1、1 模块测评模块测评 (时间:120 分钟满分:150 分) 一、单项选择题:本题共 8小题,每小题 5分,共 40分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 1.“ab=4”是“直线 2x+ay-1=0 与直线 bx+2y-2=0 平行”的() A.充分不必要条件B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件 解析两直线平行,斜率相等.即可得 ab=4, 又因为不能重合,当 a=1,b=4 时,满足 ab=4,但是重合, 故“ab=4”是“直线 2x+ay-1=0 与直线 bx+2y-2=0 平行”的必要不充分条件. 答案 B 2.如图,四面体 S-ABC 中,D为
2、 BC 中点,点 E 在 AD 上,AD=3AE,则?t ? ?=( ) A.1 3? ? ? ? 1 2? ? ? ? 1 3?t ? ? B.2 3? ? ? ? 1 6? ? ? ? 1 6?t ? ? C.1 2? ? ? ? 1 4? ? ? ? 1 4?t ? ? D.1 2? ? ? ? 1 3? ? ? ? 1 6?t ? ? 解析四面体 S-ABC 中,D 为 BC 中点,点 E 在 AD 上,AD=3AE, ?t ? ? ? ? ? ? ? 1 3 t ? ? =? ? ? ? 1 3 ? 1 2(t ? ? ? ? ? ?) 2 =? ? ? ? 1 6t ? ? ? 1
3、 6? ? ? =? ? ? ? 1 6(?t ? ? ? ? ? ?)+1 6(? ? ? ? ? ? ?) =2 3? ? ? ? 1 6? ? ? ? 1 6?t ? ?. 答案 B 3.圆 P:(x+3)2+(y-4)2=1 关于直线 x+y-2=0 对称的圆 Q 的方程是() A.(x+2)2+(y-1)2=1 B.(x+2)2+(y-5)2=1 C.(x-2)2+(y+5)2=1 D.(x-4)2+(y+3)2=1 解析圆 P:(x+3)2+(y-4)2=1,圆心(-3,4),半径 1,关于直线 x+y-2=0 对称的圆半径不变, 设对称圆的圆心为(a,b),则 ?-3 2 ? ?
4、4 2 -2 ? 0, ?-4 ?3 ? 1, 解得 ? ? -2, ? ? 5, 所求圆 Q 的标准方程为(x+2)2+(y-5)2=1. 答案 B 4.如图,在 60二面角的棱上有两点 A,B,线段 AC,BD 分别在这个二面角的两个面内,并且都垂直于棱 AB,若 AB=AC=BD=4,则线段 CD 的长为() 3 A.4 3B.16C.8 D.4 2 解析tt ? ? ? t ? ? ? ? ? ? ? ?t ? ?, tt ? ?2? t? ?2? ? ?2? ?t? ?2+2t? ? ?+2t? ?t? ?+2? ?t? ?. t ? ? ? ? ?,?t? ? ? ? ?, t ?
5、 ? ?=0,?t? ? ?=0, t ? ?t? ?=|t? ?|?t? ?|cos 120, 又 AB=AC=BD=4, tt ? ?2=42+42+42-2161 2=32, |tt ? ?|=4 2. 答案 D 5.坐标原点 O(0,0)在动直线 mx+ny-2m-2n=0 上的投影为点 P,若点 Q(-1,-1),那么|PQ|的取值范围为 () A. 2,3 2B. 2,2 2 C.2 2,3 2D.1,3 2 解析直线 mx+ny-2m-2n=0,可化为 m(x-2)+n(y-2)=0, 故直线过定点 M(2,2), 坐标原点 O(0,0)在动直线 mx+ny-2m-2n=0 上的
6、投影为点 P, 故OPM=90,所以 P 在以 OM 为直径的圆上, 圆的圆心 N为(1,1),半径为 2, 根据点与圆的关系,|NQ|= (1 ? 1)2? (1 ? 1)2=2 2, 故 2=2 2 ?2|PQ| 2+2 2=3 2. 答案 A 4 6.正确使用远光灯对于夜间行车很重要.已知某家用汽车远光灯(如图)的纵断面是抛物线的一部分,光 源在抛物线的焦点处,若灯口直径是 20 cm,灯深 10 cm,则光源到反光镜顶点的距离是() A.2.5 cmB.3.5 cm C.4.5 cmD.5.5 cm 解析建立直角坐标系 xOy,如图所示,设对应抛物线的标准方程为 y2=2px,由题意知
7、抛物线过点(10,10), 得 100=2p10,得 p=5, 则? 2=2.5,即焦点坐标为(2.5,0), 则光源到反光镜顶点的距离是 2.5 cm. 答案 A 7.如图,四棱锥 S-ABCD 中,底面是正方形,各棱长都相等,记直线 SA 与直线 AD 所成角为,直线 SA 与 平面 ABCD 所成角为,二面角 S-AB-C 的平面角为,则() A.B. C.D. 解析连接 AC,BD,交于点 O,连接 OS,则 OA,OB,OS 两两垂直, 5 以 O 为原点,OA 为 x 轴,OB 为 y 轴,OS 为 z 轴,建立空间直角坐标系, 设|AB|=2,则 S(0,0, 2),A( 2,0
8、,0),D(0,- 2,0),B(0, 2,0),? ? ?=( 2,0,- 2),t? ?=(- 2,- 2,0),? ?=(0, 2,- 2), cos = |? ? ?t?| |? ? ?|t? | ? 2 4? 4 ? 1 2, 平面 ABCD 的法向量 n=(0,0,1), cos = |? ? ?| |?|? ? ? | ? 2 4 ? 2 2 , 设平面 SAB 的法向量 m=(x,y,z), 则 ? ? ? ?2?- 2? ? 0, ? ? ? ?2?- 2? ? 0,取 x=1,得 m=(1,1,1),cos = |?| |?|?| ? 1 3 ? 3 3 , cos cos
9、 . 答案 C 8.已知双曲线? 2 4 ? ?2 ?2=1 的左、右焦点分别为 F1,F2,过 F2且与 x 轴垂直的直线 l 与双曲线的两条渐近 线分别交于 A,B两点,|AB|=3 5,M(4,1),若双曲线上存在一点 P 使得|PM|+|PF2|t,则 t 的最小值为 () A.5 2B. 2C.5 2+4D.5 2-4 解析双曲线的左、右焦点分别为 F1(-c,0),F2(c,0), 渐近线方程为 y=? ?x, 令 x=c,解得 y=?t ? , 6 可得|AB|=2?t ? ,|AB|=3 5, 即有2?t ? =3 5,由 a=2,c2=a2+b2, 解得 b= 5,c=3,
10、即双曲线的方程为? 2 4 ? ?2 5 =1, 由题意可知,若 P 在左支上,由双曲线的定义可得|PF2|=2a+|PF1|, |PM|+|PF2|=|PM|+|PF1|+2a|MF1|+4= (4 ? 3)2? 1+4=5 2+4, 当且仅当 M,P,F1共线时,取得最小值 4+5 2; 若 P 在右支上,由双曲线的定义可得|PF2|=|PF1|-2a, |PM|+|PF2|=|PM|+|PF1|-2a|MF1|-4=5 2-4, 当且仅当 M,P,F1共线时,取得最小值 5 2-4. 综上可得,所求最小值为 5 2-4. 答案 D 二、多项选择题:本题共 4小题,每小题 5分,共 20分
11、.在每小题给出的四个选项中,有多 项符合题目要求.全部选对的得 5分,部分选对得 3分,有选错的得 0 分. 9.下列四个命题中,错误的是() A.坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角和斜率 B.直线的倾斜角的取值范围是0, C.若一条直线的斜率为 tan ,则此直线的倾斜角为 D.若一条直线的倾斜角为,则此直线的斜率为 tan 解析对于 A,当直线与 x轴垂直时,直线的倾斜角为 90,斜率不存在,A 错误; 对于 B,直线倾斜角的取值范围是0,),B 错误; 7 对于 C,一条直线的斜率为 tan ,此直线的倾斜角不一定为,如 y=x 的斜率为 tan5 4 ,它的倾斜角 为 4,C 错误;
12、对于 D,一条直线的倾斜角为时,它的斜率为 tan 或不存在,D错误. 答案 ABCD 10.若 a=(-1,-2),b=(2,-1,1),a 与 b 的夹角为 120,则的值为() A.17B.-17C.-1D.1 解析a=(-1,-2),b=(2,-1,1),a 与 b 的夹角为 120, cos 120= ? |?|?| ? -2-?-2 5?2 6, 解得=-1 或=17. 答案 AC 11.已知 P 是椭圆 C:? 2 6 +y2=1 上的动点,Q是圆 D:(x+1)2+y2=1 5上的动点,则( ) A.C 的焦距为 5 B.C 的离心率为 30 6 C.圆 D在 C的内部 D.|
13、PQ|的最小值为2 5 5 解析依题意可得 c= 6-1 ?5,则 C 的焦距为 2 5,e= 5 6 ? 30 6 . 设 P(x,y)(- 6x 6), 则|PD|2=(x+1)2+y2=(x+1)2+1-? 2 6 ? 5 6 ? ? 6 5 2 ? 4 5 4 5 ? 1 5, 所以圆 D 在 C 的内部,且|PQ|的最小值为 4 5 ? 1 5 ? 5 5 . 8 答案 BC 12.定义空间中两个向量的一种运算 ab=|a|b|sin,则关于空间向量上述运算的以下结论中恒 成立的是() A.ab=ba B.(ab)=(a)b C.(a+b)c=(ac)+(bc) D.若 a=(x1,
14、y1),b=(x2,y2),则 ab=|x1y2-x2y1| 解析对于 A,ab=|a|b|sin,ba=|b|a|sin,故 ab=ba 恒成立; 对于 B,(ab)=(|a|b|sin),(a)b=|a|b|sin,故(ab)=(a)b 不会恒成立; 对于 C,若 a=b,且 0,(a+b)c=(1+)|b|c|sin,(ac)+(bc)=|b|c|sin+|b|c|sin=(1+)|b|c|sin,当且仅当 a,b 共线时,等式成立.故(a+b)c=(ac)+(bc)不会恒成立; 对于 D,cos=?1?2?1?2 |?|?| ,sin= 1- ?1?2?1?2 |?|?| 2, 即有
15、ab=|a|b| 1- ?1?2?1?2 |?|?| 2 = |?|2|?|2-(?1?2? ?1?2)2 = (?1 2 ? ?1 2)(? 2 2 ? ?2 2)-(?1?2 ? ?1?2)2 = ?1 2? 2 2 ? ?2 2? 1 2-2?1?2?1?2 =|x1y2-x2y1|. 即 ab=|x1y2-x2y1|恒成立. 答案 AD 三、填空题:本题共 4小题,每小题 5 分,共 20分. 9 13.过点(1, 2)的直线 l 将圆 x2+y2-4x=0 分成两段弧,当劣弧所对圆心角最小时,直线 l 的斜率 k=. 解析过点(1, 2)的直线 l 将圆(x-2)2+y2=4 分成两
16、段弧,当劣弧所对的圆心角最小时,就是弦长最小,就 是与圆心(2,0)和点(1, 2)的连线垂直的直线,连线的斜率是 2-0 1-2 =- 2,直线 l 的斜率 k= 2 2 . 答案 2 2 14.下列结论中,正确的个数是. 若 a,b,c 共面,则存在实数 x,y,使 a=xb+yc; 若 a,b,c 不共面,则不存在实数 x,y,使 a=xb+yc; 若 a,b,c 共面,b,c 不共线,则存在实数 x,y,使 a=xb+yc; 若 a=xb+yc,则 a,b,c 共面. 解析对于,向量 b,c 共线,且 a 与 b,c 不共线时,不存在实数 x,y,使 a=xb+yc,错误; 对于,根据
17、空间向量的共面定理,结合逆否命题与原命题的真假性,得 a,b,c 不共面时,不存在实 数 x,y,使 a=xb+yc,正确; 对于,若 a=0 时,与 b,c 共面,且 b,c 不共线,则存在实数 x=y=0,使 a=0b+0c=0,正确; 对于,根据空间向量的共面定理得,当 a=xb+yc 时,a,b,c 共面,正确. 综上,正确的命题是. 答案 3 15.如图,在直三棱柱 ABC-A1B1C1中,ACB=90,AA1=AC=BC=1,则异面直线 BC1与 A1B1所成角 为;二面角 A-BC1-C 的余弦值是. 10 解析以 C 为原点建立如图空间直角坐标系,则 A(0,1,0),B(1,
18、0,0),C1(0,0,1),A1(0,1,1),B1(1,0,1),?t1 ?=(- 1,0,1),1?1 ?=(1,-1,0),? ?=(1,-1,0). 由 cos= |-1| | 2? 2| ? 1 2, 故异面直线 BC1与 A1B1所成角为 3, 设平面 ABC1的一个法向量为 m=(a,b,c), 由 ?t1 ? ? -? ? t ? 0, ? ? ? ? ?-? ? 0, 设 a=1,得 m=(1,1,1), 平面 BC1C 的一个法向量 n=(0,1,0), cos= 1 3 ? 3 3 . 答案 3 3 3 16.已知抛物线的方程为 x2=2py(p0),过抛物线的焦点,且
19、斜率为 1 的直线与抛物线交于 A,B 两 点,|AB|=8,则 p=,M 为抛物线弧? ?上的动点,AMB 面积的最大值是 . 解析抛物线的方程为 x2=2py(p0),过抛物线的焦点 F,且斜率为 1 的直线与抛物线交于 A,B 两点, 故直线 AB 的方程为 y-? 2=x-0,即 y=x+ ? 2,且直线 AB 的倾斜角为 45. 代入抛物线的方程 x2=2py,可得 x2-2px-p2=0. 设 A,B两点的横坐标分别为 m,n,m0). ABC=120,BAD=60, OA= 3t. 由(1)知 PO平面 ABCD,PA 与平面 ABCD 所成的角为PAO=30,得到 PO=t,建
20、立如图所 示的空间直角坐标系, 15 则 B(0,t,0),C(- 3t,0,0),P(0,0,t),D(0,-t,0),得到?t ? ?=(0,-t,t),tt? ?=( 3t,0,t). 设平面 PBC 的法向量 n1=(x1,y1,z1),平面 PCD 的法向量 n2=(x2,y2,z2). 则 ?1?t ? ? ? 0, ?1tt ? ? ? 0, 即 -?1? ?1? 0, 3?1? ?1? 0. 令 x=1,则 y=z=- 3,得到 n1=(1,- 3,- 3). 同理可得 n2=(1, 3,- 3), 所以|cos|=|?1?2| |?1|?2| ? 1 7.因为二面角 B-PC
21、-D 为钝二面角,则余弦值为- 1 7. 21.(12 分)在平面直角坐标系 xOy 中,曲线:y=x2-mx+2m(mR)与 x 轴交于不同的两点 A,B,曲线与 y 轴交于点 C. (1)是否存在以 AB 为直径的圆过点 C?若存在,求出该圆的方程;若不存在,请说明理由. (2)求证:过 A,B,C 三点的圆过定点,并求出该定点的坐标. 解(1)由曲线:y=x2-mx+2m(mR), 令 y=0,得 x2-mx+2m=0. 设 A(x1,0),B(x2,0), 则可得=m2-8m0,x1+x2=m,x1x2=2m. 令 x=0,得 y=2m,即 C(0,2m). 若存在以 AB 为直径的圆
22、过点 C,则t ? ?t? ?=0,得 x1x2+4m2=0,即 2m+4m2=0, 所以 m=0 或 m=-1 2. 由0,得 m8,所以 m=-1 2, 此时 C(0,-1),AB 的中点 M - 1 4,0 即圆心,半径 r=|CM|= 17 4 . 故所求圆的方程为 ? ? 1 4 2 +y2=17 16. 16 (2)设过 A,B,C 的圆 P 的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2 满足 (?1-?)2? ?2? ?2, (?2-?)2? ?2? ?2, ?2? (2?-?)2? ?2, ?1?2? 2?,?1? ?2? ? ? ? ? 2 , ?2? 5?2 4 -? ? 1
23、4, ? ? ? ? 1 2, 代入 P得 ?- ? 2 2+ y-m-1 2 2=5?2 4 -m+1 4,展开得(-x-2y+2)m+x 2+y2-y=0, 当 -?-2? ? 2 ? 0, ?2? ?2-? ? 0, 即 ? ? 0, ? ? 1 或 ? ? 2 5, ? ? 4 5 时方程恒成立, 圆 P方程恒过定点(0,1)或 2 5, 4 5 . 22.(12 分)某高速公路隧道设计为单向三车道,每条车道宽 4 米,要求通行车辆限高 5 米,隧道全长 1.5 千米,隧道的断面轮廓线近似地看成半个椭圆形状(如图所示). (1)若最大拱高 h 为 6 米,则隧道设计的拱宽 l至少是多少
24、米?(结果取整数) (2)如何设计拱高 h 和拱宽 l,才能使半个椭圆形隧道的土方工程量最小?(结果取整数) 参考数据: 113.3,椭圆的面积公式为 S=ab,其中 a,b 分别为椭圆的长半轴和短半轴长. 解(1)建立直角坐标系 xOy 如图所示, 则点 P(6,5)在椭圆? 2 ?2 ? ?2 ?2=1 上, 将 b=h=6 与点 P(6,5)代入椭圆方程,得 a= 36 11, 17 此时 l=2a= 72 1121.8, 因此隧道设计的拱宽 l 至少是 22 米. (2)由椭圆方程? 2 ?2 ? ?2 ?2=1,得 36 ?2 ? 25 ?21, 因为 136 ?2 ? 25 ?2 2?6?5 ? ,即 ab60,S=? 2 30,当且仅当6 ? ? 5 ?时,等号成立. 由于隧道长度为 1.5 千米,故隧道的土方工程量 V=1.5S45, 当 V 取得最小值时,有6 ? ? 5 ?,且 ab=60,得 a=6 2,b=5 2, 此时 l=2a=12 216.97,h=b7.07. 若 h=b=8,此时 l=2a=17,此时 V1=3? 4 ? 3?17?8 8 =51, 若 h=b=7,此时 l=2a=18,此时 V2=3? 4 ? 3?9?7 4 =47.25, 因为 V1V2,故当拱高为 7 米、拱宽为 18 米时,土方工程量最小.
