（2021新教材）人教A版高中数学选择性必修第三册暑假作业13：二项分布与超几何分布A卷（原卷+解析）.zip

暑假作业 13二项分布与超几何分布 A 卷 一、单选题(共 20 分) 1.某高三学生进行考试心理素质测试，场景相同的条件下每次通过测试的概率为 ，则连续测试 4 次，至少有 3 4 5 次通过的概率为（ ） A.B.C.D. 512 625 256 625 64 625 64 125 2.某个游戏中，一个珠子按如图所示的通道，由上至下的滑下，从最下面的六个出口出来，规定猜中者为胜，如果你在该游戏中， 猜得珠子从口 4 出来，那么你取胜的概率为（ ） A.B.C.D.以上都不对 5 32 1 6 5 16 3.盒中有 10 个螺丝钉,其中有 3 个是坏的,现从盒中随机地抽取 4 个,那么概率是 的事件为() 3 10 A.恰有 1 个是坏的 B.4 个全是好的 C.恰有 2 个是好的 D.至多有 2 个是坏的 4.某学生在上学路上要经过 4 个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是 ，遇到红灯时停留的时 1 3 间都是 2 min，则这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间 Y 的期望为( ) A.B.1C.D. 5 1 2 + 2 8 3 二、多选题(共 10 分) 5.（多选题）如图所示的电路中， 只箱子表示保险匣分别为 、 、 、 、 .箱中所示数值表示通电时保险丝被切断的概率，下 5 列结论正确的是（ ） A.所在线路畅通的概率为 1 6 B.所在线路畅通的概率为 5 6 C.所在线路畅通的概率为 1 30 D.当开关合上时，整个电路畅通的概率为 29 36 6.一袋中有大小相同的 4 个红球和 2 个白球，给出下列结论：从中任取 3 球，恰有一个白球的概率是 ；从中有放回的取球 3 5 6 次，每次任取一球，恰好有两次白球的概率为；现从中不放回的取球 2 次，每次任取 1 球，则在第一次取到红球后，第二 80 243 次再次取到红球的概率为 ；从中有放回的取球 3 次，每次任取一球，则至少有一次取到红球的概率为 . 则其中正确命题的序 2 5 26 27 号是（ ） A.B.C.D. 三、填空题(共 10 分) 7.在人类与大自然的较量中，经常面对影响人类生存、反复无常的天气变化.人类对天气变化经历了漫长的认识过程，积累了丰富 的气象经验.三国时期，孙刘联军运用气象观测经验，预报出会有一场大雾出现，并在大雰的掩护下，演出了一场“草船借箭” 的好戏，令世人惊叹.小明计划 8 月份去上海游览，受台风“利马奇”的影响，上海市 8 月份一天中发生雷雨天气的概率上升为 0.8，那么小明在上海游览的 3 天中，只有 1 天不发生雷雨天气的概率约为_. 8.现有 10 件产品，其中 6 件一等品，4 件二等品，从中随机选出 3 件产品，其中一等品的件数记 为随机变量 X,则 X 的数学期望_. () = 四、解答题(共 34 分) 9.若 件产品中包含 件废品，从中任取 件产品 823 （1）求取出的 件中至少有一件是废品的概率； 3 （2）记 件产品中废品数为 ，求 的分布列和数学期望 3 10.从某工厂的一个车间抽取某种产品 50 件，产品尺寸（单位：cm）落在各个小组的频数分布如下表： 数据分组12.5，15.5）15.5，18.5）18.5，21.5）21.5，24.5）24.5，27.5）27.5，30.5）30.5，33.5） 频数389121053 （1）根据频数分布表，求该产品尺寸落在27.5，33.5内的概率； （2）求这 50 件产品尺寸的样本平均数 （同一组中的数据用该组区间的中点值作代表） ； （3）根据频数分布对应的直方图，可以认为这种产品尺寸 服从正态分布，其中 近似为样本平均值 ，近似为样本方 (,2)2 差，经计算得.利用该正态分布，求 （）. 22= 22.41 27.43 附：（1）若随机变量 服从正态分布，则 ；（2） (,2)( + ) = 0.6826, (2 + 2) = 0.9544 . 22.41 4.73 11.某中学随机抽取部分高一学生调查其每日自主安排学习的时间（单位：分钟） ，并将所得数据绘制成如图所示的频率分布直方 图，其中自主安排学习时间的范围是，样本数据分组为， 0,1000,20)20,40)40,60)60,80)80,100 （）求直方图中 的值； （）从学校全体高一学生中任选 名学生，这 名学生中自主安排学习时间少于分钟的人数记为 ，求 的分布列和数学期 4420 望 （以直方图中的频率作为概率） 暑假作业 13二项分布与超几何分布 A 卷 一、单选题(共 20 分) 1.某高三学生进行考试心理素质测试，场景相同的条件下每次通过测试的概率为 ，则连续测试 4 次，至少有 3 4 5 次通过的概率为（ ） A.B.C.D. 512 625 256 625 64 625 64 125 【答案】A 【解析】 次独立重复实验，故概率为. 4 3 4( 4 5) 31 5 + 4 4( 4 5) 4=512 625 2.某个游戏中，一个珠子按如图所示的通道，由上至下的滑下，从最下面的六个出口出来，规定猜中者为胜，如果你在该游戏中， 猜得珠子从口 4 出来，那么你取胜的概率为（ ） A.B.C.D.以上都不对 5 32 1 6 5 16 【答案】C 【解析】 【分析】 从入口到出口 4 共由 5 个岔口，每个岔口的概率都是 ，根据二项分布的概率计算公式可解 1 2 【详解】 解：从入口到出口 4 共有种走法，其中每一岔口的概率都是 2 5= 10 1 2 所以珠子从口 4 出来的概率为 = 2 5( 1 2) 5= 5 16 故选：C 【点睛】 考查二项分布的概率计算，基础题. 3.盒中有 10 个螺丝钉,其中有 3 个是坏的,现从盒中随机地抽取 4 个,那么概率是 的事件为() 3 10 A.恰有 1 个是坏的 B.4 个全是好的 C.恰有 2 个是好的 D.至多有 2 个是坏的 【答案】C 【解析】 【分析】 利用超几何分布的概率计算公式，分别计算出对应的概率，由此判断出正确的选项. 【详解】 对于选项 A，概率为.对于选项 B，概率为.对于选项 C，概率为.对于选项 D，包括没有坏的，有 个坏的和 1 3 3 7 4 10 = 1 2 4 7 4 10 = 1 6 2 3 2 7 4 10 = 3 10 1 个坏的三种情况.根据 A 选项，恰好有一个坏的概率已经是，故 D 选项不正确.综上所述，本小题选 C. 2 1 2 3 10 【点睛】 本小题主要考查超几何分布的识别以及利用超几何分布概率计算公式计算随机事件的概率，属于基础题. 4.某学生在上学路上要经过 4 个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是 ，遇到红灯时停留的时 1 3 间都是 2 min，则这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间 Y 的期望为( ) A.B.1C.D. 5 1 2 + 2 8 3 【答案】D 【解析】 【分析】 由题可得，遇到红灯的次数 服从二项分布，利用二项分布的期望公式即可求得遇到红灯次数 的期望，从而求得因遇到红灯停留 的总时间，问题得解 【详解】 由题可得，遇到红灯的次数 服从二项分布 即：，所以 (4,1 3) ()= 4 1 3 = 4 3 所以因遇到红灯停留的总时间Y的期望为(2) = 2()= 2 4 3 = 8 3 故选 D 【点睛】 本题主要考查了二项分布的期望公式，属于基础题 二、多选题(共 10 分) 5.（多选题）如图所示的电路中， 只箱子表示保险匣分别为 、 、 、 、 .箱中所示数值表示通电时保险丝被切断的概率，下 5 列结论正确的是（ ） A.所在线路畅通的概率为 1 6 B.所在线路畅通的概率为 5 6 C.所在线路畅通的概率为 1 30 D.当开关合上时，整个电路畅通的概率为 29 36 【答案】BD 【解析】 【分析】 根据独立事件的概率乘法公式以及对立事件的概率公式计算出各选项中线路畅通的概率，由此可得出结论. 【详解】 由题意知， 、 、 、 、 保险闸被切断的概率分别为， ()= 1 2 ()= 1 3 ()= 1 4 ()= 1 5 ()= 1 6 所以 、 两个盒子畅通的概率为，因此 A 错误； 1 2 2 3 = 1 3 、 两个盒子并联后畅通的概率为，因此 C 错误； 11 5 1 6 = 1 1 30 = 29 30 、 、 三个盘子混联后畅通的概率为，B 正确； 12 3 1 4 = 11 6 = 5 6 根据上述分析可知，当开关合上时，电路畅通的概率为，D 正确. 29 30 5 6 = 29 36 故选：BD. 【点睛】 本题考查利用独立事件的概率乘法公式计算事件的概率，考查计算能力，属于中等题. 6.一袋中有大小相同的 4 个红球和 2 个白球，给出下列结论：从中任取 3 球，恰有一个白球的概率是 ；从中有放回的取球 3 5 6 次，每次任取一球，恰好有两次白球的概率为；现从中不放回的取球 2 次，每次任取 1 球，则在第一次取到红球后，第二 80 243 次再次取到红球的概率为 ；从中有放回的取球 3 次，每次任取一球，则至少有一次取到红球的概率为 . 则其中正确命题的序 2 5 26 27 号是（ ） A.B.C.D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】 利用古典概型的概率求解判断.利用独立重复实验的概率求解判断.利用古典概型概率求解判断.利用独立重复实验的概率 求解判断. 【详解】 一袋中有大小相同的 4 个红球和 2 个白球， 从中任取 3 球，恰有一个白球的概率是故正确； = 2 4 1 2 3 6 = 3 5 从中有放回的取球 6 次，每次任取一球，每次抽到白球的概率为，则恰好有两次白球的概率为，故 = 2 6 = 1 3 = 2 6( 2 3) 4(1 3) 2= 80 243 正确； 现从中不放回的取球 2 次，每次任取 1 球，则在第一次取到红球后，第二次再次取到红球的概率为，故错误； 1 4 1 3 1 4 1 5 = 3 5 从中有放回的取球 3 次，每次任取一球，每次抽到红球的概率为：则至少有一次取到红球的概率为， = 4 6 = 2 3 = 10 3( 1 3) 3=26 27 故正确. 故选：ABD. 【点睛】 本题主要考查概率的求法，还考查了运算求解的能力，属于中档题. 三、填空题(共 10 分) 7.在人类与大自然的较量中，经常面对影响人类生存、反复无常的天气变化.人类对天气变化经历了漫长的认识过程，积累了丰富 的气象经验.三国时期，孙刘联军运用气象观测经验，预报出会有一场大雾出现，并在大雰的掩护下，演出了一场“草船借箭” 的好戏，令世人惊叹.小明计划 8 月份去上海游览，受台风“利马奇”的影响，上海市 8 月份一天中发生雷雨天气的概率上升为 0.8，那么小明在上海游览的 3 天中，只有 1 天不发生雷雨天气的概率约为_. 【答案】0.384 【解析】 【分析】 根据 次独立重复试验的概率求解，即可容易求得结果. 【详解】 根据题意，容易知满足题意的概率 . = 2 3 (0.8) 2 (10.8) = 0.384 故答案为：. 0.384 【点睛】 本题考查 次独立重复试验的概率求解，属基础题. 8.现有 10 件产品，其中 6 件一等品，4 件二等品，从中随机选出 3 件产品，其中一等品的件数记 为随机变量 X,则 X 的数学期望_. () = 【答案】 9 5 【解析】 由题意可得：随机变量 X 服从超几何分布： ， ( = 0) = 0 6 3 4 3 10 ,( = 1) = 1 6 2 4 3 10 ,( = 2) = 2 6 1 4 3 10 ,( = 3) = 3 6 0 4 3 10 据此计算可得 X 的数学期望. ()= 9 5 点睛：点睛：超几何分布描述的是不放回抽样问题，随机变量为抽到的某类个体的个数超几何分布的 特征是：考察对象分两类；已知各类对象的个数；从中抽取若干个个体，考查某类个体 个数 X 的概率分布，超几何分布主要用于抽检产品、摸不同类别的小球等概率模型，其实质是 古典概型 四、解答题(共 34 分) 9.若 件产品中包含 件废品，从中任取 件产品 823 （1）求取出的 件中至少有一件是废品的概率； 3 （2）记 件产品中废品数为 ，求 的分布列和数学期望 3 【答案】(1) (2)分布列见解析, . 9 14 ()= 3 4 【解析】 【分析】 (1)取出的 件中至少有一件是废品的对立事件为取出的 件全是合格品,求出对立的事件的概率,计算即可得出结果; 33 (2)由题意可知 件产品中废品数为 可能取值为 0,1,2,分别计算出概率即可得出结论. 3 【详解】 解:(1)设取出的 件中至少有一件是废品为事件 A,则取出的 件全是合格品为 , 33 , ()= 3 6 3 8 = 5 14 . ()= 1 5 14 = 9 14 (2)由已知可得 X 的可能取值为 0,1,2. ,. ( = 0) = 3 6 3 8 = 20 56 = 5 14 ( = 1) = 1 2 2 6 3 8 = 30 56 = 15 28 ( = 2) = 2 2 1 6 3 8 = 6 56 = 3 28 所以 X 的分布列为 X012 P 5 14 15 28 3 28 . ()= 0 5 14 + 1 15 28 + 2 3 28 = 3 4 【点睛】 本题考查离散型随机变量的分布列与期望,注意区分常见的分布（如二项分布、超几何分布等）,本题属于基础题. 10.从某工厂的一个车间抽取某种产品 50 件，产品尺寸（单位：cm）落在各个小组的频数分布如下表： 数据分组12.5，15.5）15.5，18.5）18.5，21.5）21.5，24.5）24.5，27.5）27.5，30.5）30.5，33.5） 频数389121053 （1）根据频数分布表，求该产品尺寸落在27.5，33.5内的概率； （2）求这 50 件产品尺寸的样本平均数 （同一组中的数据用该组区间的中点值作代表） ； （3）根据频数分布对应的直方图，可以认为这种产品尺寸 服从正态分布，其中 近似为样本平均值 ，近似为样本方 (,2)2 差，经计算得.利用该正态分布，求 （）. 22= 22.41 27.43 附：（1）若随机变量 服从正态分布，则 ；（2） (,2)( + ) = 0.6826, (2 + 2) = 0.9544 . 22.41 4.73 【答案】 （1）0.16；（2）22.7；（3）0.1587 【解析】 【分析】 （1）直接根据频数分布表求尺寸落在27.5，33.5）内的概率； （2）由每一组数据的中间值乘以频率作和求得样本平均数； （3）依题意，求得 与 ，再由正态分布曲线的对称性求 P（z27.43）0.1587 (,2) 【详解】 （1）根据频数分布表可知，产品尺寸落在27.5,33.5内的概率为； = 5 + 3 50 = 0.16 （2）样本平均数 ； = 3 50 14 + 8 50 17 + 9 50 20 + 12 50 23 + 10 50 26 + 5 50 29 + 3 50 32 = 22.7 （3）依题意，而，则， (,2) = = 22.72 2= 22.41 4.73 ，. (22.74.73 22.7 + 4.73) = 0.6826 ( 27.43) = 10.6826 2 = 0.1587 【点睛】 本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，训练了利用频率分布表求概率及平均数，属于基础题 11.某中学随机抽取部分高一学生调查其每日自主安排学习的时间（单位：分钟） ，并将所得数据绘制成如图所示的频率分布直方 图，其中自主安排学习时间的范围是，样本数据分组为， 0,1000,20)20,40)40,60)60,80)80,100 （）求直方图中 的值； （）从学校全体高一学生中任选 名学生，这 名学生中自主安排学习时间少于分钟的人数记为 ，求 的分布列和数学期 4420 望 （以直方图中的频率作为概率） 【答案】 （）；（）分布列见解析，. 0.0125 ()= 1 【解析】 【分析】 （）利用直方图中矩形面积的和为 ，直接求解 即可； 1 （）依题意得，随机变量 的所有可能取值为 、 、 、 、 ，由此能求出 的分布列及其数学期望 (4,1 4)01234 【详解】 （）由于频率分布直方图中所有矩形面积之和为 ， 1 可得，解得； 20 ( + 0.025 + 0.0065 + 0.003 2)= 1 = 0.0125 （）由频率分布直方图可知，全体高一学生中，自主安排学习时间少于分钟的学生的频率为， 20 20 0.0125 = 1 4 的可能取值为 、 、 、 、 ，且， 01234 (4,1 4) ，随机变量 的分布列如下表所示： ( = )= 4( 1 4) ( 3 4) 4(0 4, ) 01234 81 256 27 64 54 256 3 64 1 256 所以，随机变量 的数学期望为 ()= 4 1 4 = 1 【点睛】 本题考查频率直方图的应用，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，解题时要认真审题，是中档题