1、10.1.2事件的关系和运算事件的关系和运算 讲课人：邢启强 2 1当几个集合是有限集时当几个集合是有限集时,常用列举法常用列举法 列出集合中的元素列出集合中的元素,求集合求集合AB与与AB 中的元素个数中的元素个数AB中的元素个数即为中的元素个数即为 集合集合A与与B中中 元素的个数；而当元素的个数；而当 AB时时,AB中的元素个数即为两中的元素个数即为两 个集合中元素个数个集合中元素个数 ；而当；而当AB 时时,AB中的元素个数即为中的元素个数即为A、B中元素中元素 个数之和个数之和 AB中的元素个数中的元素个数 讲课人：邢启强 3 在掷骰子实验中在掷骰子实验中,可以定义许多事件可以定义许
2、多事件, 从前面的学习中可以看到,我们在一个随机试验中可以定义很多 随机事件。这些事件有的简单,有的复杂,我们希望从简单事件的 概率推算出复杂事件的概率,所以需要研究事件之间的关系和运 算. 例如：Ci=“点数为i”,i=1,2,3,4,5,6; D1=“点数不大于3”；D2=“点数大于3”； E1=“点数为1或2”；E2=“点数为2或3”； F=“点数为偶数”；G=“点数为奇数”； 你还能写出这个试验中其他一些事件吗？ 请用集合的形式表示这些事件 借助集合与集合的关系和运算,你能发现这些事件之间的联系吗？ 事实上,利用样本空间的子集表示事件,使我们可以利用集合的知识研 究随机事件,从而为研究
3、概率的性质和计算等提供有效而简便的方法. 讲课人：邢启强 4 学习新知学习新知 1.用集合的形式表示事件C1=“点数为1”和事件G=“点数为 奇数”,它们分别是C1=1和G=1,3,5. 显然,如果事件C1发生,那么事件G一定发生,事件之间的这 种关系用集合的形式表示,就是11,3,5,即C1G. 这 时我们说事件G包含事件C1. (1)ABA B AB 对于事件 与事件 ，如果事件 发生，对于事件 与事件 ，如果事件 发生， 那么事件 一定发生，则称事件B包含事那么事件 一定发生，则称事件B包含事 件 ，（或称事件A包含于事件 ）件 ，（或称事件A包含于事件 ） ()BAAB记作：或 1 1
4、）不不可可能能事事件件记记作作 注注: 2）任何事件都包含不可能事件2）任何事件都包含不可能事件 讲课人：邢启强 5 BAB若若，且且A A，则则称称事事件件A A与与事事件件B B相相等等。 B记记：A A= = AB若事件 发生，则事件 一定发生，反之也成立， 则称这两个事件相等。 学习新知学习新知 讲课人：邢启强 6 学习新知学习新知 2.用集合的形式表示事件D1=“点数不大于3”、事件E1=“点 数为1或2”和事件E2=“点数为2或3”,它们分别是 D1=1,2,3,E1=1,2和E2=2,3. 可以发现,事件E1和事件E2至少有一个发生,相当于事件D1 发生.事件之间的这种关系用集合
5、的形式表示,就是 (1,2)2,3=1,2,3,即E1E2=D1,这时我们称事件D1为事 件E1和事件E2的并事件. 一般地,事件A与事件B至少有一个发生,这样的一个事件中的样 本点或者在事件A中,或者在事件B中,我们称这个事件为事件A与 事件B的并事件(或和事件）,记作AUB(或A+B). 可以用图中的绿色 区域和黄色区域表 示这个并事件. 讲课人：邢启强 7 学习新知学习新知 3.事件C2=“点数为2”可以用集合的形式表示为C2=2. 可以发现,事件E1=“点数为1或2”和事件E2=“点数为2或 3”同时发生,相当于事件C2发生.事件之间的这种关系 用集合的形式表示,就是1,22,3=2,
6、即E1E2=C2. 我们称事件C2为事件E1和E2的交事件. 一般地,事件A与事件B同时发生,这样的一个事件中的样本点既 在事件A中,也在事件B中,我们称这样的一个事件为事AB件A与 事件B的交事件(或积事件）,记作AB(或AB). 可以用图中的蓝色区域表示这个交事件. 讲课人：邢启强 8 学习新知学习新知 4.用集合的形式表示事件C3=“点数为3”和事件 C4=“点数为4”. 它们分别是C3=3,C4=4. 显然,事件C3与事件C4不可能同时发生,用集合的 形式表示这种关系,就是34=, 即C3 C4=,这时我们称事件C3与事件C4互斥. 一般地,如果事件A与事件B不能同时发生,也就是 说A
7、nB是一个不可能事件,即AnB=0,则称事件A与 事件B互斥(或互不相容）. 可以用图表示这两个事件互斥. 其含义是,事件A与事件B在任何一次试验中不会同时发生 讲课人：邢启强 9 学习新知学习新知 5.用集合的形式表示事件F=“点数为偶数”、事件G= “点数为 奇数”,它们分别是F=2,4,6,G=1,3,5. 在任何一次试验中,事件F与事件G两者只能发生其中之一,而且 也必然发生其中之一.事件之间的这种关系,用集合的形式可以 表示为2,4,61,3,5=1,2,3,4,5,6,即FG=,且 2,4,6(1,3,5=,即FG= .此时我们称事件F与事件G互为对 立事件.事件D1与D2也有这种
8、关系. 一般地,如果事件A和事件B在任何一次试验中有且仅 有一A个发生,即 AB=,且AB=,那么称事件A与 事件B互为对立. 其含义是：事件A与事件B在任何一 次试验中有且仅有一个发生 事件A的对立事件记为 ,可以用图表示为. A 讲课人：邢启强 10 学习新知学习新知 综上所述,事件的关系或运算的含义,以及相应的符号表示如下 事件的关系或运算 含义符号表示 包含A发生导致B发生AB 并事件(和事件)A与B至少一个发生AUB或A+B 交事件(积事件)A与B同时发生AB或AB 互斥(互不相容)A与B不能同时发生AB= 互为对立A与B有且仅有一个发生 AB=,AUB= 类似地,我们可以定义多个事
9、件的和事件以及积事件. 例如,对于三个事件A,B,C,AUBUC(或A+B+C)发生当 且仅当A,B,C中至少一个发生,ABC(或ABC)发生当 且仅当A,B,C同时发生,等等. 讲课人：邢启强 11 学习新知学习新知 讲课人：邢启强 12 典型例题典型例题 例5 如图,由甲、乙两个元件组成一个并联电路,每 个元件可能正常或失效.设事件A=“甲元件正 常”,B=“乙元件正常”. (1)写出表示两个元件工作状态的样本空间； (2)用集合的形式表示事件A,B以及它们的对立事 件； (3)用集合的形式表示事件AB和事件AB,并说 明它们的含义及关系. 分析：注意到试验由甲、乙两个元 件的状态组成,所
10、以可以用数组(x1,x2) 表元样本点.这样,确定事件A,B所包 含的样本点时,不仅要考虑甲元件的 状态,还要考用乙元件的状态. 讲课人：邢启强 13 典型例题典型例题 解：(1)用x1,x2分别表示甲、乙两个元件的 状态,则可以用(x1,x2)表示这个并联电路的状 态,以1表示元件正常,0表示元件失效,则样本 空间为=(0,0),(0,1),(1,0),(1,1). (2)根据题意,可得 A=(1,0),(1,1),B=(0,1),(1,1), =(0,0),(0,1), =(0,0),(1,0). (3)AB=(0,1),(1,0),(1,1),AB=(0,0); AB表示电路工作正常,
11、表示电路工作不正常； AB和 互为对立事件. AB A A B B 讲课人：邢启强 14 典型例题典型例题 例6一个袋子中有大小和质地相同的4个球,其中 有2个红色球(标号为1和2),2个绿色球(标号为3 和4),从袋中不放回地依次随机摸出2个球.设事 件R1=“第一次摸到红球”,R2=“第二次摸到红 球”,R=“两次都摸到红球”,G=“两次都摸到绿 球”,M=“两个球颜色相同”,N=“两个球颜色不 同” (1)用集合的形式分别写出试验的样本空间以及 上述各事件； (2)事件R与R1,R与G,M与N之间各有什么关系？ (3)事件R与事件G的并事件与事件M有什么关系？ 事件R1与事件R2的交事件
12、与事件R有什么关系？ 讲课人：邢启强 15 典型例题典型例题 解：(1)所有的试验结果如图所示.用数组(x1,x2)表示可能的结果,x1 是第一次摸到的球的标号,x2是第二次摸到的球的标号,则试验的样 本空间=(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,3),(2,4),(3,1), (3,2),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3) 事件R1=“第一次摸到红球”,即x1=1或2,于是 R1=(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,3),(2,4); 事件R2=“第二次摸到红球”,即x2=1或2,于是 R2=(2,1),(3,1),(4,1),(1,2),(3,
13、2),(4,2) 同理,有R=(1,2),(2,1),G=(3,4),(4,3),M=(1,2),(2,1),(3,4),(4,3), N=(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(4,1),(4,2) (2)因为RR1,所以事件R1包含事件R因为RG=,所以事件R与事 件G互斥； 因为MN=,MN=,所以事件M与事件N互为对立事件. (3)因为RG=M,所以事件M是事件R与事件G的并事件； 因为R1R2=R,所以事件R是事件R1与事件R2的交事件. 讲课人：邢启强 16 1.某人打靶时连续射击两次，下列事件中与事件 “至少一次中靶”互为对立的是( ). (A)
14、至多一次中靶 (B)两次都中靶 (C)只有一次中靶 (D)两次都没有中靶 课本练习课本练习 讲课人：邢启强 17 2.抛挪一颗质地均匀的骰子，有如下随机事件： Ci=“点数为i”，其中i=1,2,3,4,5,6;D1=“点数不大于 2”，D2=“点数大于2”，D3=“点数大于4”；E=“点 数为奇数”，F=“点数为偶数”。 判断下列结论是否正确. (1)C1与C2互斥； (2)C2,C3为对立事件; (3)C3D2; (4)D3 D2; (5)D1D2=,D1D2=; (6)D3=C5C6; (7)E=C1C3C5; (8)E,F为对立事件； (9)D2D3=D2; (10)D2D3=D3.
15、课本练习课本练习 讲课人：邢启强 18 A 1.1.同时抛掷两枚硬币同时抛掷两枚硬币, ,向上面都是正面为事件向上面都是正面为事件M,M, 向上面至少有一枚是正面为事件向上面至少有一枚是正面为事件N,N,则有则有( )( ) A.M NB. MN C.M=N D.MN 巩固练习巩固练习 2.一个射手进行一次射击，试判定下列事件.一个射手进行一次射击，试判定下列事件 哪些是互斥事件？哪些是对立事件？哪些是互斥事件？哪些是对立事件？ 1）事件A：命中环数大于7；1）事件A：命中环数大于7； 2）事件B：命中环数为10环；2）事件B：命中环数为10环； 3）事件C：命中环数小于6；3）事件C：命中环
16、数小于6； 4）事件D：命中环数为6、7、8、9、10。；4）事件D：命中环数为6、7、8、9、10。； 讲课人：邢启强 19 3.抛掷一枚均匀的正方体骰子抛掷一枚均匀的正方体骰子,事件事件P 向上的点数是向上的点数是1,事件事件Q向上的点数是向上的点数是 3或或4,M向上的点数是向上的点数是1或或3, 则则PQ , MQ_. 4.在在30件产品中有件产品中有28件一级品件一级品,2件二级品件二级品, 从中任取从中任取3件件,记记“3件都是一级品件都是一级品”为事件为事件 A, 则A的对立事件是_ 巩固练习巩固练习 讲课人：邢启强 20 巩固练习巩固练习 讲课人：邢启强 21 讲课人：邢启强
17、22 讲课人：邢启强 23 B 巩固练习巩固练习 讲课人：邢启强 24 1.1.事件的各种关系与运算事件的各种关系与运算, ,可以类比集合的关可以类比集合的关 系与运算系与运算, ,互斥事件与对立事件的概念的外延互斥事件与对立事件的概念的外延 具有包含关系具有包含关系, ,即即 对立事件对立事件 互斥事件互斥事件. . 2.2.在一次试验中在一次试验中, ,两个互斥事件不能同时发生两个互斥事件不能同时发生, ,它它 包括一个事件发生而另一个事件不发生包括一个事件发生而另一个事件不发生, ,或者两个或者两个 事件都不发生事件都不发生, ,两个对立事件有且仅有一个发生两个对立事件有且仅有一个发生.
18、 . . .事件事件(A+B(A+B）或）或(AB(AB）, ,表示事件表示事件A A与事件与事件 B B至少有一个发生至少有一个发生, ,事件事件(AB(AB）或）或AB,AB,表示事表示事 件件A A与事件与事件B B同时发生同时发生. . 课堂小结课堂小结 讲课人：邢启强 25 课堂小结课堂小结 (1)包含关系、相等关系的判定包含关系、相等关系的判定 事件的包含关系与集合的包含关系相似；事件的包含关系与集合的包含关系相似； 两事件相等的实质为相同事件，即同时发生或同时两事件相等的实质为相同事件，即同时发生或同时 不发生不发生 (2)判断事件是否互斥的两个步骤判断事件是否互斥的两个步骤 第一步，确定每个事件包含的结果；第一步，确定每个事件包含的结果； 第二步，确定是否有一个结果发生会意味着两个事件第二步，确定是否有一个结果发生会意味着两个事件 都发生，若是，则两个事件不互斥，否则就是互斥都发生，若是，则两个事件不互斥，否则就是互斥 的的 (3)判断事件是否对立的两个步骤判断事件是否对立的两个步骤 第一步，判断是互斥事件；第一步，判断是互斥事件； 第二步，确定两个事件必然有一个发生，否则只有互第二步，确定两个事件必然有一个发生，否则只有互 斥，但不对立斥，但不对立 讲课人：邢启强 26
