1、阶段提升课 第六课三角函数的图象和性质 思维导图思维导图构建网络构建网络 考点整合考点整合素养提升素养提升 题组训练一任意角与弧度制题组训练一任意角与弧度制 1.1.给出下列说法给出下列说法: : 第二象限角大于第一象限角第二象限角大于第一象限角; ; 三角形的内角是第一象限角或第二象限角三角形的内角是第一象限角或第二象限角; ; 不论用角度制还是用弧度制度量一个角不论用角度制还是用弧度制度量一个角, ,它们与扇形所在圆半径的大小无关它们与扇形所在圆半径的大小无关; ; 若若sin =sin ,sin =sin ,则则与与的终边相同的终边相同; ; 若若cos 0,cos 0,则则是第二或第三
2、象限的角是第二或第三象限的角. . 其中正确说法的个数是其中正确说法的个数是 ( () ) A.1A.1B.2B.2C.3C.3D.4D.4 【解析】【解析】选选A.A.对于对于, ,根据任意角的概念知根据任意角的概念知, , 第二象限角不一定大于第一象限角第二象限角不一定大于第一象限角, ,错误错误; ; 对于对于, ,三角形的内角三角形的内角(0,),(0,),所以所以是第一象限角或第二象限角是第一象限角或第二象限角, ,或或y y轴正轴正 半轴角半轴角, ,错误错误; ; 对于对于, ,根据角的定义知根据角的定义知, ,不论用角度制还是用弧度制度量一个角不论用角度制还是用弧度制度量一个角
3、, ,它们与扇形它们与扇形 所在圆半径的大小无关所在圆半径的大小无关, ,正确正确; ; 对于对于, ,若若sin =sin ,sin =sin ,则则与与的终边相同的终边相同, , 或关于或关于y y轴对称轴对称, ,所以所以错误错误; ; 对于对于, ,若若cos 0,cos 0,则则是第二或第三象限的角是第二或第三象限的角, , 或终边在或终边在x x轴负半轴上轴负半轴上, ,所以所以错误错误; ; 综上综上, ,其中正确的说法是其中正确的说法是, ,只有只有1 1个个. . 2.2.意大利意大利“美术三杰美术三杰”( (文艺复兴后三杰文艺复兴后三杰) )之一的达之一的达芬奇的经典之作芬
4、奇的经典之作蒙蒙 娜丽莎娜丽莎举世闻名举世闻名. .画中女子神秘的微笑数百年来让无数观赏者入迷画中女子神秘的微笑数百年来让无数观赏者入迷. .某数学兼某数学兼 艺术爱好者对艺术爱好者对蒙娜丽莎蒙娜丽莎的同比例影像作品进行了测绘的同比例影像作品进行了测绘, ,将画中女子的嘴唇将画中女子的嘴唇 近似看作一个圆弧近似看作一个圆弧, ,在嘴角在嘴角A,CA,C处作圆弧的切线处作圆弧的切线, ,两条切线交于两条切线交于B B点点, ,测得如下数测得如下数 据据:AB=6.9 cm,BC=7.1 cm,AC=12.6 cm,:AB=6.9 cm,BC=7.1 cm,AC=12.6 cm,根据测量得到的结果
5、推算根据测量得到的结果推算: : 将将蒙娜丽莎蒙娜丽莎中女子的嘴唇视作的圆弧对应的圆心角位于以下哪个区中女子的嘴唇视作的圆弧对应的圆心角位于以下哪个区 间间( () ) 55 A.(,)B.(,)C.(,)D.(,) 6 46 33 1212 2 【解析】【解析】选选B.B.取取AB=BC7,AB=BC7,设设ABC=2,2(0,).ABC=2,2(0,). 则则sin sin 又因为又因为 , ,所以所以 ,2 ,2 设设蒙娜丽莎蒙娜丽莎中女子的嘴唇视作的圆弧对应的圆心角为中女子的嘴唇视作的圆弧对应的圆心角为.则则+2=,+2=, 所以所以 6.3362 0.9(,). 724 (0,) 2
6、 5 (,) 3 12 25 (,), 36 (,). 6 3 【方法技巧】【方法技巧】任意角与弧度制问题的解题技巧任意角与弧度制问题的解题技巧 (1)(1)对于任意角的问题对于任意角的问题, ,要仔细读懂题意要仔细读懂题意, ,根据题意根据题意, ,对题目中的命题进行分析、对题目中的命题进行分析、 判断判断, ,经常以考查任意角的概念与三角函数的定义和应用等问题为主经常以考查任意角的概念与三角函数的定义和应用等问题为主. . (2)(2)利用弧度制求弧长和面积时利用弧度制求弧长和面积时, ,有时会出现一些新题目、新题型有时会出现一些新题目、新题型, ,这时我们要这时我们要 仔细读题仔细读题,
7、 ,分析题目条件与已学过知识点之间的联系分析题目条件与已学过知识点之间的联系, ,寻找解题突破口寻找解题突破口, ,解决问解决问 题题. . 题组训练二同角三角函数基本关系和诱导公式的应用题组训练二同角三角函数基本关系和诱导公式的应用 1.1.函数函数f(x)= f(x)= 的最大值为的最大值为( () ) 【解析】【解析】选选A.A.由诱导公式可得由诱导公式可得 故函数故函数f f 的最大值为的最大值为 . . 1 sin(x)cos(x) 536 631 A B 1 C D 555 16 cos(x)cos(x)sin(x),f(x)sin(x)sin(x)sin (x). 6233533
8、53 则 (x) 6 5 2.2.已知已知sin cos = ,sin cos = ,且且 , ,则则cos -sin cos -sin 的值为的值为( () ) 【解析】【解析】选选B.B.因为因为 , , 所以所以cos 0,sin 0cos 0,sin sin ,cos sin , 所以所以cos -sin 0.cos -sin 0. 又又(cos -sin )(cos -sin )2 2=1-2sin cos =1-2=1-2sin cos =1-2 , , 所以所以cos -sin = .cos -sin = . 1 8 53 42 3333 A. B. C. D. 2244 53
9、42 13 84 3 2 【方法技巧】【方法技巧】 1.1.诱导公式的应用诱导公式的应用 利用诱导公式化简时利用诱导公式化简时, ,注意观察题目中给出两角的关系注意观察题目中给出两角的关系, ,一般利用和、差求互一般利用和、差求互 补、互余关系补、互余关系. . 2.2.同角三角函数基本关系的应用同角三角函数基本关系的应用 应用公式时注意方程思想的应用应用公式时注意方程思想的应用: :对于对于sin +cos ,sin cos ,sin -sin +cos ,sin cos ,sin - cos cos 这三个式子这三个式子, ,利用利用(sin (sin cos )cos )2 2=1=12
10、sin cos ,2sin cos ,可以知一求二可以知一求二. . 题组训练三题组训练三 三角函数的图象与性质三角函数的图象与性质 1.(20191.(2019全国卷全国卷)函数函数f(x)= f(x)= 在在-,-,的图象大致的图象大致 为为( () ) 2 sin xx cos xx 【解析】【解析】选选D.D.由由f(-x)= =-f(x),f(-x)= =-f(x),得得f(x)f(x)是奇函数是奇函数, , 其图象关于原点对称其图象关于原点对称. . 又又f 1,f()= 0.f 1,f()= 0.故选故选D.D. 22 sinx)xsin xx cos xx cosx)x （ （
11、 2 2 1 42 2 ( ) 2 ( ) 2 2 1 2.(20192.(2019全国卷全国卷)关于函数关于函数f(x)=sin|x|+|sin x|f(x)=sin|x|+|sin x|有下述四个结论有下述四个结论: : f(x)f(x)是偶函数是偶函数 f(x)f(x)在区间在区间 单调递增单调递增 f(x)f(x)在在-,-,有有4 4个零点个零点 f(x)f(x)的最大值为的最大值为2 2 其中所有正确结论的编号是其中所有正确结论的编号是( () ) A.A.B.B.C.C.D.D. (, ) 2 【解析】【解析】选选C.C.因为因为f(-x)=sin|-x|+|sin(-x)|=s
12、in|x|+|sin x|=f(x),f(-x)=sin|-x|+|sin(-x)|=sin|x|+|sin x|=f(x),所以所以 f(x)f(x)为偶函数为偶函数, ,故故正确正确. .当当 xx时时,f(x)=2sin x,f(x)=2sin x,它在区间它在区间 单调递单调递 减减, ,故故错误错误. .当当0 x0 x时时,f(x)=2sin x,f(x)=2sin x,它有两个零点它有两个零点:0,;:0,;当当-x0-x0,0,|)(A0,0,|)|)是是 奇函数奇函数, ,将将y=f(x)y=f(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2 2倍
13、倍( (纵坐标不变纵坐标不变),), 所得图象对应的函数为所得图象对应的函数为g(x).g(x).若若g(x)g(x)的最小正周期为的最小正周期为2,2,且且g ,g ,则则 f =f = ( () ) A.-2A.-2B.- B.- C. C. D.2D.2 ( )2 4 3 () 8 22 【解析】【解析】选选C.f(x)C.f(x)为奇函数为奇函数, ,可知可知f(0)=Asin f(0)=Asin =0,=0, 由由| |可得可得=0;=0;把其图象上各点的横坐标伸长到原来的把其图象上各点的横坐标伸长到原来的2 2倍倍, , 得得g(x)=Asin x,g(x)g(x)=Asin x,
14、g(x)的最小正周期为的最小正周期为2,2,可得可得=2,=2,由由g ,g , 可得可得A=2,A=2,所以所以f(x)=2sin 2x,f f(x)=2sin 2x,f 1 2 ( )2 4 33 ()2sin2. 84 2.2.已知函数已知函数f(x)f(x)的部分图象如图所示的部分图象如图所示, ,则则f(x)f(x)的解析式可能为的解析式可能为( () ) A.f(x)=2sin A.f(x)=2sin B.f(x)= B.f(x)= C.f(x)=2cos C.f(x)=2cos D.f(x)=2sin D.f(x)=2sin x () 26 2cos(4x) 4 x () 23
15、(4x) 6 【解析】【解析】选选C.C.由图象知周期由图象知周期T=4,T=4,则则= ,= ,排除排除B B、D;D;由由f(0)=1,f(0)=1,可排除可排除A.A. 1 2 【方法技巧】【方法技巧】函数函数y=Asin(x+y=Asin(x+)+h)+h的解题技巧的解题技巧 对于对于y=Asin(x+y=Asin(x+)+h,)+h,应明确应明确A A、决定决定“形变形变”, ,、h h决定决定“位变位变”,A,A影响影响 值域值域,影响周期影响周期,A,A、影响单调性影响单调性. .针对针对x x的变换的变换, ,即变换多少个单位即变换多少个单位, ,向向 左或向右很容易出错左或向
16、右很容易出错, ,应注意先应注意先“平移平移”后后“伸缩伸缩”与先与先“伸缩伸缩”后后“平移平移” 的区别的区别. . 题组训练五题组训练五 三角函数的应用三角函数的应用 直角走廊的示意图如图所示直角走廊的示意图如图所示, ,其两边走廊的宽度均为其两边走廊的宽度均为2 2米米, ,过点过点P P的一条直线与的一条直线与 走廊的外侧两边交于走廊的外侧两边交于A,BA,B两点两点, ,且与走廊的一边的夹角为且与走廊的一边的夹角为 (1)(1)将线段将线段ABAB的长度的长度l表示为表示为的函数的函数; ; (2)(2)一根长度为一根长度为5 5米的铁棒能否水平米的铁棒能否水平( (即铁棒与地面平行
17、即铁棒与地面平行) ) 通过该直角走廊通过该直角走廊? ?并说明理由并说明理由.(.(铁棒的粗细忽略不计铁棒的粗细忽略不计) ) (0). 2 【解析】【解析】(1)(1)由题意可知由题意可知l= ,= ,其中其中0 .0 . (2)(2)l= ,= ,设设t=sin +cos = ,t=sin +cos = ,因为因为0 ,0 , 所以所以 + ,+ 5,4 5,所以长度为所以长度为5 5米的铁棒能水平通过该直角走廊米的铁棒能水平通过该直角走廊. . 222(sincos ) sincossincos 2 2(sincos ) sincos 2sin() 4 2 4 4 3 4 2 2 4t4 . 1 t1 t t 1 t 2 1 t 2 2 4 1 t t 22 【方法技巧】【方法技巧】解决三角函数实际应用中最值问题的一般步骤解决三角函数实际应用中最值问题的一般步骤 (1)(1)审读题意审读题意, ,合理地选取合理地选取“角角”为自变量为自变量, ,建立三角函数关系式建立三角函数关系式. . (2)(2)利用和、差、倍、分进行化简整理利用和、差、倍、分进行化简整理, ,通常要整理为通常要整理为y=Asin(x+y=Asin(x+)+b)+b的形式的形式. . (3)(3)在符合实际问题意义的前提下求目标式的最值在符合实际问题意义的前提下求目标式的最值. .
