1、1 2.6双曲线及其方程 2.6.1双曲线的标准方程双曲线的标准方程 课后篇巩固提升 基础达标练 1.与椭圆? 2 4 +y2=1 共焦点且过点 P(2,1)的双曲线方程是() A.? 2 4 -y2=1B.? 2 3 -y2=1 C.? 2 2 -y2=1D.x2-? 2 2 =1 解析由题意得,双曲线焦点在 x轴上,且 c= 3,设双曲线的标准方程为? 2 ?2 ? ?2 ?2=1(a0,b0),则有 a2+b2=c2=3, 4 ?2 ? 1 ?2=1,解得 a 2=2,b2=1,故所求双曲线的标准方程为?2 2 -y2=1. 答案 C 2.(多选)当 4 , 3 4 时,方程 x2sin
2、 +y2cos =1 表示的轨迹可以是() A.两条直线B.圆 C.椭圆D.双曲线 解析当 4 , 3 4 时,sin 2 2 ,1 ,cos - 2 2 , 2 2 , 可得方程 x2sin +y2cos =1 表示的曲线可以是椭圆(sin 0,cos 0). 也可以是双曲线(sin 0,cos 0,b0)的左、右焦点分别为 F1,F2,点 P 在双曲线的右支上,若|PF1|-|PF2|=b, 且双曲线的焦距为 2 5,则该双曲线的方程为() A.? 2 4 -y2=1B.? 2 3 ? ?2 2 =1 C.x2-? 2 4 =1D.? 2 2 ? ?2 3 =1 解析由题意得 |?1|-|
3、?2| = 2? = ?, ?2= ?2+ ?2, 2? = 2 5, 解得 ?2= 1, ?2= 4, 则该双曲线的方程为 x2-? 2 4 =1. 答案 C 4.已知双曲线? 2 4 ? ?2 5 =1 上一点 P 到左焦点 F1的距离为 10,则 PF1的中点 N 到坐标原点 O 的距离为 () A.3 或 7B.6 或 14 C.3D.7 解析设右焦点为 F2,连接 PF2,ON(图略),ON 是PF1F2的中位线,|ON|=1 2|PF2|, |PF1|-|PF2|=4,|PF1|=10, |PF2|=14 或 6,|ON|=1 2|PF2|=7 或 3. 答案 A 5.动圆与圆 x
4、2+y2=1 和 x2+y2-8x+12=0 都外切,则动圆圆心的轨迹是() 3 A.双曲线的一支B.圆 C.椭圆D.双曲线 解析设动圆的圆心为 M,半径为 r,圆 x2+y2=1 与 x2+y2-8x+12=0 的圆心分别为 O1和 O2,半径分别为 1 和 2, 由两圆外切的充要条件,得|MO1|=r+1,|MO2|=r+2.|MO2|-|MO1|=1,又|O1O2|=4, 动点 M 的轨迹是双曲线的一支(靠近 O1). 答案 A 6.若双曲线? 2 ? -y2=1(n1)的左、右焦点分别为 F1,F2,点 P 在双曲线上,且满足|PF1|+|PF2|=2 ? + 2,则 PF1F2的面积
5、为() A.1B.1 2 C.2D.4 解析设点 P 在双曲线的右支上, 则|PF1|-|PF2|=2 ?, 已知|PF1|+|PF2|=2 ? + 2, 解得|PF1|= ? + 2 +?,|PF2|= ? + 2 ?, |PF1|PF2|=2. 又|F1F2|=2 ? + 1, 则|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2, PF1F2为直角三角形,F1PF2=90, ?1?2= 1 2|PF1|PF2|= 1 22=1. 答案 A 4 7.平面上两点 F1,F2满足|F1F2|=4,设 d 为实数,令 D 表示平面上满足|PF1|-|PF2|=d 的所有 P 点组成的 图形,又令 C 为
6、平面上以 F1为圆心、6 为半径的圆.下列结论中,其中正确的有(写出所有 正确结论的编号). 当 d=0 时,D 为直线; 当 d=1 时,D 为双曲线; 当 d=2 时,D 与圆 C 交于两点; 当 d=4 时,D 与圆 C 交于四点; 当 d4 时,D 不存在. 解析当 d=0 时,D 为线段 F1F2的垂直平分线,正确; 当 d=1 时,|PF1|-|PF2|=d4 时,由双曲线的定义知,不表示任何图形,D 不存在,正确. 答案 8.焦点在 x 轴上的双曲线经过点 P(4 2,-3),且 Q(0,5)与两焦点的连线互相垂直,则此双曲线的标准方 程为. 解析设焦点 F1(-c,0),F2(
7、c,0)(c0), 则由 QF1QF2,得?1?2=-1, 5 ? 5 -?=-1,c=5. 设双曲线方程为? 2 ?2 ? ?2 ?2=1(a0,b0), 双曲线过点(4 2,-3),32 ?2 ? 9 ?2=1, 5 又c2=a2+b2=25,a2=16,b2=9, 双曲线的标准方程为? 2 16 ? ?2 9 =1. 答案? 2 16 ? ?2 9 =1 9.已知与双曲线? 2 16 ? ?2 9 =1 共焦点的双曲线过点 P - 5 2 ,- 6 ,求该双曲线的标准方程. 解已知双曲线? 2 16 ? ?2 9 =1, 则 c2=16+9=25,c=5.设所求双曲线的标准方程为? 2
8、?2 ? ?2 ?2=1(a0,b0).依题意知 b 2=25-a2, 故所求双曲线方程可写为? 2 ?2 ? ?2 25-?2=1. 点 P - 5 2 ,- 6 在所求双曲线上, - 5 2 2 ?2 ? (- 6)2 25-?2=1, 化简得 4a4-129a2+125=0, 解得 a2=1 或 a2=125 4 . 当 a2=125 4 时,a2c2,不合题意,舍去, a2=1,b2=24, 所求双曲线的标准方程为 x2-? 2 24=1. 10. 6 如图所示,已知定圆 F1:(x+5)2+y2=1,定圆 F2:(x-5)2+y2=42,动圆 M 与定圆 F1,F2都外切,求动圆圆心
9、 M 的轨迹方程. 解圆 F1:(x+5)2+y2=1,圆心 F1(-5,0),半径 r1=1; 圆 F2:(x-5)2+y2=42,圆心 F2(5,0),半径 r2=4. 设动圆 M 的半径为 R, 则有|MF1|=R+1,|MF2|=R+4, |MF2|-|MF1|=310=|F1F2|. 点 M 的轨迹是以 F1,F2为焦点的双曲线的左支,且 a=3 2,c=5,于是 b 2=c2-a2=91 4 .动圆圆心 M 的 轨迹方程为? 2 9 4 ? ?2 91 4 =1 ? - 3 2 . 能力提升练 1.(多选)AB 是某平面上一定线段,点 P 是该平面内的一动点,满足|?t ? ?|-
10、|? ?|=2,|?t? ? ? ? ? ?|=2 5,则点 P 的轨迹不可能是() A.圆B.双曲线的一支 C.椭圆的一部分D.抛物线 解析|?t ? ?|-|? ?|=2,|PA|-|PB|=2. |?t ? ? ? ? ? ?|=2 5且?t? ? ? ? ? ? = ?t ? ?, |AB|=2 5. |PA|-|PB|=2|PB|, 根据双曲线的定义可得点 P的轨迹是双曲线的一支(靠近点 B 的一支). 7 答案 ACD 2.若双曲线上存在点 P,使得 P到两个焦点的距离之比为 21,则称此双曲线存在“L 点”,下列双曲线 中存在“L 点”的是() A.x2-? 2 4 =1B.x2
11、-? 2 9 =1 C.x2-? 2 15=1 D.x2-? 2 24=1 解析若双曲线的方程为 x2-? 2 4 =1, 则 a=1,c= 5,不妨设|PF1|=2|PF2|,则由双曲线的定义可得|PF1|-|PF2|=|PF2|=2a=2,即(x- 5)2+y2=4,与双曲线方程 4x2-y2=4 联立可得 5x2-2 5x-3=0,其判别式=20+60=800,故存在“L 点”. 答案 A 3.已知定点 F1(-2,0),F2(2,0),N 是圆 O:x2+y2=1 上任意一点,F1关于 N 的对称点为 M,线段 F1M 的中垂 线与直线 F2M 相交于点 P,则点 P 的轨迹是() A
12、.椭圆B.双曲线 C.抛物线D.圆 解析连接 ON,由题意可得|ON|=1,且 N为 MF1的中点,|MF2|=2. F1关于 N 的对称点为 M,线段 F1M 的中垂线与直线 F2M 相交于点 P, 由垂直平分线的性质可得|PM|=|PF1|, |PF2|-|PF1|=|PF2|-|PM|=|MF2|=20,b0). 由|PM|-|PN|=4,得 2a=4,a=2,a2=4. 由|MN|=20,得 2c=20,c=10,c2=100, 所以 b2=c2-a2=100-4=96, 故所求方程为? 2 4 ? ?2 96=1. 7.已知双曲线? 2 16 ? ?2 4 =1 的左、右焦点分别为
13、F1,F2. (1)若点 M 在双曲线上,且?1 ?2?=0,求 M 点到 x 轴的距离; (2)若双曲线 C 与已知双曲线有相同焦点,且过点(3 2,2),求双曲线 C 的方程. 10 解(1)如图所示,不妨设 M 在双曲线的右支上,M 点到 x 轴的距离为 h,?1 ?2?=0, 则 MF1MF2, 设|MF1|=m,|MF2|=n, 由双曲线定义,知 m-n=2a=8, 又 m2+n2=(2c)2=80, 由得 mn=8, 1 2mn=4= 1 2|F1F2|h, h=2 5 5 . (2)设所求双曲线 C 的方程为 ?2 16-? ? ?2 4+?=1(-416), 由于双曲线 C 过
14、点(3 2,2), 18 16-? ? 4 4+?=1, 解得=4 或=-14(舍去), 所求双曲线 C的方程为? 2 12 ? ?2 8 =1. 素养培优练 1.设 F1,F2分别是双曲线 x2-? 2 9 =1 的左、右焦点.若 P 在双曲线上,且?1 ?2?=0,则|?1? + ?2 ?|=( ) A.2 5B. 5C.2 10D. 10 11 解析由题意,知双曲线两个焦点的坐标分别为 F1(- 10,0),F2( 10,0). 设点 P(x,y), 则?1 ?=(- 10-x,-y),?2?=( 10-x,-y). ?1 ?2?=0, x2+y2-10=0,即 x2+y2=10. |?
15、1 ? + ?2 ?| = |?1 ?|2+ |?2?|2+ 2?1?2? = 2(?2+ ?2) + 20=2 10. 答案 C 2.设以 O 为中心,F 为其中一个焦点的双曲线经过点 Q,如图所示.已知OFQ 的面积为 2 6,且 ? ? ? ?=m,其中 O 为坐标原点. (1)设 6m4 6,求? ? ?与? ?的夹角的正切值的取值范围; (2)设|? ? ?|=c,m= 6 4 -1 c2,当|? ? ?|取得最小值时,求此双曲线的标准方程. 解(1)因为 1 2|? ? ?|? ?|sin(-?) = 2 6, |? ? ?|? ?|cos? = ?, 所以 tan =4 6 ?
16、. 又 6m4 6, 所以 1tan 0,b0),Q(x1,y1),则? ? ?=(x1-c,y1), 所以 SOFQ=1 2 ? ? ?|y1|=2 6,则 y1=4 6 ? . 又? ? ? ?=m,即(c,0)(x1-c,y1)= 6 4 -1 c2,解得 x1= 6 4 c, 所以|? ? ?|= ?1 2 + ?1 2 = 3 8? 2+96 ?2 12=2 3, 当且仅当 c=4 时,取等号,|? ? ?|最小. 这时 Q的坐标为( 6, 6)或( 6,- 6). 因为 6 ?2 - 6 ?2 = 1, ?2+ ?2= 16, 所以 ?2= 4, ?2= 12, 于是所求双曲线的标准方程为? 2 4 ? ?2 12=1.
