1、2.3全称量词命题与存在量词命题 2.3.1全称量词命题与存在量词命题 必备知识必备知识自主学习自主学习 1.1.全称量词与存在量词全称量词与存在量词 导思导思 1.1.什么是全称量词什么是全称量词? ?什么是全称量词命题什么是全称量词命题? ?用什么符号表示用什么符号表示? ? 2.2.什么是存在量词什么是存在量词? ?什么是存在量词命题什么是存在量词命题? ?用什么符号表示用什么符号表示? ? 全称量词全称量词存在量词存在量词 量词量词 “所有所有”“”“_”“_”“每一个每一个” 等表示等表示_的词的词 “存在存在”“”“_”“_”“有一个有一个” 等表示等表示_或或_的词的词 符号符号
2、用用“_”表示表示“对任意对任意x”x”用用“_”表示表示“存在存在x”x” 任意任意 全体全体 有的有的 部分部分个体个体 x xx x 【思考】【思考】 常见的全称量词、存在量词还有哪些常见的全称量词、存在量词还有哪些? ? 提示提示: :常见的全称量词还有常见的全称量词还有“一切一切”“”“任给任给”“”“凡是凡是”等等. . 常见的存在量词还有常见的存在量词还有“有些有些”“”“对某些对某些”“”“有的有的”等等. . 2.2.全称量词命题与存在量词命题全称量词命题与存在量词命题 (1)(1)定义和表示方法定义和表示方法: : 全称量词命题全称量词命题存在量词命题存在量词命题 定义定义
3、 含有含有_的命题称为的命题称为 全称量词命题全称量词命题 含有含有_的命题称为存在的命题称为存在 量词命题量词命题 表示表示 一般形式可表示为一般形式可表示为: : _ 一般形式可表示为一般形式可表示为: :_ 全称量词全称量词存在量词存在量词 xM,p(x)xM,p(x) xM,p(x)xM,p(x) (2)(2)本质本质: :全称量词的含义是全称量词的含义是“任意性任意性”, ,存在量词的含义是存在量词的含义是“存在性存在性”. . (3)(3)应用应用: :全称量词、存在量词是数学和日常生活中使用频率很高的一种逻辑用全称量词、存在量词是数学和日常生活中使用频率很高的一种逻辑用 语语,
4、,数学中存在大量的全称量词命题和存在量词命题数学中存在大量的全称量词命题和存在量词命题. . 【思考】【思考】 全称量词命题中的全称量词命题中的“x,Mx,M与与p(x)”p(x)”表达的含义分别是什么表达的含义分别是什么? ? 提示提示: :元素元素x x可以表示实数、方程、函数、不等式可以表示实数、方程、函数、不等式, ,也可以表示几何图形也可以表示几何图形, ,相应的相应的 集合集合M M是这些元素的某一特定的范围是这些元素的某一特定的范围,p(x),p(x)表示集合表示集合M M的所有元素满足的性质的所有元素满足的性质, ,也也 可以用可以用q(x),r(x)q(x),r(x)等符号表
5、示等符号表示. . 【基础小测】【基础小测】 1.1.辨析记忆辨析记忆( (对的打对的打“”,”,错的打错的打“”)”) (1)(1)全称量词命题是陈述某集合中所有元素都具有某种性质的命题全称量词命题是陈述某集合中所有元素都具有某种性质的命题.(.() ) (2)(2)存在量词命题是陈述某集合中存在一个或部分元素具有某种性质的命题存在量词命题是陈述某集合中存在一个或部分元素具有某种性质的命题. . ( () ) (3)(3)全称量词命题一定含有全称量词全称量词命题一定含有全称量词.(.() ) 提示提示: :(1).(1).全称量词命题中的全称量词表明给定范围内所有对象都具有某一全称量词命题中
6、的全称量词表明给定范围内所有对象都具有某一 性质性质, ,无一例外无一例外, ,强调强调“整体、全部整体、全部”. . (2).(2).存在量词命题中的存在量词表明给定范围内的对象有例外存在量词命题中的存在量词表明给定范围内的对象有例外, ,强调强调“个别、个别、 部分部分”. . (3)(3). .有些命题虽然没有写出全称量词有些命题虽然没有写出全称量词, ,但其意义具备但其意义具备“任意性任意性”, ,这类命题也这类命题也 是全称量词命题是全称量词命题, ,如如“正数大于正数大于0”0”即即“所有正数都大于所有正数都大于0”,0”,故故(3)(3)说法是错误说法是错误 的的. . 2.2.
7、给出下列命题给出下列命题: : (1)(1)所有一次函数的图象都是直线所有一次函数的图象都是直线; ; (2)(2)对顶角相等对顶角相等; ; (3)(3)xR,xxR,x2 2-4x+40;-4x+40; (4)(4)对任意的整数对任意的整数x,5x-1x,5x-1是整数是整数. .其中全称量词命题是其中全称量词命题是_,_,存在量词命题存在量词命题 是是_.(_.(填序号填序号) 【解析】【解析】(1)(1)含有全称量词含有全称量词“所有所有”, ,是全称量词命题是全称量词命题;(2);(2)省略了全称量词省略了全称量词“所所 有有”, ,是全称量词命题是全称量词命题;(3);(3)含有存
8、在量词符号含有存在量词符号“”,”,是存在量词命题是存在量词命题;(4);(4)含有含有 全称量词全称量词“任意任意”, ,是全称量词命题是全称量词命题. . 答案答案: :(1)(2)(4)(1)(2)(4)(3)(3) 3.(3.(教材二次开发教材二次开发: :练习改编练习改编) )判断下列全称量词命题或存在量词命题的真假判断下列全称量词命题或存在量词命题的真假: : (1)(1)xQ,xQ,方程方程 x-2=0 x-2=0有解有解. . (2)(2)至少有一个至少有一个xR,xR,使使x x能被能被5 5和和8 8整除整除. . (3)(3)对于任意一个对于任意一个xZ,2xxZ,2x都
9、是偶数都是偶数. . 2 【解析】【解析】(1)(1)方程方程 x-2=0 x-2=0的解为的解为x= Q,x= Q,所以此命题是假命题所以此命题是假命题. . (2)(2)因为因为4040能被能被5 5和和8 8整除整除, ,所以此命题是真命题所以此命题是真命题. . (3)(3)对于任意一个对于任意一个xZ,2xxZ,2x一定能被一定能被2 2整除整除, ,一定是偶数一定是偶数, ,所以此命题是真命题所以此命题是真命题. . 22 关键能力关键能力合作学习合作学习 类型一全称量词命题与存在量词命题的识别类型一全称量词命题与存在量词命题的识别( (数学抽象数学抽象) ) 【题组训练】【题组训
10、练】 1.1.下列命题下列命题: : 至少有一个至少有一个x,x,使使x x2 2+2x+1=0+2x+1=0成立成立. . 对任意的对任意的x,x,都有都有x x2 2+2x+1=0+2x+1=0成立成立. . 对任意的对任意的x,x,都有都有x x2 2+2x+1=0+2x+1=0不成立不成立. . 存在存在x,x,使使x x2 2+2x+1=0+2x+1=0不成立不成立. . 其中是全称量词命题的个数为其中是全称量词命题的个数为( () ) A.1A.1B.2B.2C.3C.3D.4D.4 2.2.下列命题下列命题: :有的平行四边形是菱形有的平行四边形是菱形; ;任何一个实数乘以任何一
11、个实数乘以0 0都等于都等于0;0;有一有一 个角个角,使使sin = ;sin = ;凸多边形的外角和等于凸多边形的外角和等于360360; ;所有正数都是实数所有正数都是实数. .其其 中是全称量词命题的为中是全称量词命题的为_,_,是存在量词命题的为是存在量词命题的为_.(_.(填序号填序号) 3.3.用量词符号用量词符号“”“”“”表述下列命题表述下列命题. . (1)(1)所有实数所有实数x x都能使都能使x x2 2+x+10+x+10成立成立. . (2)(2)对所有实数对所有实数a,b,a,b,方程方程ax+b=0ax+b=0恰有一个解恰有一个解. . (3)(3)一定有整数一
12、定有整数x,y,x,y,使得使得3x-2y=103x-2y=10成立成立. . (4)(4)所有的有理数所有的有理数x x都能使都能使 x x2 2+ x+1+ x+1是有理数是有理数. . 1 2 1 3 1 2 【解析】【解析】1.1.选选B.B.只有只有含有全称量词含有全称量词, ,是全称量词命题是全称量词命题. . 2.2.含有存在量词含有存在量词“有的有的”, ,故为存在量词命题故为存在量词命题; ; 含有全称量词含有全称量词“任何一个任何一个”, ,故为全称量词命题故为全称量词命题; ; 含有存在量词含有存在量词“有一个有一个”, ,故为存在量词命题故为存在量词命题; ; 可以改写
13、为可以改写为“所有的凸多边形的外角和等于所有的凸多边形的外角和等于360360”,”,含有全称量词含有全称量词“所有所有”, , 故为全称量词命题故为全称量词命题; ; 含有全称量词含有全称量词“所有所有”, ,故为全称量词命题故为全称量词命题. . 答案答案: : 3.(1)3.(1)xR,xxR,x2 2+x+10.+x+10. (2)(2)a,bR,ax+b=0a,bR,ax+b=0恰有一解恰有一解. . (3)(3)x,yZ,3x-2y=10.x,yZ,3x-2y=10. (4)(4)xQ, xxQ, x2 2+ x+1+ x+1是有理数是有理数. . 1 3 1 2 【解题策略】【解
14、题策略】 判断一个语句是全称量词命题还是存在量词命题的思路判断一个语句是全称量词命题还是存在量词命题的思路 【补偿训练】【补偿训练】 1.1.下列命题中为全称量词命题的是下列命题中为全称量词命题的是( () ) A.A.有些实数没有倒数有些实数没有倒数 B.B.矩形都有外接圆矩形都有外接圆 C.C.过直线外一点有一条直线和已知直线平行过直线外一点有一条直线和已知直线平行 D.D.xR,xxR,x2 2+x2+x2 【解析】【解析】选选B.AB.A、C C、D D是存在量词命题是存在量词命题,B,B可改写为可改写为“所有矩形都有外接圆所有矩形都有外接圆”, ,是是 全称量词命题全称量词命题. .
15、 2.2.下列命题中为存在量词命题的是下列命题中为存在量词命题的是( () ) A.A.存在实数存在实数x1,x1,使使x x2 211 B.B.全等的三角形必相似全等的三角形必相似 C.C.相似三角形必全等相似三角形必全等 D.D.xNxN* *,(x-2),(x-2)2 200 【解析】【解析】选选A.AA.A是存在量词命题是存在量词命题,B,B、C C、D D是全称量词命题是全称量词命题. . 3.3.判断下列语句是全称量词命题判断下列语句是全称量词命题, ,还是存在量词命题还是存在量词命题. . (1)(1)对任意的对任意的nZ,2n+1nZ,2n+1是奇数是奇数. . (2)(2)有
16、些三角形不是等腰三角形有些三角形不是等腰三角形. . (3)(3)有的实数是无限不循环小数有的实数是无限不循环小数. . (4)(4)所有的正方形都是矩形所有的正方形都是矩形. . 【解析】【解析】(1)(1)含有全称量词含有全称量词“任意任意”, ,故为全称量词命题故为全称量词命题. . (2)(2)含有存在量词含有存在量词“有些有些”, ,故为存在量词命题故为存在量词命题. . (3)(3)含有存在量词含有存在量词“有的有的”, ,故为存在量词命题故为存在量词命题. . (4)(4)含有全称量词含有全称量词“所有所有”, ,故为全称量词命题故为全称量词命题. . 类型二全称量词命题与存在量
17、词命题的真假判断类型二全称量词命题与存在量词命题的真假判断( (逻辑推理逻辑推理) ) 【典例】【典例】1.(20201.(2020淄博高一检测淄博高一检测) )下列各命题中下列各命题中, ,真命题是真命题是( () ) A.A.xR,1-xxR,1-x2 200B.B.xN,xxN,x2 211 C.C.xZ,xxZ,x3 3122 1 x 3.3.指出下列命题中指出下列命题中, ,哪些是全称量词命题哪些是全称量词命题, ,哪些是存在量词命题哪些是存在量词命题, ,并判断真假并判断真假. . (1)(1)有的集合中存在两个相同的元素有的集合中存在两个相同的元素. . (2)(2)a,bR,(
18、a+b)(aa,bR,(a+b)(a2 2-ab+b-ab+b2 2)=a)=a3 3+b+b3 3. . (3)(3)存在一个存在一个xR,xR,使使 =0.=0. (4)(4)对任意直角三角形的两个锐角对任意直角三角形的两个锐角A,B,A,B,都有都有sin A=cos B.sin A=cos B. 1 x1 【思路导引】【思路导引】1.1.弄清弄清R,N,Z,QR,N,Z,Q的含义的含义, ,对于全称量词命题对于全称量词命题( (选项选项A,B),A,B),每个元素都每个元素都 满足条件满足条件, ,才是真命题才是真命题; ;对于存在量词命题对于存在量词命题( (选项选项C,D),C,D
19、),存在一个元素满足条件存在一个元素满足条件, , 就是真命题就是真命题. . 2.2.对于存在量词命题对于存在量词命题, ,只要存在一个元素满足条件只要存在一个元素满足条件, ,就是真命题就是真命题. . 3.3.对于全称量词命题对于全称量词命题, ,必须每个元素都满足条件必须每个元素都满足条件, ,才是真命题才是真命题; ;对于存在量词命对于存在量词命 题题, ,只要存在一个元素满足条件只要存在一个元素满足条件, ,就是真命题就是真命题. . 【解析】【解析】1.1.选选C.AC.A是假命题是假命题, ,例如当例如当x=0Rx=0R时时, , 1-x1-x2 2=10;B=10;B是假命题
20、是假命题, ,例如当例如当x=0Nx=0N时时, , x x2 2=01;C=01;C是真命题是真命题, ,例如当例如当x=0Zx=0Z时时, , x x3 3=01;D=01;D是假命题是假命题,x,x2 2=2=2解得解得x=x= Q.Q. 2.2.选选B.AB.A中锐角三角形的内角是锐角或钝角是全称量词命题中锐角三角形的内角是锐角或钝角是全称量词命题;B;B中中x=0 x=0时时,x,x2 2=0,=0,所所 以以B B既是存在量词命题又是真命题既是存在量词命题又是真命题;C;C中因为中因为 +(- )=0,+(- )=0,所以所以C C是假命题是假命题;D;D中中 对于任意一个负数对于
21、任意一个负数x,x,都有都有 0,0.0. (2)(2)xR,x+2 0191.xR,x+2 0191. (3)(3)有一个锐角有一个锐角,使使sin = .sin = . (4)(4)对任意非正数对任意非正数c,c,若若ab+c,ab+c,则则ab.ab. 其中的真命题的个数是其中的真命题的个数是 ( () ) A.1A.1B.2B.2C.3C.3D.4D.4 1 2 【解析】【解析】选选C.(1)C.(1)为假命题为假命题, ,因为当因为当x=1x=1时时,(x-1),(x-1)2 2=0.=0. (2)(2)为真命题为真命题, ,当当x=-2 019x=-2 019时时,x+2 019=
22、01.,x+2 019=00,1+m0,即即m-1,m-1, 所以实数所以实数m m的取值范围是的取值范围是(-1,+).(-1,+). 答案答案: :(-1,+)(-1,+) 2.2.由题意得由题意得, ,关于关于x x的方程的方程axax2 2+2x-1=0+2x-1=0有实数根有实数根, ,当当a=0a=0时时, ,方程为方程为2x-1=0,2x-1=0,显然有显然有 实数根实数根, ,满足题意满足题意; ;当当a0a0时时,=4+4a0,=4+4a0,解得解得a-1,a-1,且且a0.a0. 综上知综上知, ,实数实数a a的取值范围是的取值范围是-1,+).-1,+). 【变式探究】
23、【变式探究】 将本例将本例2 2的方程改为的方程改为“x x2 2+2x+2=m”,+2x+2=m”,求实数求实数m m的取值范围的取值范围. . 【解析】【解析】依题意依题意, ,方程方程x x2 2+2x+2-m=0+2x+2-m=0有实数解有实数解, , 所以所以=4-4(2-m)0,=4-4(2-m)0,解得解得m1.m1. 【解题策略】【解题策略】 利用含量词的命题的真假求参数的取值范围利用含量词的命题的真假求参数的取值范围 (1)(1)含参数的全称量词命题为真时含参数的全称量词命题为真时, ,常与不等式恒成立有关常与不等式恒成立有关, ,可根据有关代数恒可根据有关代数恒 等式等式(
24、 (如如x x2 20),0),确定参数的取值范围确定参数的取值范围. . (2)(2)含参数的存在量词命题为真时含参数的存在量词命题为真时, ,常转化为方程或不等式有解问题来处理常转化为方程或不等式有解问题来处理, ,可可 借助根的判别式等知识解决借助根的判别式等知识解决. . 【跟踪训练】【跟踪训练】 1.1.已知命题已知命题p:“p:“xR,mxxR,mx2 20”0”是真命题是真命题, ,则实数则实数m m的取值范围是的取值范围是_._. 【解析】【解析】当当xRxR时时,x,x2 20,0,若若“xR,mxxR,mx2 20”0”是真命题是真命题, ,则有则有m0.m0. 答案答案:
25、 :0,+)0,+) 2.2.若若“存在存在xx|3x5,xm”xx|3x5,xm”是真命题是真命题, ,则实数则实数m m的取值范围是的取值范围是 _._. 【解析】【解析】当当m5m5时时,“,“存在存在xx|3x5,xm”xx|3x5,xm”是真命题是真命题. . 答案答案: :(-,5(-,5 【补偿训练】【补偿训练】 已知命题已知命题p:“p:“x3,x3,使得使得2x-1m”2x-1m”是真命题是真命题, ,则实数则实数m m的取值范围是的取值范围是 _._. 【解析】【解析】因为当因为当x3x3时时,2x-15,2x-15,所以若所以若“x3,x3,使得使得2x-1m”2x-1m
26、”是真命题是真命题, , 则则m5.m5. 答案答案: :(-,5(-,5 课堂检测课堂检测素养达标素养达标 1.1.下列命题不是下列命题不是“xR,xxR,x2 23”3”的表述方法的是的表述方法的是( () ) A.A.有一个有一个xR,xR,使得使得x x2 233成立成立 B.B.对有些对有些xR,xR,使得使得x x2 233成立成立 C.C.任选一个任选一个xR,xR,使得使得x x2 233成立成立 D.D.至少有一个至少有一个xR,xR,使得使得x x2 233成立成立 【解析】【解析】选选C.C.原命题是存在量词命题原命题是存在量词命题, ,而选项而选项C C中的命题是全称量
27、词命题中的命题是全称量词命题. . 2.2.下列命题中全称量词命题的个数是下列命题中全称量词命题的个数是( () ) xR,xxR,x2 20;0; xR,xxR,x2 20;0; 平行四边形的对边平行平行四边形的对边平行; ; 矩形的任一组对边相等矩形的任一组对边相等. . A.1A.1B.2B.2C.3C.3D.4D.4 【解析】【解析】选选C.C.含有全称量词符号含有全称量词符号“”,”,为全称量词命题为全称量词命题, , 含有存在量词符号含有存在量词符号“”,”,为存在量词命题为存在量词命题, , 隐含着全称量词隐含着全称量词“所有所有”, ,为全称量词命题为全称量词命题, , 隐含着
28、全称量词隐含着全称量词“所有所有”, ,为全称量词命题为全称量词命题. . 3.3.下列存在量词命题中下列存在量词命题中, ,是假命题的是是假命题的是( () ) A.A.xZ,xxZ,x2 2-2x-3=0-2x-3=0 B.B.至少有一个至少有一个xZ,xZ,使使x x能同时被能同时被2 2和和3 3整除整除 C.C.有的三角形没有外接圆有的三角形没有外接圆 D.D.xR, =xxR, =x 【解析】【解析】选选C.AC.A中中,x=-1,x=-1满足题意满足题意, ,是真命题是真命题;B;B中中,x=6,x=6满足题意满足题意, ,是真命题是真命题;C;C中中, , 所有的三角形都有外接
29、圆所有的三角形都有外接圆, ,是假命题是假命题.D.D中中, ,当当x=0 x=0或或1 1时时, =x, =x,是真命题是真命题. . x x 4.4.命题命题“自然数的平方大于零自然数的平方大于零”是是_量词命题量词命题( (填填“全称全称”或或“存在存在”),), 其省略的量词是其省略的量词是_._. 【解析】【解析】自然数的平方大于零意思是说所有自然数的平方都大于零自然数的平方大于零意思是说所有自然数的平方都大于零, ,故该命题故该命题 是全称量词命题是全称量词命题, ,其省略的量词是其省略的量词是“所有所有”. . 答案答案: :全称所有全称所有 5.(5.(教材二次开发教材二次开发
30、: :练习改编练习改编) )判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题, , 并判断其真假并判断其真假. . (1)(1)对某些实数对某些实数x,x,有有2x+10.2x+10. (2)(2)x3,5,7,3x+1x3,5,7,3x+1是偶数是偶数. . (3)(3)存在实数存在实数x, =-x.x, =-x. 2 x 【解析】【解析】(1)(1)命题中含有存在量词命题中含有存在量词“某些某些”, ,因此是存在量词命题因此是存在量词命题, ,是真命题是真命题. . (2)(2)命题中含有全称量词的符号命题中含有全称量词的符号“”,”,因此是全称量词命题因此是全称量词命题. .把把3,5,73,5,7分别代入分别代入 3x+1,3x+1,得得10,16,22,10,16,22,都是偶数都是偶数, ,因此因此, ,该命题是真命题该命题是真命题. . (3)(3)存在量词命题存在量词命题. .当当x0 x0时时, =-x, =-x,所以该命题为真命题所以该命题为真命题. . 2 x
