1、2020-2021 高一数学下学期期末复习练习（六） 考查知识：苏教版必修第二册 一、单选题(每小题 5 分,共 40 分) 1.已知复数 2 3 i z i ,则z的共轭复数z () A. 13 55 iB. 13 55 iC. 13 55 iD. 13 55 i 2.如图是国家统计局 2019 年 4 月 11 日发布的 2018 年 3 月到 2019 年 3 月全国居民消费价格的 涨跌幅情况折线图. (注:2019 年 2 月与 2018 年 2 月相比较称同比, 2019 年 2 月与 2019 年 1 月相比较称环比), 根据该折线图,下列结论错误 的是() A.2018 年 3
2、月至 2019 年 3 月全国居民消费价格同比均上涨 B.2018 年 3 月至 2019 年 3 月全国居民消费价格环比有涨有跌 C.2019 年 3 月全国居民消费价格同比涨幅最大 D.2019 年 3 月全国居民消费价格环比变化最快 3.已知 3 sin() 63 ,则 2 cos(2 ) 3 的值为() A. 1 9 B. 1 9 C. 1 3 D. 1 3 4.设向量(0,2),( 3,1)ab ,则, a b 的夹角等于() A. 3 B. 6 C. 2 3 D. 5 6 5.为了提升全民身体素质,学校十分重视学生体育锻炼.某校篮球运动员进行投篮练习,若他 前一球投进则后一球投进的
3、概率为 3 4 ,若他前一球投不进则后一球投进的概率为 1 4 .若他第 1 球投进的概率为 3 4 ,则他第 3 球投进的概率为() A. 3 4 B. 5 8 C. 1 16 D. 9 16 6.如图,在正方体 ABCD -A1B1C1D1中,给出以下四个结论: D1C平面 A1ABB1;A1D1与平面 BCD1相交;AD平面 D1DB; 平面 BCD1平面 A1ABB1,正确的结论个数是() A.1B.2C.3D.4 7.已知ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且(a+b) 2=c2+ab, B=30,a=4,则ABC 的 面积为() A.4B.3 3C.4 3D.6
4、3 8.已知三棱锥 S-ABC 的所有顶点都在球 O 的球面上,ABC 是边长为 1 的正三角形,SC 为 球 O 的直径,且 SC=2,则此棱锥的体积为() A. 2 6 B. 3 6 C. 2 3 D. 2 2 二、多选题(每小题 5 分,共 20 分,全部选对的得 5 分,选对但不全的得 3 分,有选错的得 0 分) 9.ABC 是边长为 2 的等边三角形,已知向量, a b 满足2 ,2ABa ACab ,则下列结论 中正确的是() A.a 为单位向量B.b 为单位向量C.ab D.(4)abBC 10.甲、乙、丙三家企业产品的成本(单位:元)分别为 10 000,12 000, 15
5、 000,其成本构成 如图所示,则关于这三家企业下列说法正确的是() A.成本最大的企业是丙企业B.费用支出最高的企业是丙企业 C.支付工资最少的企业是乙企业D.材料成本最高的企业是丙企业 11.如图,设ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,3( coscos)2 sinaCcAbB, 且 3 CAB .若点 D 是ABC 外一点,DC=1,DA=3,下列说法中,正确的结论是 () A.ABC 的内角 3 B B.ABC 的内角 3 C C= C.四边形 ABCD 面积的最大值为 5 3 3 2 D.四边形 ABCD 面积无最大值 12.如图,点 N 为边长为 1 的正方形 ABCD
6、 的中心,ECD 为正三角形,平面 ECD平面 ABCD,M 是线段 ED 的中点,则() A.直线 BM,EN 是异面直线B.BMEN C.直线 BM 与平面 ECD 所成角的正弦值为 2 7 7 D.三棱锥 N-ECD 的体积为 3 8 三、填空题(每小题 5 分,共 20 分) 13.从分别写有 1,2,3,4,5 的五张卡片中,任取两张,这两张卡片上的数字之差的绝对值等于 1 的概率为_. 14.已知 51 sin(),tan 1322 ,其中(0, ),(, ) 2 ,则cos_. 15.已知六棱锥 P-ABCDEF 的底面是正六边形,PA平面 ABC,PA=2AB.则下列命题中正确
7、 的有_.(填序号) PBAD;平面 PAB平面 PAE;BC平面 PAE; 直线 PD 与平面 ABC 所成的角为 45. 16.若ABC 的面积为 222 3 () 4 acb,且C 为钝角, 则B=_; c a 的取值范围是_. 四、解答题(共 70 分) 17.(10 分)已知复数1zmi (i 是虚数单位,mR),且(3)zi为纯虚数(z是z的共轭 复数). (1)设复数 1 2 1 mi z i ,求 1 z; (2)设复数 2021 2 ai z z ,且复数 2 z所对应的点在第一象限,求实数 a 的取值范围. 18.(12 分)某厂接受了一项加工业务,加工出来的产品(单位:件
8、)按标准分为 A,B,C,D 四个 等级.加工业务约定:对于 A 级品、 B 级品、 C 级品,厂家每件分别收取加工费 90 元,50 元,20 元;对于 D 级品,厂家每件要赔偿原料损失费 50 元.该厂有甲、乙两个分厂可承接加工业务. 甲分厂加工成本费为25元/件,乙分厂加工成本费为20元/件.厂家为决定由哪个分厂承接加 工业务,在两个分厂各试加工了 100 件这种产品,并统计了这些产品的等级,整理如下: 甲分厂产品等级的频数分布表 等级ABCD 频数40202020 乙分厂产品等级的频数分布表 等级ABCD 频数28173421 (1)分别估计甲、乙两分厂加工出来的一件产品为 A 级品的
9、概率; (2)分别求甲、乙两分厂加工出来的 100 件产品的平均利润,以平均利润为依据,厂家应选哪 个分厂承接加工业务? 【补偿训练】 “中国人均读书 4.3 本(包括网络文学和教科书),比韩国的 11 本、 法国的 20 本、 日本 的 40 本、 犹太人的 64 本少得多,是世界上人均读书量最少的国家”,这个论断被各类媒体反 复引用.出现这样的统计结果无疑是令人尴尬的,而且和其他国家相比,我国国民的阅读量如 此之低,也和我国是传统的文明古国、 礼仪之邦的地位不相符.某小区为了提高小区内人员的 读书兴趣,特举办读书活动,准备进一定量的书籍丰富小区图书站,由于不同年龄段需看不同 类型的书籍,为
10、了合理配备资源,现对小区内看书人员进行年龄调查,随机抽取了一天 40 名 读书者进行调查,将他们的年龄分成 6 段:20,30),30,40),40,50), 50,60),60,70),70,80后得到如图所示的频率分布直方图.问: (1)估计在这 40 名读书者中年龄分布在40,70)的人数; (2)求这 40 名读书者年龄的平均数和中位数; (3)若从年龄在20,40)的读书者中任取 2 名,求这两名读书者年龄在30,40)的人数恰为 1 的概率. 19.(12 分)已知 A,B,C 为ABC 的三内角,且其对边分别为 a,b,c.且 1 cos 2 aCcb. (1)求 A 的值; (
11、2)若2 3a ,三角形面积3S ,求 b+c 的值. 20.(12 分)从含有两件正品 a1,a2和一件次品 b1的 3 件产品中每次任取 1 件,每次取出后不放 回,连续取两次. (1)求取出的两件产品中恰有一件次品的概率; (2)如果将“每次取出后不放回”这一条件换成“每次取出后放回”,则取出的两件产品中 恰有一件次品的概率是多少? 21.(12 分)已知向量, a b 满足1,31abxabaxb (x0,xR). (1)求a b 关于 x 的解析式 f(x); (2)求向量a 与b 夹角的最大值; (3)若/ab 且方向相同,试求 x 的值. 22.(12 分)四棱锥 P-ABCD
12、的底面为菱形,AB=4,ABC=60,M 为 PB 的中点,N 为 BD 上 一点,且 1 3 BNND,若5,21PAPCPB. (1)求证:MN平面 PAC; (2)求证:PN平面 ABCD; (3)求直线 PN 与平面 PCD 所成角的正弦值. 2020-2021 高一数学下学期期末复习练习（六） 考查知识：苏教版必修第二册 一、单选题(每小题 5 分,共 40 分) 1.已知复数 2 3 i z i ,则z的共轭复数z () A. 13 55 iB. 13 55 iC. 13 55 iD. 13 55 i 【解析】 选 A.因为 2 3 i z i ,所以 2 2 (3)13 955
13、ii zi i ,所以 z 的共轭复数 13 55 zi . 2.如图是国家统计局 2019 年 4 月 11 日发布的 2018 年 3 月到 2019 年 3 月全国居民消费价格 的涨跌幅情况折线图.(注:2019 年 2 月与 2018 年 2 月相比较称同比,2019 年 2 月与 2019 年 1 月相比较称环比),根据该折线图,下列结论错误 的是() A.2018 年 3 月至 2019 年 3 月全国居民消费价格同比均上涨 B.2018 年 3 月至 2019 年 3 月全国居民消费价格环比有涨有跌 C.2019 年 3 月全国居民消费价格同比涨幅最大 D.2019 年 3 月全
14、国居民消费价格环比变化最快 【解析】选 C.对于选项 A,由题干图可以看出同比涨跌幅均为正数,故 A 正确; 对于选项 B,由题干图可以看出环比涨跌幅有正数有负数,故 B 正确; 对于选项 C,由题干图可以看出同比涨幅最大的是 2018 年 9 月份和 2018 年 10 月份,故 C 错 误; 对于选项 D,从图可以看出 2019 年 3 月全国居民消费价格环比变化最快,故 D 正确. 3.已知 3 sin() 63 ,则 2 cos(2 ) 3 的值为() A. 1 9 B. 1 9 C. 1 3 D. 1 3 【解析】选 C.由 22 cos(2 )cos(2 )cos(2 ) 333
15、22 31 cos2()2sin () 12 ()1 6633 . 4.设向量(0,2),( 3,1)ab ,则, a b 的夹角等于() A. 3 B. 6 C. 2 3 D. 5 6 【解析】选 A. 因为(0,2),( 3,1)ab ,所以 032 11 cos 2 22 a b ab ,所以 等于 3 . 5.为了提升全民身体素质,学校十分重视学生体育锻炼.某校篮球运动员进行投篮练习,若他 前一球投进则后一球投进的概率为 3 4 ,若他前一球投不进则后一球投进的概率为 1 4 .若他第 1 球投进的概率为 3 4 ,则他第 3 球投进的概率为() A. 3 4 B. 5 8 C. 1
16、16 D. 9 16 【解析】选 D.分以下两种情况讨论: (1)第 2 球投进,其概率为 33115 44448 ,第 3 球投进的概率为 5315 8432 ; (2)第 2 球投不进,其概率为 53 1 88 ,第 3 球投进的概率为 313 8432 . 综上所述:第 3 球投进的概率为 1539 323216 . 6.如图,在正方体 ABCD -A1B1C1D1中,给出以下四个结论: D1C平面 A1ABB1;A1D1与平面 BCD1相交;AD平面 D1DB; 平面 BCD1平面 A1ABB1,正确的结论个数是() A.1B.2C.3D.4 【解析】选 B.由在正方体 ABCD-A1
17、B1C1D1中,可得:在中,因为 D1CA1B,D1C 平面 A1ABB1,A1B平面 A1ABB1,所以 D1C平面 A1ABB1,故正确; 在中,因为A1D1BC,BC平面BCD1,A1D1平面BCD1=D1,所以A1D1平面BCD1,故错 误;在中,因为ADB=45,所以 AD 与平面 D1DB 相交但不垂直,故错误;在中,因为 BC平面 A1ABB1,BC平面 BCD1,所以平面 BCD1平面 A1ABB1,故正确. 7.已知ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且(a+b) 2=c2+ab, B=30,a=4,则ABC 的 面积为() A.4B.3 3C.4 3D.6
18、 3 【解析】选 C. 因为(a+b) 2=c2+ab,即 a2+b2-c2=-ab.所以 222 1 cos 22 bac C ab , 所以 C=120,又 B=30,所以 A=B=30.即 a=b=4,故ABC 的面积 113 sin4 44 3 222 SabC . 8.已知三棱锥 S-ABC 的所有顶点都在球 O 的球面上,ABC 是边长为 1 的正三角形,SC 为 球 O 的直径,且 SC=2,则此棱锥的体积为() A. 2 6 B. 3 6 C. 2 3 D. 2 2 【解析】选 A.根据题意作出图形: 已知球心为O,设过A,B,C三点的小圆的圆心为O1,则OO1平面ABC,延长
19、CO1交球于点D, 连接 SD,则 SD平面 ABC.因为 1 233 323 CO ,所以 1 16 1 33 OO , 所以高 1 2 6 2 3 SDOO,因为ABC 是边长为 1 的正三角形,所以 3 4 ABC S , 所以 132 62 3436 SABC V 三棱锥 . 二、多选题(每小题 5 分,共 20 分,全部选对的得 5 分,选对但不全的得 3 分,有选错的得 0 分) 9.ABC 是边长为 2 的等边三角形,已知向量, a b 满足2 ,2ABa ACab ,则下列结论 中正确的是() A.a 为单位向量B.b 为单位向量C.ab D.(4)abBC 【解析】 选AD.
20、因为等边三角形ABC的边长为2,2ABa ,所以22ABa ,所以1a , 故 A 正确;因为2ACABBCaBC ,所以BCb , 所以2b ,故 B 错误;由于2 ,ABa BCb ,所以a 与b 的夹角为 120,故 C 错误; 又因为 2 1 (4)44 1 2 ()40 2 abBCa bb , 所以(4)abBC ,故 D 正确. 10.甲、乙、丙三家企业产品的成本(单位:元)分别为 10 000,12 000, 15 000,其成本构成 如图所示,则关于这三家企业下列说法正确的是() A.成本最大的企业是丙企业B.费用支出最高的企业是丙企业 C.支付工资最少的企业是乙企业D.材料
21、成本最高的企业是丙企业 【解析】选 ABD.由扇形统计图可知,甲企业的材料成本为 10 00060%=6 000(元),支付工 资为 10 00035%=3 500(元),费用支出为 10 0005%=500(元); 乙企业的材料成本为 12 00053%=6 360(元),支付工资为 12 00030%=3 600(元),费用支 出为 12 00017%=2 040(元); 丙企业的材料成本为 15 00060%=9 000(元),支付工资为 15 00025%=3 750(元),费用支 出为 15 00015%=2 250(元). 所以,成本最大的企业是丙企业,费用支出最高的企业是丙企业,
22、支付工资最少的企业是甲企 业,材料成本最高的企业是丙企业. 11.如图,设ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,3( coscos)2 sinaCcAbB, 且 3 CAB .若点 D 是ABC 外一点,DC=1,DA=3,下列说法中,正确的结论是 () A.ABC 的内角 3 B B.ABC 的内角 3 C C= C.四边形 ABCD 面积的最大值为 5 3 3 2 D.四边形 ABCD 面积无最大值 【解析】选 ABC.因为3( coscos)2 sinaCcAbB, 所以3(sincossincos)2sinsinACCABB, 所以 2 3sin()2sinACB,所以 2
23、3sin2sinBB,所以 3 sin 2 B . 因为 3 CAB ,所以 2 (0,) 3 B ,所以 3 B ,所以 3 CAB ,因此 A,B 正确; 四边形 ABCD 的面积等于 2 31 sin 42 ABCACD SSACAD DCADC 22 31 (2cos)sin 42 ADDCAD DCADCAD DCADC 315 35 3 (9 1 6 cos)3sin3sin()3 42232 ADCADCADC . 因此 C 正确,D 错误. 12.如图,点 N 为边长为 1 的正方形 ABCD 的中心,ECD 为正三角形,平面 ECD平面 ABCD,M 是线段 ED 的中点,则
24、() A.直线 BM,EN 是异面直线B.BMEN C.直线 BM 与平面 ECD 所成角的正弦值为 2 7 7 D.三棱锥 N-ECD 的体积为 3 8 【解析】选 BC.对于 A 选项,连接 BD,则点 N 为 BD 的中点,所以 E,N平面 BDE,所以 EN 平面 BDE,同理可知 BM平面 BDE,所以,BM 与 EN 不是异面直线,A 选项错误; 对于 C 选项,因为四边形 ABCD 是边长为 1 的正方形,所以 BCCD,因为平面 ABCD平面 ECD,交线为 CD,BC平面 ABCD,所以 BC平面 ECD,所以,直线 BM 与平面 ECD 所成角 为BMC,因为 M 为 DE
25、 的中点,且CDE 是边长为 1 的正三角形,则 3 2 CM ,所以 22 7 2 BMBCCM,所以 12 7 sin 77 2 BC BMC BM ,C 选项正确; 对于 B 选项,取 CD 的中点 O,连接 ON,OE,则 ONBC 且 113 , 222 ONBCOE,因为 BC平面 CDE,所以 ON平面 CDE,因为 OE平面 CDE,所以 ONOE,所以 22 1ENOEON,所以 BMEN,B 选项正确; 对于 D 选项,因为 ON平面 CDE, 2 33 1 44 CDE S , 所以 11313 334224 N ECDCDE VSON , D 选项错误. 三、填空题(每
26、小题 5 分,共 20 分) 13.从分别写有 1,2,3,4,5 的五张卡片中,任取两张,这两张卡片上的数字之差的绝对值等于 1 的概率为_. 【解析】从分别写有 1,2,3,4,5 的五张卡片中,任取两张,样本点 有:(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,3),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5),(4,5)共 10 个, 这两张卡片上的数字之差的绝对值等于 1 包含的基本事件有:(1,2), (2,3),(3,4),(4,5), 共 4 种情况,所以这两张卡片上的数字之差的绝对值等于 1 的概率为 42 105 P . 答案: 2 5 14.已知 51 sin(
27、),tan 1322 ,其中(0, ),(, ) 2 ,则cos_. 【解析】因为 1 tan 22 ,故 2 2tan 4 2 tan 3 1tan 2 ,又(0, ),故(0,) 22 . 所以 2222 4433 sin,cos 55 4343 .又(, ) 2 ,故 3 (,) 22 , 又 5 sin() 13 ,所以(, ) 2 .故 2 12 cos()1 sin () 13 . 故coscos()cos()cossin()sin 1235416 13513565 . 答案: 16 65 15.已知六棱锥 P-ABCDEF 的底面是正六边形,PA平面 ABC,PA=2AB.则下列
28、命题中正确 的有_.(填序号) PBAD;平面 PAB平面 PAE;BC平面 PAE; 直线 PD 与平面 ABC 所成的角为 45. 【解析】因为 AD 与 PB 在平面内的射影 AB 不垂直,所以不成立;因为 PA平面 ABC,所 以 PAAB,在正六边形 ABCDEF 中,ABAE,PAAE=A,所以 AB平面 PAE,且 AB面 PAB,所以平面 PAB平面 PAE,故成立;因为 BCAD平面 PAD,平面 PAD平面 PAE=PA,所以直线 BC平面 PAE 也不成立,即不成立.在 RtPAD 中,PA=AD=2AB,所以 PDA=45,故成立. 答案: 16.若ABC 的面积为 2
29、22 3 () 4 acb,且C 为钝角,则B=_; c a 的取值范围是 _. 【解析】因为 222 31 ()sin 42 ABC SacbacB , 所以 222 sin 23 acbB ac ,即 sin cos 3 B B ,所以 sin 3, cos3 B B B , 则 231 sin()cos()sin sin311 322 sinsinsin2tan2 AAA cC aAAAA , 因为C 为钝角, 3 B ,所以0 6 A , 所以 31 tan(0,),( 3,) 3tan A A ,故(2,) c a . 答案:(2,) 3 四、解答题(共 70 分) 17.(10 分
30、)已知复数1zmi (i 是虚数单位,mR),且(3)zi为纯虚数(z是z的共轭 复数). (1)设复数 1 2 1 mi z i ,求 1 z; (2)设复数 2021 2 ai z z ,且复数 2 z所对应的点在第一象限,求实数 a 的取值范围. 【解析】因为1zmi ,所以1zmi . 所以(1 3 )(1)(3)(3)(1 3 )zimiimm i. 又因为(3)zi为纯虚数,所以 30, 1 30, m m 解得 m=-3.所以 z=1-3i. (1) 1 3251 122 i zi i ,所以 1 26 2 z ; (2)因为1 3zi ,所以 2 (3)(31) 1 310 a
31、iaai z i , 又因为复数 2 z所对应的点在第一象限,所以 30, 310, a a 解得: 1 3 a . 18.(12 分)(2020全国卷)某厂接受了一项加工业务,加工出来的产品(单位:件)按标准 分为 A,B,C,D 四个等级.加工业务约定:对于 A 级品、 B 级品、 C 级品,厂家每件分别收取加 工费 90 元,50 元,20 元;对于 D 级品,厂家每件要赔偿原料损失费 50 元.该厂有甲、乙两个 分厂可承接加工业务.甲分厂加工成本费为 25 元/件,乙分厂加工成本费为 20 元/件.厂家为 决定由哪个分厂承接加工业务,在两个分厂各试加工了 100 件这种产品,并统计了这
32、些产品 的等级,整理如下: 甲分厂产品等级的频数分布表 等级ABCD 频数40202020 乙分厂产品等级的频数分布表 等级ABCD 频数28173421 (1)分别估计甲、乙两分厂加工出来的一件产品为 A 级品的概率; (2)分别求甲、乙两分厂加工出来的 100 件产品的平均利润,以平均利润为依据,厂家应选哪 个分厂承接加工业务? 【解题指南】(1)根据两个频数分布表即可求出; (2)根据题意分别求出甲、乙两分厂加工 100 件产品的总利润,即可求出平均利润,由此作出 选择. 【解析】(1)由试加工产品等级的频数分布表知, 甲分厂加工出来的一件产品为 A 级品的概率的估计值为 40 0.4
33、100 ; 乙分厂加工出来的一件产品为 A 级品的概率的估计值为 28 0.28 100 . (2)由数据知甲分厂加工出来的 100 件产品利润的频数分布表为 利润6525-5-75 频数40202020 因此甲分厂加工出来的 100 件产品的平均利润为 65 4025 205 2075 20 15 100 . 由数据知乙分厂加工出来的 100 件产品利润的频数分布表为 利润70300-70 频数28173421 因此乙分厂加工出来的 100 件产品的平均利润为 70 2830 170 3470 21 10 100 . 比较甲乙两分厂加工的产品的平均利润,应选甲分厂承接加工业务. 【补偿训练】
34、 “中国人均读书 4.3 本(包括网络文学和教科书),比韩国的 11 本、 法国的 20 本、 日本 的 40 本、 犹太人的 64 本少得多,是世界上人均读书量最少的国家”,这个论断被各类媒体反 复引用.出现这样的统计结果无疑是令人尴尬的,而且和其他国家相比,我国国民的阅读量如 此之低,也和我国是传统的文明古国、 礼仪之邦的地位不相符.某小区为了提高小区内人员的 读书兴趣,特举办读书活动,准备进一定量的书籍丰富小区图书站,由于不同年龄段需看不同 类型的书籍,为了合理配备资源,现对小区内看书人员进行年龄调查,随机抽取了一天 40 名 读书者进行调查,将他们的年龄分成 6 段:20,30),30
35、,40),40,50), 50,60),60,70),70,80后得到如图所示的频率分布直方图.问: (1)估计在这 40 名读书者中年龄分布在40,70)的人数; (2)求这 40 名读书者年龄的平均数和中位数; (3)若从年龄在20,40)的读书者中任取 2 名,求这两名读书者年龄在30,40)的人数恰为 1 的概率. 【解析】(1)由频率分布直方图知,年龄在40,70)的频率为(0.020+0.030+0.025) 10=0.750, 所以,40 名读书者年龄分布在40,70)的人数为 400.750=30(人). (2)40 名读书者年龄的平均数为: 250.05+350.1+450.
36、2+550.3+650.25+750.1=54(岁),设中位数为 x, 0.05+0.1+0.2+(x-50)0.03=0.5,解之得 x=55,即 40 名读书者年龄的中位数为 55 岁. (3)年龄在20,30)的读书者有2人,记为a,b;年龄在30,40)的读书者有4人,记为A,B,C,D, 从上述 6 人中选出 2 人,共有如下样本点: (a,b),(A,B),(A,C),(A,D), (B,C),(B,D),(C,D),(a,A),(a,B), (a,C),(a,D),(b,A),(b,B),(b,C),(b,D),共有基本事件数为 15 个, 记选取的两名读者中恰好有一人年龄在30
37、,40)中为事件 A,则事件 A 包含的样本点数为 8 个:(a,A),(a,B),(a,C),(a,D),(b,A),(b,B),(b,C),(b,D),故 8 ( ) 15 P A . 19.(12 分)已知 A,B,C 为ABC 的三内角,且其对边分别为 a,b,c.且 1 cos 2 aCcb. (1)求 A 的值; (2)若2 3a ,三角形面积3S ,求 b+c 的值. 【解析】(1)由 1 cos 2 aCcb,得 1 sincossinsin 2 ACCB,因为 sin B=sin(A+C)=sin Acos C+cos Asin C, 所以 1 sincossinsincos
38、cossin 2 ACCACAC,即 1 sincossin 2 CAC, 因为 sin C0,所以 1 cos 2 A ,因为(0, )A,所以 3 A . (2)由(1)有 11 sinsin3,4 223 ABC SbcAbcbc , 又由余弦定理得 22222 2cos 3 abcbcbcbc .又2 3a ,所以 b 2+c2=a2+bc=16, (b+c) 2=24,所以 2 6bc. 20.(12 分)从含有两件正品 a1,a2和一件次品 b1的 3 件产品中每次任取 1 件,每次取出后不放 回,连续取两次. (1)求取出的两件产品中恰有一件次品的概率; (2)如果将“每次取出后
39、不放回”这一条件换成“每次取出后放回”,则取出的两件产品中 恰有一件次品的概率是多少? 【解析】(1)每次取一件,取后不放回地连续取两次,其可能的结果组成的基本事件空间为 =(a1,a2),(a1,b1),(a2,a1),(a2,b1),(b1,a1), (b1,a2),其中小括号内左边的字母表示第1次取 出的产品,右边的字母表示第 2 次取出的产品.由 6 个基本事件组成,而且可以确定这些基本 事件的出现是等可能的.用 A 表示“取出的两件中,恰好有一件次品”这一事件, 则 A=(a1,b1),(a2,b1),(b1,a1),(b1,a2). 事件 A 由 4 个基本事件组成,所以 42 (
40、 ) 63 P A . (2)有放回地连续取出两件,其一切可能的结果组成的基本事件空间为 =(a1,a1),(a1,a2),(a1,b1),(a2,a1),(a2,a2),(a2,b1),(b1,a1), (b1,a2),(b1,b1),由 9 个基本事 件组成.由于每一件产品被取到的机会均等,因此可以确定这些基本事件的出现是等可能的. 用 B 表示“恰有一件次品”这一事件,则 B=(a1,b1),(a2,b1),(b1,a1),(b1,a2). 事件 B 由 4 个基本事件组成,所以 4 ( ) 9 P B . 21.(12 分)已知向量, a b 满足1,31abxabaxb (x0,xR
41、). (1)求a b 关于 x 的解析式 f(x); (2)求向量a 与b 夹角的最大值; (3)若/ab 且方向相同,试求 x 的值. 【解析】(1)由题意得 22 3xabaxb ,即 2222 22 2363x axa bbaxa bx b . 又1ab ,所以 2 822xa bx ,所以 2 1( 0) 4 x a bx x , 即 11 ( )()(0) 4 f xxx x . (2)设向量a 与b 夹角为,则 2 11 cos( )()2 4 a b f xx xa b , 当 1 x x ,即 x=1 时,cos有最小值 1 ,0 2 ,故 max 3 . (3)因为/ab 且
42、方向相同,1ab ,所以ab ,所以 11 ()1 4 a bx x , 解得23x . 22.(12 分)四棱锥 P-ABCD 的底面为菱形,AB=4,ABC=60,M 为 PB 的中点,N 为 BD 上 一点,且 1 3 BNND,若5,21PAPCPB. (1)求证:MN平面 PAC; (2)求证:PN平面 ABCD; (3)求直线 PN 与平面 PCD 所成角的正弦值. 【解析】(1)连接 AC,交 BD 于点 O,连接 PO,则 1 2 BMBN BPBO , 所以 MNPO,又 PO平面 PAC,MN 平面 PAC,从而 MN平面 PAC. (2)连接 PN,因为 PA=PC,O 是 AC 中点,所以 POAC,又 PA=PC=5,AO=2, 所以21POPB,又 N 是 BO 中点,所以 PNBD,且易求3 2,7PNNC, 所以 222 PNNCPC,从而 PNNC,又 BDNC=N,所以 PN平面 ABCD. (3)设 N 到平面 PCD 的距离为 h,PN 与平面 PCD，所成角为,则sin h PN , 因为 VN-PCD=VP-NCD,所以 SPCDh=SNCDPN,计算可得3 3,3 5 NCD SPD , 所以3 11 PCD S ,又因为3 2PN ,所以 3 6 11 h ,从而 33 sin 11 .
