1、专练 25平面向量的数量积及其应用 考查平面向量的数量积及其几何意义. 基础强化 一、选择题 1已知两个单位向量 e1，e2的夹角为 60，向量 m5e12e2，则|m|() A. 19B. 21 C2 5D7 2已知向量 a(2,3)，b(x,1)，且 ab，则实数 x 的值为() A.3 2B 3 2 C.2 3D 2 3 3已知AB (2,3)，AC(3，t)，|BC|1，则ABBC( ) A3B2 C2D3 4已知向量 a，b 满足|a|1，ab1，则 a(2ab)() A4B3 C2D0 5已知向量 a，b 满足|ab| 10，|ab| 6，则 ab() A1B2 C3D5 6已知非
2、零向量 m，n 满足 4|m|3|n|，cosm，n1 3，若 n(tmn)，则实数 t 的值 为() A4B4 C.9 4D 9 4 7已知 x0，y0，a(x,1)，b(1，y1)，若 ab，则1 x 4 y的最小值为( ) A4B9 D8D10 8已知非零向量 a，b 满足|a|2|b|，且(ab)b，则 a 与 b 的夹角为() A. 6B. 3 C.2 3 D.5 6 9已知向量|OA |2，|OB |4，OA OB 4，则以OA ，OB 为一组邻边的平行四边形的面 积为() A4 3B2 3 C4D2 二、填空题 10已知|a| 2，|b|1，a 与 b 的夹角为 45，若 tba
3、 与 a 垂直，则实数 t_. 112020全国卷设 a，b 为单位向量，且ab1，则ab_. 12 已知向量b为单位向量， 向量a(1,1)， 且|a 2b| 6， 则向量a， b的夹角为_ 能力提升 13 (多选)2021全国新高考卷已知 O 为坐标原点， 点 P1(cos， sin)， P2(cos， sin)， P3(cos()，sin()，A(1,0)，则() A|OP1 |OP2 | B|AP1 |AP2 | C.OA OP3 OP1 OP2 D.OA OP1 OP2 OP3 14(多选)2021山东省临沂质量检测在日常生活中，我们会看到两个人共提一个行李包 的情况(如图)假设行李
4、包所受的重力为 G，所受的两个拉力分别为 F1，F2，若|F1|F2|且 F1与 F2的夹角为，则以下结论正确的是() A|F1|的最小值为1 2|G| B的范围为0， C当 2时，|F 1| 2 2 |G| D当2 3 时，|F1|G| 152020全国卷已知单位向量 a，b 的夹角为 45，kab 与 a 垂直，则 k_. 16已知单位向量 e1与 e2的夹角为，且 cos1 3，向量 a3e 12e2与 b3e1e2的夹角 为，则 cos_. 专练专练 25平面向量的数量积及其应用平面向量的数量积及其应用 1A|m| 5e12e22 2520e1e2429201 4 19. 2Bab，2
5、x30，x3 2. 3 C因为BC AC AB (1， t3)， 所以|BC| 1t321， 解得 t3， 所以BC (1,0)， 所以AB BC21302，故选 C. 4Ba(2ab)2a2ab2(1)3. 5A|ab| 10，a2b22ab10， 又|ab| 6，a2b22ab6， 得 4ab4，ab1. 6Bn(tmn)，tmnn20， t|m|n|cosmnn20， 3 4 1 3t10，得 t4. 7B依题意，得 abxy10 xy1.1 x 4 y xy x 4xy y 5y x 4x y 9，当且 仅当 x1 3，y 2 3时取等号故选 B. 8B设 a 与 b 的夹角为，(ab
6、)b，(ab)b0，abb2，|a|b|cos|b|2， 又|a|2|b|，cos1 2，(0，)， 3.故选 B. 9A因为 cosAOB OA OB |OA |OB | 4 24 1 2，所以AOB60，sinAOB 3 2 ，则所求 平行四边形的面积为|OA |OB |sinAOB4 3，故选 A. 102 解析：由已知可得 ab1 2 2 2 1.因为 tba 与 a 垂直，所以(tba)a0，得 tab a20，即 t20，故 t2. 11. 3 解析：由|ab|1，得|ab|21，即 a2b22ab1，而|a|b|1，故 ab1 2，|a b| |ab|2 a2b22ab 111
7、3. 12.2 3 解析：因为|a 2b| 6，所以 22 2ab26，ab 1 2， 向量 a 与 b 的夹角满足 cos 1 2 2 1 2，又 0， 2 3 . 13 ACA： OP1 (cos， sin)， OP2 (cos， sin)， 所以|OP1 | cos2sin21， |OP2 | cos2sin21，故|OP1 |OP2 |，正确； B：AP1 (cos1，sin)，AP2 (cos1，sin)，所以|AP1 | cos12sin2 cos22cos1sin2 21cos4sin2 22|sin 2|，同理|AP 2 | cos12sin2 2|sin 2|，故|AP 1
8、|，|AP2 |不一定相等，错误； C：由题意得：OA OP3 1cos()0sin()cos()，OP1 OP2 coscos sin(sin)cos()，正确； D：由题意得：OA OP1 1cos0sincos，OP2 OP3 coscos()( sin)sin() cos()cos(2)，故一般来说OA OP1 OP2 OP3 ，错误 故选 AC. 14ACD由题意知，F1F2G0，可得 F1F2G，两边同时平方得|G|2|F1|2 |F2|22|F1|F2|cos2|F1|22|F1|2cos，所以|F1|2 |G|2 21cos.当0 时，|F 1|min1 2|G|；当 2 时，|F1| 2 2 |G|；当2 3 时，|F1|G|，故 ACD 正确当时，竖直方向上没有分力与重 力平衡，不成立，所以0，)，故 B 错 15. 2 2 解析：因为(kab)aka2ab0，且单位向量 a，b 的夹角为 45，所以 k 2 2 0，即 k 2 2 . 16.2 2 3 解析：ab(3e12e2)(3e1e2)9e219e1e22e221191 38， 又|a| 3e12e22 9e214e2212e1e23， |b| 3e1e22 9e216e1e2e22 9212 2， cos ab |a|b| 8 32 2 2 2 3 .
