（2021新教材）人教A版高中数学选择性必修第二册暑假作业02：等比数列及其前n项和B卷（原卷+解析）.zip

暑假作业 02等比数列及其前 n 项和 B 卷 一、单选题(共 20 分) 1.已知数列是等比数列，数列是等差数列，若，则的值是（ ） 1 6 11= 3 31+ 6+ 11= 7 3+ 9 14 8 A.B.C.D. 1 2 2 2 2 3 2.数列满足，且对任意的，有，则（ ） 1= 2019 + 3= + 7 22020= A.B.C.D. 22019+ 201822019+ 201722020+ 201722020+ 2018 3.数列满足，则数列的前 40 项和为（ ） + 1= + 2 A.B.C.D. 2401 32412 4(2401) 3 2(2401) 3 4.科赫曲线是一种外形像雪花的几何曲线，一段科赫曲线可以通过下列操作步骤构造得到：任画条线段，然后把它分成三等分， 以中间一段为边向外作正三角形，并把中间一段去掉，这样，原来的一条线段就变成了由 4 条小线段构成的折线，称为“一次构 造” ；用同样的方法把每一条小线段重复上述步骤，得到由 16 条更小的线段构成的折线，称为“二次构造” ；如此进行“n 次构造” ，就可以得到一条科赫曲线.若要在构造过程中使得到的折线的长度大于初始线段的 100 倍，则至少需要构造的次数是（ ） （取，） 3 0.47712 0.3010 A.16B.17C.24D.25 二、多选题(共 10 分) 5.已知等比数列an的公比，等差数列bn的首项 b112，若 a9b9且 a10b10，则以下结论正确的有（ ） = 2 3 A.a9a100B.a9a10C.b100D.b9b10 6.已知数列的前 项和为，若存在两项，使得，则下列结论正确的是（ ） = 22= 64 A.数列为等比数列 B.数列为等差数列 C.为定值 + D.设数列的前 项和为，则数列为等差数列 = 2 三、填空题(共 10 分) 7.设等比数列的公比为其前 n 项和为，若，则正整数 m 的值为_. ( 1) 2+ 4= 5 23 2= 9 8.设数列的前 项和为，且满足，则使成立的 的最大值为_ 2= + 1 12+ 22+ + 2 2 暑假作业 02等比数列及其前 n 项和 B 卷 一、单选题(共 20 分) 1.已知数列是等比数列，数列是等差数列，若，则的值是（ ） 1 6 11= 3 31+ 6+ 11= 7 3+ 9 14 8 A.B.C.D. 1 2 2 2 2 3 【答案】D 【解析】 【分析】 由等差数列和等比数列的性质求出，的值，代入得答案. 3+ 9148 3+ 9 14 8 【详解】 在等差数列中，由，得， 1+ 6+ 11= 736= 7 6= 7 3 3+ 9= 26= 14 3 在等比数列中，由，得， 1611= 3 33 6= 3 3 6= 3 148= 12 6= 1( 3) 2= 2 则. 3+ 9 14 8 = 14 3 2 = (7 3) = ( 3) = 3 故选：D. 【点睛】 本题考查等差数列与等比数列的综合应用，考查等差数列与等比数列的性质，训练了三角函数值的求法，是中档题. 2.数列满足，且对任意的，有，则（ ） 1= 2019 + 3= + 7 22020= A.B.C.D. 22019+ 201822019+ 201722020+ 201722020+ 2018 【答案】C 【解析】 【分析】 根据递推关系式运用累和的方法，结合等比数列前 项和公式进行求解即可. 【详解】 因为， + 3= 7 2 所以2020 =(20202017)+(20172014)+(41)+ 1 = 7 22017+ 7 22014+ + 7 21+ 2019 . = 7 2(220191) 81 + 2019 = 22020+ 2017 故选：C 【点睛】 本题考查等比数列前 项和公式，考查了累和法的应用，考查了数学运算能力. 3.数列满足，则数列的前 40 项和为（ ） + 1= + 2 A.B.C.D. 2401 32412 4(2401) 3 2(2401) 3 【答案】D 【解析】 【分析】 由题意知，将式子相加，结合等比数列的求和公式，即可求出数列的前 40 项和. 2+ 1= 2 4+ 3= 23 . 40+ 39= 239 【详解】 解：当 取奇数时，则 ，将式子相加得 = 1 2+ 1= 2 4+ 3= 23 . 40+ 39= 239 . 1+ 2+ 3+ . + 40= 2 + 23+ 25+ . + 239= 2 (1420) 14 = 2(2401) 3 故选:D. 【点睛】 本题考查了数列求和，考查了等比数列的前 项和公式.本题的难点是对已知递推公式的变形.易错点是求等比数列的和时，没能 正确确定项数. 4.科赫曲线是一种外形像雪花的几何曲线，一段科赫曲线可以通过下列操作步骤构造得到：任画条线段，然后把它分成三等分， 以中间一段为边向外作正三角形，并把中间一段去掉，这样，原来的一条线段就变成了由 4 条小线段构成的折线，称为“一次构 造” ；用同样的方法把每一条小线段重复上述步骤，得到由 16 条更小的线段构成的折线，称为“二次构造” ；如此进行“n 次构造” ，就可以得到一条科赫曲线.若要在构造过程中使得到的折线的长度大于初始线段的 100 倍，则至少需要构造的次数是（ ） （取，） 3 0.47712 0.3010 A.16B.17C.24D.25 【答案】B 【解析】 【分析】 由题知，每一次构造即可将折线长度变成上一次长度的 倍，故折线长度构成一个以 为公比的等比数列，写出其通项公式 4 3 4 3 ，则要在构造过程中使得到的折线的长度大于初始线段的 100 倍，只需求解不等式，即可得解. = (4 3) = (4 3) 100 【详解】 设初始长度为 ，各次构造后的折线长度构成一个数列， 由题知，则为等比数列， 1= 4 3 + 1= 4 3 ， = (4 3) 假设构造 次后，折线的长度大于初始线段的 100 倍， 即 ， = (4 3) 100 ， 4 3 100 = 100 43 100 43 = 2 2 0.30100.4771 16 17 【点睛】 本题考查了图形的归纳推理，等比数列的实际应用，指数不等式的求解，考查了数形结合的思想.其中对图形进行归纳推理，构 造等比数列是关键.属于中档题. 二、多选题(共 10 分) 5.已知等比数列an的公比，等差数列bn的首项 b112，若 a9b9且 a10b10，则以下结论正确的有（ ） = 2 3 A.a9a100B.a9a10C.b100D.b9b10 【答案】AD 【解析】 【分析】 设等差数列的公差为 d，运用等差数列和等比数列的通项公式分析 A 正确，B 与 C 不正确，结合条件判断等差数列为递减数列， 即可得到 D 正确 【详解】 数列an是公比 q 为的等比数列，bn是首项为 12，公差设为 d 的等差数列， 2 3 则， 9= 1(2 3) 8 10= 1(2 3) 9 a9a100，故 A 正确； = 12(2 3) 17 a1正负不确定，故 B 错误； a10正负不确定，由 a10b10，不能求得 b10的符号，故 C 错误； 由 a9b9且 a10b10，则 a1（）812+8d，a1（）912+9d， 2 3 2 3 由于异号，因此或 9,109 010 0 故 或，且 b112 9 010 1) 2+ 4= 5 23 2= 9 【答案】3 【解析】 【分析】 利用等比数列的通项公式由条件可求得 ，然后由等比数列前 项和公式可求得 2+ 4= 5 23 【详解】 在等比数列中，因为， 2+ 4= 5 23 所以，解得. 1 + 2= 5 2( 1) = 2 因为，所以， 2= 9 1(122) 12 = 9 1(12) 12 ( ) 解得. = 3 故答案为：3 【点睛】 本题考查等比数列的通项公式和前 项和公式，考查基本量运算，属于基础题 8.设数列的前 项和为，且满足，则使成立的 的最大值为_ 2= + 1 12+ 22+ + 2 5 3 2 + 1 【答案】3 【解析】 【分析】 本题首先可以根据得出是以 为首项、公比为 的等比数列以及，然后将 2= + 1 12 2 = 4 1 化简为，最后通过计算即可得出结果. 12+ 22+ + 2 5 3 2 + 1 (2)210 21 0 【详解】 由可得： 2= + 1 当时，得， = 1 21= 1+ 11= 1 当时， 2 21= 1+ 1 -得， = 21 故是以 为首项、公比为 的等比数列， 12 = 212 = 4 1 所以， 12+ 22+ + 2= 1 + 4 + 42+ + 41= 14 14 5 3 2 + 1 化简得：， (2)210 21 02101 0 0 1 22= 41 (2)把数列的通项代入可得到以及，再利用分组求和方法求出. 【详解】 解：（1）点在直线上 (, + 1) = 3 + 1 ， + 1= 3+ 1= 31+ 1 ( 1) ， + 1= 3(1)= 3 + 1= 4 1 ， 2= 31+ 1 = 31+ 1 = 3 + 1 当时，数列是等比数列. = 1 2= 41 （2）在（1）的结论下， + 1= 4 + 1= 4 ， = 4 + 1= ， = + = 41+ = 1+ 2+ . + =(40+ 1)+(41+ 2)+ . +(41+ ) =(1 + 4 + 42+ . + 41)+(1 + 2 + 3 + . + )= 41 3 + (1 + ) 2 【点睛】 本题考查了已知数列的前 项和与的关系判断等比数列以及利用分组求和方法求数列的前 项和，属于一般题. 10.已知正项数列中,. 1= 1, 2 + 12 + 13 2 = 0 (1)求数列的通项公式; (2)若数列是等差数列,且,求数列的前 项和. 1= 2 3= 14 【答案】 （1）； （2）. = 31 2+ 3 2 1 2 【解析】 【分析】 (1)将化简为,结合已知即可求得答案; 2 + 12 + 1 3 2 = 0 ( + 1+ )( + 13)= 0 (2)令,则,所以,可得, = 1= 41= 1,3= 33= 5 = 31 31 = 2 = 1 + (1) 2 = 21= + = 21 + 31 根据分组求和,即可求得答案. 【详解】 (1) 2 + 12 + 1 3 2 = 0 ( + 1+ )( + 13)= 0 , 0 + 1+ 0, + 13= 0 可得: + 1 = 3 , 1= 1 . = 1 31= 31 (2)令,则, = 1= 41= 1,3= 33= 5 = 31 31 = 2 , = 1 + (1) 2 = 21 = + = 21 + 31 = 1+ 2+ 3+ + = (1 + 3 + 5 + + 21) +(3 + 3 + 32+ + 31)= 2+ 3 2 1 2 【点睛】 本题考查根据递推公式求通项公式和数列求和.解题关键是掌握分组求和,考查了分析能力和计算能力,属于基础题型. 11.已知等比数列的首项，前 项和为，公比不为 1，是和的等差中项. 1= 3 49376 （1）求数列的通项公式； （2）若，求所有满足条件的 的值. 3| 2 【答案】 （1）（2）所有满足条件的 的值为 1，2，3 = (1)1 3 21 【解析】 【分析】 （1）设等比数列的公比为 ，利用等比数列前 n 项和公式和等差中项的性质求出公比 ，代入等比数列通项公式即可 1 求解； （2）由（1）知，利用作差法和放缩法进行求解即可. 2= 1(12) 1 = 3(1 1 22) 1(1 2) = 2(1 1 22) = 2 1 221 |= 3 21 【详解】 （1）设等比数列的公比为 ，因为， 1 所以， 3= 1(13) 1 ,6= 1(16) 1 ,9= 1(19) 1 因为是和的等差中项，所以， 4937689= 3+ 76 即，由于且，所以 8 1(19) 1 = 1(13) 1 + 7 1(16) 1 8(19)= 13+ 7(16)3(31)(83+ 1)= 0 1 0 ， 83+ 1 = 0,3= 1 8, = 1 2 又首项，所以数列的通项公式为. 1= 3 = 3 (1 2) 1= (1)1 3 21 （2）由（1）知， 2= 1(12) 1 = 3(1 1 22) 1(1 2) = 2(1 1 22) = 2 1 221 |= 3 21 所以. 3|2= 9 21(2 1 221) = 9 222+ 1 221 因为对任意的，当时， ,221 0 = 1,2,39 222+ 1 0 所以当时，； = 1,2,3 3| 2 当时， ，不合题意. 49 222+ 1 = (101) 222+ 1 = 10 222+ 12 10 222=(102)2 0 综上可知，所有满足条件的 的值为 1，2，3. 【点睛】 本题考查等比数列的通项公式、前 项和公式以及等差中项的概念；考查学生的逻辑思维能力和运算求解能力；熟练掌握等比数列 的通项公式和前 n 项和公式是求解本题的关键；属于中档题.