9、之间的关系，从而判断三角形形状 讲课人：邢启强 19 巩固练习巩固练习 在在ABC中，中， bcos Aacos B ， 试判断三角形的形状试判断三角形的形状 讲课人：邢启强 20 巩固练习巩固练习 讲课人：邢启强 21 巩固练习巩固练习 讲课人：邢启强 22 1.1.余弦定理的主要作用是已知两边余弦定理的主要作用是已知两边 一角求边，或已知三边求角，所得一角求边，或已知三边求角，所得 结论是唯一的结论是唯一的. .同时，利用余弦定理同时，利用余弦定理 也可以实现边角转化也可以实现边角转化. . 2.2.余弦定理及其推论共有六个基本余弦定理及其推论共有六个基本 公式，应用时要注意适当选取，有公
10、式，应用时要注意适当选取，有 时可结合正弦定理求解时可结合正弦定理求解. . 课堂小结课堂小结 讲课人：邢启强 23 1余弦定理指出了三角形的三条边与其中的一余弦定理指出了三角形的三条边与其中的一 个角之间的关系，每一个等式中都包含四个不同个角之间的关系，每一个等式中都包含四个不同 的量，它们分别是三角形的三边和一个角，知道的量，它们分别是三角形的三边和一个角，知道 其中的三个量，就可以求得第四个量：其中的三个量，就可以求得第四个量： (1)已知两边与它们的夹角，可以求得第三边；已知两边与它们的夹角，可以求得第三边； (2)已知两边与其中一边的对角，可以代入余弦定已知两边与其中一边的对角，可以
11、代入余弦定 理，看成关于另一边的二次方程，从而解得另一理，看成关于另一边的二次方程，从而解得另一 边；边； (3)已知三角形的三边可以求得三角形的三个已知三角形的三边可以求得三角形的三个 角从这里可以看出，利用余弦定理解三角形时，角从这里可以看出，利用余弦定理解三角形时， 条件中必须至少知道两边条件中必须至少知道两边 课堂小结课堂小结 讲课人：邢启强 24 2余弦定理与勾股定理余弦定理与勾股定理 余弦定理可以看作是勾股定理的推广，勾股定理余弦定理可以看作是勾股定理的推广，勾股定理 可以看作是余弦定理的特例可以看作是余弦定理的特例 (1)如果一个三角形两边的平方和大于第三边的平如果一个三角形两边的平方和大于第三边的平 方，那么第三边所对的角是锐角方，那么第三边所对的角是锐角 (2)如果一个三角形两边的平方和小于第三边的平如果一个三角形两边的平方和小于第三边的平 方，那么第三边所对的角是钝角方，那么第三边所对的角是钝角 (3)如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平 方，那么第三边所对的角是直角方，那么第三边所对的角是直角 课堂小结课堂小结
