（2021新人教B版）高中数学必修第二册第六章　平面向量初步 （课件+课时作业：课时训练学业达标）.zip

第1课时平面向量的坐标及运算 章末质量检测章末质量检测(六六)平面向量初步平面向量初步 一、选择题(本大题共 12 小题，每小 题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个 选项中，只有一项是符合题目要求的) 1如图，在O 中，向量， OB OC 是() AO A有相同起点的向量 B共线向量 C模相等的向量 D相等的向量 解析：由图可知，是模相等 OB OC AO 的向量，其模均等于圆的半径，故选 C. 答案：C 2若 A(2，1)，B(4,2)，C(1,5)， 则2等于() AB BC A5B(1,5) C(6,1) D(4,9) 解析：(2,3)，(3,3)， AB BC 2(2,3)2(3,3)(4,9) AB BC 答案：D 3若 A(x，1)，B(1,3)，C(2,5)三 点共线，则 x 的值为() A3 B1 C1 D3 解析：，(1x,4)(1,2)， AB BC 2(1x)4，x1，故选 B. 答案：B 4已知向量 a，b 满足 ab(1,3)， ab(3，3)，则 a，b 的坐标分别为() A(4,0)，(2,6) B(2,6)，(4,0) C(2,0)，(1,3) D(1,3)，(2,0) 解析：由题意知，Error!解得Error! 答案：C 5若 a(5，x)，|a|13，则 x() A5 B10 C12 D13 解析：由题意得|a| 13， 52x2 所以 52x2132，解得 x12. 答案：C 6如图，在OAB 中，P 为线段 AB 上的一点，xy，且 BP2 OP OA OB ，则() PA Ax ，y 2 3 1 3 Bx ，y 1 3 2 3 Cx ，y 1 4 3 4 Dx ，y 3 4 1 4 解析：由题意知，又 OP OB BP 2，所以 ( BP PA OP OB 2 3BA OB 2 3 )，所以 x ，y . OA OB 2 3OA 1 3OB 2 3 1 3 答案：A 7设向量 a，b (， 1 2) ，则 a3b() ( 1 31， 1 6) A(3，) B(3，) C(1,0) D(3,0) 解析：因为 a( ，1 2) b( 1 31， 1 6) 所以 a3b3 (， 1 2) (3,0) ( 1 31， 1 6) 答案：D 8若向量 a(2,1)，b(1,2)，c ，则 c 可用向量 a，b 表示为() (0， 5 2) A. ab B ab 1 2 1 2 C. a b D. a b 3 2 1 2 3 2 1 2 解析：设 cxayb，则 (2xy，x2y)，所以Error!，解得 (0， 5 2) Error!则 c ab. 1 2 答案：A 9已知平面内四边形 ABCD 和点 O，若 a，b，c，d，且 OA OB OC OD acbd，则四边形 ABCD 为() A菱形 B梯形 C矩形 D平行四边形 解析：由题意知 abdc， ， BA CD 四边形 ABCD 为平行四边形，故选 D. 答案：D 10某人在无风条件下骑自行车的速 度为 v1，风速为 v2(|v1|v2|)，则逆风行 驶的速度的大小为() Av1v2 Bv1v2 C|v1|v2| D. v1 v2 解析：题目要求的是速度的大小，即 向量的大小，而不是求速度，速度是向量， 速度的大小是实数，故逆风行驶的速度大 小为|v1|v2|. 答案：C 11已知ABC 的三个顶点 A，B，C 及平面内一点 P 满足 PA PB ，则点 P 与ABC 的关系为() PC AB AP 在ABC 内部 BP 在ABC 外部 CP 在 AB 边所在的直线上 DP 是 AC 边的一个三等分点 解析：， PA PB PC AB PA ，22， PB PC PB PA PC PA AP P 是 AC 边上靠近点 A 的一个三等分 点 答案：D 12在平面直角坐标系中，O 为坐标 原点，直线 l：xky10 与圆 C：x2y24 相交于 A，B 两点， OM .若点 M 在圆 C 上，则实数 k() OA OB A2 B1 C0 D1 解析：设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，将直线 方程代入 x2y24， 整理得(k21)y22ky30， 所以， y1y2，x1x2k(y1y2)2 2k k21 ， 2 k21 OM OA OB ( 2 k21， 2k k21) 由于点 M 在圆 C 上，所以 2 ( 2 k21) 24，解得 k0. ( 2k k21) 答案：C 二、填空题(本大题共 4 小题，每小 题 5 分，共 20 分请把正确答案填在题 中横线上) 13已知 e1，e2不共线， ae12e2，b2e1e2，要使 a，b 能作 为平面内的一组基底，则实数 的取值范 围为_ 解析：若 a，b 能作为平面内的一组 基底，则 a 与 b 不共线，则 akb(kR)， 又 ae12e2，b2e1e2，4. 答案：(，4)(4，) 14已知向量 a(2,1)，b(1，2)， 若 manb(9，8)(m，nR)，则 mn 的值为_ 解析：manb(2mn，m2n) (9，8)， Error!Error! mn253 答案：3 15用两条成 120角的等长绳子悬 挂一个灯具，已知灯具重量为 10 N，则 每根绳子的拉力大小为_N. 解析：如图，由题意得， AOCCOB60，|10，则 OC |10，即每根绳子的拉力大小 OA OB 为 10 N. 答案：10 16如图，G 是OAB 的重心， P，Q 分别是边 OA，OB 上的动点，且 P，G，Q 三点共线设 x，y，则 OP OA OQ OB _. 1 x 1 y 解析： OG OP PG OP PQ ()(1) OP OQ OP OP OQ (1)xy， OA OB 又G 是OAB 的重心， OG 2 3 () OM 2 3 1 2 OA OB . 1 3OA 1 3OB 而，不共线由，得 OA OB Error! 解得Error! 3. 1 x 1 y 答案：3 三、解答题(本大题共 6 小题，共 70 分解答时应写出必要的文字说明、证明 过程或演算步骤) 17(10 分)如图所示，已知a， OA b，c，d，e，f OB OC OD OE OF ，试用 a，b，c，d，e，f 表示： (1)； AD AB (2)； AB CF (3). EF CF 解析：(1)因为b，d， OB OD 所以db. AD AB BD OD OB (2)因为 a，b，c，f， OA OB OC OF 所以()() AB CF OB OA OF OC bfac. (3) EF CF EF FC EC OC ce. OE 18(12 分)已知点 A(1,2)，B(2,8) 以及，求点 C，D AC 1 3AB DA 1 3BA 的坐标和的坐标 CD 解析：设点 C，D 的坐标分别为 (x1，y1)，(x2，y2)， 得(x11，y12)，(3,6)， AC AB (1x2,2y2)， DA (3，6) BA 因为， AC 1 3AB DA 1 3BA 所以有Error!和Error! 解得Error!和Error! 所以点 C，D 的坐标分别是(0,4)， (2,0)， 从而(2，4) CD 19(12 分)已知 A(1,1)，B(3，1)， C(a，b) (1)若 A，B，C 三点共线，求 a，b 的 关系式； (2)若2，求点 C 的坐标 AC AB 解析：(1)由已知(2，2)， AB (a1，b1)， AC A，B，C 三点共线，. AB AC 2(b1)2(a1)0，即 ab2. (2)2， AC AB (a1，b1)2(2，2) Error!解得Error! 点 C 的坐标为(5，3) 20(12 分)长江两岸之间没有大桥的 地方，常常通过轮渡进行运输如图所示， 一艘船从长江南岸 A 地出发，垂直于对 岸航行，航行速度的大小为 15 km/h，同 时江水的速度为向东 6 km/h. (1)用向量表示江水速度、船速以及 船实际航行的速度； (2)求船实际航行的速度的大小(结果 保留小数点后一位)与方向(用与江水速度 间的夹角表示，精确到 1) 【解析】(1)如图所示，表示船 AD 速，表示江水速度，以 AD，AB 为邻边 AB 作ABCD，则表示船实际航行的速度 AC (2)在 RtABC 中， |6，|15，于是| AB BC AC 16.2. |AB |2|BC |2 62152261 因为 tanCAB ，所以利用 |BC | |AB | 5 2 计算工具可得CAB68. 因此，船实际航行速度的大小约为 16.2 km/h，方向与江水速度间的夹角约为 68. 21(12 分)平面内给定三个向量 a(3,2)，b(1,2)，c(4,1) (1)求满足 ambnc 的实数 m，n； (2)若(akc)(2ba)，求实数 k. 解析：(1)由题意得(3,2)m(1,2) n(4,1)， 所以Error!解得Error! (2)akc(34k,2k)， 2ba(5,2)， 由题意得 2(34k)(5)(2k) 0，解得 k. 16 13 22(12 分)已知 O，A，B 是平面上 不共线的三点，直线 AB 上有一点 C，满 足 20， AC CB (1)用，表示； OA OB OC (2)若点 D 是 OB 的中点，证明四边 形 OCAD 是梯形 解析：(1)因为 20， AC CB 所以 2()()0， OC OA OB OC 220， OC OA OB OC 所以2. OC OA OB (2)证明：如图， (2 DA DO OA 1 2OB OA 1 2 OA ) OB 故. DA 1 2OC 故四边形 OCAD 为梯形 课时作业 21 一、选择题 1下列物理量：质量；速度；位移；力；加速度； 路程；密度；功其中不是向量的有() A1 个B2 个 C3 个 D4 个 解析：一个量是不是向量，就是看它是否同时具备向量的两个要 素：大小和方向由于速度、位移、力、加速度都是由大小和方向确定 的，所以是向量；而质量、路程、密度、功只有大小而没有方向，所以 不是向量 答案：D 2下列命题中，正确命题的个数是() 单位向量都共线； 长度相等的向量都相等； 共线的单位向量必相等； 与非零向量 a 共线的单位向量是. a |a| A3 B2 C1 D0 解析：根据单位向量的定义，可知明显是错误的，对于 ，与非零向量 a 共线的单位向量是或，故也是错误的 a |a| a |a| 答案：D 3如图，等腰梯形 ABCD 中，对角线 AC 与 BD 交于点 P，点 E，F 分别在两腰 AD，BC 上，EF 过点 P，且 EFAB，则() A. AD BC B. AC BD C. PE PF D. EP PF 解析：由平面几何知识知，与方向不同， AD BC 故；与方向不同，故； AD BC AC BD AC BD 与的模相等而方向相反，故. PE PF PE PF 与的模相等且方向相同，. EP PF EP PF 答案：D 4若|且，则四边形 ABCD 的形状为() AB AD BA CD A正方形 B矩形 C菱形 D等腰梯形 解析：由，知 ABCD 且 ABCD，即四边形 ABCD 为 BA CD 平行四边形又因为|，所以四边形 ABCD 为菱形 AB AD 答案：C 二、填空题 5如图，已知正方形 ABCD 的边长为 2，O 为其中心，则 |_. OA 解析：因为正方形的对角线长为 2，所以|. 2 OA 2 答案： 2 6. 如图，四边形 ABCD 是平行四边形，E，F 分别是 AD 与 BC 的 中点，则在以 A、B、C、D 四点中的任意两点为始点和终点的所有 向量中，与向量方向相反的向量为_ EF 解析：因为 ABEF，CDEF，所以与平行的向量为， EF DC CD ， ，其中方向相反的向量为，. AB BA BA CD 答案：， BA CD 7给出下列命题： 若，则 A、B、C、D 四点是平行四边形的四个顶点； AB DC 在ABCD 中，一定有； AB DC 若 ab，bc，则 ac； 若 ab，bc，则 ac. 其中所有正确命题的序号为_ 解析：，A、B、C、D 四点可能在同一条直线上，故不 AB DC 正确；在ABCD 中，|，与平行且方向相同，故 AB DC AB DC ，故正确；ab，则|a|b|，且 a 与 b 方向相同；bc，则 AB DC |b|c|，且 b 与 c 方向相同，则 a 与 c 长度相等且方向相同，故 ac， 故正确；对于，当 b0 时，a 与 c 不一定平行，故不正确 答案： 三、解答题 8在如图的方格纸(每个小方格的边长为 1)上，已知向量 a. (1)试以 B 为起点画一个向量 b，使 ba； (2)画一个以 C 为起点的向量 c，使|c|2，并说出 c 的终点的轨 迹是什么 解析：(1)根据相等向量的定义，所作向量 b 应与 a 同向，且长度 相等，如下图所示 (2)由平面几何知识可作满足条件的向量 c，所有这样的向量 c 的 终点的轨迹是以点 C 为圆心，2 为半径的圆，如下图所示 9一辆汽车从 A 点出发向西行驶了 100 千米到达 B 点，然后 又改变了方向向北偏西 40走了 200 千米到达 C 点，最后又改变方 向，向东行驶了 100 千米到达 D 点 (1)作出向量， ，； AB BC CD (2)求|. AD 解析：(1)如图所示 (2)由题意，易知与方向相反， AB CD 故与共线，即 ABCD. AB CD 又|， AB CD 所以四边形 ABCD 为平行四边形 所以|200(千米) AD BC 尖子生题库尖子生题库 10如图，在ABC 中，已知向量，求证： AD DB DF EC . AE DF 证明：由，可得 DFEC 且 DFEC， DF EC 故四边形 CEDF 是平行四边形，从而 DEFC. ，D 为 AB 的中点 AD DB ，. AE EC AE DF 课时作业 22 一、选择题 1点 O 是平行四边形 ABCD 的两条对角线的交点，则 等于() AO OC CB A.B. AB BC C. D. CD DA 解析：因为点 O 是平行四边形 ABCD 的两条对角线的交点，则 .故选 A. AO OC CB AC CB AB 答案：A 2设 a 表示“向东走 5 km” ，b 表示“向南走 5 km” ，则 ab 表示() A向东走 10 km B向南走 10 km C向东南走 10 km D向东南走 5 km 2 解析： 如图所示，ab，|5，|5，且 ABBC，则|5 AC AB BC AC ，BAC45. 2 答案：D 3已知向量 ab，且|a|b|0，则向量 ab 的方向() A与向量 a 方向相同 B与向量 a 方向相反 C与向量 b 方向相同 D不确定 解析：如果 a 和 b 方向相同，则它们的和的方向应该与 a(或 b) 的方向相同；如果它们的方向相反，而 a 的模大于 b 的模，则它们的 和的方向与 a 的方向相同 答案：A 4如图所示的方格纸中有定点 O，P，Q，E，F，G，H，则 () OP OQ A. B. OH OG C. D. FO EO 解析：设 a，以 OP，OQ 为邻边作平行四边形，则 OP OP OQ 与 OQ 之间的对角线对应的向量即向量 a，由 a 和长度 OP OQ FO 相等，方向相同，得 a，即. FO OP OQ FO 答案：C 二、填空题(每小题 5 分，共 15 分) 5在ABC 中，a，b，c，则 AB BC CA abc_. 解析：由向量加法的三角形法则，得，即 AB BC AC abc0. AB BC CA 答案：0 6化简()()_. AB MB BO BC OM 解析：原式()() AB BO OM MB . BC AO OB BC AB BC AC 答案：AC 7在菱形 ABCD 中，DAB60，|1，则 AB |_. BC CD 解析：在菱形 ABCD 中，连接 BD， DAB60，BAD 为等边三角形， 又|1，|1，|1. AB BD BC CD BD 答案：1 三、解答题(每小题 10 分，共 20 分) 8如图，已知向量 a、b，求作向量 ab. 解析：(1)作a，b，则ab，如图(1)； OA AB OB (2)作a，b，则ab，如图(2)； OA AB OB (3)作a，b，则ab，如图(3) OA AB OB 9化简： (1)； BC AB (2)； AO BC OB (3). AB DF CD BC FA 解析：(1). BC AB AB BC AC (2) AO BC OB AO OB BC . AB BC AC (3) AB DF CD BC FA AB BC CD DF FA AC 0. CD DF FA AD DF FA AF FA 尖子生题库尖子生题库 10如图所示，设 O 为正六边形 ABCDEF 的中心，作出下列向 量： (1)； OA OC (2). BC FE 解析：(1)由图可知，四边形 OABC 为平行四边形，所以由向量加 法的平行四边形法则，得. OA OC OB (2)由图可知，所以. BC FE OD AO BC FE AO OD AD 课时作业 23 一、选择题 1下列运算中正确的是() A. B. OA OB AB AB CD DB C. D.0 OA OB BA AB AB 解析：根据向量减法的几何意义，知，所以 C 正确， OA OB BA A 错误；B 显然错误；对于 D，应该等于 0，而不是 0. AB AB 答案：C 2下列四式中不能化简为的是() PQ A.() B()() AB PA BQ AB PC BA QC C. D. QC QP CQ PA AB BQ 解析：D 中，不能化简为， PA AB BQ PB BQ PB QB PQ 其余选项皆可 答案：D 3在ABC 中，D 是 BC 边上的一点，则等于() AD AC A. B. CB BC C. D. CD DC 解析：在ABC 中，D 是 BC 边上一点，则由两个向量的减法的 几何意义可得. AD AC CD 答案：C 4如图，在四边形 ABCD 中，设a，b，c，则 AB AD BC () DC Aabc Bb(ac) Cabc Dbac 解析：abc. DC DA AB BC 答案：A 二、填空题 5._. EF DE DB 解析：. EF DE DB EF BE BF 答案：BF 6若 a，b 为相反向量，且|a|1，|b|1，则 |ab|_，|ab|_. 解析：若 a，b 为相反向量，则 ab0，所以|ab|0，又 ab，所以|a|b|1，因为 a 与b 共线同向，所以|ab|2. 答案：02 7设点 M 是线段 BC 的中点，点 A 在直线 BC 外，且 |4，|，则|_. BC AB AC AB AC AM 解析：以 AB，AC 为邻边作平行四边形 ACDB，由向量加减法几 何意义可知，|， AD AB AC CB AB AC AB AC AB AC 平行四边形 ABCD 为矩形，|，又|4，M 是线段 BC 的 AD CB BC 中点， | | |2. AM 1 2 AD 1 2 BC 答案：2 三、解答题 8如图，已知向量 a，b，c，求作向量 abc. 解析：在平面内任取一点 O，作向量a，b，则向量 OA OB ab，再作向量c，则向量abc. BA BC CA 9化简下列各式： (1)()()； AB MB OB MO (2). AB AD DC 解析：(1)方法一原式() AB MB BO OM AB BO (). OM MB AO OB AB 方法二原式 AB MB BO OM ()0. AB MB BO OM AB MO OM AB AB (2)方法一原式. DB DC CB 方法二原式(). AB AD DC AB AC CB 尖子生题库尖子生题库 10如图所示，四边形 ACDE 是平行四边形，B 是该平行四边 形内一点，且a，b，c，试用向量 a，b，c 表示向量 AB AC AE ， ，. CD BC BD 解析：因为四边形 ACDE 是平行四边形，所以 c，ba，bac. CD AE BC AC AB BD BC CD 课时作业 24 一、选择题 1点 C 在直线 AB 上，且3，则等于() AC AB BC A2B. AB 1 3AB C D2 1 3AB AB 解析：如图，3，所以2. AC AB BC AB 答案：D 2已知向量 a，b 是两个不共线的向量，且向量 ma3b 与 a(2m)b 共线，则实数 m 的值为() A1 或 3 B. 3 C1 或 4 D3 或 4 解析：因为向量 ma3b 与 a(2m)b 共线，且向量 a，b 是两 个不共线的向量，所以 m，解得 m1 或 m3. 3 2m 答案：A 3设 a 是非零向量， 是非零实数，下列结论正确的是() Aa 与a 的方向相反 B|a|a| Ca 与 2a 的方向相同 D|a|a 解析：当 取负数时，a 与a 的方向是相同的，选项 A 错误； 当|1 时，|a|a|不成立，选项 B 错误；|a|a 中等号左边表 示一个数，而等号右边表示一个向量，不可能相等，选项 D 错误；因 为 0，所以 2一定是正数，故 a 与 2a 的方向相同，故选 C. 答案：C 4. 如图，已知a，b，3，用 a，b 表示，则 AB AC BD DC AD () AD Aa b 3 4 B. a b 3 4 1 4 C. a b 1 4 1 4 D. a b 1 4 3 4 解析： () AD AB BD AB 3 4BC AB 3 4 AC AB a b. 1 4AB 3 4AC 1 4 3 4 答案：D 二、填空题 5已知|a|4，|b|8，若两向量方向同向，则向量 a 与向量 b 的关系为 b_a. 解析：由于|a|4，|b|8，则|b|2|a|，又两向量同向，故 b2a. 答案：2 6点 C 在线段 AB 上，且 ，则 AC CB 3 2 _，_. AC AB BC AB 解析：因为 C 在线段 AB 上，且 ，所以与方向相同， AC CB 3 2 AC AB 与方向相反，且 ， ，所以，. BC AB AC AB 3 5 BC AB 2 5 AC 3 5AB BC 2 5AB 答案： 3 5 2 5 7已知向量 a，b 满足|a|3，|b|5，且 ab，则实数 的值 是_ 解析：由 ab，得|a|b|b|.|a|3，|b|5， | ，即 . 3 5 3 5 答案： 3 5 三、解答题 8已知非零向量 e1，e2不共线 (1)如果e1e2，2e18e2，3(e1e2)，求证 AB BC CD A，B，D 三点共线； (2)欲使 ke1e2和 e1ke2共线，试确定实数 k 的值 解析：(1)证明：因为 e1e2，2e18e23e13e25(e1e2)5. AB BD BC CD AB 所以，共线，且有公共点 B， AB BD 所以 A，B，D 三点共线 (2)因为 ke1e2与 e1ke2共线， 所以存在实数 ，使 ke1e2(e1ke2)， 则(k)e1(k1)e2， 由于 e1与 e2不共线， 只能有Error!所以 k1. 9已知 E，F 分别为四边形 ABCD 的对角线 AC，BD 的中点， 设a，b，试用 a，b 表示. BC DA EF 解析：如图所示，取 AB 的中点 P，连接 EP，FP. 在ABC 中，EP 是中位线， 所以 a. PE 1 2BC 1 2 在ABD 中，FP 是中位线，所以 b. PF 1 2AD 1 2DA 1 2 在EFP 中， a b (ab) EF EP PF PE PF 1 2 1 2 1 2 尖子生题库尖子生题库 10已知 O，A，B 是不共线的三点，且 mn(m，nR) OP OA OB (1)若 mn1，求证：A，P，B 三点共线； (2)若 A，P，B 三点共线，求证：mn1. 证明：(1)若 mn1，则m(1m)m( OP OA OB OB OA )， OB m()， OP OB OA OB 即m，与共线 BP BA BP BA 又与有公共点 B， BP BA A，P，B 三点共线 (2)若 A，P，B 三点共线，则存在实数 ，使， BP BA () OP OB OA OB 又mn， OP OA OB 故有 m(n1)， OA OB OA OB 即(m)(n1)0. OA OB O，A，B 不共线，不共线， OA OB Error!mn1. 课时作业 25 一、选择题 14(ab)3(ab)b 等于() Aa2bBa Ca6b Da8b 解析：原式4a4b3a3bba8b. 答案：D 2在平行四边形 ABCD 中，a，b，则等于() AB AD AC BA Aa Bb C0 Dab 解析：平行四边形 ABCD 中，根据向量的加法法则及减法运算 可得()b. AC BA AB AD AB AD 答案：B 3下列四个结论： 0； AB BC CA 0； AB MB BO OM 0； AB AC BD CD 0. NQ QP MN MP 其中一定正确的结论个数是() A1 B2 C3 D4 解析：0，正确； AB BC CA AC CA ，错误； AB MB BO OM AB MO OM AB AB AC 0，正确； BD CD CB BD DC CD DC NQ QP MN 0，正确故正确 MP NP PN 答案：C 4设 M 为平行四边形 ABCD 对角线的交点，O 为平行四边形 ABCD 所在平面内任意一点，则等于() OA OB OC OD A. B2 OM OM C3 D4 OM OM 解析：O 为任意一点，不妨把 A 点看成 O 点，则 OA OB 0，M 是平行四边形 ABCD 对角线的交 OC OD AB AC AD 点，024. AB AC AD AC OM 答案：D 二、填空题 5化简_. OA CD CB AD OB 解析： OA CD CB AD OB OA BD DA OB 2 OA OB BA OA 答案：2OA 6已知点 P 在线段 AB 上，且|4|，设，则实 AB AP AP PB 数 _. 解析：因为|4|，则的长度是的长度的 ，二者的方 AB AP AP PB 1 3 向相同，所以. AP 1 3PB 答案： 1 3 7给出下面四个结论： 若线段 ACABBC，则向量； AC AB BC 若向量，则线段 ACABBC； AC AB BC 若向量与共线，则线段 ACABBC； AB BC 若向量与反向共线，则|ABBC. AB BC AB BC 其中正确的结论有_ 解析：由 ACABBC 得点 B 在线段 AC 上，则 ，正确 AC AB BC 三角形内，但 ACABBC，错误 AC AB BC ，反向共线时，|，也即 AB BC AC AB BC AB BC ACABBC，错误 ，反向共线时，|()|ABBC，正 AB BC AB BC AB BC 确 答案： 三、解答题 8计算 (1) (a2b) (3a2b) (ab)； 1 3 1 4 1 2 (2). 1 23a2b 2 3ab 7 6 1 2a 3 7(b 7 6a) 解析：(1)原式aba b. ( 1 3 3 4 1 2) ( 2 3 1 2 1 2) 7 12 2 3 (2)原式 1 2( 7 3ab) 7 6(a 3 7b) a b a b0. 7 6 1 2 7 6 1 2 9已知 P 为ABC 的边 BC 上一点，a，b，若 S AB AC ABP2SACP，用 a、b 表示 . AP 解析：因为 SABP2SACP，所以 SABP SABC，即， 2 3 BP 2 3BC 即 ()，所以 a b. AP AB 2 3 AC AB AP 1 3AB 2 3AC 1 3 2 3 尖子生题库尖子生题库 10已知 e，f 为两个不共线的向量，若四边形 ABCD 满足 e2f，4ef，5e3f. AB BC CD (1)用 e、f 表示； AD (2)证明：四边形 ABCD 为梯形 解析：(1)(e2f)(4ef)(5e3f) AD AB BC CD (145)e(213)f8e2f. (2)证明：因为8e2f2(4ef)2，所以与方 AD BC AD BC 向相同，且的长度为的长度的 2 倍，即在四边形 ABCD 中， AD BC ADBC，且 ADBC，所以四边形 ABCD 是梯形 课时作业 26 一、选择题 1已知向量 ae12e2，b2e1e2，其中 e1，e2不共线，则 ab 与 c6e12e2的关系是() A不共线 B共线 C相等 D不确定 解析：ab3e1e2， c2(ab)ab 与 c 共线 答案：B 2点 O 为正六边形 ABCDEF 的中心，则可作为基底的一对向 量是() A.， B.， OA BC OA CD C.， D.， AB CF AB DE 解析：由题图可知，与，与，与共线，不能作为 OA BC AB CF AB DE 基底向量，与不共线，可作为基底向量 OA CD 答案：B 3已知 AD 是ABC 的中线，a，b，以 a，b 为基底 AB AD 表示，则() AC AC A. (ab) B2ba 1 2 C. (ba) D2ba 1 2 解析：如图，AD 是ABC 的中线，则 D 为线段 BC 的中点，从 而 ()，则22ba. AD 1 2 AB AC AC AD AB 答案：B 4若 D 点在三角形 ABC 的边 BC 上，且 4rs，则 3rs 的值为() CD DB AB AC A. B. 16 5 12 5 C. D. 8 5 4 5 解析：4rs， CD DB AB AC ()rs， CD 4 5CB 4 5 AB AC AB AC r ，s . 4 5 4 5 3rs . 12 5 4 5 8 5 答案：C 二、填空题 5已知向量 a，b 是一组基底，实数 x，y 满足(3x4y) a(2x3y)b6a3b，则 xy 的值为_ 解析：因为 a，b 是一组基底，所以 a 与 b 不共线， 因为(3x4y)a(2x3y)b6a3b， 所以Error!解得Error!所以 xy3. 答案：3 6已知 O，A，B 是平面上的三个点，直线 AB 上有一点 C，满 足 20，若a，b，用 a，b 表示向量，则 AC CB OA OB OC _. OC 解析： ，20，2() AC OC OA CB OB OC AC CB OC OA ()0，22ab. OB OC OC OA OB 答案：2ab 7在正方形 ABCD 中，E 是 DC 边上的中点，且 a，b，则_. AB AD BE 解析：b a. BE BC CE AD 1 2AB 1 2 答案：b a 1 2 三、解答题 8已知 e1，e2是平面内两个不共线的向量， a3e12e2，b2e1e2，c7e14e2，试用向量 a 和 b 表示 c. 解析：因为 a，b 不共线，所以可设 cxayb， 则 xaybx(3e12e2)y(2e1e2) (3x2y)e1(2xy)e27e14e2. 又因为 e1，e2不共线， 所以Error!解得Error!所以 ca2b. 9如图所示，设 M，N，P 是ABC 三边上的点，且 ，若a，b，试用 a，b 将 BM 1 3BC CN 1 3CA AP 1 3AB AB AC 、 、表示出来 MN NP PM 解析： a b， NP AP AN 1 3AB 2 3AC 1 3 2 3 MN CN CM 1 3AC 2 3CB b (ab) a b， 1 3 2 3 2 3 1 3 () (ab) PM MP MN NP 1 3 尖子生题库尖子生题库 10若点 M 是ABC 所在平面内一点，且满足： AM 3 4AB 1 4 . AC (1)求ABM 与ABC 的面积之比； (2)若 N 为 AB 中点，AM 与 CN 交于点 O，设xy， BO BM BN 求 x，y 的值 解析：(1)由可知 M，B，C 三点共线， AM 3 4AB 1 4AC 如图，令() BM BC AM AB BM AB BC AB AC AB (1) ， AB AC 1 4 所以 ，即面积之比为 14. S ABM S ABC 1 4 (2)由xyx， BO BM BN BO BM y 2BA yBN，由 O，M，A 三点共线及 O，N，C 三点共线 BO x 4BC Error!Error! 课时作业 27 一、选择题 1数轴上两点，P 坐标为 1，Q 坐标为3，|() PQ A1B2 C3 D4 解析：PQ 的坐标为4， |4. PQ 答案：D 2设 i，j 是平面直角坐标系内分别与 x 轴，y 轴正方向相同的 两个单位向量，O 为坐标原点，若4i2j，3i4j，则 2 OA OB 的坐标是() OA OB A(1，2) B(7,6) C(5,0) D(11,8) 解析：因为(4,2)，(3,4)， OA OB 所以 2(8,4)(3,4)(11,8) OA OB 答案：D 3已知向量 a(1,2)，b(1,0)，那么向量 3ba 的坐标是() A(4,2) B(4，2) C(4,2) D(4，2) 解析：3ba3(1,0)(1,2)(4，2) 答案：D 4已知向量 a(1,2)，2ab(3,2)，则 b() A(1，2) B(1,2) C(5,6) D(2,0) 解析：b(3,2)2a(3,2)(2,4)(1，2) 答案：A 二、填空题 5在平面直角坐标系内，已知 i、j 是两个互相垂直的单位向量， 若 ai2j，则向量用坐标表示 a_. 解析：由于 i，j 是两个互相垂直的单位向量，所以 a(1，2) 答案：(1，2) 6已知向量 a(x3，x23x4)与相等，其中 A(1,2)， AB B(3,2)，则 x_. 解析：易得(2,0)， AB 由 a(x3，x23x4)与相等得Error!解得 x1. AB 答案：1 三、解答题 7如图，取与 x 轴、y 轴同向的两个单位向量 i，j 作为基底， 分别用 i，j 表示， ，并求出它们的坐标 OA OB AB 解析：由图形可知，6i2j，2i4j，4i2j，它 OA OB AB 们的坐标表示为(6,2)，(2,4)，(4,2) OA OB AB 8已知 O 是坐标原点，点 A 在第一象限，|4， OA 3 xOA60， (1)求向量的坐标； OA (2)若 B(，1)，求的坐标 3 BA 解析：(1)设点 A(x，y)，则 x|cos 604cos 60 OA 3 2，y|sin 604sin 606， 3 OA 3 即 A(2，6)， 3 所以(2，6) OA 3 (2)(2，6)(，1)(，7) BA 333 尖子生题库尖子生题库 9已知 O 是ABC 内一点，AOB150，BOC90，设 a，b，c，且|a|2，|b|1，|c|3，试用 a，b 表示 c. OA OB OC 解析：如图，以 O 为原点，为 x 轴的非负半轴建立平面直角 OA 坐标系，由三角函数的定义，得 B(cos 150，sin 150)，C(3cos 240， 3sin 240) 即 B，C，又A(2,0)， ( 3 2 ，1 2) ( 3 2， 3 3 2 ) 故 a(2,0)，b，c. ( 3 2 ，1 2) ( 3 2， 3 3 2 ) 设 c1a2b(1，2R)， 1(2,0)2212， 2， ( 3 2， 3 3 2 )( 3 2 ，1 2) 3 2 1 2 Error!Error! c3a3b. 3 课时作业 28 一、选择题 1已知平面向量 a(1,2)，b(2，m)，且 ab，则 2a3b() A(2，4)B(3，6) C(4，8