（2021新人教B版）高中数学必修第一册3.3函数的应用(一)、3.4数学建模活动：决定苹果的最佳出售时间点 练习.zip

第三章第三章3.33.4 1甲、乙二人从 A 地沿同一方向去 B 地，途中都使用两种不同的速度 v1与 v2(v1v2)， 甲前一半的路程使用速度 v1，后一半的路程使用速度 v2；乙前一半的时间使用速度 v1，后 一半的时间使用速度 v2，关于甲、乙二人从 A 地到达 B 地的路程与时间的函数图像及关系， 有如图所示的四个不同的图示分析(其中横轴 t 表示时间，纵轴 s 表示路程，C 是 AB 的中 点)，则其中可能正确的图示分析为(A) 解析：由题意可知，开始时，甲、乙速度均为 v1，所以图像是重合的线段，由此排除 C，D，再根据 v1v2，可知两人的运动情况均是先慢后快，图像是折线且前“缓”后“陡” ，故图示 A 分析正确 2某公司市场营销人员的个人月收入与其每月的销售量成一次函数关系，如图所示， 由图中给出的信息可知，营销人员没有销售量时的收入是(B) A310 元B300 元 C390 元D280 元 解析：由图像知，该一次函数过(1,800)，(2,1 300)，可求得解析式 y500 x300(x0)， 当 x0 时，y300. 3某公司一年购买某种货物 600 吨，每次购买 x 吨，运费为 6 万元/次，一年的总存 储费用为 4x 万元要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则 x 的值是_30_. 解析：一年的总运费为 6(万元) 600 x 3 600 x 一年的总存储费用为 4x 万元总运费与总存储费用的和为万元 ( 3 600 x 4x) 因为4x2240，当且仅当4x，即 x30 时取得等号， 3 600 x 3 600 x 4x 3 600 x 所以当 x30 时，一年的总运费与总存储费用之和最小 4某商店进货单价为 45 元，若按 50 元一个销售，能卖出 50 个；若销售单价每涨 1 元，其销售量就减少 2 个，为了获得最大利润，此商品的最佳售价应为每个_60_. 解析：设涨价 x 元，销售的利润为 y 元， 则 y(50 x45)(502x)2x240 x2502(x10)2450， 所以当 x10，即销售价为 60 元，y 取得最大值 5南博汽车城销售某种型号的汽车，进货单价为 25 万元，市场调查表明：当销售单 价为 29 万元时，平均每周能售出 8 辆，而当销售单价每降低 0.5 万元时，平均每周能多售 出 4 辆如果每辆汽车降价 x 万元，每辆汽车的销售利润为 y 万元(每辆车的销售利润销 售单价进货单价) (1)求 y 与 x 之间的函数关系式，并在保证商家不亏本的前提下，写出 x 的取值范围； (2)假设这种汽车平均每周的销售利润为 z 万元，试写出 z 与 x 之间的函数关系式； (3)当每辆汽车的销售单价为多少万元时，平均每周的销售利润最大？最大利润是多少？ 解析：(1)y2925x，yx4(0 x4，x0.5n，nN) (2)zy(8x8)(x4)8x224x32(0 x4，x0.5n，nN) (8 x 0.5 4) (3)由(2)知，z8x224x328(x1.5)250(0 x4，x0.5n，nN)， 故当 x1.5 时，zmax50. 所以当销售单价为 291.527.5(万元)时，每周的销售利润最大，最大利润为 50 万 元 第三章第三章3.33.4 请同学们认真完成 练案 26 A 级基础巩固 一、单选题(每小题 5 分，共 25 分) 1一辆汽车在某段路中的行驶路程 s 关于时间 t 的图像如图所示，那么图像所对应的 函数模型是(C) A一次函数B二次函数 C分段函数D无法确定 解析：由题图知在不同时段内，路程曲线不同，故函数模型为分段函数 2用长度为 24 m 的材料围成一矩形场地，如果在中间加两道隔墙，要使矩形面积最 大，则隔墙的长度应为(A) A3 mB4 m C6 mD12 m 解析：设矩形的长为 x，则宽为 (242x)，则矩形的面积为 S (242x) 1 4 1 4 x (x212x) (x6)218，所以当 x6 时，矩形的面积最大，此时隔墙的长度应 1 2 1 2 为 3 m. 3某生产厂家的生产总成本 y(万元)与产量 x(件)之间的关系式为 yx280 x，若每件 产品的售价为 25 万元，则该厂获得最大利润时，生产的产品件数为(D) A52B52.5 C53D52 或 53 解析：因为利润收入成本，当产量为 x 件时(xN)，利润 f(x)25x(x280 x)， 所以 f(x)105xx2 2 ， (x 105 2 ) 1052 4 所以 x52 或 x53 时，f(x)有最大值 4某公司招聘员工，面试人数按拟录用人数分段计算，计算公式为 yError! 其中 x 代表拟录用人数，y 代表面试人数若面试人数为 60，则该公司拟录用人数为( C) A15B40 C25D130 解析：令 y60，若 4x60，则 x1510，不合题意；若 2x1060，则 x25，满 足题意；若 1.5x60，则 x40100，不合题意故拟录用 25 人 5如图 1，动点 P 从直角梯形 ABCD 的直角顶点 B 出发，沿 BCDA 的顺序运 动，得到以点 P 运动的路程 x 为自变量，ABP 的面积 y 为因变量的函数的图像，如图 2，则梯形 ABCD 的面积是(B) A96B104 C108D112 解析：从图 2 可看出，BC8，CD10，DA10，在图 1 中，过点 D 作 AB 的垂线， 垂足为 E，可推得 AE6，AB16，所以梯形的面积为 (DCAB)BC (1016) 1 2 1 2 8104，故选 B 二、填空题(每小题 5 分，共 15 分) 6某商人购货，进价已按原价 a 扣去 25%，他希望对货物订一新价，以便按新价让 利 20%销售后仍可获得售价 25%的纯利，则此商人经营这种货物的件数 x 与按新价让利总 额 y 之间的函数关系是_y x(xN)_. a 4 解析：依题意，设新价为 b，则有 b(120%)a(125%)b(120%)25%.化简，得 b a. 5 4 yb20%x a20%x，即 y x(xN) 5 4 a 4 7某工厂生产某种产品的固定成本为 200 万元，并且生产量每增加一单位产品，成本 就增加 1 万元，又知总收入 R 是单位产量 Q 的函数：R(Q)4QQ2，那么总利润 L(Q) 1 200 的最大值是_250_万元，这时产品的产量为_300_.(总利润总收入成本) 解析：L(Q)4QQ2(200Q)(Q300)2250，则当 Q300 时，总利 1 200 1 200 润 L(Q)取最大值 250 万元 8一批救灾物资随 51 辆汽车从某市以 v km/h 的速度匀速直达灾区，已知两地公路线 长 400 km，为了安全起见，两辆汽车的间距不得小于 km，那么这批物资全部到达灾区， v2 800 最少需要_10_h. 解析：设全部物资到达灾区所需时间最少为 t h， 由题意可知，t 相当于最后一辆车行驶了 km 所用的时间， (50 v2 800400) 因此，t210. 50 v2 800400 v v 16 400 v v 16 400 v 当且仅当，即 v80 时取“” v 16 400 v 故最少需要 10 h. 三、解答题(共 20 分) 9(10 分)有 l 米长的钢材，要做成如图所示的窗框：上半部分为半圆，下半部分为四 个全等的小矩形组成的矩形，则小矩形的长与宽之比为多少时，窗户所透过的光线最多？ 并求出窗户面积的最大值 解析：设小矩形的长为 x，宽为 y，窗户的面积为 S， 则由题图可得 9xx6yl， 所以 6yl(9)x， 所以 S x24xy x2 xl(9)xx2 lx 2 2 2 2 3 36 6 2 3 36 6 (x 2l 36) . 2l2 336 要使窗户所透过的光线最多，只需窗户的面积 S 最大 由 6y0，得 0 x. l 9 因为 0， 2l 36 l 9 所以当 x，y，即 时，窗户的面积 S 有最大值， 2l 36 l9x 6 l18 636 x y 12 18 且 Smax. 2l2 336 10(10 分)国庆期间，某旅行社组团去风景区旅游，若旅行团人数在 30 人或 30 人以 下，每人需交费用为 900 元；若旅行团人数多于 30 人，则给予优惠：每多 1 人，人均费用 减少 10 元，直到达到规定人数 75 人为止旅行社需支付各种费用共计 15 000 元 (1)写出每人需交费用 y 关于人数 x 的函数； (2)旅行团人数为多少时，旅行社可获得最大利润？ 解：(1)当 0 x30 时，y900；当 30 x75，y90010(x30)1 20010 x. 即 yError! (2)设旅行社所获利润为 S 元， 则当 0 x30 时，S900 x15 000； 当 30 x75 时，Sx(1 20010 x)15 00010 x21 200 x15 000. 即 SError! 因为当 0 x30 时，S900 x15 000 为增函数， 所以 x30 时，Smax12 000； 当 30 x75 时，S10 x21 200 x15 00010(x60)221 000， 即 x60 时，Smax21 00012 000. 所以当旅行团人数为 60 时，旅行社可获得最大利润 B 级素养提升 一、选择题(每小题 5 分，共 10 分) 1如图所示，从某幢建筑物 10 m 高的窗口 A 处用水管向外喷水，喷出的水流呈抛物 线状(抛物线所在平面与墙面垂直)如果抛物线的最高点 M 离墙 1 m，离地面 m，则水 40 3 流落地点 B 离墙的距离 OB 是(B) A2 mB3 m C4 mD5 m 解析：以 OB 所在直线为 x 轴，OA 所在直线为 y 轴建立平面直角坐标系，设抛物线方 程是 ya(x1)2，由条件(0,10)在抛物线上，可得 10a，a， 40 3 40 3 10 3 所以 y(x1)2，设 B(x,0)(x1)， 10 3 40 3 代入方程得：(x1)24，所以 x3. 2某建材商场国庆期间搞促销活动，规定：顾客购物总金额不超过 800 元，不享受任 何折扣；若顾客购物总金额超过 800 元，则超过 800 元部分享受一定的折扣优惠，并按下 表折扣分别累计计算： 可以享受折扣优惠金额折扣率 不超过 500 元的部分5% 超过 500 元的部分10% 若某顾客在此商场获得的折扣金额为 50 元，则此人购物实际所付金额为(A) A1 500 元B1 550 元 C1 750 元D1 800 元 解析：设该顾客在此商场的购物总金额为 x 元，可以获得的折扣金额为 y 元 由题可知，yError! y5025，x1 300， 0.1(x1 300)2550，解得 x1 550. 1 550501 500(元) 故此人购物实际所付金额为 1 500 元 二、多选题(每小题 5 分，共 10 分) 3在某种金属材料的耐高温试验中，温度随着时间变化的情况由计算机记录后显示的 图像如图所示给出下列说法，其中正确的是(BD) A前 5 min 温度增加的速度越来越快 B前 5 min 温度增加的速度越来越慢 C5 min 以后温度保持匀速增加 D5 min 以后温度保持不变 E温度随时间的变化情况无法判断 解析：温度 y 关于时间 t 的图像是先凸后平，即 5 min 前每当 t 增加一个单位增量 t， 则 y 相应的增量 y 越来越小，而 5 min 后 y 关于 t 的增量保持为 0，则 BD 正确 4某单位准备印制一批证书，现有两个印刷厂可供选择，甲厂费用为制版费和印刷费 两部分，先收取固定的制版费，再按印刷数量收取印刷费，乙厂直接按印刷数量收取印刷 费甲厂的总费用 y1(千元)、乙厂的总费用 y2(千元)与印制证书数量 x(千个)的函数关系图 分别如图中甲、乙所示，则(ABC) A甲厂的制版费为 1 千元，印刷费平均每个为 0.5 元 B甲厂的费用 y1与证书数量 x 之间的函数关系式为 y10.5x1 C当印制证书数量不超过 2 千个时，乙厂的印刷费平均每个为 1.5 元 D若该单位需印制证书数量为 8 千个，则该单位选择甲厂更节省费用 解析：由题图知甲厂制版费为 1 千元，印刷费平均每个为 0.5 元，甲厂的费用 y1与证 书数量 x 满足的函数关系为 y10.5x1，故 A、B 正确；当印制证书数量不超过 2 千个时， 乙厂的印刷费平均每个为 321.5 元，故 C 正确；当 x8 时， y10.5815，y2 8 ，因为 y1y2，所以当印制 8 千个证书时，选择乙厂更 1 4 5 2 9 2 节省费用，故 D 不正确 三、填空题(每小题 5 分，共 10 分) 5某零售商购买某种商品的进价 P(单位：元/千克)与数量 x(单位：千克)之间的函数 关系的图像如图所示现此零售商仅有现金 2 700 元，他最多可购买这种商品_90_千 克 解析：由题意得，购买这种商品所需费用 y(单位：元)与数量 x(单位：千克)之间的函 数关系式为 yError!从而易得 30502 70030100，即该零售商购买这种商品的数量 应在 50 千克与 100 千克之间，故最多可购买这种商品90(千克) 2 700 30 6甲工厂八年来某种产品的年产量 y 与年份代号 x 的函数关系如图所示现有下列四 种说法： 前三年该产品的年产量增长速度越来越快； 前三年该产品的年产量增长速度越来越慢； 第三年后该产品停止生产； 第三年后该产品的年产量保持不变 其中说法正确的是_. 解析：设年产量 y 与年份代号 x 的关系为 f(x)，由图，可知前三年该产品的年产量的增 长速度越来越慢，故错误，正确；由图，可知从第四年开始该产品的年产量不发生变 化，且 f(4)0，故错误，正确 四、解答题(共 10 分) 7某创业团队拟生产 A，B 两种产品，根据市场预测，A 产品的利润与投资额成正比 (如图 1)，B 产品的利润与投资额的算术平方根成正比(如图 2)(注：利润与投资额的单位 均为万元) (1)分别将 A，B 两种产品的利润 f(x)，g(x)表示为投资额 x 的函数； (2)该团队已筹到 10 万元资金，并打算全部投入 A，B 两种产品的生产，问：当 B 产品 的投资额为多少万元时，生产 A，B 两种产品能获得最大利润，最大利润为多少？ 解析：(1)由题意可设 f(x)k1x，g(x)k2，则 f(1)k10.25，g(4) x 2k22.5，k21.25. 所以 f(x)0.25x(x0)， g(x)1.25(x0) x (2)设 B 产品的投资额为 x 万元，则 A 产品的投资额为(10 x)万元 yf(10 x)g(x)0.25(10 x)1.25(0 x10)， x 令 t，则 y0.25t21.25t2.5， x 所以当 t2.5，即 x6.25 时，收益最大，ymax万元 65 16 答：投资 B 产品 6.25 万元，A 产品 3.75 万元时，能获得最大利润，最大利润为万 65 16 元